第26講機械能守恒定律的藤合應(yīng)用和功能關(guān)系

學習目標

明確目標確定方向

1.多個物體的機械能守恒定律

2理解功能關(guān)系

3綜合應(yīng)用機械能守恒定律和功能關(guān)系解決復(fù)雜實際問題

【知識回歸】回歸課本夯實基礎(chǔ)

第一部分基礎(chǔ)知識梳理

一、功能關(guān)系

1.功和能關(guān)系：功是能量轉(zhuǎn)化的量度,即做了多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化。

2.幾種常見的功能關(guān)系

(1)重力做功等于重力勢能的減少量，——&E正功重力勢能減少，功重力勢能增加

(2)彈簧彈力做功等于彈性勢能的減少量肌沖=一△反正功彈性勢能減少，負功彈性勢能增加

(3)電場力做功等于電勢能減少量。/電=一AA正功電勢能減少，負功電勢能增加

(4)合力做功等于動能的變化量?！?=△反正功動能增加，負功動能減少

(5)重力以外的其他力做功等于機械能的變化量。正功機械能增加負功機械能減少

(6)滑動摩擦力與兩物體間相對位移的乘積等于產(chǎn)生的內(nèi)能，即相對=Q。

(7)感應(yīng)電流克服安培力做的功等于產(chǎn)生的電能，即克安=6也。

二、能量守恒定律

1.內(nèi)容：能量既不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。它只能從一種形式技化為另一種形式，或者從一個

物體轉(zhuǎn)移到另一個物體,而在轉(zhuǎn)億和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變。

2.表達式：

(1)若只有兩種形式的能最相互轉(zhuǎn)化，則這兩種形式的能軟之和保持不變。如動能和電勢能相互轉(zhuǎn)化，

則E+E電=a

(2)自然界中雖然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品質(zhì)降低，所以要節(jié)約能源。

【典例分析】精選例題提高素養(yǎng)

L-a

【答案】D

【詳解】設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)最為m,設(shè)地面為零勢能面，由機械能守恒定律可得

解得

故ABC錯誤，D正確。

故選Do

【例2】多選.如圖所示，長度為R的輕桿上等距離固定質(zhì)量均為加的〃個小球，輕桿一端連接轉(zhuǎn)動點0,

將輕桿撥動到與轉(zhuǎn)動點。等高的水平位置后自由釋放，忽略一切阻力，重力加速度為后，則從釋放到輕桿

擺至豎直位置的過程中是（）

【答案】ACD

【詳解】對整體由機械能守恒有

線速度關(guān)系

對第k個小球由動能定理有

聯(lián)力解得

故B錯誤;

故C正確;

D.當輕桿對第k個小球做正功時，應(yīng)滿足

解得

故D正確。

故選ACDo

（1）求彈簧釋放時的彈性勢能；

（2）若C球不固定，求釋放彈簧后C球的最大位移;

C

甲乙

對A球，由牛頓第二定律

由系統(tǒng)機械能守恒定律得

解得

解得

系統(tǒng)動量守恒

系統(tǒng)機械能守恒

且

聯(lián)立以上各式解得

【例4】如甲圖所示為安裝在公路上強制過往車輛減速的減速帶，現(xiàn)有一水平道路上連續(xù)安裝有10個減速

帶（圖乙中木完全畫出），相鄰減速帶間的距離均為/（每個減速帶寬度遠小于/,可忽略不計）；現(xiàn)有一質(zhì)

量為加的電動小車（可視為質(zhì)點）從第1減速帶前某處以恒定功率?啟動，到達第1減速帶前已達到最大

行駛速度%。已知小車每次通過減速帶時所損失的機械能與其行駛速度相關(guān)，測量發(fā)現(xiàn)，小車在通過第5

個減速帶后，通過相鄰兩減速帶間的時間均為L通過第10個減速帶時立即關(guān)閉電門無動力滑行，小車在

又由A項可知

聯(lián)立解得

聯(lián)立解得

又

聯(lián)立解得

聯(lián)立解得

故選Co

2.如圖甲所示，質(zhì)量為，〃長木板靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為，〃的小鉛塊以水平速度收滑上木板的左

端，恰能滑至木板右端與木板相對靜止。如圖乙所示，將木板分成質(zhì)最分別為〃〃、m2的1、2兩部分，鉛

塊的初速度不變，鉛塊與木板間的動摩擦因數(shù)為則（）

A.當〃〃=加2時，鉛塊在木板1上滑行時，兩板間的作用力為卬咕

B.當〃〃=,〃2時，鉛塊能滑到木板2的最右端且剛好與木板相對靜止

C.當〃〃＞加2時，鉛塊可能滑到木板2的最右端且剛好與木板相對靜止

D.鉛塊在木板上滑行的整個過程中，圖甲情境中產(chǎn)生的內(nèi)能一定比圖乙的大

2【答案】D

【詳解】A.對整塊木板根據(jù)牛頓第二定律得

對m2根據(jù)牛頓第二定律得

解得

BC.木板分開前后鉛塊的加速度不變，其加速度為

鉛塊在木板1上滑行時，木板的加速度為

鉛塊在木板2上滑行時，木板m2的加速度為

畫出速度時間圖像，如圖所示，鉛塊和木板圖像所圍的面積表示鉛塊在木板上滑動的距離，第二次的面積

小，表示鉛塊沒有滑動到木板m2的右端，BC錯誤；

D.設(shè)鉛塊相對于木板滑動的距離為Ax,產(chǎn)生的內(nèi)能為

根據(jù)圖像

所以

鉛塊在木板上滑行的整個過程中，圖甲情境中產(chǎn)生的內(nèi)能一定比圖乙的大，D正確。

故選Do

21I

多選3.如圖所示，有一條柔軟的質(zhì)量為加、長為L的均勻鏈條，開始時鏈條的中長在水平桌面上，而右

長垂于桌外，用外力使鏈條靜止。不計一切摩擦，桌子足夠高。下列說法中正確的是（）

▲-

乙

3-

—

-?

3【答案】BD

【詳解】AB.若自由釋放鏈條，以桌面為零重力勢能參考平面，根據(jù)機械能守恒可得

解得鏈條剛離開桌面時的速度為

B正確，A錯誤；

L

CD.若要把鏈條全部拉回桌面上，至少要對鏈條做的功等于垂于桌外彳鏈條增加的重力勢能，則有

D正確，C錯誤。

A.A、B和輕桿組成的系統(tǒng)在運動過程中機械能守恒

C.B球到達最低點的過程中，桿對A球做負功

4【答案】ABD

【詳解】A.球A、B和輕桿組成的系統(tǒng)只有動能和勢能間的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機械能守恒，A正確:

B.釋放后B球到達最低點的過程中，由機械能守恒定律，有

因為A、B均做半徑相同的圓周運動且角速度相等，可得

解得

B正確;

C.B球到達最低點的過程中，設(shè)輕桿對A球做的功為必TA,對A球應(yīng)用動能定理可得

又

解得

C錯誤;

D.設(shè)B球到達右側(cè)最高點時，0B與豎直方向之間的央角為，如圖所示

取圓環(huán)的圓心。所在的水平面為參考平面，由系統(tǒng)機械能守恒可得

代入數(shù)據(jù)可得

所以B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域內(nèi)達到最高點時，高于圓心0的高度

D正確。

故選ABD0

多選5.如圖所示，。、〃兩物塊質(zhì)量分別為機、2m,用不計質(zhì)量的細繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側(cè)。開

始時，a、。兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊仇然后由靜止釋放，直至。、。物塊間高度差為小b

未落地，不計滑輪質(zhì)量和一切阻力，重力加速度為g。在此過程中，下列說法正確的是（）

aUOb

A.人物體的加速度大小為:g

B.繩子拉力大小是〃電

D.此過程物塊?？朔亓ψ龉椤?/p>

5【答案】C

【詳解】AB.對b物體，根據(jù)牛頓第二定律有

對a物體，根據(jù)牛頓第二定律有

解得

故AB錯誤；

C.塊a、b組成的系統(tǒng)，運動過程中物塊a、b的速度大小始終相同，在a、b物塊間高度差為h時，根據(jù)

機械能守恒，有

解得

故C正確；

h

D.物塊a上升的高度為5,此過程物塊a克服重力做功為

故D錯誤；

Q

A.物體P的機械能增加，物體Q的機械能減少

B.物體P的速度先增加后減小

C.物體Q的重力勢能減少20J

D.物體P運動的最大速度為4m/s

6【答案】AD

【詳解】AB、從A到B繩上的拉力對物體P做正功，所以物體P的機械能增加，速度一直增大，繩的拉力

對Q做負功，所以Q機械能減少，故A正確，B錯誤，

C、重力對物體Q的做的功為

根據(jù)幾何關(guān)系

解得

所以物體Q的重力勢能減少8J,故C錯誤，

D、對于PQ組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得：物體P運動到B處時，Q的速度為0。

解得

v=4m/s

故D正確。

故選AD-

A.剛釋放物體B時，物體A受到細線的拉力大小為等

B.物體A到最高點時，A所受合力大小為〃吆

C.物體B下落至最低點時，A和彈簧組成系統(tǒng)的機械能最大

7【答案】ACD

【詳解】A.剛釋放物體B時，以A、B組成的系統(tǒng)為研究對象，有

解得

對B研究

解得

mg

故物體A受到細線的拉力大小為2,故A.正確；

BC.對于A、B物體以及彈簧組成的系統(tǒng)，只有彈簧的彈力和重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，B減小的機械能

轉(zhuǎn)化為A的機械能以及彈簧的彈性勢能，故當B下落至最低點時，A和彈簧組成系統(tǒng)的機械能最大，且此

時A上升到最高位置，根據(jù)對稱性可知B產(chǎn)生的加速度大小也為

故對B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知

解得

故AB整體研究，可得

解得

對A研究，A受到彈簧拉力、重力和繩子的拉力，則

故B錯誤，C正確；

D.手拖住物塊8時:物塊A靜止，設(shè)此時彈簧的壓縮量為工,對物塊A根據(jù)平衡條件可得

解得

當物體A上升過程中，當A和B整體的加速度為0時速度達到最大值%,此時細線對A的拉力大小剛好等

于摩,設(shè)此時彈簧的伸長量為為，則

解得

所以此時彈簧的彈性勢能與初始位置時相同，對A、B和彈簧組成的系統(tǒng)，根據(jù)機械能守恒定律得

解得

故D正確。

故選ACD。

多選8.如圖所示，長度為L的輕桿兩端分別固定質(zhì)量為〃，的小球，桿的三等分點0處有光滑的水平轉(zhuǎn)動

軸，。點更靠近1號小球。整個裝置可以在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。將裝置固定在桿恰好水平的位置由睜止釋放，不

計一切阻力，當桿到達豎直位置時（）

C.1號小球的機械能守恒

8【答案】D

【詳解】AB.當桿到達豎直位置時，設(shè)兩小球的速度分別為vl、v2.兩小球的角速度相同，有

由系統(tǒng)機械能守恒得

聯(lián)立解得

故AB不符合題意；

C.1號小球上升到最高點過程中動能和勢能都增大，機械能增加，故C不符合題意；

D.對2號小球由動能定理得

解得

故D符合題意。

故選Do

9答案】ABD

由乙圖可知

解得

a=4

故A正確；

BC.重力勢能轉(zhuǎn)化為摩擦熱和彈簧的彈性勢能，根據(jù)

解得

解得小球剛接觸彈簧時速度大小為

故B正確；C錯誤；

解得

當小球速度最大時，小球加速度為零，根據(jù)平衡條件

又

解得

故選ABD0

多選10.如圖所示，傳送帶以速度I，勻速運動，將質(zhì)量為，〃的物體無初速度地放在傳送帶上的A端，物體

被傳送帶送到8端。若A、8間的距離為心物塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為〃，則下列敘述可能正確的

是（）

A（3n____二______（B?）

A.傳送帶對物體做的功為〃八,2

C.傳送帶克服摩擦力做的功為〃小

D.在傳送物體的過程中產(chǎn)生的熱量為

10【答案】BC

【詳解】AB.若物體到達傳送帶B端前已經(jīng)與傳送帶共速，根據(jù)動能定理可知，傳送帶對物體做的功為

若物體到達傳送帶B端時還未與傳送帶共速，則傳送帶對物體做的功為

故A錯誤，B正確；

C.當L足夠長，物體到達傳送帶B端前已經(jīng)與傳送帶共速，設(shè)加速的時間為，，則物體的位移為

傳送帶的位移為

傳送帶克服摩擦力做的功為

傳送帶對物體做的功為

聯(lián)立可得

故C正確;

D.當心足夠長，物體到達傳送帶B端前已經(jīng)與傳送帶共速，在傳送物體的過程中產(chǎn)生的熱量為

若物體到達傳送帶B端時還未與傳送帶共速，物體從A端到B端的時間為

則傳送帶的位移為

則在傳送物體的過程中產(chǎn)生的熱量

可知無論哪種情況，在傳送物體的過程中產(chǎn)生的熱量都小丁〃八；，故D錯誤。

故選BCo

（1）小鋼珠經(jīng)過N點時的速度為多少；

（2）小鋼珠到達N點時對上管壁的壓力為多少;

（3）彈簧釋放的彈性勢能為多少。

【詳解】（1）小鋼珠從N點飛出后做平拋運動，則

解得小鋼珠在N點的速度為

（2）小鋼珠到達N點時，根據(jù)牛頓第二定律有

解得上管壁對小鋼珠壓力為

則小鋼珠到達N點時對上管壁的壓力大小

（3）小鋼珠從M點到N點過程中，根據(jù)機械能守恒定律有

解得彈簧釋放的彈性勢能為

12.質(zhì)量均為小的兩個小球P和Q,中間用輕質(zhì)桿固定連接，在離P球/處有一個光滑固定軸0,0Q長為3/,

如圖所示?，F(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低點位置時，求

（1）小球P和Q的速度大小分別為匕和匕，求：；

（2）小球P和Q的速度期和辦的大小;

Q

【詳解】（1）小球P和Q繞同桿的。點轉(zhuǎn)動，具有相同的角速度，則有

故有

（2）小球P和Q一起轉(zhuǎn)動的過程，系統(tǒng)只有重力做功，由機械能守恒定律有

聯(lián)力解得

（1）放手瞬間A物體的加速度大?。?/p>

（2）此時物體A,物體B速率之上；

（3）此時物體B的速度大小。

【詳解】（1）放手的瞬間A豎直方向只受重力，故加速度

A的速度沿繩子的分速度等于B的速度，如圖所示

則有

vAcos370=vB

解得

（3）A和B組成的系統(tǒng)能量守恒有

解得

vB=1.44m/s

（1）求C點與O點的高度差人；

（2）若只改變小球的質(zhì)量，使小球運動過程中不脫離圓弧軌道，求小球質(zhì)量的取值范圍。

M

【詳解】（I）小球到達圓弧的C點時剛好脫陽軌道，則小球在C點只有重力沿co方向的分力提供向心力,

設(shè)重力方向與CO的夾角為e,由牛頓第二定律有

由幾何關(guān)系有

從靜止釋放到c點，由能量守恒定律有

聯(lián)立解得

（2）小球在運動過程中不脫離軌道，可知小球能通過M點，則應(yīng)有

從靜止釋放到M點，由能量守恒定律有

解得

15.如圖，傾角為53。的足夠長斜面固定在地面上，勁度系數(shù)為幺豎直放置的輕彈簧兩端拴接著A、B物塊，

跨過輕滑輪的輕繩拴接著A、C物塊。開始時C在平行斜面方向的外力作用下處于靜止狀態(tài)，繩恰好繃直且

無張力?，F(xiàn)撤去外力，C沿斜面向下運動。已知A、B、C的質(zhì)量均為機.重力加速度為g,忽略一切摩擦,

取$in530=0.8°求：

（1）C處于靜止狀態(tài)時所加外力尸的大??；

（2）當彈簧恢復(fù)原長時C的速度大??；

（3）此后的過程中，B受到地面支持力N