重難點(diǎn)02函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用（舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練）

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】.............................................................3

【題型2函數(shù)的最值問題】......................................................................5

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】.............................................................8

【題型4函數(shù)的圖象問題】.....................................................................10

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】..........................................................12

【題型6類周期函數(shù)1...............................................................................................................15

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】............................................................18

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】................................................................21

命題規(guī)律

1、函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱

性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相

結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對(duì)于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考

查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等

式、求參數(shù)范圍等，難度較??；對(duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練.

方;飆巧

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的解題策略

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

（1）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法;②圖象法;③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

（2）函數(shù)＞=/物（尤））的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=/⑺和內(nèi)層函數(shù)片g@）的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.

（3）函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若/（無）是增函數(shù)，則-/（元）為減函數(shù)；若/（元）是減函數(shù)，則-/（元）為增函數(shù)；

②若/（元）和g（x）均為增（或減）函數(shù)，則在和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函數(shù)；

③若/Xx）〉。且/（無）為增函數(shù)，則函數(shù)"?6為增函數(shù)，,為減函數(shù)；

f（x）

④若/Xx）〉。且/（X）為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，,為增函數(shù).

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法:先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原直對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

⑵判斷於)與Qx)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

O)t/(㈤=0(奇函數(shù))或yu)"x)=o(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù),

如/(X)+g(x),/(■)-g(x),f(x)xg(x),7(x)+g(x)-

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；奇*(+)奇=偶；奇*(十)偶=奇；偶x(+)

偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為意.

(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/⑴=皿巴士3^^^或函數(shù)/(x)=m(a.

a-1a+1

②函數(shù)/(x)=±3-武).

③函數(shù)/(x)=log”廿"=loga(l+3^-)或函數(shù)/(x)=log“二二竺=loga(1---)

x—mx—mx+mx+m

22

④函數(shù)/(x)=logo(Vx+l+x)或函數(shù)f(x)=loga(V^+l-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)

或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的常用結(jié)論

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論3是不為0的常數(shù))

(1)若於+。)守耳)，貝1|7=絲

(2)若y(x+a)寸x-a),則T=2a；

⑶若/則r=2a；

(4)若/(x+a)=/("J,貝UT=2a；

(5)若/(x+a)=-f(:}貝UT=2a；

(6)^fix+a)=J[x+b),則T=\a-b\(a^by,

2.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)人尤)滿足犬。+尤)力仍田，則廣加0的圖象關(guān)于直線了=〃對(duì)稱.

(2)若函數(shù)兀0滿足y(a+x)=；/(6-x),則y=y(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)("j,。)對(duì)稱.

(3)若函數(shù)於)滿足j{a+x)+f(Jb-x)=c,則y=?)的圖象關(guān)于點(diǎn),習(xí)對(duì)稱.

3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=f(尤)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(尤)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

⑵若函數(shù)y=/(X)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(女c)(a<b),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(3)若函數(shù)y=f(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心@0)(a<b),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù),且

T=4(6—a).

知識(shí)點(diǎn)4抽象函數(shù)的解題策略

1.抽象函數(shù)及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y=/(x)表示，抽象函

數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身,

是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2025?廣東?三模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+8)單調(diào)遞增的是()

A.y=x3B.y=|x|+1

C.y——x2+1D.y=2一因

【答案】A

【解題思路】利用奇偶性及單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A,函數(shù)y="是奇函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞增，A是；

對(duì)于B,函數(shù)y=|x|+1是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，B不是；

對(duì)于C,函數(shù)y=-/+1是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，C不是；

對(duì)于D,函數(shù)y=2一閉是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D不是.

故選：A.

【變式1-1］(2025?湖北荊門?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(無)=島—7+2,則不等式/(62)+/(6—2)<6的

解集為()

A.(—1,2)B.(-oo,-l)u(2,+oo)

C.(—2,—1)D.(—8,-2)U(1,+8)

【答案】D

【解題思路】由題意可得f(-x)+f(x)=6,且f(x)在R上為減函數(shù)，將不等式化簡(jiǎn)為“巾-2)<f(-巾2),

再由〃%)的單調(diào)性可得巾-2>-m2,解不等式即可得出答案.

【解答過程】/(x)=島-—+2=(島-1)一代+3=貳一爐+3,

設(shè)g(x)的定義域?yàn)镽,

9(-0=言￡一(一%)3=||^+%3=一。0),所以g(x)為奇函數(shù)，

則/(_%)+/(x)=g(-%)+3+g(x)+3=6,

又因?yàn)閥=言,y=一一+2在R上均為減函數(shù)，

所以〃X)在R上為減函數(shù)，

22

由/(zu?)+f(jn—2)<6可得f(血2)+/(7Tl—2)</(m)+/(—m),

即f(m—2)</(—m2),所以zn—2>—m2,

解得：m>1或m<—2.

故選：D.

【變式1-2］(2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=B./(%)=C./(%)=xlnxD./(%)=x—In%2

【答案】C

【解題思路】對(duì)A,根據(jù)解析式判斷單調(diào)性得解；對(duì)B,C,D,求導(dǎo)，利用判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)得解.

【解答過程】對(duì)于A,/(%)=總的定義域?yàn)?-8,2)U(2,+8),f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞

增，不滿足在［1,4］上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,尸(乃=苗<0/0)在［1,4］上單調(diào)遞減，不滿足在［1,4］上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,f'M=lnx+1>0,滿足在［1,4］上單調(diào)遞增，故C正確.

對(duì)于D,尸(久)=1-|=?/(乃在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，不滿足在［1,4］上單調(diào)遞增，故

D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1-3］(2025?天津武清?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(久)=久?e⑶，a=/(log3V5),b=

~f(l°g31)>c=/(ln3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得函數(shù)為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)6=f(log32),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答過程】/(%)=%”閉，定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(—x)=—X-=—x-】幻=所以函數(shù)/'(x)=x-e團(tuán)為奇函數(shù)，

所以6=-f(log3m=f(-logsj)=/(log32),

又f(%)=x-ex,x>0,

%1X2

任取%e(0,+8),且。<xr<x2f則0<e<e,則/(%］)</(x2)?

故f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log32<log3V5<1<ln3,

所以/(log32)</(log3V5)</(ln3),即c>a>b.

故選：D.

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】(2025?寧夏陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%+1)=2%-2-％,則/(>)在［一1,1］上的最大值為()

A.-3B.1—5C.0D.1

24

【答案】c

【解題思路】先利用換元法求出/(%)的解析式，再利用定義法求證/(%)在上的單調(diào)性即可求出.

【解答過程】/(%+1)=2%-2~x,令1=%+1,則/=2*T-21-t,

則/(%)=2%T—eR,

1-X1

V%1，%2€［——1<Xr<X2<ly則f(%1)—/(%2)=(2*1T-2)—(2%2T—21T2)

二(2%「1—2%2-1)-(熹-熹)=—2不—1)(1+￡)

因一1<Xi<x2<1,則Xi-l<x2-l,則2*1<2次T,

又2%+物-2>0,則/101)-f(x2)<0,即/'(尤1)<f(x2),

則“X)在[-1,1]上單調(diào)遞增，

則f(x)的最大值為f(l)=0.

故選：C.

【變式2-1](2025?湖南?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(%),貝『VrC(0,+8),/(x)22"是“/(x)在(0,+8)上的最小

值為2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據(jù)充分、必要條件的判斷方法，結(jié)合函數(shù)最小值的概念進(jìn)行判斷.

【解答過程】先判斷充分性：若函數(shù)f(x)在(0,+8)的最小值為3,

貝『Rxe(0,+8),/(x)22”成立，但“/(>)在(0,+8)上的最小值為2”不成立，

所以“Vxe(0,+8),y(x)>2"不是“/(O在(0,+8)上的最小值為2”的充分條件.

再判斷必要性："f(X)在(0,+8)上的最小值為2”時(shí)，可得“Vxe(0,+8),f(x)22”成立，

所以“Vx6(0,+8),/(x)>2”是“/(x)在(0,+8)上的最小值為2”的必要條件.

綜上：“Vxe(0,+8),f(x)>2”是“f(x)在(0,+8)上的最小值為2”的必要不充分條件.

故選：B.

【變式2-2](2025?新疆?三模)已知函數(shù)=+若/(￡)在區(qū)間(犯小2)上有最大值，則實(shí)數(shù)相

的取值范圍是()

A.(V2,V3)B.(V2,2)C.(2,3)D.(V3,3)

【答案】D

【解題思路】分類討論取絕對(duì)值，得出函數(shù)7"(>)的解析式，然后分別求導(dǎo)，判斷f(x)在每個(gè)分段區(qū)間上的單

調(diào)性即可得出答案.

【解答過程】當(dāng)x>1"時(shí)，/(%)=In一；=In(%-1)-ln(x+1)-(,

f,()_J.______1____1_9T2

J''x-1x+144(%-1)(%+1)'

當(dāng)1V%<3時(shí)，f'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

當(dāng)久>3時(shí)，f(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，所以/(%)在％=3處取得極大值,

若八X)在區(qū)間(吟)上有最大值，只需｛二即可,解得.(百⑶；

當(dāng)—1V%V1時(shí)，/(x)=In~4=E(1-％)-ln(x+1)—

/(%)=三_W_1=4(；；：+1)，顯然此時(shí)廣(%)<°，/0)單調(diào)遞減，不存在有最大值的開區(qū)間；

當(dāng)久<一1時(shí)，/(%)=In-：=ln(—%+1)—ln(—%—1)—

ffM=_z2___z2__1=9r2

J')-x+1-x-144(x-l)(x+l)'

當(dāng)—3<x<-1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<-3時(shí)，/(無)<0,單調(diào)遞減，所以在x=—3處取得極小值，

此時(shí)也不存在最大值的開區(qū)間，

故選：D.

【變式2-3](2025?江西萍鄉(xiāng)?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(久)滿足：/(小=卷，且Vx,yGR,都有"⑺—

eSiny./(x)>(e2sin%-e2siny)"Q)"(y)恒成立，則/(*)的最大值為()

A.-B.-C.eD.2e

2ee

【答案】A

_sinxsinx

【解題思路】令y=j得到通Q過換元1=5由乃m=et,求媼o二的最大值即可.

【解答過程】令y=]原不等式可化為：

esinx"0一es嗚./(%)>(e2si?-e2s嗎)"⑺"⑨代入f0=會(huì)

化簡(jiǎn)可得：f(x)<蔡總，

令t=sinxG[-1,1],得到y(tǒng)=竟/，

再令m=ete[,e],可得：y=總葭=f,

Le

」"i十。m-\—m

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可知y=m+?在卜,e]上單調(diào)遞減，

Q2

所以當(dāng)m=e時(shí)，y=血+—取得最小值2e,

/m

m1sinxt

所以y=昌的最大值為:，也即y=*o「的最大值為:，

'm2+e22e/e2sinx+e22e

所以的最大值為。

故選：A.

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2025?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè))已知/(乃二愛三是奇函數(shù)，則a=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【解題思路】由奇函數(shù)性質(zhì)可得"-1)=-/(I),列方程求a,再檢驗(yàn)所得結(jié)果即可.

【解答過程】由空+1—2K0,可得x+lKl,所以久K0,

所以/■(*)的定義域?yàn)椋麃V1x*0],

因?yàn)椤癤)=言合是奇函數(shù)，所以八一1)=一/(1)，

又/(-L)=|-a,〃1)=等,

所以1—a=~~~~>解得a=—1.

X

當(dāng)時(shí)，/(%)==2+1

a=-l2(2J)'

函數(shù)/■(>)的定義域?yàn)椋鹸I久大0｝，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

/"(一比)=-2：2二；)=-2：1X)=一/'(%)，所以此時(shí)/(X)是奇函數(shù)

故選：D.

【變式3-1X2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè))設(shè)〃>)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),/0)=2,—3,則/(—2)=

()

111

A.1B.-C.-1D.--

44

【答案】c

【解題思路】由函數(shù)的奇偶性知--2)=-f(2),代入相應(yīng)解析式計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=2x-3,

/(—2)=—"2)=-(22-3)=-1.

故選：C.

【變式3-2](2025?重慶?三模)已知函數(shù)y=f(久+1)是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意向，冷e[1,+8),且與力久?

都有小匕3>0,若a=/(log36),b=f(ln2,c=/(e?),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意，得到函數(shù)y=〃x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，于是可得ln(2-ln粉=皿爰)，利用事和

aln4

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)比較得1<2-In卷<log36<eT=2,再由y=

f(x)的單調(diào)性即可判斷.

【解答過程】因函數(shù)、=/(%+1)是區(qū)上的偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，

因?qū)θ我饪?%26[1,+8),且勺4上都有止上?、堋怠?，即函數(shù)y=f(x)在(1,+8)單調(diào)遞增.

_—1ln4

ln2

因lVlog36=log32+1<2,1<2—ln^==ln(V2e)=-ln2+1<2,e-=e=2,

由啕2-|ln2=^|-|ln2=ln2(^-|)>0,可得1<2-In專<log36<e~=2,

又由對(duì)稱性可得：ln(2-ln^)=In(粉，

In4

故再由單調(diào)性，可得ln(2-In標(biāo))=In(五)</(log36)</(e"),即b<a<c.

故選：A.

【變式3-3](2025?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知函數(shù)/(%)和g(%)的定義域均為R,且y=/(4+乃為偶函數(shù)，y=g(%+

4)+1為奇函數(shù)，若WxER,均有/(%)+g(%)="+i,則f(7),g(7)=()

A.575B.598C.621D.624

【答案】C

【解題思路】由題意有/(4一%)=/(4+%),g(4—％)+g(4+%)=—2,禾！]用/(%)+g(%)=/+1,即可解

得g。),進(jìn)而得/(7),即可求解.

【解答過程】由y=/(4+%)為偶函數(shù)有/(4一%)=/(4+%),又y=g(%+4)+1為奇函數(shù)，

所以9(一式+4)+1=-[g(x+4)+1],即g(4-%)+g(4+x)=-2,

/(4—x)+g(4—%)=(4—%)2+1

因?yàn)?W+g(x)=+1,所以./(4+%)+g(4+%)=(4+%)2+1=>g(4一%)-g(4+%)=-16%,

、/(4-x)=f(4+x)

又g(4—x)+g(4+%)=-2,解得g(4+x)=8x—1,即g(%)=8x—33,

所以g(7)=8x7-33=23,又/(7)+g(7)=72+1=50,

所以/(7)=50-g(7)=50-23=27,

所以J(7)?g(7)=23x27=621,

故選：C.

【題型4函數(shù)的圖象問題】

【例4】（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（X）=（|4—%2|-4）ln（4-久2）的圖象大致為（）

【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的圖像性質(zhì)，進(jìn)而確定.

【解答過程】由已知，定義域?yàn)椋ㄒ?,2）,=/（%）,

所以函數(shù)/（￡）為偶函數(shù)，

故/■（>）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

又/'（0）=0,排除B,D選項(xiàng)；

當(dāng)x->2時(shí)，/（%）>0,排除C,故A正確.

故選：A.

【變式4-1]（2025?天津?二模）函數(shù)”久）的部分圖象如圖所示，則人久）的解析式可能為（

F+e-x

B.f(x)=

cosx

e%+e—%

D.f(x)=

sinx

【答案】A

【解題思路】通過觀察圖象，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域即可用排除法進(jìn)行作答.

【解答過程】根據(jù)圖象可以看出，函數(shù)的定義域不包括±3

這說明函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)上無意義，而選項(xiàng)C,D的定義域包括±5所以排除C,D.

由圖象可以看出，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，而選項(xiàng)B中，

因?yàn)椤耙痪茫?三著=f（x）,說明選項(xiàng)B中的函數(shù)為偶函數(shù)，不符合圖象，所以排除.

故選：A.

【變式4-2】（2025?安徽?三模）函數(shù)/（久）=§署的圖象大致是（）

【答案】A

【解題思路】利用奇偶性和f（n）的正負(fù)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到正確選項(xiàng).

【解答過程】/（*）的定義域是R,

因?yàn)椤╛久）=.（；）：普景=興普=一代x）,所以久久）是奇函數(shù)，排除CD

因?yàn)?出=9鬻=3＞。，排除B,

故選：A.

【變式4-3］（2025?四川南充?三模）函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，則人久）的解析式可能為（）

lOsinx

B.f(x)=

x2+l

x-x

f(x)=10(e+e)D?/(”)=吟滬

c.x2+2

【答案】B

【解題思路】依題意可得/(久)為奇函數(shù)，即可排除A、C,由函數(shù)在久>0上的函數(shù)值的特征排除D,即可得

解.

【解答過程】由圖可知/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(%)為奇函數(shù)，

對(duì)于A：/(%)=當(dāng)W定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-X)=詈湃?=等=g

Jx2+lJv'(-x)2+lxz+ly

所以〃X)=器為偶函數(shù)，不符合題意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于C:/(X)=1°寸廣)定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

xz+2

x-x

=1。?%+吟_10(e+e)

2()，

八町一(-X)+2-X2+2=/X

所以f(x)=l"e；+：T)為偶函數(shù),不符合題意，故C錯(cuò)誤;

xz+2

對(duì)于D：f(x)=1°二:)定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

10(e-x-ex)10(e*-er)

f(-%)==-f(x)，

(-X)2+2X2+2

所以/(x)=1"；『為奇函數(shù),

當(dāng)尤>0時(shí)，ex>e_x>0,x2+2>0,所以f(久)>0恒成立，不符合題意，故D錯(cuò)誤;

故利用排除法可知選項(xiàng)B符合題意.

故選：B.

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

[例5](2025?河北邢臺(tái)?三模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足+2)為偶函數(shù)，/(4+%)=-/(4-%),

則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.〃久)的圖象關(guān)于(4,0)中心對(duì)稱

B.f(x)的周期為8

C./(2025)=f(1)

D.當(dāng)xe[0,2]時(shí),f(x)=x2-2x,則f(7)的值為一1

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意推理論證周期性、奇偶性、對(duì)稱性逐一求解判斷各項(xiàng)

【解答過程】因?yàn)?(4+x)=-/(4一%)，所以/(X)的圖象關(guān)于(4,0)中心對(duì)稱，故A正確；

因?yàn)閒(久+2)為偶函數(shù),所以f(-x+2)=f(x+2)

所以=/(4—x),又因?yàn)閒(4+x)=-/(4-x),

所以J(x)=-/(4+x),所以f(4+x)=一/(8+x),

所以〃x)="8+x),所以的一個(gè)周期為8,故B正確；

f(2025)=/(253X8+1)=f(l),故C正確；

由f(4+x)=-f(4-x),得f(7)=f(4+3)=-/(l),

又當(dāng)％e[0,2]時(shí)，/(%)=%2-2x,所以f(1)=12-2x1=-1,即f(7)=1,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式5-1](2025?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)人久)滿足f(x)+f(2-久)=2,則()

A./(2)=0B./(10)=10

C./(久)的最小正周期為2D.久=1是曲線y=/(%)的一條對(duì)稱軸

【答案】B

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)以及所給等式變形，結(jié)合對(duì)稱性和周期性定義，賦值計(jì)算，對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)

行分析判斷.

【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(0)=0.

令x=0,代入f(x)+〃2-*)=2可得:/(0)4-/(2)=2,將/(0)=0代入得0+/(2)=2,即f(2)=2,

所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，則/(-X)=

由+/(2一%)=2可得/(%)=2-/(2-x).

用一x代替x可得f(-x)+f(2+x)=2,又因?yàn)?(t)=一八辦所以一/(x)+f(2+x)=2,即/(x+2)=

2+/(x).

那么〃X+4)=2+f(x+2)=2+2+/(x)=4+/(%).

同理f(%+6)=2+f(x+4)=2+4+/(x)=6+/(%).

/(%+8)=2+/(%+6)=2+6+/(%)=8+/(%).

f(x+10)=2+f(x+8)=2+8+/(x)=10+/(%).

令久=0,貝，(10)=10+f(0)=10+0=10,所以B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，由TO+2)=2+/(%)可知/(x+2)力/(x),所以/(x)的最小正周期不是2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，由f(0)=042=f(2),得x=1不是曲線y=/(久)的對(duì)稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式5-2](2025?遼寧?三模)已知定義在R上的函數(shù)/(乃滿足/(2%+1)為奇函數(shù)，且/。)的圖象關(guān)于直

線比=2對(duì)稱，則與雪5f①=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解題思路】通過已知條件推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸，進(jìn)而得出函數(shù)的周期，再利用周期的性質(zhì)計(jì)算

給定求和式的值.

【解答過程】由"2久+1)為奇函數(shù)，得〃一2久+l)+f(2x+l)=0,

所以/(x)圖象的對(duì)稱中心為(1,0),令x=0=/(I)=0

由/(X)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，得/(2+%)-/(2—%),

由偌君;￡)二；得e+2)=一人力所以f(X+4)=-/(x+2)=f(x),

則f(x)的一個(gè)周期為4,則f(1)+f(3)=0,/(2)+/(4)=0,

則￡蕾5f①=506x[/(I)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(2025)=506x[/(I)+/(2)4-/(3)+/(4)]+

/⑴=0.

故選：B.

【變式5-3](2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(*),g(x)的定義域均為R,且/(I-%)+g(x)=3,g(3-x)-

f(x)=1,y=g(久)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x￡[0,1)時(shí)，f(x)=x2+1,貝仔(2024)+g(2026)=()

A.1B.3C.4D.2025

【答案】B

【解題思路】在/'(1-x)+g(x)=3中用1-%代換%得f(x)+g解-x)=3,結(jié)合g(3-x)-f(x)=1得

gO)+g(x+2)=4,即可得出函數(shù)g(x)的周期，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的周期，根據(jù)y=g(x)的對(duì)稱性求出

g(0),g(2)的值，結(jié)合函數(shù)周期即可求得結(jié)果.

【解答過程】由/'(1一x)+g(x)=3,得/'(%)+g(l-％)=3,又因?yàn)間(3-久)-f(x)=1,

所以g(l-%)+g(3-x)=4,故g(x)+g(x+2)=4,g(x+2)+g(x+4)=4,

所以g(x+4)=以久)，所以g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由+g(l—x)=3,得f(x)=3—g(l—x),所以/(x+4)=3—g(l—(%+4))=3—g((l—%)—4)=

3-g(l-%)=/(%),

所以〃x)也是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)xe[0,1)時(shí)，fM=x2+i,所以f(0)=1.

因?yàn)閥=g(>)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，所以g(0)=g(2).

又因?yàn)間(0)+g(2)=4,所以g(2)=2,所以f(2024)+g(因26)=/(0)+g(2)=1+2=3.

故選：B.

【題型6類周期函數(shù)】

【例61(2024?云南昆明?二模)定義“函數(shù)y=”久)是D上的a級(jí)類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=/(%),%eD,對(duì)

于給定的非零常數(shù)a,總存在非零常數(shù)7,使得定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有a/。)=/(x+T)恒成立，此時(shí)

T為/(為的周期.若y=/(%)是[1,+8)上的a級(jí)類周期函數(shù)，且T=l,當(dāng)xe[1,2)時(shí)，/(X)=2x+1,且丫=

f(x)是[1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[&,+8)B.[2,4-00)C.卜+8)D.[10,+oo)

【答案】C

【解題思路】由題可得f(x)=a71-】?(2x-2n+3),neN*,xE[n,n+1),然后利用函數(shù)的單調(diào)性即得.

【解答過程】VxG[1,2)時(shí),/(久)=2%+1,

當(dāng)xe[2,3)時(shí)/(%)=af(x-1)=a(2x—1)；

當(dāng)xe[n,n+1)時(shí),/(x)=a/(x—1)=a2/(x-2)=…=an-1/(x—n+1)=an-1?(2x—2n+3),

即x6[n,n+1)時(shí),f(x)=an-1?(2x—2n+3),nGN*,

(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

.'.a>0且anT-(2n—2n+3)>an~2-(2n—2n+5),

解得a>I，

實(shí)數(shù)a的取值范圍是[|,+8).

故選：C.

【變式6-1](24-25高一上虹西吉安?期末)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且fO+4)=2/(x),當(dāng)x6(0,4]時(shí),

/(x)=2x2-8x,若對(duì)于VxC(-8,H，都有y(x)2-|恒成立，則t的取值范圍是()

A.(-OO.-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-l]

【答案】A

【解題思路】由f(x+4)=2f(x)和當(dāng)xG(0,4]時(shí)f(x)=2x2-8%可以逐次推出(-4,0],(-8,-4],(-12,-8]

上的解析式，根據(jù)每個(gè)區(qū)間上的函數(shù)最小值的規(guī)律，應(yīng)求xe(-8,-4]時(shí)，函數(shù)值等于-|時(shí)的自變量的值，

得到滿足的x的范圍，即得f的取值范圍.

【解答過程】當(dāng)xe(0,4]時(shí),f(x)=2x2-8x=2(x-2)2-8,/(x)G[-8,0]；因+4)=2/(x),即尤

每增大4,對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)都變?cè)瓉淼?倍.

當(dāng)xe(—4,0]時(shí)，%+46(0,4]>故/(x+4)=2(%+2)2—8,貝+4)=(x+2>一4,/(%)6

[-4,0]；

當(dāng)xe(-8,-4]時(shí)，x+4e(-4,0],故/'(x+4)=(%+6)2-4,則/'(%)=|/(x+4)=|(x+6)2-2,f(x)E

[—2,0]；

當(dāng)％6(—12,-8]時(shí)，%+4G(-8,-4],故f(%+4)=-(x+10)2—2,則/(%)=-/(x+4)=-(%+IO)2—1,

224

fix)e[-1,0].

如圖，依題意令|(*+6)2—2=-|,解得x=—7或x=—5,由圖知當(dāng)xW—7時(shí)，/(%)2-|恒成立，即須

使(-8,t]q(—8,-7],故得:tE(—8,-7].

故選：A.

【變式6-2](2025?江西新余?一模)若函數(shù)y=/(%),%WM對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)a,總存在非零常數(shù)7,使

得定義域M內(nèi)的任意實(shí)數(shù)工，都有a/(%)=/(%+T)恒成立，此時(shí)T為/(%)的假周期，函數(shù)y=/(%)是M上的。

級(jí)假周期函數(shù)，若函數(shù)y=/(%)是定義在區(qū)間[0,+8)內(nèi)的3級(jí)假周期函數(shù)且7=2,當(dāng)％￡[0,2),/(%)=

汽2V汽

(—2—20~V11

]~~,函數(shù)g(%)=-21n%+-/+%+根，若€[6,8],3x2(0?+8)使。(%2)-

1/(2-x),l<%<22'

<0成立，則實(shí)數(shù)血的取值范圍是()

1R

A.(-00,y]B.(-00,12]C.(-00,39]D.[12,+00)

【答案】C

【解題思路】題目主要考查了函數(shù)的性質(zhì)和最值的求法，可以通過E[6,8],3X2(0,+8)使g(%2)-

/(%1)<0成立先將問題轉(zhuǎn)化為9(%)min</(%)max，從而分別求/(%)max和9(%)min，又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)為定義

在區(qū)間[0,+8)內(nèi)的3級(jí)假周期函數(shù)且T=2,所以可以通過圖像分析出函數(shù)/(%)在[6,8]的最大值，而對(duì)于

函數(shù)g(x)=-21nx+|x2+%+m,可以通過求導(dǎo)的方式求得函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)或久)的最小值，

并通過g(%)minWf(%)max求得m的取值范圍.

——2欠20VXV1

2乙X

(/(2—x),l<x<2

所以當(dāng)OWxWl時(shí)，/(x)=|-2%2,有最大值/'(0)=(,最小值/⑴=—|,

當(dāng)1<%<2時(shí)，/(x)=/(2-x),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則此時(shí)有-|<f(x)</

而三的6[6,8],SX2￡(0,+8)使9(右)一/。1)W0成立可以轉(zhuǎn)化為g(X)minS/(X)max

又由函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[0,+8)內(nèi)的3級(jí)假周期函數(shù)，且T=2；

則當(dāng)xe[6,8),3/(%)=/(%+2),即f(x)=33f(x-6),則有一段Wf(x)W段，

所以當(dāng)xe[6,8]時(shí)，/(8)=27/(2)=81/(0)=弓，

則函數(shù)/(尤)在區(qū)間[6,8]上的最大值為〃8)=y;

對(duì)于函數(shù)g(x)=-21nx+(/+%+g,有g(shù)f(x)=i?"”)

所以在(0,1)上，g'(x)<0,函數(shù)g(x)為減函數(shù)，

在(L+8)上,g'(x)>0,函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

則函數(shù)g(無)在(0,+8)上的最小值為g(i)=|+小，

而問題轉(zhuǎn)化為g(K)min<f(%)max，即|+巾Wy-得到TH范圍為(-8,39].

故選：C.

【變式6-3](2025?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(久+1)=|fQ),且當(dāng)工￡。1)時(shí),f(x)=

1一|2萬一1|.當(dāng)xe[zn,+8)時(shí)，/(%)<則ni的最小值為()

A.—B.—C.—D.—

8844

【答案】B

【解題思路】

根據(jù)已知計(jì)算出/⑺=表[1—|2x—(2n+l)|]W表，畫出圖象，計(jì)算/(%)=*解得“得，從而求出m的

最小值.

【解答過程】由題意得，當(dāng)久C[1,2)時(shí)，故/(%)=[/(>—l)=|(l—|2x—3|),

當(dāng)x￡[2,3)時(shí)，故/(久)=-/(x—1)=i(1-|2x-5|)...,

24

可得在區(qū)間[科九+l)(neZ)上,/(x)=^[1-|2x-(2n+1)|]<表,

所以當(dāng)nN4時(shí)，f(x)W*作函數(shù)y=y(x)的圖象，如圖所示,

1久=弓，則加之弓,

所以ni的最小值為烏

8

故選:B.

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】

【例7】(2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)乃都有/(*)=/(X-2)-

f(4一久)，且f(0)=2,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B.f(x)為周期函數(shù)且周期為12

C."4)=-1D.能"(2i)=2

【答案】D

【解題思路】用x+2代替%,可得f(2+x)+f(2—x)=f(x),可判斷C；用-x替換x,結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)

可得A正確；用x+2替換x,結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得B正確；由函數(shù)的周期性可得D錯(cuò)誤.

【解答過程】因?yàn)閒(x)=/'(#—2)—f(4-行,用％+2代替久,可得/(2+k)+/(2—“)=(0),

令x=0,得f(0)=2/(2)=2,即[2)=1,

令x=2,得f(4)+/(0)=/(2),所以/(4)=/(2)—/(0)=1—2=-1,C正確;

用一x替換工,可得/(2-x)+f(2+%)=f(-x),所以f(x)=/(-得,

所以函數(shù)/O)為偶函數(shù)，A正確；

用x+2替換%,可得/(4+x)+f(-%)=/■(尤+2),

所以/'(4+%)+/(x)=f(x+2),所以/'(%)=/(x+2)-f(x+4),

所以/'(%+2)=/(%+4)-/(x+6),即f(x+6)=-f(x).

所以/'(%+12)=-f(x+6)=/(x),

故/(%)是以12為周期的周期函數(shù)，B正確；

/(6)=-/(0)=-2,

所以,(6)=f(4)—f(—2)=f(4)—f(2)=-1—1=—2；

"8)=-(⑵=-1,/(IO)=-((4)=1,/(12)=2,

所以=4[1+(-1)+(-2)+(-1)+1+2]+1=1,D錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式7-1](2025?江西九江?一模)定義在R上的函數(shù)/O)滿足:①對(duì)任意久GR,都有/(2+乃=/(I)-/(-x)；

②/(2x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱：③/(2)=1J(|)=?.則下列說法正確的是()

A./0+2)是奇函數(shù)B./(x+1)是偶函數(shù)

c-/(-1)=-?4；(加。

【答案】c

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性可得/(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，直線x=2對(duì)稱，且以以4為周期的周期函數(shù)，即

可根據(jù)函數(shù)圖象的平移，結(jié)合奇偶性的定義求解.

【解答過程】令久=—1,得汽2-1