重難點06利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(舉一反三專項訓(xùn)練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1直接法證明不等式】...................................................................2

【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】............................................................3

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】..............................................................4

【題型4分析法證明不等式】...................................................................5

【題型5放縮法證明不等式】...................................................................7

【題型6指對同構(gòu)】...........................................................................8

【題型7隱零點法證明不等式】................................................................9

【題型8雙變量不等式的證明】................................................................10

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】......................................................11

【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】.......................................................12

命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)中的不

等式證明常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多

樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果，

復(fù)習(xí)是要加強這方面的訓(xùn)練.

方;版巧

知識點1導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略

1.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略

(1)一般地，要證7U)>g(x)在區(qū)間(a,6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=/fa)—g(x),通過分析尸(無)在端點處的

函數(shù)值來證明不等式.若尸(。)=0,只需證明尸(無)在(。，6)上單調(diào)遞增即可；若/3)=0,只需證明網(wǎng)尤)在3,

b)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

2.移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式

待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導(dǎo)教

研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

3.分拆函數(shù)法證明不等式

(1)若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個函數(shù),從而找到可以傳遞

的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(X)min河㈤max恒成立，從而/(>)?8(尤)

恒成立.

(2)等價變形的目的是求導(dǎo)后簡單地找到極值點，一般地，d與Inx要分離，常構(gòu)造X"與hu,x"與e工的積、

商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點.

4.放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式e'Nx+1,1—《WlnxW

x—I等進(jìn)行放縮,有利于簡化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進(jìn)行

放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

知識點2指對同構(gòu)

1.指對同構(gòu)證明不等式

在解決指對混合不等式時，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性

構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的速度.

找到這個函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

pxxpx

x+Inxx-lnxlnxxx

(1)五個常見變形：xe*=e,—=e,—=e-,x+In.r=ln(xe),x-Inx=In—.

舉一反三

【題型1直接法證明不等式】

【例11(2025?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ex-x2-ax-l(aeR),且f(%)有兩個極值點<%2).

(1)求實數(shù)Q的取值范圍；

2

(2)證明:f(x2)<(1-ln2).

【變式1-11(2025?江西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ex—ax2+x,g{x}=x.

(1)當(dāng)a=0時，證明：/(%)有且僅有一個零點；

(2)若曲線y=/(%)與y=g(%)相切.

(i)求。；

(ii)當(dāng)％>0時，證明：/(%)>^(%).

【變式1-2](2025?河南許昌?三模)已知函數(shù)/(%)=a%2+(Q—2)%—in%.

⑴若a=1

①求/(%)的極小值；

②證明：當(dāng)久>0時，人久)>得；

(2)若f⑺的圖象與直線y=kx-1切于點停J(0)，求k的值.

【變式1-3](2025?山東臨沂?三模)已知/(久)=ex,g(x)=Inx.

(1)證明：f(x)>g(x)+2；

(2)證明：函數(shù)f(x)與gO)的圖象有兩條公切線.

【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

【例2】(2025?河南南陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=卜2*+(。-2)e，-2ax(a€R).

(1)當(dāng)。=2時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=0時，求證：對任意的%€(0,+8),/(%)+4e%>2/+|恒成立；

【變式2-1](2025?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=4%+aln%(aER)有兩個極值點.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)記兩個極值點分別為%1，%2，證明：+/(%2)+10>Ina.

【變式2-2](2025?江西九江?三模)已知函數(shù)f(%)=a%2+(i—2a)%—in%,其中a<0.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=-1時，證明：f(%)—xlnx<—+——1.

【變式2-3](2025?甘肅白銀?三模)已知函數(shù)f(%)=In%-％+a.

(1)若/(%)<0恒成立，求a的取值范圍；

(2)若0Va41,證明：當(dāng)X時，/(%)+%<(x—l)ex~a+1.

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】

【例3】(2025?河北秦皇島?三模)設(shè)函數(shù)f(%)=(x-2)lnx+1.

(1)求/(%)在點(L/(l))處的切線方程；

(2)證明：/(x)+ex>x+1.

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=。%—In%,。ER.

⑴若函數(shù)FQ)=/(x)--有兩個極值點，求a的取值范圍；

(2)若曲線y=/(%)在點g/(3)處的切線與y軸垂直，求證：/(%)<ex+^.

【變式3-2](2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=|e2x+(a-2)ex一2ax.

(1)若曲線y=/(%)在(0,a-|)處的切線方程為4a%+2y+1=0,求a的值及/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(%)的極大值為f(ln2),求a的取值范圍.

(3)當(dāng)a=0時，求證：/(%)+5ex—j>|x2+x\nx.

【變式3-3](2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=/+%g(%)=21n%+W

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)g(%)的最小值；

(3)當(dāng)a=2時，證明：/(x)lnx+^>1.

【題型4分析法證明不等式】

【例4】(2025?福建廈門?三模)已知函數(shù)/(%)=|/—(Q—2)%—2aln%,aER.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時，證明：/(%)>Ina—a2+|.

【變式4-1](2025?河北?二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+?—1.

(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=/(?在點處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a6(0,1)時，

【變式4-2](2025?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=

(1)討論函數(shù)九(x)=ax-/(%)的單調(diào)性；

(2)證明：xf(x)>g(x)-1.

【變式4-3](2024?安徽安慶?三模)已知函數(shù)f(x)=(ln|%|)2-(%+|)+2,記f'(久)是f(久)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求尸(1)的值；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明:當(dāng)x>1時，(x-1)[e-x+xln^1+>Inx-ln(x+1).

【題型5放縮法證明不等式】

【例5】(2025?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=叫工(%2一手2久+空靠輜)，其中67

(1)求曲線y=f(x)在點(2,((2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(%)的極小值小于0,求實數(shù)m的取值范圍；

(3)證明：2e*—2(%+l)lnx—%>0.

【變式5-1](2025?四川成者除一模)已知函數(shù)/(%)=..

(1)求/(%)的極值；

(2)若/(%)<2kx+k恒成立，求k的取值范圍；

ZTI..

【變式5-2](24-25高二下?廣東江門?期末)已知函數(shù)/(久)=x—ln(l+x).

(1)求函數(shù)/(%)在原點處的切線方程；

(2)討論函數(shù)z(x)=/(x)-|mx2(meR)的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明：fl+(|)°x1+2xQix…x+nxe)"T<e4.

【變式5-3](24-25高二下?浙江?期末)已知函數(shù)/(x)=2x+^—l.

(1)判斷/(%)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時，若f(%)>-a+3恒成立.試求出a的取值范圍;

---------1----------F—|---------------<-

(3)若a=2,%】=1,且％九+1=f(xn),證明:

f(%1)-/(x2)/(x2)-f(%3)F(%n+Df(%n)4

【題型6指對同構(gòu)】

【例6】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=In%+a%+l,aeR.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aW2時，證明：^<e2x.

X

【變式6-1](2024.黑龍江雙鴨山.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=Inx+：-a(%+1)(。ER).

(1)當(dāng)a=-1時，討論f(%)的單調(diào)性;

(2)若%<%2)是/(%)的兩個極值點，證明：/(%2)<

【變式6-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(%)=ex-e~x一2ax(aeR).

(1)當(dāng)。=2時，求曲線y=/(%)在點(O,f(0))處的切線方程；

(l,x=0x,x

(2)若函數(shù)g(%)=卜-e-%,求證：1Wg(%)$e；.

t2x,X

【變式6-3](2024.湖北荊州.三模)已知函數(shù)-a(ln%+%),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，求曲線y=/(%)在點(1廳(1))處的切線的斜截式方程；

(2)當(dāng)a=e時，求出函數(shù)/(%)的所有零點；

(3)證明：x2ex>(%+2)lnx+2sinx.

【題型7隱零點法證明不等式】

【例7】⑵-24高三下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=xe》-3ex.

(1)求/(%)的極值；

(2)若g(x)=f(x)—x+In汽在[[,1]上的最大值為人求證：—6?—</(Q<—7e-4.

【變式7-1](23-24高三下?青海海南?開學(xué)考試)已知函數(shù)/Q)=ae%T—%—1.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)證明:當(dāng)。>1時，/(%)+x—In%>四二.

【變式7-2](2024.陜西安康.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=g(%)=In%.

⑴求/(%)的極值；

(2)證明：%g(%)+2>ex/W一|-

【變式7-3](2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=Inx+ax+l,aER.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aW2時，證明：?We2，

X

【題型8雙變量不等式的證明】

【例8】(2025?海南?？?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,當(dāng)x=1時，〃久)的切線斜率k=3.

⑴求/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知比若鬻償=2，求證：若則2x+ty6[3,4].

【變式8-1](24-25高三下?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=x\nx—ax2—%+a(aeR).

(1)當(dāng)。=0時，求曲線y=f(%)在點(e,f(e))處的切線方程；

(2)當(dāng)a=1時，求/(%)的零點個數(shù)；

(3)若/(%)有兩個極值點%<%2)，證明：當(dāng)入>1時，In%!+Alnx2>1+A.

【變式8-2](2025?天津?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%ex,g(%)=In%+x.

⑴求函數(shù)gO)在(l,g(l))處的切線方程；

(2)若%(久)=/(%)-ag(x),

(i)當(dāng)a=l時，求函數(shù)/i(x)的最小值；

(ii)若h(x)=0有兩個實根“無2，且％1大乂2，證明：exi+x2-2>^―.

【變式8-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ax-三，a>0.

(1)若/(x)存在零點，求。的取值范圍；

2

(2)若X],久2為/'(久)的零點，且尤1<%2,證明：?(%1+X2)>2.

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】

[例9](2025?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/O)=kx-ln(x+1).

(1)證明：當(dāng)k=l時，/(久)20恒成立；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)數(shù)列斯=而島仇6/)，｛時｝的前幾項和為幻,證明：Sn>缶仇6N)

【變式9-1](2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(X)=xe，T—a.

(1)若aeR,討論/(久)的零點的個數(shù)；

(2)若a為正整數(shù)n,記此時/(x)的唯一零點為功,證明：

(i)數(shù)列是遞增數(shù)列；

(ii)2(Si+1—1)<+—F^-<|(n+l+Inn).

【變式9-2](2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=lnx+?—1在(0,+8)上的最小值為0

(1)求實數(shù)a的值：

(2)對任意的MeN,數(shù)列｛a/滿足an+i="3")+1，且a1=證明：當(dāng)大于1時，a^+i也大于1：

(3)在(2)的條件下，若立為數(shù)列｛即｝的前n項和，求證：Sn<n+I

【變式9-3](2025?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=ln(x+1)-熱paER.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=決寸，正項數(shù)列5｝滿足：%=1,an+1=/(an).

①求證：-cin+i?an<2an+1-an<0；

②求證：當(dāng)幾>2時,<an<^7.

【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】

【例10】(2025?陜西榆林?模擬預(yù)測)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項式近似特定函數(shù)

的方法.給定兩個正整數(shù)函數(shù)/(x)在工=0處的[如詞階帕德近似定義為：7?(無)=雪，其中%(x)和

QnW

Qn(x)分別是小和幾次多項式，且滿足廣(0)=R(0),尸'(0)=R"(0),尸〃(0)=P〃(0),…,/(“)(0)=R(m(o).

其中/'(x)=[/'(%)匕/〃(x)=[/"(x)匕#4)(%)=[/〃(久)匕…,f(n)(x)為f(nT)(x)的導(dǎo)數(shù).已知f(x)=

ln(x+1)在工=。處的[1,1]階帕德近似為R(x)=盤.

(1)求實數(shù)a,b的值，利用/(%)的[1,1]階帕德近似估計lnl.2的近似值(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)；

(2)當(dāng)-1〈久W0時，/(久)<kR(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)x>0時，xx>—.

16

【變式10-1](2025?上海寶山?二模)定義在。上的可導(dǎo)函數(shù)y=/(%),集合A&m)={/(%)尸(勺)=左勺eD,

i=zn為正整數(shù)},其中F(%)=/(%)+/'(%)稱為f(%)的自和函數(shù)，/稱為y=/(%)的固著點.已知

/(%)=aex+b%+csin%(a,b,cER).

(1)若a=c=0,b=2,D=R,/(%)G4(1即)，求m的值及y=/(%)的固著點；

(2)若a=0,b=Lc=l,D=[s/](s>0),/⑺是/(%)的自和函數(shù)，且尸(%)在。上是嚴(yán)格增函數(shù)，求t—s的

最大值；

(3)若b=-l,c=0,D=(0,+oo),/(%)GA(o,i),且力是y=/(%)的固著點，求a的取值范圍，并證明：<ef<

1

【變式10-2](2025?河南?二模)設(shè)g(￡)=axlnx+b-x2(a,bGR),定義f(x)=鬻為g(x)的“N(t)函數(shù)”.

(1)設(shè)f(x)為g(x)的“N(l)函數(shù)"，若a=1，b=-2,求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)設(shè)/⑺為g(x)的“N(0)函數(shù)”.

(i)若％=1是/。)的極小值點，求b的取值范圍；

(止)若￡1=2,方程尸(%)=0有兩個根X],x2>且均<%2，求證：/(“2)<|、+21n2—2.

【變式10-3］(24-25高三上?上海?期中)定義：如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間［a,加上存在實數(shù)

x0Ca<x0<b),滿足fOo)=那么稱函數(shù)y=f(久)是區(qū)間［a,加上的“平均值函數(shù)”，而是它的一個

均值點.例如y=氏|是區(qū)間［-2,刀上的“平均值函數(shù)”，0是它的均值點.

234*

⑴已知函數(shù)y=/i(x)、y=f2M，判斷/1G：)=x>f2(x)=sinx-1是否為區(qū)間［―芳］上的“平均值函數(shù)”,

并說明理由；

(2)設(shè)。(久)=kx2+久一4是區(qū)間［-2,門上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)y=。(久)的一個均值點，求所有滿足條

件的整數(shù)數(shù)對(k,t)；

(3)若八0)=Inx是區(qū)間Wa<b)上的“平均值函數(shù)”，殉是它的一個均值點,求證：In%。<磊.

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?河南?二模）已知Q=eSmiT,b=sinl,則（）

illi

A.-<b<1<aB.-<a<b<1C.-<b<a<1D.b<-<a<1

2222

2.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）已知a=ln：,b==工由則（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

3.（2024.四川南充.模擬預(yù)測）設(shè)Q>0,h>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①log2a+log2b>—2②2a+2D>2A/2③a+Inh<0

A.0B.1C.2D.3

4.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①log2a+log2bN—2②2a+2&>2A/2③a+\nb<0④sinasinb<-

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=In%+1-Q%有兩個零點%1，%2，且%1<%2，則下列命題正

確的是（）

2

A.a>1B.+x2<-

C.?牝<1D.不--1

6.（2024.安徽?三模）已知實數(shù)打,如孫滿足汽=差—1=房n=或，則（）

A.xr<x2<%3B.xr<x3<x2

C.x2<x3<久iD.x2<<x3

7.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知0V/V&<1，下列不等式恒成立的是（）

X1X2nx

A.x2e<x1eB.x2li>xr\nx2

X1

C.x1\nx1<x2lnx2D.e>\nxr

8.（2024?四川瀘州?三模）已知%>0,ex+Iny=1,給出下列不等式

①久+Iny<0；②e*+y>2；③In%+ey<0；?x+y>1

其中一定成立的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測）下列不等關(guān)系中，正確的是（）

1

A.cosO.l<lOsinO.lB.In3>ln2+-

2

C.lnfl+-）>—D.ln-<—

\TlJTl+1212

10.（2025?湖北?模擬預(yù)測）若0<a<bV1,則（）

A.—>—B.a+Inb>b+Ina

bb-1

C.2a+2匕>2a+bD.a?sinb>b?sina

1