1.1菱形的性質(zhì)與判定

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

I.若順次連接四邊形入BC。各邊中點所得的四邊形是菱形，則四邊形人8C。必定是（）

A.菱形B.對角線相互垂直的四邊形

C.正方形D.對角線相等的四邊形

2.如圖，菱形A8CO中，AC=8,BD=6,則菱形的周長為（）

A.48B.40C.24D.20

3.如圖，兩個相同的菱形拼接在一起，若加心=15。，則N8C產(chǎn)的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.30°D.70°

4.如圖，四邊形A48是平行四邊形，以點A為圓心，A8的長為半徑畫弧，交AD于點F；分別以

點B,尸為圓心，大于38尸的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；連結(jié)AG并延長，交BC于點、E.連

結(jié)BF,若==則A8的長為（）

5.如圖，四邊形A8c。中，AB=BC=CD=DA,ZB=80°,連接AC,那么NACO的度數(shù)為（）

AD

A.45°B.50°C.55°D.60°

6.如圖，四邊形A8C￡＞是菱形，AB=2日且NA6C=NA8E=60。，G為對角線8。（不含8點）上

任意一點，將“8G繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到當(dāng)AG+8G+CG取最小值時E尸的長（）

A.75B.3C.1D.2

7.如圖，在菱形AAC。中，ZABC=70。，則24m的度數(shù)是（）

A.110°B.70°C.45°D.35°

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜8中，菱形Q4BC的頂點C在上軸的正半軸上.若點A的坐標(biāo)是（3,4）,

9.菱形相鄰兩角的比為1:2,那么菱形的對角線長與邊長的比為（）

A.1:2:3B.1:2:1C.1:2:6D.1：衣1

10.如圖，在平行四邊形八"CD中，上"W的平分線交NC于點E,Z4BC的平分線交4。于點尸，

若8尸=12,A8=10,則4七的長為（）

11.如圖，VA0E和V8b是菱形A8CO外的兩個等邊三角形，連接所則二二的最大值為（）

A.V14-1B.2y/1C.3D.5/3+1

12.下列命題中，正確的是（）

A.兩點之間，線段最短B.菱形的對角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對稱圖形

二、填空題

13.如圖，方格紙中有一個四邊形ABC。（A,B,C,。均為格點）若方格紙中每個最小正方形的邊

長為1，則該四邊形的面積為一.

14.如圖，在菱形ABC。中，ZAfiC=l20°,P是對角線4c上的一個動點，若以點A為原點建立直角

坐標(biāo)系，A8所在直線為x軸，點8（2,0）,當(dāng)取最小值時，在下列結(jié)論中：①CP=2AP；

②△APO是等腰三角形；③點尸的坐標(biāo)是（1,y）；④直線切的解析式是產(chǎn)一半x+竽.其

中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

19.如圖，在菱形A8CQ中，ZA3c=60。，AB=4.過點A作對角線80的平行線與邊CO的延長線

相交于點E,『為邊6。上的一個動點(不與端點〃，。重合)，連接辦，PE,AC.

⑴求證：四邊形A8DE是平行四邊形.

(2)求四邊形A8OE的周長和面積.

⑶記△八AP的周氏和面積分別為G和$，&PDE的周長和面積分別為G和邑，在點P的運動過程中，

試探究下列兩個式子的值或范圍：①G+G，②$+邑，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果

不是定值的，請直接寫出它的雙值范圍.

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，/4A。的平分線交4c于點E,點尸在人拉上，且A尸=A4,連

接BF交AE于點G,連接砂.

⑴求證：四邊形所是菱形;

(2)若8/=10,人4=10,求菱形47叱的面積.

21.如圖，在菱形48co中，E,尸分別是邊CD8c上的點，^DE=BF,連接BE,交于點G.求

證：BE=DF.

22.如圖，已知菱形ABC。的邊長為2cm,/班。=120。，求這個菱形的兩條對角線的長.

D

BC

23.如圖，在四邊形A8CO中，AB//CD,AB=AD,CB=CD,點、E是CD上一息,連接BE交AC

于點R連接

⑴求證：四邊形4BC。是菱形：

⑵試探究8E滿足什么條件時，/EFD=/BCD,并說明理由.

24.如圖，平行四邊形A5C。中，A8=BC=6cm,/4QC=60。，點￡從點。出發(fā)，以lcm/s的速度沿

射線。A運動，同時點尸從點,4出發(fā)，以lcm/s的速度沿射線人8運動，連接CE、CFEF,設(shè)運動

時間為小).

AEDAEDEAD

⑴當(dāng)z=3s時，連接AC與EF交于點G,如圖①所示

(2)當(dāng)石、尸分別在線段A。和相上時，如圖②所示,

①求證：ACEF是等邊三角形;

②連接“。交CE于點G,若BG=BC,求"的長和此時的/值.

⑶當(dāng)E、產(chǎn)分別運動到。4和筋的延長線上時，如圖③所示，若EF=3Rcm,直接寫出此時，的值.

參考答案

題號12345678910

答案DDADBDDDDA

題號1112

答案DA

1.D

【分析】根據(jù)四邊形為菱形得到所=Q=G〃=HE,由三侑形的中位線定理得到防二9。,

EF//BD；EH=-AC,EH//AC,得出AC=8O,即可得到答案.

2

EF=FG=GH=HE,

,點￡、廠分別是A。、A8的中點，

；.EF是三角形ABD的中位線，

;.EF=LBD,EF〃BD,

2

同理，EH=—AC,EH//AC

2

AC=BD,

???四邊形ABC。必定是對角線相等的四邊形.

故選：D.

【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理.這類題的一般解法是：借助圖形，充分抓住

已知條件，找準(zhǔn)問題的突破口，由淺入深多角度，多側(cè)面探尋，聯(lián)想符合題設(shè)的有關(guān)知識，合理組合

發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論，圍繞所探結(jié)論環(huán)環(huán)相加，步步逼近，所探結(jié)論便會被“逼出來

2.D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識.由菱形的性質(zhì)得到

AC1BD,AO=CO=-AC=4.BO=DO=-BD=3,AB=BC=CD=DA,由勾股定理求出

22

AB=yjAO1+BO1=742+32=5?即可得到菱形的周長.

【詳解】解：,.,4C=8,BD=6,四邊形A4CO是菱形,

??.AC±BD,AO=CO=-AC=4,BO=DO=-BD=3,A8=UC=CD=DA

22

在Rtz^/WO中，NAOA=90。，

?*,AB=\lAO2+BO1=\IA-2+32=5?

???菱形的周長為AI3+I3C+CD+DA=4AI3=20,

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)菱形對角線平分一組對角求出N4X?=2NA￡>B=30。，再根據(jù)菱形鄰角互補求出

/BCD=150°,由此即可利用周角的定義求出答案.

【詳解】解：???四邊形A8CD是菱形，乙M>3=15。，

/.ZADC=2ZADB=30°,AD//BC,

JNBCD=180°-ZADC=150°,

NDCF=NBCD=150°.

工/BCF=360°-/BCD-/DCF=60°,

故選A.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形對角線平分一組對角，菱形鄰角互補是解題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】連接正，設(shè)AE交所于點O.證明四邊形48所是菱形，利用勾股定理求出A3即可.

【洋解】解：如圖，連接FE,設(shè)人￡交M于點O.

由作圖可知：=平分/BAO,

???西邊形A4CD是平行四邊形，

???AD//BC,

ZFAE=ZAEB=/BAE,

，AB=BE,

/.AF=BE,

,/AF//BE,

???四邊形人8所是平行四邊形，

VAB=AF,

???四邊形4〃才是菱形，

/.AEA.BF,

AAO=OE=8,BO=OF=6,

在RS49B中，AB=yjAO2+BO2=10-

故選：D.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)

及菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】先證明四邊形A8CD是菱形，得到A8〃CDZACD=^ZBCD,再求出

N4cL>=180。一/4=100。即可得到答案.

【詳解】解：???四邊形AAC。中，AB=BC=CD=DA,

，四邊形/WCO是菱形.

AAB//CD,ZACD=-ZBCD,

2

工/BCD=180°-ZB=100°,

Z.Z^CD=-ZBCD=50°,

2

故選B.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟知菱形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短“，當(dāng)E,￡G,C共線時，AG+3G+CG的值最小，即等于EC的長.

【詳解】解：如圖：

???將AABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBF,

；?BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

.?28EG是等邊三角形，

；.BF=BG=FG,

：?AG+BG+CG=EF+FG+CG,根據(jù)“兩點之間線段最短”,

???當(dāng)EKGC共線時，八G+2G-CG的值最小，即等于EC的長，

過E點作交的延長線于〃，如上圖所示：

/EBH=60°,

*.*BE=AB=26,

:?BH=6EH=3,

:,EC=2EH=6,

VZC^=120°,

???NBEF=30。,

ZEBF=ZABG=3Q0,

：.EF=、CE=2,

3

故選：D.

【點睛】本題考查/旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊一角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，正確的作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對角線平分一組對角.根據(jù)菱形的對

角線平分一組對角即可求解.

【詳解】解：,??在菱形A8CO中，/A8c=70。，

/.ZABD=-ZABC=35°,

2

故選：D.

8.D

【分析】先利用兩點之間的距離公式可得04=5,再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得==由

此即可得出答案.

【詳解】解：???點A的坐標(biāo)為(3,4),

OA="(3-0尸+(4-0)2=5,

?.?四邊形。48c是菱形，

AB\\OC,AB=OA=5t

.??點4的橫坐標(biāo)為3+5=8,縱坐標(biāo)與點A的縱坐標(biāo)相同，即為4,

即3(8,4),

故選：D.

【點睛】本題土要考查了菱形的性質(zhì)和點坐標(biāo)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得菱形的兩內(nèi)角，設(shè)菱形的邊長為1,根據(jù)勾股定理求得其兩條對角線

的長，從而可得到其比值.

【詳解】因為菱形相鄰的兩角互補，

所以得到較小的角的度數(shù)是60°,較大的角是120。.

設(shè)菱形的邊長為1,則60。角步對的對角線長為1,120。角所對的對角線長是6，

所以它們所對的對角線長與邊長的比為1:6:1.

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理

等知識，解題的關(guān)鍵是求由菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù).

10.A

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得44E=NAE8；然后通過證明AF=8E得

到四邊形"所為平行四邊形，再由=推出四邊形"""為菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE_LM、

130=獷=6、AE=2AO,利用勾股定理計算出40的長，進而可得AE的長.

【詳解】解：如圖，?.?AE是N84產(chǎn)的角平分線，

:.ZBAE=ZFAE.

???四邊形AACD是平行四邊形，

..AD//BC,

:.ZFAE=ZAEB,

:&AE=ZAEB,

：.AB=BE，

同理可得HE=FA=AB,

???四邊形/ABD為平行四邊形.

-A/3=AF,

???四邊形A5所為菱形.

..AE1BF,BO=：FB=6,AE=2AO.

在中，AO=A/102-62=8*

:.AE=2AO=\6.

故選：C.

AD

BEC

【點睛】本題側(cè)重考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理，掌握兩

種四邊形的性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

11.D

【分析】作于M,伶于點N,連接MN,當(dāng)點E,M,N,尸共線時，E尸取得最

大值，即此時空的值最大.設(shè)菱形A8CO的邊長為2,求出。/=G,,?V=6,證明四邊形ABNM

AB

FF

是平行四邊形，求出MN=AB=2,進而可求出蕓的最大值.

AB

【詳解】解：作于M,作FN_L8C于點N,連接MN,

???EFWEM+MN+FN,

???當(dāng)點E,M,N,/共線時，即取得最大值，即此時空的值最大.

設(shè)菱形A8CO的邊長為2,

,/VAOE和是菱形A5CO外的兩個等邊三角形，

:?AE=ED=AD=AB=BC=2,ZAED=MAD//BC,

'：EM±AD,

AAM=^AD=\,EM72-/=G，

同理可求：BN=\,EN=0

???AM=BN,

???四邊形ABNM是平行四邊形，

:,MN=AB=2,

:.￡7"6+2+退=26+2,

???黑的最大值為：23=6+1.

AB2

故選D.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理」兩點之間線段最短，以及平行四邊

形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

12.A

【詳解】解：A.兩點之間，線段最短，故本選項命題正確，符合題意；

B.菱形的對角線互相垂直，但不一定相等，故本選項命題錯誤，不符合題意；

C.正五邊形的外角和為360，故本選項命題錯誤，不符合胭意；

D.直角三角形不一定是軸對稱圖形，故本選項命題錯誤，不符合題意.

13.12

【分析】先證明四邊形是菱形，再由圖可知菱形的兩對角線分別為6、4,根據(jù)菱形的面積計算公式

可求解.

【詳解】由網(wǎng)格圖可知AD=℃=CB=AB=j22+32=而，

即四邊形ABCO是菱形，

由圖可得，菱形的兩對角線長分別為6、4,則該菱形的面積為6x4xg=12.

故答案為：12.

【點睛】主要考查菱形的面積公式：對角線的積的一半，還考查了學(xué)生的讀圖能力.

14.①②④

【分析】過點4作A。于點〃，交A8于點E過點P作于點過點。作P0_L4。于

點Q.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得/DAC=TNDA5=30。，從而得到尸Q=gAP,進而得到當(dāng)點尸與點產(chǎn)

重合時，P8+gpA的值最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CP=2/B,再證得A尸二尸8,可得8=2”、

故①正確；連接由菱形的對稱性得=P/,故②正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

AJ=JB=\t從而得至IJP小=2"=2,進而得到戶/=在，可得到點故③錯誤；利用待定

系數(shù)法求出直線8P的解析式，可得④正確，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點B作身/JLA。于點兒交AB于點F,過點P作于點過點P作

PQ_LAO于點Q.

???四邊形八"c。是菱形，

：.AD//CB,4c平分ND48,

???NOA8+NABC=180。，

?.*NABC=120°,

???NZM8=60。，

NDAC=，NDAB=30。,

2

VPQ1AD,

???PQ=^AP,

：.PB+；AP=PB+PQNBH,

.?.當(dāng)點尸與點。重合時，+的值最小，最小值為的長,

\'AD//CB,

VZBCA=30°,

:.CP'=2P'B,

*：NA〃8=90°,Z/M￡>=60°,

???N4B〃=30。，

ZAP'B=^BAP',

：,AP'=P'B,

???CP=2AP',故①正確；

連接DP,由菱形的對稱性得PD=P'B=P'A,

???△H4。是等腰三角形，故②正確；

*：P'A=P'B,P'JIAB,

：.AJ=JB=1,

VZBAC=30°,

：.P'A=2AJ=2,

??.P7=—,

3

???點故③錯誤；

設(shè)直線BP的解析式為y=履+〃（攵/0）,

,,V3k=一

k+b=——3

3，解得：jL，

2m匹亞

3

???直線BP的解析式為y=^x+述，故④正確；

.33

故答案為：①②④

【點睛】本題考杳菱形的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考填空題中的壓釉題.

15.-

2

【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出8。=5,再證是

VABC的中位線，即可得出答案.

【詳解】解：???菱形ABC。的周長為20,

,8c=20+4=5,

YE是AC的中點，r是A8的中點，

???川是VA8C的中位線，

EF=-BC=-x5=-,

222

故答案為：

16.②

【分析】根據(jù)點。是3。的中點，點E、尸分別在線段AO及其延長線上，且DE=DF,即可證明四

邊形8瓦乃是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可作出判斷.

【詳解】解：???點。是8C的中點，

BD=CD,

又：DE=DF,

???四邊形是平行四邊形，

①8EJ.EC時，四邊形8EC五是矩形，不一定是菱形；

②A3=AC時，

???點。是8C的中點，

AD1I3C,

工A尸是AC的垂直平分線，

，BE=CE,

，平行四邊形比:b是菱形;

③四邊形是平行四邊形，則3P〃EC一定成立，故不一定是菱形.

故答案為：②.

【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，垂直平分線的性質(zhì).菱形的判定常用三種方法:

①定義：②四邊相等；③對角線互相垂直平分.理解和掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

17.24

【分析】本題考杳了菱形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可求解，掌握菱形的面積等于對角線積的一

半是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?四邊形人8C。是菱形，AC=8,BD=6,

,*S婪形A88-AC.fiD=-x8x6=24,

22

故答案為：24.

?4

18.—cm

5

【分析】本題主?要考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,先根據(jù)菱形對角線互相垂直平分得到OU0A的長.

以及AC上BD,再利用勾股定理求出BC的長，最后利用菱形面積計算公式求解即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。是菱形，且對角線相交于點。,

AOB=-BD=4cm,OC=-AC=3cmAC1.BD,

22t

,BC=dOB'OC?=5cm,

???4E是菱形的高,

???S^AHCD=BCAE=^ACBDt

?"ACBD6x924

2BC2x55

19.(1)見解析

(2)YA8OE的周長為：8+86，YA8DE的面積為：；

⑶①16+4/<￡+6<12+43+46；②S+Sz的值為定值，：這個定值為4公：

【分析】(I)利用菱形的性質(zhì)得：A13//DE,由兩組對邊分別平行的四邊形可得結(jié)論；

(2)設(shè)對角線AC與相交于點。.根據(jù)直角三角形30。角的性質(zhì)得AC的長，由勾股定理得OB的

長和8。的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得其周長和面積；

(3)①先根據(jù)三角形的周長計算G+C2=248+"力+4P+PE=8+4G+AQ+PE,確定4P+PE的

最大值和最小值即可；

根據(jù)軸對稱的最短路徑問題可得：當(dāng)P在。處時，AP+尸石的值最小，最小值是4+4=8,由圖形可

知：當(dāng)〃在點〃處時，4>十〃七的值最大，構(gòu)建直角三角形i一算即可；

②，+S?的值為定值，這個定值為46，根據(jù)面積公式可得結(jié)論.

【詳解】(I)證明：???四邊形ABC。是菱形，

，AB//CD,

即AB//DE.

???BD//AE,

.??四邊形A8DE是平行四邊形.

(2)解：設(shè)對角線AC與8。相交于點。.

???四邊形ABCO是菱形，/4比=60。，

/.ZABD=ZCBP=-ZABC=30°,ACLBD.

2

在RJAO3中，AO=-AB=2,

2

???OB=2日

/.BD=2BO=4g.

，YA8￡花的周長為：2A8+2BD=8+8G，

YAA力E的面積為：BDAO=4&2=80

}

(3)@VCl+C2=AB+IB+AP+PD+PE+DE=2AB+BD+AP+PE=S+4y/3+AP+PE,

???C和A關(guān)于直線8。對稱，

J當(dāng)/，在。處時，AP+莊的值最小，最小值是4+4=8,

當(dāng)P在點8處時，AP+PE的值最大，如圖2,

過E作EG上3D,交的延長線于G,

,?NBQE=150。,

/.ZEDG=30°,

VDE=4,

:?EG=2,DG=2￡,

□△PEG中，8G=46+2>5=6G,

由勾股定理得：PE=方+母石I=4幣,

???AP+PE的最大值是：4+4、萬，

???P為邊上的一個動點(不與端點8。重合)，

/.8+8+4G（G+GV8+4G+4+4V7,

BP16+4&<C,+G<12+4x/5+4V7；

②S+邑的值為定值，這個定值為46;

5,+5=^BPAO+|PD-（）：

理由是:2AO=gAOBP+PD=x4x/3x2=4x/3.

圖1圖2

【點睛】考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積

和周長公式，解（1）的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，解（2）的關(guān)鍵是計算QA和08的長,

解（3）的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)建直角三角形.

20.（1）見解析

⑵50G

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鋌是掌握一組鄰邊相等的平行三邊形是菱

形，菱形對角線互相垂宜且平分.

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出N84E=NAE：B,證出由得出4E=A尸，即可得

出結(jié)論.

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到8G二巾=5,利用勾股定理求出AG=5百，根據(jù)菱形的面積公式求解即

可.

【詳解】（1）證明：??,四邊形A8CD是平行四邊形,

/.AD//BC,

，ZZME=z7^B,

；AE平分一84。，

'ZBAE=/DAE,

，ZBAE=ZAEB,

：.BE=AB,

VAF=ABt

/.BE=AF,

XVBE//AF,

???四邊形4〃7是平行四邊形,

?/AF=AB,

???平行四邊形/儂尸是菱形；

(2)解：二?四邊形A8燈為菱形，

AF=AB=\^AGLBFt

又,：BF=10,

，BG=FG=5,

???AG=J1()2-52=56,

，AE=2AG=\o43,

，菱形ABEF的面積gxl0xl0"=50G.

21.見解析

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握菱形的性質(zhì)成為解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得3C=/X7,進而得至IJC￡=CF"再通過證明△BCEgAOC/即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形A8CD是菱形，

，BC=DC,

*/DE=BF,

/.DC-DE=BC-BFf即CE=C〃，

在和△QCb中，

BC=DC

<zc=zc,

CE=CF

：.\BCE^VDCF(SAS),

/.BE=DF.

22.AC=2cm,BD=25/3cm

【分析】先由菱形的性質(zhì)得A0〃8C,AB=BC,AC1BD,NABO=；NABC,BD=20B,再求

ZABO=30。，證明VABC是等邊三角形，即可求得4c長，然后由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可

求出80的長，進而可求對角線的長.

【詳解】解：設(shè)對角線AC、BD相交于點O,如圖，

???菱形48c。，

AAD//BC,AB=BC,ACJ.BD,ZABO=-ZABC,30=203,

2

，ZABC=180o-Z^D=180°-120o=60°,

:.ZABO=30°,VABC是等邊三角形，

AC=AB=2cm

/.AO=-AB=1cm

2

'OB=7AB2-OA2=V3cnv

?'BD=2OB=2>/3cm.

【點睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

解題關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等：對角線互相垂直平分；每條對角線平分一組對角.

23.(1)見解析

(2)當(dāng)8E_LCD時，/EFD=NBCD,理由見解析

【分析】(1)首先利用SSS定理證明△A4C且△AQC可得//MC=ND4C,由平行線的性質(zhì)可得

ZCAD-ZACD,再根據(jù)等角對等邊可得4D-CQ,再由條件4。，可得A2-

可得四邊形A8CO是姜形；

(2)首先證明^BCgADCF可得/CBF=NCDF,再根據(jù)BE_LCO可得NBEC=NOEF=90。，進而得到

ZEFD=ZBCD

AB=AD

【詳解】(1)證明：在△ABC和△AOC中，<C8=C。，

AC=AC

,\Z\ABC^AADC(SSS).

：,ZBAC=ZDAC.

?:AB〃CD,

:./BAC=ZACD.

：.ZDAC=ZACD.

：.AD=CD.

*：AB=AD,CB=CD,

：.AB=CB=CD=AD.

???四邊形ABC。是菱形.

(2)解：當(dāng)BEJ_C。時，NEFD=/BCD.理由：

由(1)知四邊形A8C。為菱形，

:./BCF=/DCF.

BC=DC

在/和ADC尸中，?/RCF=/DCF,

CF=CF

/.△BCF^ADCHSAS).

：?/CBF=/CDF.

?：BE1CD,

:.NBEC=NDEF=90。.

：.ZBCD+ZCBF=ZEFD+ZCDF=9()°

，ZEFD=/BCD.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，同角或等角的余角相等，靈

活運用三角形全等的判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

24.⑴3G

(2)①見解析；②七F二(9叵-3瓜)cm,t=(6石-6)s.

⑶廠(3+3G)S.

【分析】(I)由條件可知△ADC,NBC都是等邊三角