函數(shù)的概念及其表示方法

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激活思維

1.下列圖象表示函數(shù)關(guān)系y=/（x）的是（）

2.（人A必一P72習(xí)題T2改X多選）下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）

A.X-v）--x2-2x—1與g（s）=s2-2s-]

B.7（x）=x-l與g（尤）=三一1

C.犬無(wú))=/與g(X)=?)4

D.犬x)=f與g(x)=毋5

3.（人A必一P72習(xí)題Tl（4））函數(shù)y=￡『的定義域?yàn)?/p>

fx(x+4),

4.(人A必一P101復(fù)習(xí)參考題T7改)已知函數(shù)/(x)=則11)+#—3)

Lx(x—4),x<0,

5.(人A必一P69練習(xí)T3改)給定函數(shù)y(%)=—x+l,g(x)=(%—1)2,%￡R，皿%)=min(/(x),

g(x)},則m(x)=?

聚焦知識(shí)

1.函數(shù)的概念及表示

設(shè)A,B是兩個(gè)______________的實(shí)數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有

______________的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么稱Af5為從集合A

概念

到集合5的一個(gè)函數(shù)，記作y=/(x),九￡A.其中將所有的輸入值x

組成的集合A叫做函數(shù)y=/U)的______________,將所有的輸出

值y組成的集合叫做函數(shù)的______________

(1)函數(shù)的三要素：_、_、

三要素(2)如果兩個(gè)函數(shù)的______________相同，并且_______________

完全一致，那么這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)

表示

(1)解析法(2)歹1」表法(3)圖象法

方法

注意：

(1)直線x=a與函數(shù)y=/(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

(2)在函數(shù)的定義中，有兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子

集.

2.分段函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，且每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，則這種函數(shù)稱

為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于

各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

3.定義域的求法

(1)分母不為0;偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；零指數(shù)幕底數(shù)不為0;實(shí)際問(wèn)題有意義；對(duì)

數(shù)真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于I；

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目標(biāo)II對(duì)函數(shù)概念的理解

例1(1)已知集合/=a0忘工＜4},N={x|0WxW2},以下從M到N的對(duì)應(yīng)法則/是

函數(shù)的是（）

A.f：x^y=y[xB.f：x^y=x1

C.f：x-y=|x|D./ix^y=x-1

⑵已知集合A={x|0WxW4},集合3={x|0WxW2},下列圖象能建立從集合A到集合

CD

變式1(1)已知集合4={冰)?了?2},8={x|0WxWl},下列能表示從A到5的函數(shù)

的是()

A./：尤一》J=(j)

B./：x~^y,y=2x

C.f：%一乃y=2xD./：%fy，y=x

⑵(2024?益陽(yáng)檢測(cè))(多選)下列說(shuō)法正確的有()

1,x>0,

A.函數(shù)o(x)=￥與〃(%)=<0，x=0,表示同一個(gè)函數(shù)

、一1,x<0

B.函數(shù)V(X)=X2~2X+2與〃⑺=?—2/+2是同一個(gè)函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)的圖象與直線1=2025至多有一個(gè)交點(diǎn)

D.已知函數(shù)兀勵(lì)=|%—1|—x,貝

目標(biāo)閭函數(shù)的定義域

x+1

例2⑴函數(shù)兀c)=(x-1)°的定義域?yàn)?/p>

y）3x—2

(2)若函數(shù)y=7：?/的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

7叱一4辦十2

Ar

A.(0,2B.[o,

C.0,2D.30

(3)已知函數(shù)X%+1)的定義域?yàn)?-5,0),則12x—1)的定義域?yàn)?)

A.(-4,1)B.(V1

C.(-9,1)D.(-1，0

變式2(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镸,則/=()

A.[2,+8)B.(3,+8)

C.[2,3)D.[2,3)U(3,+8)

(2)若函數(shù)大尤)的定義域?yàn)閇—2,4],則》=售的定義域?yàn)?)

A.(1,8]B.[-4,1)U(1,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(1,2]

3_____

(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,2]B.[0,8)

C.(0,8]D.(0,8)

目稱?函數(shù)的解析式

例3(1)已知《+l)=lgx,求共辦

(2)已知兀c)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)—賀x—l)=2x+17,求兀)

(3)已知其彳)+浜-x)=3f—x,求式x).

變式3(1)已知二次函數(shù)式乃滿足<2%)+式無(wú)—1)=10?—7x+5,求胭1));

(2)已知段)+次"=3左一2,求病).

目棘田分段函數(shù)

ff+l,xWO,

例4(1)設(shè)函數(shù)加)=若五〃)=1,貝11〃=_______________

[Inx,x>0,

(2)(2024?蘇州期中)給定函數(shù)?￥)=，一2,g(x)=-/+l，用M(x)表示函數(shù)?x)，g(x)中

的較大者，即M(x)=max伏x),g(x)},則M(x)的最小值為()

A.0

C1D.2

x+2,xWO,

變式4(1)已知函數(shù)加)=<x+3若用3))=2,貝"=()

元〉O,

A.0或1B.—1或1

(2.0或一2D.一2或一1

(2)(多選)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名字命名的函數(shù)代x)=

1,XEQ,

八pc稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)五功的敘述正確的有()

0,無(wú)IRQ

A.函數(shù)y=?x)的圖象是兩條直線

C.1A小)>/Q)

D.VxGR,都有式1—x)=/(2+x)

隨堂內(nèi)化

1.函數(shù)/(%)=不一的定義域?yàn)?)

A.[-2,2]

B.(—8,-l)u(-l,2]

C.[12,—1)U(―L2]

D.(-2,2)

網(wǎng)(彳+5)),x<10,

2.設(shè)yu)=、則型)的值為()

,2x—15,x210,

A.9B.11

C.28D.14

3.已知函數(shù)y=/U)的定義域?yàn)閇―8,1],則函數(shù)8(尤)="吉0的定義域是

4.設(shè)式x)為一次函數(shù)，且歐x))=4x-l.若式3)=—5,則危)=.

x212x,x20,

'N'若式〃)<3,則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是.

{—2x—1,x〈0,

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列選項(xiàng)中表示同一個(gè)函數(shù)的是()

A.Kv)=x°與g(x)=l

X2

8.芯0=彳與8(尤)="

C.y(X)=、(x—l)2與g(x)=x-1

[1,x20,w*3

D./U)=與ga)=<

[1,X<^--。

1,x=0

f2%+1,xV],

2.已知函數(shù)於)=.；[則型)=()

[fix—3),x^l,

A.2B.9

C.65D.513

3.若函數(shù)(x+3=/+",且角w)=4,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.黃B.黃或一就

C.—y[6D.3

4.若函數(shù)/(x)=lg("2—2x+a)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-l,0)B.[-1,1]

C.(0,1)D.(1,+°0)

二、多項(xiàng)選擇題

5.某智能手機(jī)生產(chǎn)廠家對(duì)其旗下的某款手機(jī)的續(xù)航能力進(jìn)行了一輪測(cè)試(一輪測(cè)試時(shí)

長(zhǎng)為6h),得到了剩余電量y(單位：％)與測(cè)試時(shí)間f(單位：h)的函數(shù)圖象如圖所示，則下列

判斷正確的有()

A.測(cè)試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電量為85%

B.該手機(jī)在前5h內(nèi)電量始終在勻速下降

C.該手機(jī)在Oh?3h內(nèi)電量下降的速度比3h?5h內(nèi)下降的速度更快

D.該手機(jī)在5h?6h進(jìn)行了充電操作

6.已知函數(shù)兀x)=/的值域?yàn)閇0,36],則八尤)的定義域可能為()

A.[2,6]B.[-2,6]

C.[-6,6]D.[0,6]

1,x>0,

7.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=，0,x=0,則下列說(shuō)法正確的是()

「1,x<0,

A.函數(shù)y=sgn(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.對(duì)任意xGR,sgnO=l

C.對(duì)任意的xGR,|x|=一尤sgn(lx)

D.函數(shù)y=xsgn(—Inx)的值域?yàn)?一8,-l)U[0,1)

三、填空題

8.若函數(shù)Kx)=x—1的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)的值域?yàn)?

9.已知函數(shù)犬無(wú))的定義域?yàn)?一4,-2),則函數(shù)g(x)=；(x—1)+4壬的定義域?yàn)?/p>

四、解答題

11.(1)已知兀0是二次函數(shù)，且滿足火0)=1,/x+l)-?=2x,求兀0的表達(dá)式;

(2)已知八2無(wú)+l)=4f+4x,求大x)的表達(dá)式;

(3)已知於)一次"=3了+2,求；(無(wú))的表達(dá)式.

12.小明家院子中有塊不規(guī)則空地，如圖所示.小明測(cè)量并計(jì)算得出空地邊緣曲線擬合

y[x,0Wx<4,

函數(shù)i小明的爸爸打算改造空地，用家中現(xiàn)有的8米長(zhǎng)的柵

一§(x—10),4<xW10.

欄圍一面靠墻矩形空地ABCD用來(lái)鋪設(shè)草皮，請(qǐng)問(wèn)小明的爸爸需要購(gòu)買多少平方米的草皮

才能鋪滿矩形草地？(柵欄全部用完，不考慮材料的損耗)

Q/////////^/////////////////?Q*

（第12題）

B組能力提升練

13.對(duì)任意的尤若函數(shù)y（x）=a|x-xi|+b|x—尤2|的大致圖象如圖所示（兩側(cè)的射

線均平行于彳軸），則滿足條件的。，方的值可以分別為.

14.如圖，邊長(zhǎng)為4