基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二P106T8改）如圖，若長方體ABCD-A5C。中被截去體積較小的一部分,

其中則剩下的幾何體是（C）

（第1題）

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.簡單組合體

2.（人A必二Pll9Tl改）已知圓錐的表面積為12兀cn?,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則

底面圓的半徑為（B）

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.2cm

【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為/,因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以

Ttl—2nr,即/=2r,所以兀戶+?！?兀戶+a-2r=3nr2=12兀，解得r=2（cm）.

3.如圖，一個(gè)水平放置的△A3。的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形若夕4

=B'O'=1,則原三角形A3。的面積為_也_.

【解析】根據(jù)題意可得O'A'=y12,如圖，在△ABO中，OB=O'B'=1,OA=2O'A'=

2巾,所以△AB。的面積為S=；X1X2W=M1

（第3題答）

4.（AA必二Pll9T2）當(dāng)一個(gè)球的半徑為工時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等.

【解析】設(shè)球的半徑為R,由題意，得%爐=4兀片，解得R=3.

5.(人A必二Pl20T3改)如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱A4i=16.若側(cè)面

水平放置時(shí)，液面恰好過AC,BC,AiCi,BiG的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，

液面高為12.

A.4,

(第5題)

【解析】設(shè)△ABC的面積為a,底面ABC水平放置時(shí)，液面高為人，側(cè)面44山出水

33、

平放置時(shí)，水的體積為V=WSA4BC-AAI=WO16=12〃當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的體積為V

=S^ABch=ah,于是a/z=12a,解得/z=12,所以當(dāng)?shù)酌鍭3C水平放置時(shí)，液面高為12.

聚焦知識

1.直觀圖的斜二測畫法

(1)原圖形中，x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，叫軸、V,軸的夾角為45。(或135。),

Z，軸與X，軸、"軸所在平面一垂直一.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸

的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话胍?

(3)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖面積與原圖形面積的關(guān)系：

CDs直觀圖原圖形；②S原圖形=2吸S直觀圖.

2.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

SD'

>A

圖形

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn)，延長線

側(cè)棱平行且相等

但不一定相等交于一點(diǎn)

側(cè)面

一平行四邊形一一三角形一一梯形一

形狀

V=gsh

體積公式V=Sh

+S下

說明：多面體的表面積是各個(gè)面的面積的和.

3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

\0

a

圖形A

互相平行且相X

延長線交于一

母線等，垂直于底相交于一點(diǎn)

點(diǎn)

面

軸截面_矩形._等腰三角形一一等腰梯形一圓面

X

—

、----J

/\「/1」二

側(cè)面展開圖/皿產(chǎn)

亡3?

S圓臺側(cè)—_7i(ri

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=_2兀S圓錐側(cè)=S球=4兀尺2

+r2)/_

1?

V圓臺=］?！?無4R

體積V圓柱=_67?—V圓錐=^Sh丫球=鏟尺3

+^+nr2)_

4.重要結(jié)論：

(1)四棱柱、四面體的結(jié)構(gòu)特征及關(guān)系

底面是覃平行|側(cè)棱垂直

直平相鄰底

西|行四邊疙六面體于底面

行

六邊垂直

長方體

面

柱側(cè)棱垂直直四底面是平體

所有國

于底面棱柱行四邊形均相等|

正方體

以氐回口'J

四射影是底面中心正三四個(gè)面均為正四

面r

i本底面為正三角形棱錐正三角形.面體

(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論：

①設(shè)正方體的棱長為。，球的半徑為R.

若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=4a；

若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

若球與正方體的各棱相切，則2R=pa.

②若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R

y]a2+b2+c2.

③正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目怖11」基本立體圖形

視角1結(jié)構(gòu)特征

例1-1下列命題中正確的是（D）

A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線

B.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐

C.棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等

D.棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)

【解析】A不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；B不一定，當(dāng)以斜邊

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐；C錯(cuò)誤，棱臺的上、

下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等；由

棱臺的定義知，棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，D正確.

〈總結(jié)提煉,

識別空間幾何體的兩種方法

（1）定義法：緊扣定義，由已知條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中

的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定.

（2）反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)

反例即可.

變式1-1（多選）下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（CD）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長方體是直平行六面體

D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

【解析】A中，當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心時(shí)才是正棱錐，故A不正確.B

中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一

部分，故B不正確.易知C正確.D中，如圖，正方體A8CD-4BC1O1中的三棱錐G-ABC,

四個(gè)面都是直角三角形，故D正確.

（變式1-1答）

視角2直觀圖

例1-2已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中

O'A'//B'C,ZO'A'B'=90°,O'A'=\,B'C'=2,則原四邊形OABC的面積為（B）

(例1-2)

A.B,3啦

C.4^2D.5陋

【解析】方法一：由已知求得。，<7=也，把直觀圖還原后如圖所示，可得原圖形為直

角梯形，OA〃CB,OA±OC,且。4=1,BC=2,OC=2y[2,故原四邊形OABC的面積為g

/(1+2)義2a=3卷

(例1-2答)

13

方法二：由題意知49=1,所以S直觀圖=]X(1+2)X1=5,所以S原圖形=2<5s直觀圖=

3班.

〈總結(jié)提煉〉

在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.平行于無軸的線段平行性不變，長度不變;

平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.

變式1-2如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形0A8C的斜二測直觀圖是平行四邊形OAEC,

且。，。=20女=2,ZA'O'C^45°,則平面圖形。4BC的周長為(D)

A.12B.4也

C.5D.10

【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知該平面圖形是矩形，如圖，可知AB=4,OA=1,

故平面圖形0ABe的周長為2(OA+AB)=10.

y，

4J8

\A

O1x

（變式1-2答）

視角3展開圖

例1-3（1）如圖，在正三棱錐S-4BC中，ZBSC=40°,85=2,一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)8出發(fā),

沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為（C）

(例1-3(1))

A.2B.3

C.2小D.3小

【解析】將三棱錐S-ABC沿側(cè)棱展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，其中ZBSB'=120°,

BS=QS=2.一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)2出發(fā),沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為

根據(jù)余弦定理得BB,=^4+4+2X2X2x1=25.

（例1-3⑴答）

（2）某圓柱的高為2,底面周長為16,M,N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，其

中。ELLON,如圖所示.則在此圓柱側(cè)面上，從加到N的路徑中，最短路徑的長為（B）

N

（例1-3（2））

A.2y[17B.2小

C.3D.2

【解析】圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置（N為￡尸的四等分點(diǎn)）如圖所示，連接MN,

則圖中MN即為M到N的最短路徑.EN=；X16=4,EM=2,所以MN=ylEM2+EN2=

^22+42=2A/5.

M__________

2

EA、NP

(例1-3⑵答)

〈總結(jié)提煉,

立體圖形的展開是指將空間圖形沿某一條棱展開為平面圖形，研究其面積或者距離的最

小值，把幾何體中的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離問題.

變式1-3如圖所示，圓臺母線AB長為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和10cm,

從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè);面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，則這條繩長的最小值為50cm.

(變式1-3)

【解析】作出圓臺的軸截面與側(cè)面展開圖，如圖所示.如圖⑴，由其軸截面中RtZk。出

OA5-

與RtZkOQB相似，得OA+AB/,可得。4=20cm.如圖(2),設(shè)/B0B，=a,由于38的長

與底面圓的周長相等，而底面圓的周長為20%cm,所以筋，=20兀cm.又扇形夕的半徑為

OA+AB=20+20=40(cm),扇形08夕所在圓的周長為2兀X40=807t(cm),所以靛，的長度為

所在圓周長的：，所以08_L0Q.在Rt△夕0M中，402+302=50(cm),故所求繩長的

最小值為50cm.

圖⑵

(變式1-3答)

目標(biāo)巴多面體的表面積與體積

例2(1)如圖，已知正三棱柱48C-4B1C1的底面邊長是2,D,E分別是CG，8C的

中點(diǎn)，AE=DE,則此正三棱柱的側(cè)棱長為2/2；表面積為12小+2小.

￡c

（例2（1））

【解析】設(shè)正三棱柱A8C-A21G的側(cè)棱長為無，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AELBC.

又底面ABCJ_側(cè)面BBCiC,且交線為BC,所以AEJJ則面BBCC.因?yàn)椤！陁平面BBQC,

所以AELOE在Rt/XAE。中，由AE=DE,小，解得x=25，所以此正三棱

柱的側(cè)棱長為2，5設(shè)正三棱柱ABC-4SC1的表面積為S,側(cè)面積為SW"，底面積為S底，則

S制=3X2X2陋=12陋，S箴=2義看義22=2事,所以S=S例+S底=12也+2小.

（2）（2024?天津卷）已知五面體4BC-。跖中，4O〃BE〃CR且兩兩之間距離為1.已知4。

=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為（C）

(例2(2))

A近B"+工

A.664十2

「吏D±s/3_l

J2U42

［解析］如圖，用一個(gè)完全相同的五面體HIJ-LMN（項(xiàng)點(diǎn)與五面體ABC-DEF——對應(yīng)）

與該五面體相嵌，使得￡）,N；E,M-,F,L重合.因?yàn)锳￡>〃BE〃CF,且兩兩之間距離為

1,AD=\,BE=2,CF=3,則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂

直的截面）是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4.故該三棱柱的體積為

-^X12X4=V3,則該五面體的體積為坐.

（例2（2）答）

變式2（2023?全國甲卷文）在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA

=PB=2,PC=#,則該三棱錐的體積為（A）

A.1B.小

C.2D.3

【解析】如圖，取中點(diǎn)E,連接PE,CE因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的等邊三角形，

PA=PB=2,所以CELLAR又PE,C￡u平面PEC,PECCE=E,所以AB_L平面

PEC.又PE=CE=2X^=?PC=^6,所以PC2=PE2+CE2,即PE_LCE,所以丫=力一

PEC+VA-PEC=^SAPEC'AB=^X1X^/3X^/3X2=1.

(變式2答)

目標(biāo)回旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積

例3(1)(2024?臨汾三模)宋代是中國瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官

窯、哥窯、鈞窯、定窯.其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首.如圖(1),這是汝窯雙耳罐，該汝

窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺拼接而成，其直觀圖如圖(2)所示.已知該汝窯雙耳罐下底面

圓的直徑是12cm,中間圓的直徑是20cm,上底面圓的直徑是8cm,高是14cm,且上、下

兩圓臺的高之比是3：4,則該汝窯雙耳罐的體積是(D)

(例3(1))

1784兀③1884兀

cmB.:cm3

A.——3

230471250471

1cm3D.:cm3

33

3

【解析】上、下兩圓臺的高之比是3：4,故上圓臺的高為14X干=6(cm),下圓臺

4兀(42+102+416X100)

的高為14X甜］=8(cm),故上圓臺的體積為Vi=6X—312ji(cm3),

3

兀(62+102+436X100)1568兀

下圓臺的體積為L=8X■(cm3),故該汝窯雙耳罐的體積為Vi

33

1568兀2504兀

+I4=312K-|-:(cm3).

33

(2)(2024.福州、廈門三檢)已知圓錐的體積為厚，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則

它的母線長為2.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長為/.因?yàn)樗膫?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則2〃

=nl,即/=2八又圓錐的體積為，兀^義《/2—3=當(dāng)4則可解得廠=1,1=2,故母線長為2.

變式3(2024.九省聯(lián)考)若軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則

2

圓錐的體積與球O的體積的比值是—展，圓錐腦彳的表面積與球O的表面積的比值是

1.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，球。的半徑為凡因?yàn)閳A錐的軸截面為正

三角形，所以圓錐MAT的高h(yuǎn)=y[3r,母線Z=2r,圓錐MAT的體積-=；兀//1=當(dāng)兀r3.由題

可知g2凡所以球。的半徑K=與，球o的體積吩=爭?3=%><惇)=坐標(biāo)，所以

卷=11_=,.圓錐A/M'的表面積Si=nrl+nrz=3nr2,球0的表面積S?=4兀R?=4兀X

=3兀3，所以滬蓼=L

新視角I祖迪原理

內(nèi)容：森勢既同，則積不容異.

含義：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，

兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.

應(yīng)用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等.

例4有一個(gè)球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直徑為8,高為2,

利用祖晅原理可求得該球形瓷碗的體積為_券一.

【解析】設(shè)瓷碗所在球。1的半徑為R,則有(R—2)2+42=相，得R=5.設(shè)從瓷碗碗口

截面圓心。2處任意豎直距離。2。3=〃(。3也可在。2下方，此時(shí)/?<()),如圖(1),則瓷碗的

22

截面圓半徑O3F=yj5-(3+/j),面積為兀[52—(3+〃)2].如圖(2),在以過球心的截面圓為底

面圓，以R=5為高的圓柱中挖去一個(gè)等底等高的圓錐，其中圓。與圓Q在同一平面上，

圓。3所在平面截圓柱所得截面的圓心為。5,易知OsM=3-\-h,故圓環(huán)的面積也為n[52—(3

+〃)2],即在求瓷碗體積時(shí),符合祖晅原理(備注：瓷碗是圖⑶中上方倒扣的部分).當(dāng)h=Q時(shí)，

如圖(4)所示，此時(shí)OC=8C=3.由祖膽原理得，圖(3)中圓。2與圓。1之間部分的幾何體的

體積山=圓柱的體積一圓錐的體積=7tX52X3—9n*32乂3=66%，所以瓷碗的體積V2=V

4,152兀

半球-匕=]*兀><53*5_Vi=~^—

變式4如圖，某個(gè)西晉越窯臥足杯的上、下底為互相平行的圓面，側(cè)面為球面的一部

分，上底面的直徑為4祈cm,下底面的直徑為6cm,上、下底面間的距離為3cm,則該臥

足杯側(cè)面所在的球面的半徑是工cm；臥足杯的容積是54兀cm3（杯的厚度忽略不計(jì)）.

（變式4）

【解析】如圖（1）,設(shè)球體的半徑為Rem,00i=xcm.由0河2=0必，得/+（2加產(chǎn)=

（X+3）2+32,解得X=1,所以R=y。。彳+。1冊=5.由祖晅原理知,碗的體積等于圖（2）中高

為3cm的圓柱的體積減去一個(gè)圓臺的體積.設(shè)圓臺上底面半徑為ncm,則n=。1尸=。0]=

1,下底面半徑為廠2cm,則廠2=。2。=。2。=4.丫圓臺成（6+r?+nr2）=217i（cm3）,V?=VB

tt-V圓臺=nEh—21兀=54兀(cm3).

（變式4答）

隨堂內(nèi)化

1.（2025?蘇州期中）在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)接圓柱，若圓柱的表面積等于

圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為（D）

1垂

-B

44

A.C

1虛

-D

22

【解析】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r,R,因?yàn)閳A錐軸截面頂角為直角，所以圓錐

母線長為也R.設(shè)圓柱高為h,貝玲=，/z=R一=由題得兀乂R乂也尺=2兀戶+2兀廠乂（尺一廠），

黯邛

2.（多選）在正四棱臺ABCD-AiBrCiDi中，AB=4,49=2,441=2,則關(guān)于該正四棱

臺，下列說法正確的是（BC）

A.ZAiAB=^B.高為小

C.體積為亭D.表面積為12^3

【解析】如圖，過點(diǎn)4分別作底面ABC。、AB的垂線，垂足分別為M,N,貝

%C=也AN=^AB=可得AiM=y]AiA2—AM2=yl2必=.對于

,1,14N=、AIA2—43

在RtzMAiN中，sin乙41河=誓=噂，且N4AN為銳角，則N4AB=與，故A錯(cuò)誤；對

AAiZ3

于B,正四棱臺的高即為也，故B正確；對于C,正四棱臺的體積V=；X（4X4+

2X2+^4X4X2X2）XV2=^^,故C正確；對于D,四棱臺的表面積S=4X4+2X2+

4X亞匕/0=20+12小，故D錯(cuò)誤.

（第2題答）

3.如圖，在正方體ABCZXAiSGDi中，A2=l,E為棱AB的中點(diǎn).一個(gè)點(diǎn)從E出發(fā)在

正方體的表面上依次經(jīng)過棱881，BiCt，CiDi，DiD,D4上的點(diǎn)，又回到E,則整個(gè)線路的

最短長度為上、口

（第3題）

【解析】如圖，將正方體六個(gè)面展開，從圖中E到E,兩點(diǎn)之間線段最短，而且依次

經(jīng)過棱BBi,BiCi,CiDi,DiD,D4的中點(diǎn)，故所求的最小值為3啦.

E

E

（第3題答）

4.（2024?全國甲卷理）已知甲、乙兩個(gè)圓臺上、下底面的半徑均為力和小母線長分別為

2（r2一門）和3（r2—n）,則兩個(gè)圓臺的體積之比詈=_季_.

V乙士

【解析】由題可得兩個(gè)圓臺的高分別為h甲=y/1232—門）]2—（井2—門）2=小&2—n）,h乙

歷）〃甲_〃甲_小s—n）_

=\[3（「2-川]2一（廠2一%）2=2陋&2-H）,

V1/S2+Si+小和h「跖—2@T2-ri「

2^6

4,

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2021?新高考I卷）已知圓錐的底面半徑為吸，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長為（B）

A.2B.2吸

C.4D.45

【解析】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則位=2TTX也，

解得/=2^2.

2.（2024?新高考I卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為寸

則圓錐的體積為（B）

A.2\[3nB.3小兀

C.6M5兀D.9y[3n

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長為正午5,而它們的側(cè)面積相等，所

以2兀rX小=兀廠><、3+理,即2小=(3+/,故r=3,故圓錐的體積為$><9><小=34兀.

3.(2021?全國甲卷理)已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACLBC,

AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為(A)

A也B亞

a12口.12

C啦D近

J4u'4

【解析】因?yàn)锳C±BC,AC=BC=1,所以△ABC為等腰直角三角形，48=也，則

△ABC外接圓的半徑為坐,又球O的半徑為1,設(shè)。到平面ABC的距離為d,則d=

、卜_(?_也斫以Vd_LQxixix至-也

\1I2J—2,歷么VO-ABC—3)△錨。a—3入2入1入1八2—121

4.(2022?全國甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面

積分別為S甲和Ss體積分別為丫甲和V乙，樣=2，則t=(C)

A.小B.2啦

C.VWD.平

【解析】設(shè)圓錐母線長為/,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1,「2,高分別為①,

h2,則泉=鬻=2,所以n=2r2.又平+平=2兀，所以廠1+廠2=/,所以「|/一2=/所

以/11=41,h=\[p—ri=^^l,所以名

鄧一公=2=回.

&劭21x

5.(2022?新高考I卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水

蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為MO.Okn?；水位為海拔

157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則

該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(由心2.65)(C)

A.L0X109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

【解析】如圖，依題意可知棱臺的高M(jìn)N=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即為

棱臺的體積匕棱臺上底面面積S=180.0kn?=180X106m2,下底面面積140.0km2=

140X106m2,所以V=|/!(S+S,+VsS;)=|x9X(140X106+180X106+^/140X180X10I2)=

3X(320+60>/7)X106^(96+18X2.65)X107=1.437X109^1.4X109(m3).

HG

（第5題答）

6.（2024?廣州一模）已知正四棱臺ABCD-AiBiCiDi的上、下底面邊長分別為1和2,且

BBJDD1，則該棱臺的體積為（B）

A至B述

A.266

77

C-6D-2

【解析】如圖，連接。11,DB,取。由1,的中點(diǎn)分別為。，H,連接DXH.

在正四棱臺ABCZX4121GA中，四邊形A3CD,AiBiGA均為正方形，且。以垂直于上、

下底面，DDi=BBi,易知DB〃BH,DB=BH=@,故四邊形。由i①/為平行四邊形，

則BBi//DiH,且281=。8.因?yàn)镈DJBB1,則DDi_LDiH.又DDi=BBi=DiH,且

。8=也.由。1。2+。1〃2=?！?,即2。1”2=2,解得。1"=1.由。"_|_平面4B1C1O1,DiOc

平面A1B1C1A,則OHLO1O,則。H=5〃2—y—閨=坐.又正方形A1BC1Q1

的面積為1,正方形ABCD的面積為4,故正四棱臺ABCD-4SGD1的體積V=]x（l+4+

g）義日邛

（第6題答）

二、多項(xiàng)選擇題

7.折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇"與‘'善"諧音，折扇也寓意“善良”“善

行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇

的象征（如圖（1））.圖（2）是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓

的半徑分別是1和3,且NABC=120。，則該圓臺（BCD）

圖(1)

4

圖⑵

（第7題）

A.高為羋

B.表面積為導(dǎo)

C.體積為笠售

D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為1：9：24

【解析】對于A,設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,則2口=竽971L2成=

y-3,解得r=g,R=1.又圓臺的母線長為3—1=2,所以高為〃=422—（1—]=￥，故

A錯(cuò)誤；對于B,圓臺的上底面面積為由下底面面積為兀，側(cè)面積為無*0+1）><2=專，

所以圓臺的表面積為S=5+兀+竽=等，故B正確；對于C,圓臺的體積為V=1

兀x[（jf+；xi+12乂華=笠售，故C正確；對于D,圓臺的上底面積、下底面積和側(cè)

面積之比為：兀：號=1：9：24,故D正確.

8.（2022.新高考II卷）如圖，四邊形ABCZ）為正方形，￡D_L平面A8CD,FB//ED,A8=

ED=2FB.記三棱錐E-ACZ）,F-ABC,足ACE的體積分別為Vi，V2,V3,貝4（CD）

（第8題）

A.V3=2V2B.V3=VI

C.L=V1+WD.2V3=3V1

【解析】如圖，連接8。交AC于點(diǎn)O,連接OE,OF.設(shè)AB=ED=2FB=2,則A8=

BC=C￡)=AD=2,尸8=1.又即_1平面48?！?,FB//ED,所以加_L平面ABC。，所以％=

VE-ACD—^5AACDXED=ixyXADXCDXED=^XyX2X2X2=-t,V2—VF-ABC=T5AABCXFB

JJ乙JAJJ

=￡><；XABXBCX尸8=；xTx2X2Xl=|.因?yàn)椤?Q_L平面A8CZ),ACu平面A8G9,所以

EDIAC,又ACJ_8O,且ED,BDEF,所以AC_L平面BOE足因?yàn)?/p>

OE,OFu平面BDEF,所以AC_LOE,ACLOF.易知AC=BD=y/^AB=2巾,OB=OD=；

BD=巾,OF^yjOB2+FB2^y[3,OE=、。療+由=#,EF^y）BD2+（ED-FB）2=

\（2隹）2+（2T）2=3,所以￡產(chǎn)=。后2+。尸，所以。尸_LOE.又OECAC=。，OE,ACu平

面ACE,所以O(shè)P,平面ACE,所以L=VRACE=；SAACEXOF=W><TXAC><OEXOF=：><T

X2巾X造義小=2,所以2V2,V1WV3,V3=Vi+V2,2%=3%,故A,B錯(cuò)誤，C,

D正確.

三、填空題

9（2023?新高考1卷）在正四棱臺428-42〈1。1中，AB=2,49=1,AAi=巾,則該

棱臺的體積為_平一

【解析】如圖，由48=2,481=1,AAi=V2,貝]ACi=/，AC=2/.設(shè)ACC

O,AiCinBiDi=（9i,則AO=與XpAB=p,。。1=（也戶一—坐）=坐，所以該棱

臺的體積為V=|x（4+1+y[4Xl）X^=^.

M.

（第9題答）

10.如圖，在長方體ABCDAiBCiOi中，AB=1,BC=/,CCi=3,若尸為線段BC

上的動點(diǎn)，則。P+PG的最小值為_dn_.

（第10題）

【解析】DP,PG分別在平面AiSC￡）與平面CB1G內(nèi)移動，如圖，將平面以

CBi為軸旋轉(zhuǎn)至平面AiBiCD所在平面，得到BiCCi',則CJD即為DP+PCi的最小值.在

長方體ABCD-AiBiG。中，AB=1,BC=小,CCi=3,則NBCC1=/BiCG=30。，CD=

1,CCJ=3,則C[Z)2=i2+32_2XlX3X(—g=13,則。1￡>=行，即DP+PG的最小

值為行.

（第10題答）

11.（2024.北京卷）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量

器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為

10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗

量器的高為23mm,升量器的高為

【解析】設(shè)升量器的高為用mm,斗量器的高為歷mm,則

10,故/Z2=23mm,

12.（2