遼寧省錦州市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每個小題只有一個正確答案，每小題5分，共40分.）

a

1.已知。是鈍角三角形中最大的角，則2是（）

A.第一象限角B.第三象限角

C.第四象限角D.小于60。的正角

【答案】A

【解析】因為a是鈍角三角形中最大的角，所以90。＜。＜180。，則45。＜［＜90。，

2

故3是第一象限角.

2

故選：A

2.下列函數(shù)中最小正周期為兀，且在區(qū)間（0,5）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sinxB.y=|sinx|

C.y=cosxD.y=|cosR

【答案】B

【解析】依題意，對于A,C,兩函數(shù)的最小正周期都是2兀，故A,C均不正確：

對于B,因函數(shù)y=卜出乂可由正弦函數(shù)的圖象，將1軸下方部分向上翻折得到，

故其最小正周期為正弦函數(shù)的周期2兀的一半，即7=兀，且函數(shù)＞二卜而可在（O'］）上單

調(diào)遞增，故B正確；

對于D,因函數(shù)），=|cos］可由余弦函數(shù)的圖象，將x粕卜方部分向上翻折得到，

故其最小正周期為余弦函數(shù)的周期2兀的一半，即7=兀，且函數(shù)），一|以與可在（0,令）上單調(diào)

遞減，故D不正確.

故選:B.

3.在VA4C中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為且以=7,b=3,c=5,則（）

A.VA8C為銳角三角形B.VABC為直角三角形

C.VA3C為鈍角三角形D.VA8C的形狀無法確定

【答案】C

,1.4b2^c2-a232+52-729+25-49八

【解析】由于cosA=--------------=--------------=--------------<0,

2bc3030

故A為鈍角，進而三角形為鈍角三角形

故選：C

4.已知向量滿足同=1,(4。+/?卜。=2,8=(1⑵，則卜〃+〃=()

A.；B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】因為(4。+/?)刀=2,則4c『+a?〃=2，即4+〃1=2，解得。包二一2,

〃二(1,2),

則W=］廣+22=也,|2〃+切=J(2〃+〃)2=，41+〃2+4〃./?=J4+5—8=1.

故選：B.

5.勒洛三角形是一種定簾曲線，它是德國機械工程專家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先

畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧，

三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形A8C的邊長為4,則勒

洛三角形的面積為()

C.87T-V3D.8兀-8右

【答案】D

【解析】因為正三角形ABC的邊長為4,所以任意一個扇形的面積為

又因為是正三角形，易得高/?=ACsin60°=26>

則S4就.=-L4x，

所以勒洛三角形的面積S=3xM-2x46=8兀-86.

3

故選：D

6.已知。￡（0,兀），且sin0+cosO=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sin9cos6=—B.sin。-cos。=—

255

八3

C.tan8=——D.sin^cos^-cos2^=--

425

【答案】D

1,|

【解析】由sin6+cose=g可得(sin8+cose)~=不，即sin?g+2sin8cosg

124I?

+cos20=—；所以2sin6cosg=----,即singcos9=----,即A錯誤:

252525

又。?0,兀)，所以sin0>O,cosOvO,因此sinO-cosO>0

227

所以sin6-cos6=J(sin6-cose『=Vsin^-2sin^cos9+cos0=即B錯誤;

5

4

sine+cos6=一

聯(lián)立;43sin0<4

,可得sin9=—,cos。二一一,所以tan。=2—-=—■=一一,

55cos6?_33

sin<9-cos<9=—

5~5

即C錯誤;

代入計算可得sinecose-cos2e=9xj—3)—(一。)即D正確.

5{5)[5)252525

故選：D

6.,,2tan13I—COS50

7.設(shè)。=—cos6■----sin6，b=-----；—,c=J，則有（z

22l+tan213V2

A.a>h>cB.a<c<b

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】因為。=[cos6----sin6=sin30cos6-cos30sin6=sin(30-6)=sin24,

22

2sinl3

=2tanl3=cos13二2sin13cosl3=

l+tan213siir13"cos213-i-sin213"J

cos-13

4-COS50卜(Tsiif)

22

此時有/BAD=a,b=120°,NBCD=a-cyb-c=60°，

由平面幾何知，C點在以A為圓心，以AN長為半徑的圓上.

此時同=AC=43=AO=同=1.

綜上所述，同的最大值為2.

故選：C.

二、多選題(每題6分，全選對得6分，部分選對得部分分，有錯的得0分.)

9.下列說法中正確的是().

A.已知非零向量。=(1,2)/=(-1,3),且Q與a+癡的夾角為銳角，則實數(shù)義的取值范

圍是(一1,位)

B.若c=5/84=45°,〃=2.則丫48。有兩組解

C.若平面向量〃涉,。滿足〃.c=人?(？，則。=力

D.在VA8c中，若A>/=sinA>sin^

【答案】BD

【解析】對于A,由向量〃=(1,2),〃=(-1,3),且0與〃+助的夾角為銳角，則〃?(〃+&)〉()

且向量。與。+4方不共線，由a.(a+40)=〃~+4々./?=5+54>0，解得力>—1，

設(shè)。+4〃="口，即(1—人2+3團二〃7(1,2)，可得〈，解得4=0，

2+3z=2/w

則向量a與a+》?的夾角為銳角時，實數(shù)久￡(一1,0)口(0,+8)，故A錯誤；

對于B，由。=#,A=45°,。=2和正弦定理，/一二」一，可得二—二二位，

sinAsinesin45sinC

解得sinC=4,因0<Cvl80，且C>A，則C=60或C=I2O，故三角形有兩

2

解，即B正確；

時于C,若取】為零向量,顯然滿足a.c—〃v.但不能確定〃功關(guān)系，故C錯誤：

對于D,因等價于a>b,由正弦定理，可得sinA>sin8,反之也成立，

即在VA3C中，必有A>BosinA>sinB,故D正確.

故選：BD.

10.如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心。到水平地面的距離為60米，最上端的點

記為Q.現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)催I,以摩天輪的中心為原點建立

平面直角坐標系，則下列說法正確的是()

A.點Q距離水平地面的高度與時間/（分鐘）的函數(shù)為〃（f）=50sin隆，+§+60

1152）

B.點。距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標為（15%,60）,（kwZ）

C.經(jīng)過10分鐘點。距離地面35米

D.摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘

【答案】ACD

【解析】由題意可知=。。在，分鐘轉(zhuǎn)過的角度為所以以O(shè)Q為線邊

的角為爭所以點Q距離水平地面的高度與時間的關(guān)系為力S=50sin佰-外+60

7T

=50cos—r+60,故A正確；

15

7T7TIS

由宙f=1+E,AwZ,得/=15k+j,keZ,所以（15￡60）,（攵eZ）不是對稱中心,

故B錯誤；

經(jīng)過10分鐘，/?（10）=50cos—+60=35,故C正御；

15

由50cos—t+60<85?解得cos—tW-,得一W—t--,解得5W1W25,

151523153

共20分鐘，故D正確.

故選:ACD

11.在VABC中，A3=4，4C=6,A=四，點。為邊8C上一動點，則（）

3

A.BC=25

B.當AO為角A的角平分線時，人。=吆叵

5

C.若。為VA5c的外心：則A8,AO=16

D.當點。為邊BC上點，80=2。。時，A0=生”

3

【答案】ABD

【解析】對于A，BC=siAB2+AC2-2AB-ACcosA=V16+36-24=277?對；

對于B，由題意，x6xZDxsin—+—x4xADxsin—=—x6x4xsin—，

262623

所以3AO=6J5,可得人。二必3,對；

25

對于C,取A8中點￡,則0E_LA3,AO=AE+EO>

2

AOAB=(AE+EO\AB=\-AB+EO\AB=-AE^=-AB；

\J(2J22

故AB?AO=』4B2=8,所以C錯誤；

2

對于。，由3O=2OC，則4。=AC+CO=AC+gcB

_1________n____i

=AC+-(AB-AC)=-AC+-AB,

333

所以IA￡>|二J(|AC+；H8)2=+=^16+y+y=生￡，對，

故選：ABD.

…_r”cos(兀-a)+3sina

12.已知tana=2,則一----L----------=.

4cosa-sina

【答案】-

2

【解析】因為tana=2,所以cos(i)+3sin。二會空頭吧

4cosa-sina4cosa-sina

-1+3tana_-1+3x2_5

4-tana4-22

5

故答案為:

2

13.已知(l+tana)(l+tan/7)=2,且a,4都是銳角，則a+/?=

【答案】［

4

【解析】(l+tana)(l+tan/?)=2

1+tan?+tan/？+tanatan//=2

/.tancr+tan/?+tanaUin=1

/.tana+tanfl=\-tanatanp

tan?+tan/?

1-tan?tanfi

tan(a+/7)=1

:.0<a+/3<TV

7T

,??5△都是銳角故a+夕=一

4

冗

故答案為:2.

4

14.將函數(shù)/(X)=2sin(x+^J圖象所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不

變，得到函數(shù)g(x)的圖象.則g(x)=；若g[x)對于任意西,總存在

唯一的為€0,^.使得了(xJ=g(&)+2,則口的取值范圍為.

【答案】2sin(s+、)釁)

【解析】由題意得g(x)=2sin(ox+—1,當％￡0,—時，有芯+^6，此時

6J2」6\_63」

/(x1)=2sinx)+—e[1,2],令/=公^+―,則y=g(%)=25訪(公馬+-)=2sin/,

(6).6'6

7T71717r(1)TL

因為七￡。，5時，所以/二口/+彳6—,因為對于/(芭)-2的任意取值，

g(W)=/(xJ-2在0,J上有唯一解,即sin"/(')-2在/￡7,7+^上有唯一

'''"L2」21_662_

解，因則/(?一2€［一3,。］,如圖所示:

I7兀/兀711171”-C,10

由圖可知，一＜-co+-＜——，所以2工。＜一.

62663

故答案為：2sin,x+專；2,-yj.

四、解答題

15.已知向量4,Ac是同一平面內(nèi)的三個向量，其中4=(1,-2).

(1)求向量〃與方向相反的單位向量。的坐標；

(2)若4七=10，且C〃口，求向量C的坐標：

(3)若〃是單位向量，且G_L(4-3可，求〃與人的夾角。的余弦值.

解：(1)設(shè)@=丸(1,一2),且4v()

??同=1，.??分+4萬=1，.?X二一當

./752的、

」=（一丁，丁

（2）因為c〃4,故存在實數(shù)2,使得C=（Z-2/l）,

因為a?c=10,故7+4/1=10,故4=2,

故d=（2，T-

（3）因為4_L（a-3/?）,故a-（a-3Z?）=0,即J_3a"=0,

因|4|=石，代入可得：=g,因

5

故cos0=cosa,b=\=-\==-?

\a[\b\lxV53

16.設(shè)函數(shù)，(x)=sin2x+cos2x,xeR.

(1)求函數(shù)/0)的最小正周期和對稱軸方程以及對?稱中心坐標;

(2)求函數(shù)/(戈)在區(qū)間［方,與］上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值.

解：(1)依題意，/U)=V2sin(2x+J),函數(shù)/W的最小正周期為$二兀；

IT7TklT7TIciT7T

由2x+?=E+/,AeZ,得x='+1,AeZ,所以/(幻的對稱軸為￡Z；

TTkn7tkitjr

由2x+z=E?eZ,得工=3一可(攵EZ),所以/.")的對中心為(耳—W，()),伙EZ).

/八二r兀3兀1&-717t7兀1

(2)由'6［7,二］,得2X+:￡匕r,二-］,

84424

當21+；=,，即X=M時，/(X)min=—C，

4Zo

當2X+H，即X=￡時，/(X)a=6

4Zo

所以當工二竽時函數(shù)/(外取得最小值為一行,當工二g時函數(shù)/(X)取得最大值為72.

88

2

17.在VA8C中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別是。力,c,若加HL4=3csin8,a=3,cosB=-.

(1)求b的值;

(2)求sinA的值；

(3)求sin(25-二的值.

I4J

解：(1)由加inA=3csinB,得ba=3cb,且。=3,則c=l,

乂因為cosB=―—―----=2,解得/=瓜；

2ac3

(2)因為si/B+cos*=1，得sin8=^^,且“二

3SIFLAsinB

解得siM二場；

6

(3)因為sin23=2sin氏os3=，cos2B=2cos;B-1=,

99

?foD兀、?oo兀.兀4回+亞

sinIB—=sin23cos——cos2Bsin—=_----

I4j4418

18.已知向量〃7=(&cosx,l),z?=(sinx,cos2x-l),函數(shù)/(x)=〃??〃+—,

71

⑴若XE(),-,=,求cos2x的值;

(2)在VABC中，角A",C對邊分別是。也c,且滿足勸cosAV2c—6〃，當B取

最大值時，a=\,VA3C面積為正，求———的值.

4sinA+sinC

解：(1)由題意得向量〃2=(6cosx,l),/i=(sinx,cos2x-l),

而函數(shù)/(x)=/〃?〃+；,故/(x)=J5sinxcosx+cos2x-l+；,

y/3._l+cos2x118.-1.

——sin2A-H---------------1H———sin2xH—cos2x

22222

0，"小)=g一，C兀兀2兀

因為,所以21+工￡

4o663

因為sin[2x+—7171

I6邛邛,所以2"/6'3'

得到cos2x+g>(),由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得cos2

I6)

解得cos2x+—711=^^?71

而cos2x=cos2x+-

63k6J6

717171

=cos2x+—cos—+sinI2x+—sin—=旦旦

6J66J626

(2)在VABC中,角AB,C對邊分別是a,b,c,

-222

且滿足2AosA<2c-瓜,由余弦定理得2b?卜+'一"<2c-y/3a,

2bc

則b2+c2-a2<2c2-yfiac，得到&ic<c2+r/2-Z?2>

即2x』x>j3ac<c2+/一得到立.廠+。~一-，

222ac

2292p\

由余弦定理得COS3="'+L-,故cosBN業(yè),

2ac2

而爪(0,兀)，解得8￡(0弓,而當8=3Tt時，a=l,

6

77i

此時VABC面積為且S28c=qacsinB,

42

故Lxlx'xc二,解得c=JJ，由余弦定理得。2=/+/—2accos8，

224

同

故b?=l+3-2xlx&x—，解得〃=1,

2

a+cb」=2

則由正弦定理得sinA+sinCsinB

2

19.已知函數(shù)f(x)=2sin(s+03>0,附〈北),/(%)-/(馬)=4,%-到最小值

為名“X）的一個對稱中心工5兀,o］且在單調(diào)遞減;

12763

（1）求函數(shù)“X）的解析式，并求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）將/（力的圖象，先向右平移5個單位長度，再將所得點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱

兀兀

坐標不變,得圖象g(x),令〃(x)=g(x)+2cos■-1,若VfcR,總會￡

使得/2（力+（2-a）/（”+/（）+10成立，求實數(shù)。的取值范圍.

jr7TT

解：(1)由題意知T=2x-=7i,則G=——=2.

2T

函數(shù)/（x）的一個對稱中心則2x^+0=Ajr(kwZ),得

(p=kn-^^kGZ),

??,|同〈兀，所以8的可能取值為-浮71

66

5jr兀,兀?r