遼東教學(xué)共同體聯(lián)考試卷（高二數(shù)學(xué)）

（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）

第一卷（80分）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1.在空間四邊形ABCD中下列表達(dá)式化簡(jiǎn)結(jié)果與通相等的是（）

A.AC+CDB.AC+CB

C.AC+CD-BCD.AC+BD-BC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.

詳解】AC+CD=AD'A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

AC+CB=AB^B選項(xiàng)正確.

AC+CD-BC=AB+CD>C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

AC+BD-BC=AC+CD=AD'D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

2.過(guò)點(diǎn)且斜率為g的直線/的方程是（）

A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0

C.x-2y-3=0D,x-2y+3=Q

【答案】C

【解析】

【分析】先求出直線的點(diǎn)斜式方程，再化為一般式即可.

【詳解】過(guò)點(diǎn)（1,-1）且斜率為g的直線/的方程是y-（-l）=1（x-l）,

即x_2y_3=0.

故選：C

3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-2,1,4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(一2,1)B.(2,1,-4)C.(—2,—1,-4)D.(2-1,4)

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-l,T).

故選：C.

4.已知加是正實(shí)數(shù)，則“機(jī)216”是“圓必+；/=1與圓(x_4)2+(y+3)2=根有公共點(diǎn)”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】?jī)蓤A有公共點(diǎn)則忸-+列出不等式求解機(jī)的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判

斷即可.

【詳解】V+y2=i的圓心o(o,o),半徑r=i,

(x-4)2+(y+3)2=根的圓心A(4,—3),半徑R=m>Q,

兩圓圓心距|0A|=742+32=5，

因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，

II—II—-5<Vm-1<5[1<m<36

所以|。加一1|機(jī)+ln<,解得機(jī)e[16,36],

11[5<4m+l[m>16

顯然[16,36]c[16,+a)),所以“加之16”是“圓V+V=1與圓(%—4)2+(y+3)2=根有公共點(diǎn)”的必要不

充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，由集合的包含關(guān)系判斷必要、充分條件，屬于中檔題.

5.圓f+y2+4x=o與圓x2+y2—4x—2y—4=0的公切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷兩圓公切線的條數(shù).

【詳解】圓月+丁2+?=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2y+y2=4,圓心坐標(biāo)為（—2,0）,半徑長(zhǎng)為r=2.

圓/+/—4x—2y—4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-l）2=9,圓心坐標(biāo)為（2,1）,半徑長(zhǎng)為R=3.

圓心距為d=J（-2_2y+（0+1）2=府,由于1（而'<5，即H—r<d<R+r,

所以，兩圓相交，公切線的條數(shù)為2.

故選：B.

6.如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD=8,且PA=PC=4j5,M為的中

點(diǎn)，則異面直線依與40所成角的余弦值為（）

D.U.

30----------------------------6-------------------------------5--------------------------------10

【答案】A

【解析】

【分析】先證明出OCLPD.以。為原點(diǎn)，麗，灰，而分別為小y、z軸正方向建立空間直

角坐標(biāo)系.用向量法求解.

【詳解】由題意：?。=所以可+夫所以刀兇，？同理：

￡>4=4,78,/%=6,202=242,0.DC_LPD.

所以可以以。為原點(diǎn)，次，比，麗分別為小■z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

z

Pi

則A(4,0,0),B(4,4,0),M(2,4,0),P(0,0,8).

所以方=(4,4,—8),W=(-2,4,0).

設(shè)異面直線PB與A"所成角為8,則

|-8+16+0|V30

cos0=辰印加卜蛛二

716+16+64x74+16+0

故選：A

____1____

7.已知P(-4,-4),。是橢圓/+2產(chǎn)=16上的動(dòng)點(diǎn),又是線段A3上的點(diǎn)，且滿足尸河則

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是

A.0—3)2+2(1)2=1B.(x+3y+2(y+3)2=1

C.(x+l)2+2(y+l)2=9D.(x-l)2+2(y-l)2=9

【答案】B

【解析】

—.1--

【分析】求軌跡方程可設(shè)動(dòng)點(diǎn)May),。(私〃)，再利用求出。(辦W)關(guān)于M(x,y)坐標(biāo)關(guān)系

式，再將。坐標(biāo)表達(dá)式代入橢圓方程即可.

x+4=—(m-x)

___.1—.m=4(x+3)

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),Q{m,ri),因?yàn)镻Af=gMQ,故＜化簡(jiǎn)得＜又

〃=4(y+3)

y+4=_(〃_y)

Qkm,n)在橢圓必+2；/=16上，故16(》+3)2+32(丁+3)2=16,化簡(jiǎn)得(》+3)2+2(丁+3)2=1,故選B.

【點(diǎn)睛】求軌跡方程可直接設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為M（x,y）,再根據(jù)題目所給信息，用含有的表達(dá)式表達(dá)已知

方程上的動(dòng)點(diǎn)Q,再帶入。滿足的方程化簡(jiǎn)即可.

8.如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝4GR中，AB=AD=3,M=1,記M為棱的中點(diǎn)，若空間中動(dòng)

點(diǎn)P滿足NAPD=NCPM,則點(diǎn)P的軌跡與側(cè)面eq。。相交所形成的曲線長(zhǎng)為（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離

公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡與側(cè)面CG相交,

所以點(diǎn)尸的軌跡在側(cè)面CCRD內(nèi)，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知:AD,BC都與平面。。垂直，

而DRCP在平面內(nèi)，所以ADLORCPLBC,

由NAPD=NCPM,

可知tanNAPD=tanNCPM,即處=生，故尸D=2尸C,

PDPC

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）,C（0,3,0）,故所求點(diǎn)尸（0,y,z）滿足

《y2+z2=2j（y—3）2+Z」,

化簡(jiǎn)得（y—4）2+z2=4,

故所求的即為此圓在矩形。AG內(nèi)的部分，

TT7T

即圓心角為二，半徑為2的圓弧，長(zhǎng)度為二.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系確定邊之間的關(guān)系,

利用空間兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)

9.(多選)若方程/+初2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)上的取值可以是()

A.2B.1C.0.5D.0.3

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式列出工〉2,解不等式即可.

k

22

工+^=1

【詳解】?.?方程N(yùn)+02=2,即萬(wàn)十也表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,

k

2cL

：.->2,故0<Nl.

k

故選：CD.

10.設(shè)圓上的點(diǎn)4(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線x-y+l=0相交的弦長(zhǎng)為

2&，則圓的方程為()

A.(x-6)2+(y+3)2=52B.(x+6)2+(y-3)2=52

C.(x-14)2+(,+7)2=244D.(X—14)2+(y-7)2=244

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)圓的方程為(尤—aj+(y—b)2=/,根據(jù)直線x+2y=0過(guò)圓心，點(diǎn)A在圓上，直線

x-y+l=0與圓相交的弦長(zhǎng)為2a列方程組，求出圓心和半徑，則圓的方程也出來(lái)了.

【詳解】設(shè)圓的方程為(%—。丫+⑶―32=/，

由已知可知，直線x+2y=0過(guò)圓心，故。+26=0①.

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，所以(2—ap+(3—4=產(chǎn)②

2

因?yàn)橹本€X—y+l=。與圓相交的弦長(zhǎng)為2夜，所以卜歷了+/一：；=/③.

解由①②③組成的方程組,

a=6a=14

得b=-3或＜b=—7

r2=52r-=244

故所求方程為(x-6)2+(y+3『=52或(x-14y+(y+7)2=244.

故選：AC.

11.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列說(shuō)法中正確的是()

A.邊BC與直線3尤-2y+l=0平行

B.邊BC上的高所在的直線的方程為3x+2y—12=0

C.過(guò)點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為x+y-13=0

D.過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊相交于點(diǎn)。(3,5)

【答案】BD

【解析】

【分析】由直線斜率判斷A,求出相應(yīng)的直線方程判斷BC,求出邊中點(diǎn)坐標(biāo)判斷D.

7-323

【詳解】直線的斜率為左=——=—,而直線3x—2y+l=0的斜率為一，兩直線不平行，A錯(cuò)；

6-032

33

BC邊上高所在直線斜率為一刀，直線方程為y=—^(x—4)，即3x+2y—12=0,B正確；

7

過(guò)。且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為x+y-13=0,過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為丁=—x,C

6

錯(cuò)；

過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過(guò)邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為(3,5),D正確.

故選：BD.

12.在邊長(zhǎng)為1的正方體ABC?！?月。2中，M,N分別是AG，瓦G的中點(diǎn)，則()

7T

A.異面直線48與MN所成的角為一

4

B.二面角B-A/N—A的正切值為2a

C.點(diǎn)C到平面BMN的距離是點(diǎn)G到平面BMN的距離的2倍

D.過(guò)A,M,N三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)是也+/

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A,連接3。，4口，4。，可得NA5。異面直線與所成的角，然后在AA內(nèi)。中求

解即可，對(duì)于B,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷，對(duì)于C,利用等體積法求解，對(duì)于

D,作出截面，再求其周長(zhǎng)

【詳解】對(duì)于A,連接3。,耳。，4。，因?yàn)镹分別是2G，片￡的中點(diǎn)，所以〃4A，因?yàn)?/p>

BR〃BD，所以MN〃BD,所以NA5。異面直線48與MN所成的角，因?yàn)锳AB。為等邊三角形，

7TTT

所以=—,所以異面直線48與MN所成的角為令，所以A錯(cuò)誤，

33

對(duì)于B,如圖，以。為原點(diǎn)，所在的直線分別為％"Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

。(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),N(；,1,1),M(0,1,l),

所以的'=(-!,—；,1),雨=(；1,0),

設(shè)平面BMN的法向量為m=(x,y,z),則

1__1

m?BM--x—y+z=0

2—1

v_，令X=l,則相=(LT],

m-MN=—x+—y-0

I22，

向量〃=(0,0,1)為平面AA/N的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角B—"N—4的大小為。，由圖可知。為銳角，則

1

m-n

cos0~cos(m.n2

3

所以si“=半

,Zj

所以tane=T2—=20,所以B正確,

cos。

對(duì)于c,設(shè)C1,c分別到平面BMN的距離為4，人，

因?yàn)椋?BMN=VB—NMC、NC—BMN~VM—NBC，

所以3s=§SANMCI.BB],—S&BMN"2=]S&NBC,"G，

所以Sa/N.4=3X3X3xl,S.BMN.dZ=-xlxlx-,

乙乙乙乙乙

所以；，

所以1BMN,di=l,S,BMN.d]=2,4=4

所以點(diǎn)C到平面BMN的距離是點(diǎn)G到平面的距離的2倍，所以C正確,

對(duì)于D,作直線MV,分別延長(zhǎng)4耳，42交"N于瓦/，

連接AE交8用于“，連接■交。2于G,連接MG,NH,則五邊形AGMNH為過(guò)A,M,N三點(diǎn)的

截面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,所以MN=今,BiN=D〔M=g，

ABBHAH-

因?yàn)锳ABHSAEBIH,所以言"=五"萬(wàn)=三萬(wàn)=2，

LLDX￡>]rirLrL

所以BH=2B[H,AH=2EH,

所以BH=；,B[H=；,

所以AH==半，EH=乎,

同理可得AG=巫，GM=叵,

36

所以五邊形AGMM/的周長(zhǎng)為也+2x4叵+2、巫=也+/,所以D正確,

2362

故選：BCD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）

13.已知直線4：3九+y+4=0與直線乙：工+切=0垂直，則根的值為

【答案】-3

【解析】

【分析】

由兩直線垂直的充要條件可得3xl+lxm=0,從而可求得m的值.

【詳解】'//)-L/2,/.3x1+1xm=0=>w=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直的充要條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.方程J尤2+(,—3)2+jL+(y+3)2=10化簡(jiǎn)后

22

【答案】-^+―=1

2516

【解析】

【分析】運(yùn)用方程的幾何意義得出結(jié)果.

故令片（0,-3）,月（0,3）

.?.|岬|+慳閭=10＞閨司=6,

???方程表示的曲線是以大（0,—3）,耳（0,3）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10的橢圓,

即。=5，c=3,b=a2—c2=4>

22

方程為2L+土=1.

2516

22

故答案為：^+―=1.

2516

15.已知直線/經(jīng)過(guò)A（LL1）,點(diǎn)仇。,2,0）,求點(diǎn)P（0,0,2）至I]/的距離

【答案】偵##2新

33

【解析】

【分析】先求出麗，麗，再根據(jù)點(diǎn)線距離的向量公式即可求解.

【詳解】根據(jù)題意：^4=（1,-1,1）,而=（0,-2,2）,

BABP_4

貝|]網(wǎng)=2近,

網(wǎng)―73

BABP

所以點(diǎn)尸到/的距離為

故答案為：巫

3

16.如圖，某正方體的頂點(diǎn)A在平面1內(nèi)，三條棱⑷5,AC,AD都在平面a的同側(cè).若頂點(diǎn)8,C,。到平

【解析】

【分析】取空間的一個(gè)基底｛礪，恁,正｝,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,輸是平面e的一個(gè)方向向上的單位法

向量.由題得X瓦亞,而在百方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為逝'，52得

n=^(V2AB+V3AC+2AD),由|加=1,得。=3,得正方體外接球表面積.

a

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,取空間的一個(gè)基底｛通,而｝,設(shè)］是平面1的一個(gè)方向向上的單位

法向量.

由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得］=++

由題意，荏，〃，汨在［方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為行，也,2.

于是小通=0，即(X荏+y*+z礪)?礪=&,即即％=

a

同理，y=￡,z=V.

aa

從而〃=-y(A/2A5+y［3AC+2AD),由得-+3/+4/=1,

aa

即一z~,3d-1,解得a=3,

a

所以正方體的外接球半徑為半，外接球的表面積為4萬(wàn)j孚1=27%.

故答案為：27%

【點(diǎn)睛】考慮到可以利用空間向量表示條件中的點(diǎn)到平面的距離，所以選擇基底，設(shè)單位法向量解決問(wèn)

題，得/而=加，即（x而+_yie+z而）?布=、歷，即%/=0，即％=同理可得，

a

y=1,z=2，即可得到3=1（0通/+2而）.

a2a2a"

第二卷（70分）

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.己知直線4：x—2y+3=0與直線/2：2x+3y—8=0的交點(diǎn)為

（1）求過(guò)點(diǎn)M且與直線4：x+3y+1=0平行的直線的方程.

（2）求過(guò)點(diǎn)M且到點(diǎn)P（0,4）的距離為2的直線的方程；

【答案】⑴x+3y—7=0

（2）y=2或4尤-3y+2=。；

【解析】

【分析】（1）先求出”（1,2）,再由點(diǎn)斜式方程求解即可;

（2）討論所求直線方程斜率不存在，不滿足題意；直線方程斜率存在，設(shè)為y-2=左"-1）,由點(diǎn)到直線

的距離求出左，即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

x-2y+3=0X—1/、

由＜可得：\_2,所以M（L2）

2x+3y-8=0、y

過(guò)點(diǎn)M（1,2）且與x+3y+1=0平行的直線的斜率為：一;,

所求直線方程為：y-2=-1（x-l）,即x+3y—7=0.

【小問(wèn)2詳解】

若所求直線方程斜率不存在設(shè)為：x=l,

x=l到點(diǎn)P（0,4）的距離為1,不滿足題意;

若所求直線方程斜率存在，設(shè)為y—2=左（X—1）,即依—y+2—左=0,

V尸（0,4）到直線的距離為2,

I-2-k\4

2=/，解得左二0或一,

VT7F3

，直線方程為，=2或4x-3y+2=0；

18.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體A5CD—ABC'。'，且A3=l,BC=2,AA=2,求直線

B'C與平面B'BDD'所成角的正弦值.

【答案】?

10

【分析】先求出死的坐標(biāo)，再求出平面5'5QC>'的法向量前的坐標(biāo)，再利用線面角的向量公式求解.

【詳解】由題得日（1,0,2）,C（l,2,0）,5（1,0,0）,D（0,2,0）,

BV=(0,2,-2)融=(0,0,-2),BD=(-1,2,0),

,fh-B'B——2z=0

設(shè)平面B'BDD'的法向量為機(jī)=(x,y,z),貝昭—.

m-BD=一%+2y=0

解得z=0,令y=l得尤=2,則而=(2,1,0),

兀

設(shè)直線3'。與平面夾角為6c0,-,

___.一2-0J10

則sin0=|cos<B'C,m>|=/-,----=-----.

V4+4-74+T10

故直線B'C與平面B'BDD'所成角的正弦值為叵.

10

19.已知線段A3的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6,8）,端點(diǎn)A在圓好+丁=16上運(yùn)動(dòng)，M是線段A3的中點(diǎn)，直線

/過(guò)定點(diǎn)(1,0).

(1)設(shè)點(diǎn)”的軌跡為曲線C,求。的方程；

(2)若直線/與曲線C相交于P,Q兩點(diǎn)，求ACPQ面積取最大值時(shí)，直線/的方程.

【答案】(1)(%—3)2+(y—4)2=4

(2)x-y-l=0或7x-y-7=0.

【解析】

【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)〃(x,y),根據(jù)3(6,8)且/是AB的中點(diǎn)，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓好+產(chǎn)=16中

化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)直線/過(guò)定點(diǎn)(1,0),分析斜率存在不存在，設(shè)出直線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)

勾股定理求得弦長(zhǎng)|PQ|,寫(xiě)出ACPQ面積，利用基本不等式求得面積最值，考慮不等式取等的條件，即

可求得面積取最大值時(shí)，直線/的方程.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)點(diǎn)加(%?),因?yàn)锽的坐標(biāo)是(6,8),且M是線段A3的中點(diǎn)，

所以A(2x—6,2y—8),又有點(diǎn)A在圓好+V=16上運(yùn)動(dòng)，

所以A點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程必+產(chǎn)=16,

即(2x—6)?+(2y—8)2=16,整理得(x-3)~+(y-4y=4,

故點(diǎn)M的軌跡為(x—3y+(y—4『=4；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知點(diǎn)/的軌跡方程為(尤―3)2+(y—4)2=4,

即軌跡是以點(diǎn)C(3,4)為圓心，半徑r=2的圓，

①若直線/斜率不存在，則直線/:x=l，

因?yàn)閳A心C(3,4)到直線的距離為2等于半徑，

此時(shí)直線/與圓相切，不存兩個(gè)不同交點(diǎn)RQ,故不符合題意舍；

②若直線/的斜率存在，設(shè)直線/：丁=左(％-1),即/:依—y—左=0,

由直線/與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，圓心到直線/的距離d小于半徑,

3左—4—43

即d=?一」<2,解得左〉一，

7^714

根據(jù)圓的性質(zhì)可知：I尸。|=2〃2一/=2,4—屋,

因?yàn)?皿0=“.,4"4"+(；V)=2，

當(dāng)且僅當(dāng)d=,4—I?，即d=J5時(shí)取等，

所以當(dāng)d=J^時(shí)，SACP。有最大值為2，此時(shí)d=:?=也，

^y]k2+l

解得％=1或左=7,此時(shí)直線/的方程為x—y—1=0或7x—y—7=0.

20.如圖，在正四棱柱ABC?！狝4GR中，AB=2,A4,=4?點(diǎn)4,32，。2，。2分別在棱A4i，53i，CG，

DD[上，A/^=1,BB2=DD2=2,CC2—3.

(1)證明：B2c2〃4。2；

(2)點(diǎn)尸在棱8月上，當(dāng)二面角尸—AC2—2為150°時(shí)，求52P.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)1

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

(2)設(shè)尸(0,2,2)(0<2<4),利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),與(0,2,2),D2(2,0,2)，4(2,2,1),

???=(0,-2,l),=(0,-2,l),

又32c2,43不在同一條直線上，

,52c2〃4。2?

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P(0,2,㈤(0</lV4),

則4G=(—2,—2,2),尸。2=(0,—2,3—2),。2G=(—2,0,1)，

設(shè)平面尸4G的法向量幾=(%,y,z),

為?AC?=—2x-2y+2z=0

則《

n-PQ=-2y+(3-2)z=0

令z=2,得y=3-4%=2-1,

TI—(丸-1,3-A,2),

設(shè)平面的法向量加=(a,b,c),

in-4c2=一2〃-2/?+2c=0

則《

in?D2c2=-2a+c=0

令a=l,得Z?=l,c=2,

/.m=(1,1,2)，

/.cos(n,m\=i，=一i-------------=Icosl50°|=—

''n||mV674+(2-l)2+(3-2)22

化簡(jiǎn)可得，a?—42+3=0，

解得X=1或X=3,

AP(0,2,l)或P(0,2,3),

.?.B2P=1.

21.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角

三角形的四面體稱之為鱉膈.如圖陽(yáng)馬ABCD中.，平面ABCD,AD=6，,DC=SD=2點(diǎn)M在側(cè)

71

棱SC上，ZABM=-.

3

（1）證明:SA//平面MBD；

（2）求二面角S—40—6的余弦值

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫.

3

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明/在側(cè)棱SC的中點(diǎn)，再由線面平行的判定證明;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角S-40-6的余弦值.

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則

D（0,0,0）,A（A/2,0,0）,5（后,2,0）,C（0,2,0）,S（0,0,2）

設(shè)?=X屈（0<X<1）,麗=（0,-2,0）

BM=BC+CM=（-yfl,0,0）+2（0,-2,2）=（-72,-22,22）

BABM42￡

由加=6。。得cos"M=網(wǎng)麗=百"

2

即4x=Ji7豆解得彳=:，即殺=g屈

故M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

連接AC交班）于點(diǎn)N,連接MN,則MN為三角形S4C的中位線

:.SA//MN

?.?SA（Z平面MBD,MN<=平面MBD

.?.&1//平面又8￡）；

（2）設(shè)％=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，則用?麗=0,%?麗7=0

而=（0,-2,0）,BM=^-V2,-l,lj,則-y=O,-0x-y+z=0

取x=i,%=（i,o,拒），同=G；

設(shè)為=（x,y,z）是平面AMS的一個(gè)法向量，則為?屈=0,用?畫(huà)？=0

而詬=卜0,0,2）,AM=AB+W=（0,2,0）+（-72,-1,1）=（—后,1,1）

則-+2z=0,—A/2X+y+z=0

取z=l,x=0,y=1,為2=（應(yīng)/，1），同=2

于是4?為2=0,。,應(yīng)）=2拒，cosn^\==—

而二面角S-AM-B為鈍角，故二面角S-AM-B的余弦值為-&

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟:

（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個(gè)法向量；（注：若半平面

為坐標(biāo)平面，直接取法向量亦可）

（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是鈍角還是

銳角，從而得到二面角的余弦值

22

22.分別過(guò)橢圓E:二+與=l（a〉6〉0）左、右焦點(diǎn)耳、K的動(dòng)直線4，6相交于尸點(diǎn)，與橢圓E分別交