平面直角坐標(biāo)系

（4大知識點+10大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）

0題型預(yù)覽

典型例題一判斷點所在的象限

典型例題二已知點所在的象限求參數(shù)

典型例題三寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)

典型例題四求點到坐標(biāo)軸的距離

典型例題五用有序數(shù)對表示位置或路線

典型例題六實際問題在中用坐標(biāo)表示

典型例題七點坐標(biāo)規(guī)律探索

典型例題八已知兩點坐標(biāo)求兩點距離

典型例題九平面直角坐標(biāo)系中最值問題

典型例題十平面直角坐標(biāo)系中動點問題

展知識梳理

知識點01點的坐標(biāo)

（1）我們把有順序的兩個數(shù)a和〃組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a,b）.

（2）平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念

①建立平面直角坐標(biāo)系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點且垂直的數(shù)軸.

②各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸：橫軸），豎直數(shù)軸叫y軸（縱軸），x軸一般取向右為正方向，y軸一般取

象上為正方向，兩軸交點叫坐標(biāo)系的原點.它既屬于＞軸，又屬于y軸.

（3）坐標(biāo)平面的劃分

建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，

第四象限.坐標(biāo)軸上的點不屬于任何一個象限.

（4）坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對?是一一對應(yīng)的關(guān)系.

【即時訓(xùn)練】

1.（24?25七年級下?湖北宜昌?期中）在一次科學(xué)探測活動中，探測人員發(fā)現(xiàn);目標(biāo)在如圖所示的陰影區(qū)域

內(nèi)，則目標(biāo)的坐標(biāo)可能是（）

A.（-300,300）B.（400,-50U）

C.（450,600）D.（-600,-800）

【即時訓(xùn)練】

2.（24-25七年級下?湖北武漢?期中）已知點2〃L4）在y軸上，則點尸的坐標(biāo)為

知識點02規(guī)律型：點的坐標(biāo)

1.所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標(biāo)系和點坐標(biāo)的意義（2）探索各個象限的點和坐標(biāo)軸上的點其坐

標(biāo)符號規(guī)律（3）探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點的坐標(biāo)變化規(guī)律.

2.重點：探索各個象限的點和坐標(biāo)軸上的點其坐標(biāo)符號規(guī)律

3.難點：探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點的坐標(biāo)變化規(guī)律.

【即時訓(xùn)練】

1.（24?25八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）點力（-3,-2）關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為（）

A.（-3,2）B.（-2,-3）C.（3,2）D.（3,-2）

【即時訓(xùn)練】

2.（24-25八年級上?全國?課前預(yù)習(xí)）與坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)：與x軸平行的直線上點的一相同;

與丁軸平行的直線上點的—相同.

知識點03坐標(biāo)確定位置

平面內(nèi)特殊位置的點的坐標(biāo)特征

（1）各象限內(nèi)點尸（a,b）的坐標(biāo)特征：

①第一象限：a>0,b>0；②第二象限：aVO,Z?>0；③第三象限：&V0,Z?<0；④第四象限：a>0,b<

0.

（2）坐標(biāo)軸上點上（a,b）的坐標(biāo)特征：

①:,軸上：a為任意實數(shù)，8=（）；②y軸上：〃為任意實數(shù)，a=0；③坐標(biāo)原點：a=（）,b=O.

（3）兩坐標(biāo)軸夾角平分線上點戶（a,b）的坐標(biāo)特征：

①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=?b.

【即時訓(xùn)練】

1.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，已知每個方格都是邊長為500的正方形，小剛家的位置坐標(biāo)為

（1000,1500）,則學(xué)校的位置坐標(biāo)為（）

J.jl小剛案（1000,1500）

A.(1500,1000)B.(1500,1500)C.(2000,1000)D.(2000,1500)

【即時訓(xùn)練】

2.（2025?貴州銅仁?模擬預(yù)測）貴州省部分主要城市在地圖中的位置如圖所示，若遵義位置的坐標(biāo)為（L3）,

安順位置的坐標(biāo)為（-2,-1）,則畢節(jié)位置的坐標(biāo)是；

知識點04兩點間的距離公式

兩點間的距離公式：

1.（2025八年級上?全國?專題練習(xí)）如果點，（〃「2,2〃?）在第一、三象限的角平分線上，那么點

N（一〃?+2,小一1）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（24-25八年級上?浙江紹興,期末）在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)一點（〃?,2〃-1）到1軸和）,軸的距離

相等，則加=.

3.（2024?甘肅?模擬預(yù)測）從小到大的三個整數(shù)：-1,2,3,從中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為點P的橫坐標(biāo)，在

余下的兩個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為點P的縱坐標(biāo).

（1）請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點P所有可能的坐標(biāo).

（2）在所有可能的點。中，求點尸落在第二象限的概率.

4.（24-25八年級上?全國?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（2陽+5,3〃?+3）.

（1）若點尸在工軸上時，求點尸的坐標(biāo)；

（2）若點P在過點^（-5,1）且與V軸平行的直線上時，求點P的坐標(biāo)；

（3）若點P的橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)大4,則點P在第幾象限？

【典型例題二已知點所在的象限求參數(shù)】

【例1】（24-25七年級下?重慶泰江?期中）如果點力（小-8,〃L2）在x軸上，則點力的坐標(biāo)是（）

A.(0,6)B.(O,-6)C.(2,0)D.(-6,0)

【例2】(24-25七年級下?甘肅定西?階段練習(xí))如果點M(〃+3,a+l)在直角坐標(biāo)系的x軸上，那么點M的

坐標(biāo)為

【例3】(24-25七年級下?湖北宜昌?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點力的坐標(biāo)為(2+。2/-6).

(1)若點力在y軸上，求點力的坐標(biāo)；

(2)已知點8(2,14),若直線”〃x軸,求。的值;

(3)若點力在笫四象限，且到兩坐標(biāo)軸的距離之和為9,求。的值.

0變式訓(xùn)練

1.(24-25八年級上?山西晉中?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點尸在第四象限，且點P到x軸的電離為8,到

y軸的距禽為2,則點P的坐標(biāo)是()

A.(8,—2)B.(-2,8)C.(—8,2)D.(2,-8)

2.(24-25八年級上,四川?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，第二象限的點力(-3,2m+3)到x軸的距離與到歹軸

的距離相等，則〃?=一.

3.(24?25七年級下?廣西玉林?期中)已知點尸伍-2,2〃+8),分別根據(jù)下列條件求出點P的坐標(biāo).

⑴點2在x軸上；

(2)點。的坐標(biāo)為(5,-1),直線P?！▂軸.

4.(24-25七年級下?北京?期中)在平面直角坐標(biāo)系宜方中，對于A,B,C三點給出如下定義：

力(再，必),8(4/2)，記九二歸-々|+|必一乃|，若九=d?c+"“，則稱A,B,。三點滿足“和距關(guān)系”.已

知點M(4,4).

(1)已知，血1,()),4(0,5).

①%M=_；

②。，M,A三點一“和距關(guān)系”；O,M,8三點—“和距關(guān)系”(填寫“滿足”或“不滿足”)；

(2)已知,

①點。位于第三象限，證明：。，，三點滿足“和距關(guān)系”；

②點尸位于笫一象限，且。，M,P三點滿足“和距關(guān)系”，直接寫出用，〃的取值范圍.

以【典型例題三寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)】

【例1】(24-25八年級上?江蘇鹽城?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，若點。在第二象限，且點。到工軸的距離

為2,到y(tǒng)軸的距離為I,則點尸的坐標(biāo)為()

A.(1,-2)B.(2,-1)C.(2,1)D.(-1,2)

【例2】(24-25七年級下湖北武漢期中)方格紙上有人。兩點，若以點力為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則點8的坐標(biāo)為(2,-1).若以點8為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則點力的坐標(biāo)為.

【例3】(24-25七年級下?新疆哈密?期中)【閱讀材料】平面直角坐標(biāo)系中，點P(xj)的橫坐標(biāo)工的絕對值

表示為W,縱坐標(biāo)N的絕對值表示為|引，我們把點P(x,y)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值之和叫做點

的勾股值,記為［P］,即［p］=kl+M（其中的"+”是四則運算中的加法），例如點尸。,2）的勾股值

仍］=|1|+即3

【解決問題】

⑴求點4（-2,4）的勾股值［力；

（2）若點.“在x軸的上方，其橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且［〃］=3,請直接寫出點M的坐標(biāo).

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級上?浙江溫州?階段練習(xí)）如圖，這是某所學(xué)校的部分平面示意圖，教學(xué)樓、實驗樓和圖書

館的位置都在邊長為1的小正方形網(wǎng)格線的交點處，若教學(xué)樓位置的坐標(biāo)是（-2,2）,實驗樓位置的坐標(biāo)

是（2,-1）,則圖書館位置的坐標(biāo)是（）

111

111

111

11

1圖書館1

11

111

111

111

1r"?

教學(xué)樓1?

1?

ii1

111

111

111

111

111

V1

1!實驗樓：

1

A.（4,1）B.（1,4）C.（3,2）D.（2,3）

2.（24-25七年級下?廣東廣州?期中）點A在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（3,-2）,點8的坐標(biāo)為（3,x）,線段

AB的長為5,則點B的坐標(biāo)是.

3.（24-25七年級下?山東濟(jì)寧?期中）已知點。（0、。），力（-2,1）,點8是平面直角坐標(biāo)系中一點，且

SdOAB~2?

(1)若點8在x軸上，求滿足條件的點8的坐標(biāo)：

(2)若點B在過點A且平行于坐標(biāo)軸的直線上，求滿足條件的點8的坐標(biāo).

4.(24-25八年級上?河北唐山?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，長方形048c的位置如圖所示，其中點力(0,2),

。(-8,0).點尸從點。出發(fā)，沿的方向以每秒2個單位長度的速度移動，與點A第二次相遇時

停止，設(shè)點P移動的時間為x秒.

(1)點8的坐標(biāo)為,AB=；

(2)①點尸與點。距離的最小值為；

②當(dāng)l<x<5時，AP=(用含x的代數(shù)式表示):

(3)當(dāng)點戶第一次移動到點A時，有一條垂直于x軸的直線/開始從5C位置出發(fā)，以每秒1個單位長度的速

度沿x軸正方向平行移動，當(dāng)點P停止時，直線/也隨之停止.當(dāng)點Q恰好落在直線/上時，求點P的坐標(biāo);

(4)連接08,BP,OP,當(dāng)△30。的面積為2時，直接寫出x的值.

【典型例題四求點到坐標(biāo)軸的距離】

【例1】(24-25七年級下?云南?期中)點C在第二象限，距離為軸2個單位長度,距離U軸3個單位長度,

則點C的坐標(biāo)為()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(T2)D.(3,-2)

【例2】(24-25七年級下?福建南平?期末)已知點尸(1-2〃?/〃+3)在第二象限，且點P到戈軸的距離與到y(tǒng)

軸的距離相等，則用的值為.

【例3】(24-25七年級下?廣東惠州?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點

(1)若點M在歹軸上，求加的值:

(2)若點M到x軸的距離為1,求〃?的值;

(3)若"N〃歹軸，點N(l,2),求加的值.

1.(24-25七年級下吶蒙古巴彥淖爾?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知小。,0),8(5,0),其中

力滿足|。+1|+仕-3『=0.點M的坐標(biāo)(-2,-1),在y軸的正半軸上有一點尸，使得ABMP的面積與

2.(24-25七年級下?湖北武漢?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系口有四個定點，其坐標(biāo)分別為：力(0,3)、

8(3,2)、C(4,-2)、0(-3,1).若平面內(nèi)有一點尸，使尸4+尸8+PC+PQ最小，則尸點坐標(biāo)為

4

3H0,3)

8(3,2)

2

D(-■3.I)

3.(24-25七年級下?江西上饒?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點力(〃，-2,2〃?-3).

(1)當(dāng)點力在y軸上時，求機(jī)的值；

(2)當(dāng)點A到x軸的距離等于5時，求點力的坐標(biāo).

4.(24-25七年級下?吉林松原?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點0是坐標(biāo)原點，定義點M和點〃的相關(guān)系數(shù)

也,N］如下：若點O,M,N在一條直線上，則也,N］=0；若點。，也N不在一條直線上，則

［.””］二%加.如圖，已知點A的坐標(biāo)為(3,0),點8的坐標(biāo)為(0,4),點P(xj)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動

點?

請回答下列問題:

⑴[4司=

(2)若［P,同=3,［憶司=0,求點尸的坐標(biāo).

(3)點?在第二象限,若［P,司=2［P,4］,且點4的縱坐標(biāo)為2,求點尸的坐標(biāo).

(4)當(dāng)［P,可=1［/i,B］時，直接寫出點尸的橫坐標(biāo).

【典型例題五用有序數(shù)對表示位置或路線】

［例1］（24-25八年級上?河南鄭州?期中）北京時間2024年5月20口11時6分，“鄭州航空港號”衛(wèi)星搭乘

長江二號丁運載火箭發(fā)射升空，從這天起，星空中有了一顆以“鄭州航空港”來命名的星星.下列表述，能確

定鄭州位置的是（）

A.河南省中北部B.東經(jīng)113。，北緯34°

C.嵩山東麓，黃河之濱D.黃河中下游分界處

【例2】（24-25七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期中）如圖，一個英文字母對應(yīng)一個有序數(shù)對，例如字母K對應(yīng)

（4,2）,則有序數(shù)對（6,2）,（1,1）,（6,3）,（1,2）,（5,3）對應(yīng)的字母恰好為一個英文單詞,這個單詞為.

啊叵1區(qū)兇團(tuán)□□

0PQRSTU

HIJKLMN

1囚回回叵］回回叵］

1234567

【例3】（24-25八年級上?廣西南寧?階段練習(xí)）假期，奇奇隨爸爸媽媽和朋友一起去郊區(qū)露營，并策劃了一

個定向越野活動.

北

7

6t

5

450米

I__I

3

2

1

u12345678910111213141516

⑴通過實地考察，越野項目是從喉篷的位置出發(fā)，向北偏東45,方向跑210米，到一棵大樹下插上小紅旗,

記為點A,請在下圖中標(biāo)出點A；再跑到點8（12,6）,拍照打卡，請在下圖中標(biāo)出點8.最后按原路返回帳

篷的位置.（小正方形的邊長為1個單位長度，代表實際距離50米，對角線按1.4個單位長度算，代表實際

距離70米.）

（2）請在橫線上描述出從點。返回帳篷位置的路線；.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級上?湖北十堰?階段練習(xí)）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列:

第1行

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

若有序數(shù)對(〃,〃?)表示第〃行,從左到右第機(jī)個數(shù)，如(3,2)表示6,則252表示的有序數(shù)對是()

A.(14,16)B.(14,24)C.(16,27)D.(16,29)

2.(23-24七年級下?廣東廣州?期末)觀察圖中數(shù)的排列規(guī)律并回答問題：

第1列第2歹U第3歹」第4列第5列

第1行1V23Vw…

第2行2V3V8vrr…

第3行V5V64\1…

第4行4V15V14VTJ…

第5行VF????

如果一個數(shù)在第機(jī)行第〃歹U，那么記它的位置為有序數(shù)對(〃?,〃)，例如數(shù)2在笫2行笫1歹U，記它的位置為

有序數(shù)對(2,1).按照這種方式，數(shù)質(zhì)的位置為有序數(shù)對.

3.(24-25八年級上?山西晉中?期中)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,的頂點

都在網(wǎng)格線的交點上，點夕的坐標(biāo)為(-2,0),點。的坐標(biāo)為(-1,2).

(1)根據(jù)上述條件，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系次少；

⑵畫出“8C關(guān)于y軸的對稱圖形“￡G；

(3)寫出點力關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo).

4.(24-25八年級上?上海浦東新?期中)如圖，在5x5的方格(每小格邊長為1)內(nèi)有1只甲蟲，它爬行規(guī)

律總是先左右，再上下.規(guī)定：向右與向上為正，向左與向下為負(fù).從力到6的爬行路線記為：

4-8(+1,+4),從8到4的爬行路線為：其中第一個數(shù)表示左右爬行信息，第二個數(shù)表

示上下爬行信息.

(1)圖中AT。(_,_),Cf_(-2,_)：

(2)若甲蟲的爬行路線為ATBTCTD,計算甲蟲爬行的路程.

(3)若甲蟲從點4出發(fā)，爬行路線依次為(+2,+3),(-2,+1),(+3,-5),(-4,+2),最終到達(dá)點尸處，請在圖

中標(biāo)出點P的位置.

1【典型例題六實際問題在中用坐標(biāo)表示】

【例1】(24-25八年級上?河北唐山?期中)書法課上，小義在如圖所示的網(wǎng)格紙上寫了一個樂亭的“樂”字，

A,B,。為“樂”字上的點，且均在格點上，建立平面直角坐標(biāo)系，點力(-2,0),8(1,0),則點。的坐標(biāo)為

)

A.(3,1)B.(1,3)C.(1,4)D.(-2,3)

【例2】(24-25七年級下?廣東湛江?期中)如圖，若在象棋棋盤上建立平面直角坐標(biāo)系，使“帥”位于點

(-1,-2),“馬”位于點(2,-2),則“兵”位于點的坐標(biāo)是,

【例3】(24-23七年級下?廣東湛江?期中)小明在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識后，繪制了一幅家附近

建筑的平面示意圖(如圖).已知郵局的坐標(biāo)是(2,0),書店的坐標(biāo)是

:殍校:

竹店?

二郵局工

家

(I)請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系：

(2)小明家的坐標(biāo)是,學(xué)校的坐標(biāo)是

(3)在圖中標(biāo)出超市(-2,-2),水果店(4,-1)的位置.

0變式訓(xùn)練

1.(24-25七年級下?北京?期中)唐代長安城呈嚴(yán)格的棋盤式布局，朱雀大街為南北中軸線，將城市分為對

稱的東西兩部分.城內(nèi)共有108個，坊“(居民區(qū))，每個坊近似為長方形.如圖是長安城的部分坊市地圖，

其中第四、五列的“坊”近似為邊長為500米的正方形，第三、六列的“坊”近似為寬500米，長650米的長方

形，第一、二、七、八列的“坊”近似為寬500米，長950米的長方形(東、西市南北向1000米).在圖中,

分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系(道路寬度不計)，以1米為1個單位長

度，有如下三個結(jié)論：

①若興化坊的東南角的坐標(biāo)為(-500,1500)時，原點的位置在永達(dá)坊的東北角

②當(dāng)朱雀大街上的某個點的坐標(biāo)為(0,0),開明坊的東北角的坐標(biāo)為(500,-1000),則西市東南角的坐標(biāo)為

(-2100,1000)

③若以蘭陵坊西南角的坐標(biāo)為(0,0),小明從崇業(yè)坊的西北角出發(fā)，沿東西或南北方向的直線，乂每分鐘150

米的速度慢跑到坐標(biāo)為(3050,3000)的地方需要36分鐘

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是()

北延壽太平和善興道務(wù)本平康

西市東市

A光德通義通化開化崇義宣陽

懷遠(yuǎn)延康興化豐樂安仁長興親仁安邑

長壽崇賢崇德安業(yè)光福永樂永寧宜平

嘉會延福懷貞崇業(yè)靖善靖安永崇升平

永平永安宣義永達(dá)蘭陵安善昭國修行

通軌敦義豐安道德開明大業(yè)進(jìn)昌修政

歸義大通昌明光行保寧昌樂通善青龍

第三列第四例法五列第六列第七列

第一列第二列第八列

A.①B.③C.②③D.②

2.(24-25七年級下?湖北黃岡?期中)我國水墨畫發(fā)展有著悠遠(yuǎn)歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋元,

明清及近代以來續(xù)有發(fā)展，重于意境優(yōu)美，圖為水墨畫“早有靖蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標(biāo)系中,

點8(1,1),C(3,2),則點力坐標(biāo)為.

C

___B____J----1■0-一

A

3.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）李明家在學(xué)校以東1000m,再往北1500m處；張華家在學(xué)校以西

2000m,再往南50（）m處；王芳家在學(xué)校以南1500m處.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出學(xué)校和這三位同

學(xué)家的位置，并用坐標(biāo)表示出來.

4.（24-25七年級下?河南周口?期中）在某次演出活動中，小明在主舞臺中心點以東30米，再往北30米處,

小華在舞臺中心點以西20米，再往南30米處，小芳在小華所在位置以東40米，以南10米處.

_卜

（1）利用下面的網(wǎng)格，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，標(biāo)出舞臺中心和這三位同學(xué)的位置，并用坐標(biāo)表示出來

（圖中每個小正方形的邊長代表實際距離10米）:

（2）結(jié)合（1）中圖形，通過測后與估算，用表示方向的角和距離的方法表示小明相對于舞臺中心的位置（長

度精確到1米，角度精確到1。）

1【典型例題七點坐標(biāo)規(guī)律探索】

【例1】（24-25七年級下?湖北武漢?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個單位長度的半圓

?，。2,。3……，組成一條平滑的曲線，點?從原點。出發(fā)，沿這條曲線向右運動，每秒運動的路程為卷

個單位長度，則第2025秒時，點P的坐標(biāo)是（)

(2025,-1)D.(4050,1)

【例2】（24-25七年級下?寧夏吳忠?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，時于平面內(nèi)任一點3為，若規(guī)定以下兩種

變換:①/（。/）=（一。力）,如/（1,3）=（7,3）；②g（a,b）=（b,a）,如山,3）“3川;那么/（g（T5））=.

【例3】（24-25八年級上?安徽阜陽?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向

右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次只移動1個單位長度，其行走路線如圖所示.

（1）填寫下列各點的坐標(biāo)4，As，A

（2）寫出點4初的坐標(biāo)（〃為正整數(shù)）.

（3）螞蟻從點心〃2。到點心。2/的移動方向是（填響上”、“向右”或響下”）.

0變式訓(xùn)練

1.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Rx,y）,我們把尸（-y+Lx+1）同做點尸的幸

運點，已知點4的幸運點為4，點4的幸運點為4，點4的幸運點為4，……，這樣依次得到

4,4,4,4,……，4,若點4的坐標(biāo)為(。，2)則點4o25的坐標(biāo)是()

A.(0,2)B.(-1J)C.(0,0)D.(1,1)

2.(24?25七年級下?北京?期中)如圖，將邊長為1的正方形。力尸8沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2025次，點尸依

次落在點鳥，八，…，6?！钡奈恢茫瑒t乙的坐標(biāo)為，鳥心的坐標(biāo)為.

y

P■1?1—B1————P\———，—PA0一.一.、

、、、：、:、、、：、、、：、、、：

JI〕I〕I-

AO3(尸3)”

3.(24-25七年級下?陜西安康?期申)在平面直角坐標(biāo)系中，點尸的坐標(biāo)為(26+5,3陽+3).

(1)若點尸在x軸上時，求點P的坐標(biāo)；

⑵若點P在過點.4(-51)且與，軸平行的直線上時，求點P的坐標(biāo)；

4.(24-25七年級下?安徽合肥?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一只電子狗從點4(0/)出發(fā)，按照一定

規(guī)律沿圖中的折線依次不斷的移動，第1次移動到點4(2,0),第2次移動到點4(3,2),第3次移動到點

4(5,1),第4次移動到點4(6,3)........

(1)第5次移動到點4的坐標(biāo)為;第12次移動到點兒的坐標(biāo)為;

(2)第2〃次移動到點4“的坐標(biāo)為，第2〃+1次移動到點的坐標(biāo)為:(用含自然數(shù)〃

的代數(shù)式表示)

(3)若機(jī)器狗移動到某個點，其橫坐標(biāo)為3038,請用字母A及下標(biāo)表示出該點，并寫出其坐標(biāo).

?【典型例題八已知兩點坐標(biāo)求兩點距離】

【例1】(24-25八年級上?安徽安慶?期中)已知點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(8,-15),則點尸到原點

的距離是()

A.8D.15C.17D.23

【例2】(24-25八年級上?湖北宜昌?期中)在平面直角坐標(biāo)系中.點(-2,3)到原點的距離是

【例3】(24-25八年級上?浙江麗水?期末)已知：。的三個頂點坐標(biāo)分別是力(-2,0).B(1,3),C

(3,-2).

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△44C：

(2)判斷△/BC的形狀，并說明理由.

@變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級上?天津南開?期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，點彳（0,3）,8（2,3）,

C（3,2）,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點，則下列說法中正確的是（）

A.這條圓弧所在圓的半徑為g

B.這條圓弧所在圓的圓心為（J）

C.原點0（0,0）在這條圓弧所在圓上

D.點M（3,0）在這條圓弧所在圓外

2.（24-25八年級上?重慶,期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點41,1）1（4,3）,點C是％軸上的一個動點,

則4C+8C的最小值為一.

3.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）在如圖的小正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.格點△/出C

（頂點是網(wǎng)格線的交點）的兩個頂點坐標(biāo)分別是8（-4,2）,C（-l,l）.

（1）請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)畫出平面直角坐標(biāo)系，并寫出點A的坐標(biāo)：

（2）以。為位似中心在網(wǎng)格內(nèi)畫出△48。的位似圖形△44G，使△48c與其位似圖形的相似比為1:2,并計

算的周長.

4.（24-25八年級上?遼寧丹東?階段練習(xí)）閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，6（項,必），乙（々，%），如何求

［鳥的距離.如圖，在為△*。，|初|2=|RQ『+|2O『=（GTJ2+（M—M）2,所以

山周1(々一/+伍一力?因此，我們得到平面上兩點4(不必)，鳥伍,必)之間的距離公式為

由用二J(X2一芭1+(。2一%f根據(jù)上面得到的公式，解決下列句題:

y、

、02a2,外)

見p/。,n％)....X

JI

//I:

小(為，3。Ak,。)

-----------1。3,力)

尸|(茴，乃)々(0,y)

⑴已知點。(2,5),。(-3,-5),試求知。兩點間的距離;

⑵已知點M(〃?,5),N(l,2)且MN=5,求小的值；

(3)求代數(shù)式J(x—3)2+/+J(j+3)2+(y+4)2的最小值是

9【典型例題九平面直角坐標(biāo)系中最值問題】

【例1】(24-25八年級上?江蘇揚州?期末)已知點P(3m,4-4m)為平面直角坐標(biāo)系中一點,若。為原點,則

線段尸。的最小值為()

A.2D.2.4C.2.5D.3

【例2】(24-25八年級上?江蘇揚州?期中)已知平面直角坐標(biāo)系中，點48在動直線y=〃?16〃?+8(〃?為

常數(shù)且〃"：)上，"=3,點C是平面內(nèi)一點，以點O、A、B、C為頂點的平行四邊形面積的最大值是.

【例3】(24-25七年級下?河北保定?期中)定義:在平面直角坐標(biāo)系xQy中,已知點出。力)，［(c,b),

%,d),這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點%P2t鳥的“最佳間距”.例如：如圖，點

々(-1,2),號(1,2),4(1，”的“最住間距”是1.

—:~~?-Hr-i-i-ijj?

_4：-3：-2-l：Ot2345T

：：：fl：：：：：

⑴求點OQl),。式5,3+回,。式5,1)的“最佳間距”;

(2)已知點。(0,0),4-4,0),8(-4,y)；

①若點。，A,8的“最佳間距”是及，則V的值為:

②點0,A,A的“最佳間距”的最大值為;

⑶當(dāng)點。(0,-1),。⑵*T),E(血-3/〃+2)的“最佳間距”取到最大值時，請直接寫出點E的坐標(biāo).

0變式訓(xùn)練

1.(2025?江蘇無錫?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。力8。的頂點坐標(biāo)分別為0(0,0),

*2,0),8(8,6),C(0,6).動點尸從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊04向終點力運動：動

點。從點4同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊8c向終點。運動.作NG1P。于點G,則運動過

程中，月G的最大值為()

7

A.曳iB.3亞D.8

5

2.(24-25八年級上?山東濰坊?期中)如圖，點A,8的坐標(biāo)分別為4(4,0),5(0,4),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一動

點，且5C=2,點M為線段力。的中點，連接當(dāng)/C取最大值時，點M的縱坐標(biāo)為一.

3.(24-25七年級下?重慶渝北?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△NBC三個頂點坐標(biāo)分別為力(-3,4),

8(7,0),C(bl).三角形/8C中任意一點尸(為J。)，經(jīng)平移后對應(yīng)點為P(x0+3/o-l),將三角形"C作

同樣的平移得到三角形4'8'C'，點4B、。的對應(yīng)點分別為4、B,、C1.

(1)請在網(wǎng)格中作出

⑵求出三角形的面枳；

(3)若AC=5,點。是直線力'C'上的一點，求夕。的最小值.

4.（24-25八年級上?北京海淀?期中）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，定義：對于兩個點P,。和圖形匹，如果

在圖形力上存在點M,N〈M,N可以重合）使得PM=2QN,那么稱點尸為點。關(guān)于圖形"的“雙倍對稱

點”.已知點力（一2出〃），8（24,a）,C（2a,-a）,。（一2d一a）.（q>0）

⑴若"1.

①沒點O與線段AB上一點的距離為d,則d的最大值是;

②在爪0,2）,2（5,0）,8（-5,-5）這三個點中，為點。關(guān)于線段48的“雙倍對稱點”的是:

③若點P（A-5）,。（1,3）,點。為點°關(guān)于四邊形初CO的“雙倍對稱點”，求的取值范圍.

（2）已知。點為原點，點￡（-2〃,癡），尸（2〃,桁）.若線段放上存在點P,點尸為點。關(guān)于四邊形力8CQ的“雙

倍對稱點”，則k的取值范圍是

6-6

5■5

4-4

3■3

2-2

1-

-6-5-4-3-2-1,（9123456x-6-5-4-3-2-1^123456x

-1■一I-

備用圖1備用圖2

春【典型例題十平面直角坐標(biāo)系中動點問題】

【例1】(24-25七年級下?重慶?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點力從40,0)出發(fā)，第一次運

動到點4(1,-1),第二次運動到點4(0,7),第三次運動到點4(-1,-1),第四次運動到點4(-1,0),按照

此運動規(guī)律，第83次運動到點43的坐標(biāo)為()

-5-

4-

^5.1!!小i

右肅和廠

II,1JIIIII

?-----4"——-r—T-丁—-----1

?*?

????????

A.（7,2）B.（7,1）C.（7,0）D.（7,3）

【例2】(24-25七年級下?河南周口?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點從原點出發(fā)，第1次運動向

右移動1個單位，第2次運動向下移動1個單位，第3次運動向右移動1個單位，第4次運動向上移動2

個單位，第5次運動向右移動1個單位，依此類推(即每次向右移動1個單位后，交替進(jìn)行向上或向下移

動，且上下移動的單位數(shù)逐次遞增1).經(jīng)過2025次運動后，動點的坐標(biāo)是.

【例3】(24-25七年級下?河南商丘?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形力8CO各頂點的坐標(biāo)分別為

(1,0),(0,2),(-3,2),(-3,0),動點尸從點8出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿“ACfCQ”運動到點。，運

動時間為/秒，回答下列問題：

(1)運動時間/的取值范圍是；

(2)用含/的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)三角形尸⑷？的面積為為時，求此時尸點的坐標(biāo).

0變式訓(xùn)練

1.(24-25七年級下?全國?假期作業(yè))在平面直角坐標(biāo)系xQr中，對于點力(王,為)，8(%,外)，記

<=|x,-x2|,<=h-^2|,將稱為點A,8的橫縱偏差，記為〃(44),即〃(4團(tuán)=乩一4，|.若點

8在線段尸。上，將"(48)的最大值稱為線段P。關(guān)于點A的橫縱偏差，記為〃(4P。).

(1)4(0,-2),5(1,4),

①4(48)的值是—:

②點K在x軸上，若MB.K)=O,則點K的坐標(biāo)是

(2)點P,。在y軸上，點P在點。的上方，。。=6,點M的坐標(biāo)為(一5,。).

①當(dāng)點。的坐標(biāo)為(01)時，求〃(」W,P。)的值；

②當(dāng)線段尸。在y軸上運動時，直接寫出〃(”,尸。)的最小值及此時點尸的坐標(biāo).

2.(24?25七年級卜??山東德州?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A、4的坐標(biāo)分別為力(。,0)、

8(5,0),且。，。滿足k+4|+^^M=(),現(xiàn)同時將點A、8分別向上平移2個單位，再向左平移3個單

位.分別得到點A,8的對應(yīng)點C,D,連接4C、BD.

（2）如圖2,點P是線段4C上的一個動點，點。是線段。。的中點，連接尸0,P0,當(dāng)點。在線段力。上移

動時（不與A,C重合），請找出NP。。，/OPQ、/PO。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點"，使三角形A"。的面枳與三角形力C。的面積相等？若存在，請求出點M的坐

標(biāo)：若不存在，試說明理由.

3.（24-25七年級下?吉林白城?期中）如圖①所示，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形片8。的三個頂點坐標(biāo)分別

為,4（2〃?-6,0）,8（4,0）,C（-l,2）,點A,8分別在原點兩側(cè)，且A,8兩點間的距離等于6個單位長度.

⑵在X軸上是否存在點M,使三角形COM的面積是三角形ABC面積的!?若存在，請求出點M的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

（3）如圖②所示，把線段48向上平移2個單位長度得到線段M,連接力上，BF，￡產(chǎn)交V軸于點G,過點

C作CDJL48于點Z）.將長方形GO4”和長方形力ECO分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速

度向右平移，同時，動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線4-七-。-。-力運動.當(dāng)長方

形GO4"與長方形力KC。的重疊面積為1時，求此時點M的坐標(biāo).

B過關(guān)檢測

1.（福建省莆田市2024-2025學(xué)年下學(xué)期末七年級數(shù)學(xué)調(diào)研試卷）在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點位于第二

象限的是（）

A.(5,2)B.(-4,-2)C.(3,-4)D.(-4,2)

2.（24-25七年級下?四川德陽?期末）點力㈤位于戈軸上方，且到*軸的距離為2,到N軸的電離為3,則

點A的坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（3,2）,（-3,2）C.（2,3）,（-2,3）D.（3,-2）

4.（24-25七年級下?河北廊坊