第13講兩條直線平行和垂直的判定3種常見考法歸類

----------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

------------------------

能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

1隼?基礎(chǔ)知￡

-------------------IIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIII1II-----------------------

知識點(diǎn)1兩條直線平行

對于兩條不重合的直線/i,h,其斜率分別為h,k2,有八〃/2。后=6

注：(1)/1〃/2=h=依成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②/1與/2不重合.

(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，4與的傾斜角都是90°，則//小

(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：川|4=左=后2或/1，4斜率都不存在?

知識點(diǎn)2兩條直線垂直

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于一1；反之，如果它們的斜率之積

等于一1,那么它們互相垂直，即=后%=—L

注：(1)h上2=T成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②后邦且依邦.

(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直.

(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：

42=4次2=—1或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零.

］由解題策—)

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、兩條直線平行的判定及應(yīng)用

俗=心0/1〃/2是針對斜率都存在且不重合的直線而言的，對于斜率不存在或可能不存在的直線，要注意

利用圖形.

2、利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點(diǎn)

的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步.

(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式.

(3)三求：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論.

3、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟

l[Q考點(diǎn)剖析

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

考點(diǎn)一：兩條直線平行的判定及應(yīng)用

(一)兩條直線平行的概念辨析

由例1.(2023?高二課時(shí)練習(xí))下列說法正確的是()

A.兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的充要條件

B.兩條直線的傾斜角不相等是這兩條直線相交的充要條件

C.兩條直線平行是這兩條直線的傾斜角相等的充要條件

D.兩條直線平行是這兩條直線的法向量平行的充要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)直線平行和相交的條件依次判斷即可.

【詳解】當(dāng)兩條直線的斜率相等且截距也相等時(shí)，兩直線重合，故A錯(cuò)誤;

的傾斜角不相等，則兩直線必定相交，反之也成立，故B正確；

傾斜角相等時(shí)，兩直線可能重合，故C錯(cuò)誤；

法向量平行時(shí)，兩直線可能重合，故D錯(cuò)誤.

故答案為：B

變式1.（2023秋?北京?高二人大附中校考期中）若《與4為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為《，

?2-斜率分別為匕，左2，則下列命題

①若則斜率/=心；②若斜率左=總，則4〃4；

③若乙〃4，則傾斜角4=的；④若傾斜角%=%，貝U4〃4，

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)兩條直線平行的判定方法與結(jié)論即可判斷.

【詳解】由于4與4為兩條不重合的直線且斜率分別為K，左2,所以41|/20左=12,故①②正確；

由于4與72為兩條不重合的直線且傾斜角分別為6，%，所以4〃40%=%，故③④正確，

所以正確的命題個(gè)數(shù)是4.

故選：D.

變式2.【多選】（2023秋?新疆喀什?高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)校考期中）若4與4為兩條不重

合的直線，則下列說法中正確的有（）

A.若〃〃2,則它們的斜率相等B.若4與4的斜率相等，則〃〃2

C.若〃〃2,則它們的傾斜角相等D.若4與4的傾斜角相等，則〃〃2

【答案】BCD

【分析】由兩直線斜率不存在可知A錯(cuò)誤；根據(jù)兩直線平行與斜率和傾斜角的關(guān)系可知BCD正確.

7T

【詳解】對于A,當(dāng)4和4傾斜角均為5時(shí)，"〃2,但兩直線斜率不存在，A錯(cuò)誤；

對于B,若4和4斜率相等，則兩直線傾斜角相等，可知"〃2,B正確；

對于C,若“4,可知兩直線傾斜角相等，C正確；

對于D,若兩直線傾斜角相等，則兩直線斜率相等或兩直線斜率均不存在，可知〃〃2,D正確.

故選：BCD.

（二）兩條直線平行關(guān)系的判定

］例2.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各題中直線4與4是否平行.

(1)4經(jīng)過點(diǎn)4T,-2),5(2,1),4經(jīng)過點(diǎn)m⑶4),N(T-l)；

(2)4經(jīng)過點(diǎn)/(一3,2),3(-3,10),4經(jīng)過點(diǎn)M(5,-2),N(5,5).

【答案】(1)不平行

⑵平行

【分析】(1)求出勺、憶即可判斷；

(2)求出4、4的方程，即可判斷.

-2-1

【詳解】(1)因?yàn)?經(jīng)過點(diǎn)4-1,-2),3(2,1),所以勺==F=1,

-1—2

-1-45

又4經(jīng)過點(diǎn)〃\3,4),^(-1,-1),所以勺=1==:，

因?yàn)樯状篚?，所?與4不平行；

(2)直線4經(jīng)過點(diǎn)4-3,2),8(-3,10)的方程為x=_3,

直線4經(jīng)過點(diǎn)河(5，-2),N(5,5)的方程為》=5,

故直線4和直線4平行；

變式1.(2023秋?高二課前預(yù)習(xí))根據(jù)下列給定的條件，判定直線(與直線4是否平行或重合:

(1)4經(jīng)過點(diǎn)4(2,3),8(-4,0)；4經(jīng)過點(diǎn)M(-3,1),N(-2,2)；()

⑵4的斜率為一g,經(jīng)過點(diǎn)/(4,2),3(2,3)；()

(3)4平行于了軸，4經(jīng)過點(diǎn)尸(0，-2),2(0,5)；()

(4)4經(jīng)過點(diǎn)石(0,1),廠(一2,-1),4經(jīng)過點(diǎn)G(3,4),2/(2,3).()

【答案】不平行平行或重合平行重合

【分析】根據(jù)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，計(jì)算直線的斜率，根據(jù)斜率的關(guān)系，并注意直線是否重合，可判

斷(1)(2)(4)；當(dāng)兩直線斜率都不存在時(shí)，看它們是否重合，即可判斷(3).

73-012-1

【詳解】(1)27—2—(—3)，

kAB*kMN?所以4與6不平行?

(2)4的斜率/=-：1，的斜率右二3二-2二-11，即左=左2,無法判斷兩直線是否重合，

所以4與4平行或重合.

(3)由題意，知4的斜率不存在，且不是了軸，4的斜率也不存在，恰好是y軸，

所以〃4.

-1-13-4

(4)由題意，知左跖=二==1，k=—=l,所以4與4平行或重合.

—2—0GH2—3

4-(-1)

需進(jìn)一步研究E,F,G,"四點(diǎn)是否共線，kFa=-^-=\.所以E,F,G,H四點(diǎn)共線，所以(與

4重合.

變式2.【多選】(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))滿足下列條件的直線4與4一定平行的是()

A.4經(jīng)過點(diǎn)/(一1,一2),8(2,1),4經(jīng)過點(diǎn)屈(3,4),N(-1,T)

B.4的斜率為1,4經(jīng)過點(diǎn)41，1)，8(2,2)

C.)經(jīng)過點(diǎn)40,1),8(1,0),4經(jīng)過點(diǎn)M(T3),N(2,0)

D.4經(jīng)過點(diǎn)出一3,2),5(-3,10),4經(jīng)過點(diǎn)M(5,-2),N(5,5)

【答案】CD

【分析】求出設(shè)直線4的斜率為左，直線4的斜率為根據(jù)斜率是否相等，即可判斷直線的位置關(guān)系；

【詳解】設(shè)直線4的斜率為勺，直線4的斜率為

1-(-2)_1_45

對于A.匕=丁〉T=l,k2=—^=~,后產(chǎn)左一4與4不平行.

2—(—1)—1—34

2-1

對于B,占=1,k2=~—7=1，k\=k?,故〃〃2或4與，2重合

2—1

0-10-33-1

對于C,^=--=-1,k2=—-=-l,則有左=心.又3"==-2大-1,貝1]/,B,M不共線.故

ijn2.

對于D,由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，得4與，2均與X軸垂直且不重合，故有“〃2.

故選：CD

變式3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))過點(diǎn)”(1,2)和點(diǎn)8(7,2)的直線與直線y=3的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行C.重合D.以上都不對

【答案】B

【分析】先求出直線方程，再結(jié)合斜率直接判斷兩直線位置關(guān)系即可.

【詳解】過點(diǎn)41,2）和點(diǎn)8（-1,2）的直線方程為y=2,斜率為0,

又因?yàn)橹本€＞=3斜率為0,所以兩直線平行.

故選：B

變式4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）判斷次1,3）,8（3,7）,C（4,9）三點(diǎn)是否共線，并說明理由.

【答案】共線，理由見解析.

【分析】根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】這三點(diǎn)共線，理由如下：

由直線斜率公式可得：的B=；4=2，KC==1=2,

直線48,/C的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點(diǎn)/（1,3）,

所以這三點(diǎn)共線.

（三）已知兩條直線平行求參數(shù)

例3.（2023秋?廣東廣州?高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎本€4的傾斜角為30。，直線"生,

則直線4的斜率為（）

A.也B.-V3C.—D.--

33

【答案】C

【分析】利用直線的斜率公式與直線平行的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€乙的傾斜角為30。，所以勺=tan3（T=g,

又“％,所以壇=/=#.

故選：C.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知過4-2,"）和5（機(jī),4）的直線與斜率為一2的直線平行，則”的值

是（）

A.—8B.0C.2D.10

【答案】A

【分析】由兩點(diǎn)的斜率公式表示出直線42的斜率時(shí),再由兩直線平行斜率相等列出等式，即可解出答案.

【詳解】由題意可知，Q=Y=-2,解得機(jī)=-8.

故選：A

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線4的傾斜角為45。，直線4的斜率為左=/-3,若則

m的值為.

【答案】±2/2或-2/-2或2

【分析】由直線傾斜角由斜率的關(guān)系可知直線4的斜率為尢=121145。，再由兩直線平行，斜率相等列出等式,

即可求出答案.

【詳解】由題意知加°-3=tan45。，解得切=±2.

故答案為：±2

考點(diǎn)二：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用

（一）兩條直線垂直的概念辨析

例4.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的有（）

A.斜率均不存在的兩條直線可能重合

B.若直線則這兩條直線的斜率的乘積為-1

c.若兩條直線的斜率的乘積為-1,則這兩條直線垂直

D.兩條直線4,4,若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，貝必

【答案】ACD

【分析】利用直線重合與垂直的性質(zhì)，同時(shí)考慮直線斜率不存在的情況，對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,若4：x=O/：2x=O,則乙，斜率均不存在，但兩者重合，故A正確；

對于BD,若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則這兩條直線互相垂直，但此時(shí)乘積不為-1,

故B錯(cuò)誤；D正確；

對于C,根據(jù)直線垂直的性質(zhì)可知，兩直線的斜率存在，且乘積為T時(shí)，這兩條直線垂直，故C正確.

故選：ACD.

變式1.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的有（）

A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于-1,則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1

【答案】BC

【分析】根據(jù)直線斜率與位置關(guān)系的相關(guān)知識直接判斷即可.

【詳解】對于A,兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯(cuò)誤；

對于B,若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，所以B正確；

對于C,若兩直線的斜率乘積等于T,則兩直線垂直，故C正確；

對于D,若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于

-1,故D錯(cuò)誤；

故選：BC

變式2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的是（）

A.每一條直線都有傾斜角和斜率

B.若直線傾斜角為則斜率為tana

C.若兩直線的斜率左，&滿足與勺=T，則兩直線互相垂直

D.直線4：尤-2y-l=0與直線4：x—2y+%=0一定互相平行

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的定義及關(guān)系，以及兩直線的位置的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對于A中，每條直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為90。，直線的斜率不存在，所以A錯(cuò)誤；

對于B中，當(dāng)直線傾斜角為a=90。，此時(shí)直線的斜率不存在，所以B錯(cuò)誤；

對于C中，若兩直線的斜率分別為勺，k2,當(dāng)"色=-1,則兩直線互相垂直，所以C正確；

對于D中，當(dāng)加=-1時(shí)，直線4：x-2y-l=O與直線個(gè)工-2y+加=0為重合直線，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

（二）兩條直線垂直關(guān)系的判定

5.【多選】（2023秋?浙江杭州?高二杭師大附中?？计谥校┫铝兄本€4互相垂直的是（)

A.《的斜率為乙經(jīng)過點(diǎn)火1，1），8（°，一）

B.4的傾斜角為45。，乙經(jīng)過點(diǎn)尸（一2,-1）,。（3,-6）

C.4經(jīng)過點(diǎn)M(l,0),N(4,-5),4經(jīng)過點(diǎn)R(-6,0),S(-1,3)

D.4的斜率為2,4經(jīng)過點(diǎn)U(l，2)『(4,8)

【答案】ABC

【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系求出直線斜率，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線斜率，分別判斷兩直線斜率之積是否

為-1,從而可選出正確答案.

_1_193

【詳解】4的斜率為“一2_3,因?yàn)?所以4，/,成立，故A正確；

0-123乙

-6-(-1)-5

4的斜率為占=tan45o=l,4的斜率為左2=.(川=~T=T，由上於二一1，

則成立，故B正確；

4的斜率為占=/-一5=—[5,，2的斜率為7*=[3-/0-=.3，由左色=7

4-13-l-D

則成立，故c正確；

8-2

，2的斜率為左=F=2，由2X2W—1,所以4^/2不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由.

⑴4經(jīng)過點(diǎn)4-3,-4),8(1,3),4經(jīng)過點(diǎn)M(-4,一3),N(3,1)；

(2乂經(jīng)過點(diǎn)43,4),8(3,10),(經(jīng)過點(diǎn)”(-10,40),N(10,40).

【答案】(1)不垂直，理由見解析

(2)垂直，理由見解析

【分析】(1)由題知直線心4的斜率存在，分別計(jì)算出4、4的斜率，即可判斷(1)組直線不垂直;

(2)由題知4軸，4||尤軸，即可判斷(2)組直線垂直.

【詳解】(1)由題知直線心4的斜率存在，分別設(shè)為左，左2,

3-(-4).7

用一匚西一“

kJ—)=4

23-(-4)7'

kx-k2=\,

;./]與4不垂直.

(2)由題意知4的傾斜角為90。,

則4_Lx軸;

由題知直線4的斜率存在，設(shè)為左3,

a」?！?。,

10-(-10)

則4II%軸,

/[1/2.

變式2.(2023秋?廣東?高二校聯(lián)考階段練習(xí))判斷下列直線4與4是否垂直：

(1)4的傾斜角為g,4經(jīng)過可卜4,-6),N(5,2行)兩點(diǎn)；

(2)4的斜率為-;，經(jīng)過P(3，-2),。(-6,4)兩點(diǎn)；

13

(3)4的斜率為4的傾斜角為a為銳角，且tan2a=-1

【答案】⑴…

(2)4與4不垂直

⑶4-L12

【分析】(1)4的斜率為tang=-G,根據(jù)過兩點(diǎn)的斜率公式可求4的斜率，判斷斜率的乘積是否為-1即

可；

(2)根據(jù)過兩點(diǎn)的斜率公式可求4的斜率，判斷斜率的乘積是否為T即可；

(3)根據(jù)二倍角的正切公式求出tanc的值，判斷斜率的乘積是否為T即可.

(1)

因?yàn)?的傾斜角為金，所以《的斜率為tany=-V3.

因?yàn)?經(jīng)過可卜4,-8)，河5,2百)兩點(diǎn),

2石-卜內(nèi))_73

所以4的斜率為

5-(-4)

因?yàn)?房,=-1,所以"

(2)

因?yàn)?經(jīng)過尸(3,-2),。(-6,4)兩點(diǎn),

4-(-2)2

所以4的斜率為

-6-33

因?yàn)?的斜率為-g,且一＞[-9~1，

所以4與，2不垂直.

(3)

3

記人的斜率為左，因?yàn)閠an2a二一^,

所以「Dk=-彳a，解得上=3或左=-，i

因?yàn)閍為銳角，所以后=3.

因?yàn)?的斜率為-;，且3XL=-1,

所以

變式3.(2023秋?福建三明?高二校聯(lián)考期中)已知直線《經(jīng)過/(-3,2),8(1,-2)兩點(diǎn)，直線乙傾斜角為45。,

那么《與4()

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求出直線4的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線4的斜率，可知斜率乘積為T,從而得到垂直關(guān)

系.

【詳解】由題意可得：直線4的斜率左=2一(一2)=一1,直線4的斜率《=tan450=l,

-3-1

Vk1k2=-1,則4與，垂直.

故選：B.

變式4.【多選】(2023?江蘇?高二假期作業(yè))以/(-1,1),8(2,-1),。(1,4)為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的

有()

,2

A.kAB=--

,1

B-kBC=--

C.以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

D.以8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

【答案】AC

【分析】對于AB,利用斜率公式計(jì)算判斷，對于C,通過計(jì)算3B?七0判斷，對于D,通過計(jì)算幻B?幻c判

斷.

【詳解】對于A,因?yàn)?-1,1）1（2,-1）,所以心=所以A正確，

—1—23

-1-41

對于B,因?yàn)?（2,—1）0（1,4）,所以金二］=—5w-所以B錯(cuò)誤，

21-4322

對于C，因?yàn)樾?-1，kAC=--=-,所以如也,=-1,

所以N81/C,所以“3C以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，

2

對于D,因?yàn)榕?-§，kBc=-5＞所以％,心cHi，所以D錯(cuò)誤，

故選：AC

變式5.（2023秋?上海奉賢?高二校考階段練習(xí)）已知直線4,的斜率是方程--尹-2=0的兩個(gè)根，則（）

A./，2B.〃〃2

C.4與4相交但不垂直D.4與4的位置關(guān)系不確定

【答案】C

【分析】由左向=-2可知兩直線不垂直，且后尸內(nèi)知兩直線不平行，由此可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)直線4，的斜率為左，色，貝11左芯=-2,

?上芯片-1,.MA不垂直，A錯(cuò)誤；

若k、=h,貝!］與后的=-2矛盾，.?.左尸斤2，.1/J不平行，B錯(cuò)誤；

,?，/不平行，也不垂直，；?4,4相交但不垂直，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

變式6.【多選】（2023春?廣西柳州?高二校考階段練習(xí)）（多選）若-4,2）,5（6,-4）,C（12,6）,￡＞（2,12）,

下面結(jié)論中正確的是()

A.ABUCDB.AB1ADC.|/C|=|陽D.ACHBD

【答案】ABC

【分析】通過點(diǎn)的坐標(biāo)得到相應(yīng)直線的斜率，通過直線斜率判斷直線的位置關(guān)系即可.

-4-2312-63

【詳解】如了=一二，左8=廠五=一不，且。不在直線45上，，/5〃CD,故A正確;

12-25

又?k&D=2+4=§，*,^AB，^AD二一1，,,4B-LAD,故B正確；

?.?X=(16,4),麗=(-4,16),

???|4。|=4而，忸必=4而，??.|，。|=忸。|,故C正確;

**>^AC=77―7=7，^BD-一1二一4，?\左/C?左5。=-1

12+442-6

：.AC1BD,故D錯(cuò)誤.

故選:ABC.

(三)已知兩直線垂直求參數(shù)

d2j例6.(2023春?甘肅蘭州?高二蘭州五十九中?？奸_學(xué)考試)已知經(jīng)過點(diǎn)/(-2,0)和點(diǎn)8(1,3”)的直

線4與經(jīng)過點(diǎn)尸(0,-1)和點(diǎn)。的直線右互相垂直，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0B.1C.0或1D.—1或1

【答案】C

【分析】求出直線4的斜率為用=",分。工0、。=0兩種情況討論，在〃。0時(shí)，由兩直線斜率之積為-1可

求得實(shí)數(shù)〃的值；在Q=o時(shí)，直接驗(yàn)證4,，2.綜合可得結(jié)果.

73a—0

【詳解】直線4的斜率左=匚百=。.

①當(dāng)。工0時(shí)，直線L的斜率k,二-2。(-1)=匕幺.

a-0a

因?yàn)樗陨闲?-1,即a?上2=-1,解得。=1.

a

②當(dāng)4=0時(shí)，尸(0,-1)、2(0,0),此時(shí)直線4為y軸，

又4(-2,0)、5(1,0),則直線4為x軸,顯然乙乜.

綜上可知，。=0或1.

故選：C.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線4經(jīng)過點(diǎn)/（3,。）,鞏。-2,3）,直線」經(jīng)過點(diǎn)C（2,3）,D（T,a-2）,

若/口的則。的值為.

【答案】0或5

【分析】分類討論直線4斜率不存在與存在兩種情況，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)橹本€72經(jīng)過點(diǎn)C（2,3）,D（-1,”2）,且2WT,所以4的斜率存在，

而4經(jīng)過點(diǎn)［（3,。）,以”2,3）,則其斜率可能不存在，

當(dāng)4的斜率不存在時(shí)，0-2=3,即。=5,此時(shí)4的斜率為0,則滿足題意；

當(dāng)4的斜率存在時(shí)，。-2/3,即。H5,此時(shí)直線4,的斜率均存在，

由得申,=-1,即—=-i,解得。=o；

（2-2-3-1-2

綜上，a的值為0或5.

故答案為：0或5.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/的傾斜角為135。，直線乙經(jīng)過點(diǎn)43,2）,S（a,-1）,且乙與/

2

垂直，直線4：y=-1與直線4平行，貝!U+b等于（）

b

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】由直線/的傾斜角為135。，4與/垂直可得丸，再由直線4與直線4平行求得b，由4過45求得〃，

進(jìn)而求Q+Z?.

【詳解】由題意知：^^tanl350=-l,而與/垂直，即勺=1,

22

又直線4。=-不x+1與直線4平行，則-7=1，故6=—2,

bb

-1-2

又4經(jīng)過點(diǎn)4（3,2）,—1）,則左=—鼠=1,解得4=0,

a-3

所以Q+b=—2.

故選：B.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知“的頂點(diǎn)為力（5,-1）,5（1,1）,。（2,加），是否存在加wR使小8。

為直角三角形，若存在，求出加的值；若不存在，說明理由.

【答案】存在，加=-7或機(jī)=3或"7=±2

【分析】對“3C的直角進(jìn)行討論，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出結(jié)果.

若/為直角，則

?k.k——1

..nAC2AB—J-，

加+11+1?.―/口

BariP-一---一I=T，角牛得加=一7；

2-51-5

若5為直角，則

旗c，kAB=T，

即;三?1±|=T，解得加=3；

若C為直角，則/CJ8C,

?k.k——x1

.?fvAC、BC-，

m+lm-1re,口一

a即n---------=-1,解得"7=±2.

2-52-1

綜上所述，存在加=-7或冽=3或加=±2,使』為直角三角形.

變式4(2023秋?青海海東?高二?？计谥?已知點(diǎn)/(-2,2),5(6,4),7/(5,2),H是“8C的垂心.則點(diǎn)

。的坐標(biāo)為()

A.(6,2)B.(-2,2)C.(-4,-2)D.(6,-2)

【答案】D

【分析】先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線3H，的斜率，則可求出直線ZC的斜率和直線BC的傾斜角，聯(lián)

立方程組求出C的坐標(biāo)；

2—2

【詳解】設(shè)C點(diǎn)標(biāo)為(龍)),直線斜率3"=0=0,

；?BC1AH,而點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為6,則x=6,

4-2

直線班/的斜率⑥〃=——=2,

6-5

；?直線NC斜率怎。=公|=-?

y=_2,

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,-2).

故選:D.

變式5.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知兩點(diǎn)力(2,0),8(3,4),直線/過點(diǎn)5,交V軸于點(diǎn)。(0/),。是

坐標(biāo)原點(diǎn)，且。，A,B,。四點(diǎn)共圓，那么》的值是.

19

【答案】—M.75

4

【分析】由題易知OCLQ4,即4C為圓的直徑，即由3s?怎c=T列出方程，即可求出答案.

【詳解】由題易知OCLCM,即ZC為圓的直徑，即

*,?除Kc=-1，

19

即二一1，解得〉=

3-23-0T

19

故答案:不

變式6.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知M(L-l),N(2,2),P(3,0).

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)，滿足PN〃MQ；

(2)若點(diǎn)。在x軸上，且2NQP=NNP。,求直線的傾斜角.

【答案】⑴0(0,1)

(2)90°

【分析】(1)根據(jù)兩直線的垂直關(guān)系和平行關(guān)系即可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)條件可得3°=-左.即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)。（居歷，

由已知得勺W=*D=3,

又PQ^MN,可得3步原0=-1,

即^-x3=-l（尤片3）.①

x-3

由已知得心N=W=-2,

又PN〃MQ,可得kpN=kM°,

即巴=-2（xwl）.②

X—1

聯(lián)立①②解得x=O/=l,

2（0,1）.

（2）設(shè)Q（x,0）,

ZNQP=ZNPQ,

?

??~kNQ——^kNP，

2

又,*,^NQ-Z'^NP—-2,

2-x

：.=2,

2-x

解得X=1.

???2（1,0）,

又1）,

MQ1x軸，

故直線MQ的傾斜角為90。.

變式7.【多選】（2023秋?廣西貴港?高二?？茧A段練習(xí)）已知等腰直角三角形/8C的直角頂點(diǎn)為C（3,3）,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,則點(diǎn)3的坐標(biāo)可能為（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

【答案】AC

【分析】根據(jù)三角形/8C為等腰直角三角形列方程組，即可求解.

【詳解】設(shè)由題意可得

v-34-31

-------x--------=-l3x-y-6=0

vx—30—3,可化為

(X-3)2+(J^-3)2=10

J(尤-3)?+(尸3)2=J(O-37+(4-3：

解得『二或F=J即2(2,0)或8(4,6).

0=09=6

故選：AC

考點(diǎn)三：兩直線平行與垂直的綜合應(yīng)用

例7.【多選】（2023秋?廣西欽州?高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知兩條不重合的直線4丁=左尤+可,

以=心x+4，下列結(jié)論正確的是（）

A.若4〃,則%=后2B.若匕=&，則/1〃4

C.若上色=1,貝D.若/[-L]?,則左1后2=-1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.

【詳解】對A,若則%=左2,故A正確；

對B,若匕=優(yōu)，又兩直線不重合，貝以〃4,故B正確；

對C,若無此=1,貝北與4不垂直，故C錯(cuò)誤；

對D,若口乙，則左/2=T，故D正確.

故選：ABD.

變式1.【多選】（2023秋?山東濟(jì)南?高二?？计谥校┤?與4為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是內(nèi)，%，

斜率分別為左,左，則下列命題正確的是（）

A.若斜率匕=右，貝!B.若左心=一1,則4,4

C.若傾斜角內(nèi)=。2，貝!|4〃4D.若%+%=兀，則4，/2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)兩直線傾斜角和斜率與直線平行和垂直的關(guān)系分別判斷選項(xiàng)ABC,舉反例可判斷D.

【詳解】對于A,若兩直線斜率匕=&,則它們的傾斜角%=%,則/'//正確;

對于B,由兩直線垂直的條件可知，若發(fā)他=-1，貝必，4，正確;

對于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角4=%,則I八,正確;

、7T2兀

對于D,若%+&2=兀，不妨取名

=J,?2T

貝！|尤=tan%=道,42=tan(/2=-JJ,不滿足上/?=T,4,4不垂直，D錯(cuò)誤,

故選：ABC

例8.(2023秋?全國?高二期中)已知/(5,-1),8(1,1),。(2,3)三點(diǎn)，則為.三角形.

【答案】直角

【分析】根據(jù)直線斜率關(guān)系即得.

【詳解】如圖,猜想48，BJABC是直角三角形,

由題可得邊N3所在直線的斜率心B=-；,邊8c所在直線的斜率松=2,

由的*BC=T，得N3，8C,即/Age=90。，

所以AABC是直角三角形.

故答案為：直角.

變式1.(2023秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期中)若/(5,-1),8(1,1),C(2,3),則的外接圓面積為.

【答案】孚

4

【分析】由斜率得從而可得ZC是直角三角形的斜邊，也是“的外接圓的直徑，求得ZC長

后得圓半徑，從而得圓面積.

-1-113-1

【詳解】k=———=——,k=-一-=2,k-k=-1,AB.1BC,AC是直角二角形的斜邊，也是^ABC

AB5-12BC2—1ABBC

的外接圓的直徑,

|^C|=7(5-2)2+(-l-3)2=5,外接圓半徑為廠=甲=：,

圓表面積為S=4萬廠2=4萬x4了=25".

故答案為：牛25n.

4

變式2.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))以/(-2,-1),8(4,2),。(2,6),。(-3,1)為頂點(diǎn)的四邊形是()

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯形

【答案】D

【分析】先在坐標(biāo)系內(nèi)畫出/BCD點(diǎn)，再根據(jù)對邊和鄰邊的位置關(guān)系判斷四邊形N2CD的形狀.

1+1c,6-2c,

^71=_2,笈叱=.=_2,;"3=kBC,AD//BC,

2+11

3B=五萬=弓，3B次BC=T，/3_L2C,

⑷二^(-2+3)2+(-1-1)2=技忸牛J(4-2)2+(2-6)2=而#⑷,

所以四邊形/BCD是直角梯形;

故選：D.

變式3.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知次1,3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形,

求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(7,5)或(一1,9)或(3,—3).

【分析】由題意分類討論，根據(jù)直線的斜率即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】由題，/(1,3),B(5,1),C(3,7),

所以必C=2,卜羽=kBC=~?>,

設(shè)。的坐標(biāo)為(x,y),分以下三種情況：

①當(dāng)8c為對角線時(shí)，有kCD=kAB,kBD=kAC,

y-i七

所以，k==2,3=1

BDx-52

得x=7,產(chǎn)5,即。(7,5)

②當(dāng)NC為對角線時(shí)，有kCD=kAB,kAD=kBC,

所以，kAD=^=-3,…匕"：

x-1x-32

得x=—1,y=9,即。(T9)

③當(dāng)為對角線時(shí)，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以心z>=匕='=2，kAD==-3,

x-5x-1

得x=3,y=—3,即。(3,-3)

所以。的坐標(biāo)為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

變式4.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知四邊形跖叱。的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸(4,0),。(2,2),求證:

四邊形MVP。為矩形.

【答案】證明見解析

【分析】先利用斜率的關(guān)系證明兩組對邊分別平行，可得四邊形為平行四邊形，再由一組鄰邊所在的直線

的斜率乘積為-1,可得一組鄰邊垂直，從而可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)榍?1,1)川(3,-1),尸(4,0),0(2,2),

所以《=心°一，kMQ=\~^=^kPN=?

MV1—3=1Z—^4=11—幺/3—14=1'

所以^MN^MQ=kpN，

所以MN〃PQ,MQ//NP,

所以四邊形跖VP。為平行四邊形,

因?yàn)椤禡N，右/0=T，

所以MN，/。，

所以四邊形跖VP。為矩形.

變式5.(2023秋?廣東廣州?高二廣州市培正中學(xué)?？计谥?已知四邊形的頂點(diǎn)

M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2).

(1)求斜率右N與斜率心2；

(2)求證：四邊形MAP。為矩形.

【答案】⑴左MV=-1，后"2=-1

(2)證明見解析

【分析】(1)利用斜率公式求解即可；

(2)利用直線平行與垂直的性質(zhì)依次證得〃尸。，MQ//NP,MNLMQ,從而得證.

【詳解】(1)因?yàn)?l),P(4,0),Q(2,2),

-1-12-0

所以自w=——-=T,kpp=---=-1,即=-I/。=-1.

3—12—4

(2)因?yàn)閊^-1,"=-1,所以兒W//P0.

2-1-1-0

又因?yàn)樽蟪?F=L%p=丁二=L所以

所以四邊形MAP0為平行四邊形，

又因?yàn)?N°=T，所以

所以四邊形跖VP。為矩形.

變式6.(2023?高二課時(shí)練習(xí))(拓廣探索)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQ?的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針順

序依次為0(0,0),尸(U),。(1-么2+0，R(-2t,2),其中"0.則四邊形。尸0?的形狀為.

【答案】矩形

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算斜率，利用斜率相等得到直線平行，再根據(jù)矩形的判定，即可得到答案；

【詳解】由斜率公式得自,=*=，，［=

1—U-乙1—yy—Li)—i—Zz—Ut

72+t-t21

PQ―_萬_一7'

所以k°P=kR°,kQR=kPQ,從而。尸//A。，OR//PQ.所以四邊形。尸0?為平行四邊形.

又無*期=-1，所以。尸，OR,故四邊形。尸。尺為矩形.

故答案為：矩形.

變式7.(2023?全國?高二專題練習(xí))用坐標(biāo)法證明：菱形的對角線互相垂直.

【答案】證明見解析

【分析】建立坐標(biāo)系，根據(jù)得出3c?的"=T，從而證明菱形的對角線互相垂直.

【詳解】以N8為x軸，過/作N2的垂線為y軸，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)分別為

cc

A(0,0),B(b,0),D(a,c),C(a+b,c),k=-----,k=-------

ACa+bBDa—b

因?yàn)樗倪呅问橇庑蝲/。=|4。|,所以/+02=62

所以/C工班）,菱形的對角線互相垂直.

|］總過關(guān)檢測Cl

-------------------lllllllllllllllllllilllllllllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.若兩條直線斜率相等，則它們互相平行

B.若4〃4，則勺="

c.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交

D.若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行

【答案】c

【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯(cuò)誤：

若4〃公則勺=”或4的斜率都不存在，B錯(cuò)誤；

若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確;

若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯(cuò)誤.

故選：c.

2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）“直線4與右平行”是“直線4與4的斜率相等”的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【答案】D

【分析】根據(jù)直線平行與斜率之間的關(guān)系，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】充分性：直線《與平行，但是4和都沒有斜率，即當(dāng)4和都垂直于％軸時(shí)，4與4仍然平行，

但是，此時(shí)不滿足直線4與4的斜率相等，故充分性不成立;

必要性：直線4與4的斜率相等，則直線4與平行或重合，故必要性不成立;

綜上，“直線4與4平行”是“直線4與4的斜率相等”的既非充分又非必要條件.

故選：D

3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知/（-4,3）,3（2,5）,C（6,3）,。（-3,0）四點(diǎn)，若順次連接力,B,C,D四點(diǎn),

則四邊形/BCD的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.直角梯形

【答案】D

【分析】由斜率的兩點(diǎn)式分別求出幻燈。，您C，進(jìn)而可判斷直線的位置關(guān)系，即可知正

確選項(xiàng).

5-313-013-02?5-3

【詳解】=耳耳=§，左8=-3，噎=互

-4-(-3)2

：.