第頁專題01含參數(shù)與新定義的集合問題【技巧總結(jié)】一．解決與集合有關(guān)的創(chuàng)新題的對策：（1）分析含義，合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確提取信息是解決此類問題的前提．剝?nèi)バ露x、新法則的外表，利用我們所學(xué)集合的性質(zhì)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的集合，陌生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的運(yùn)算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)新定義（新運(yùn)算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證和運(yùn)算，其中要注意應(yīng)用集合的有關(guān)性質(zhì)．（3）對于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、排除、對比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯淏選項(xiàng)，當(dāng)不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的．二．解決與集合有關(guān)的參數(shù)問題的對策（1）如果是離散型集合，要逐個分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結(jié)合，注意端點(diǎn)能否取到．（3）在解集合的含參問題時，一定要注意空集和元素的互異性．（4）由集合間關(guān)系求解參數(shù)的步驟：①弄清兩個集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；②看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；③將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式(組)或方程(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的取值范圍或值.（5）經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸巧妙解答.【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)題型三：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)題型五：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參數(shù)題型六：集合的創(chuàng)新定義【典型例題】題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例1．已知集合，，則（

）A．B．或C．D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．例2．已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．當(dāng)m＝2時，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合題意，舍去；當(dāng)m2﹣3m+2＝2時，m＝0或m＝3，但m＝0不合題意，舍去．綜上可知，m＝3．故選：B．例3．設(shè)全集，，若，則B等于（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，故選：C.例4．（多選）已知，且，，，則取值可能為（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時，，，故，A錯誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時，，，故，B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時，，，故，C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時，，，故，D正確.故答案為：BCD.題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)例5．已知集合有兩個子集，則m的值是__________．【答案】0或4【解析】當(dāng)時，，滿足題意，當(dāng)時，由題意得，綜上，或，故答案為：0或4例6．已知，若集合A中恰好有5個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知，可得.故選：D例7．已知，集合.(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）若A是空集，則關(guān)于x的方程無解，此時，且，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，關(guān)于x的方程應(yīng)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則，得，此時，符合題意.綜上，當(dāng)時；當(dāng)時.（3）當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例8．已知集合，(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中至多有一個元素，求的值，并寫出此時的集合；(3)若中至少有一個元素，求的取值范圍.【解析】(1)若是空集，則，解得；(2)若中至多有一個元素當(dāng)時，，符合當(dāng)時，若，解得，此時若，得，此時.綜合得：當(dāng)時，；當(dāng)，；當(dāng)，.(3)若中至少有一個元素當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，若，解得且綜合得.題型三：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)例9．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1B．-1C．±1D．0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1，-1}.當(dāng)a=0時，，滿足B?A；當(dāng)a≠0時，B=，因?yàn)锽?A，所以=1或=-1，即a=±1.綜上所述，a=0或a=±1.故選：D例10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得，或，解得，?dāng)時，，，，滿足題意.當(dāng)時，，不滿足集合的互異性.當(dāng)時，，，若，滿足題意.當(dāng)時，，，若，滿足題意.故選：C.例11．（多選）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．2B．C．D．0【答案】BCD【解析】集合，，，又，所以，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，則，所以或，解得或，綜上所述，或或,故選：例12．已知集合，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】或3【解析】，∴或，解得或或，將的值代入集合、驗(yàn)證，知不符合集合的互異性，故或3.故答案為：或3.例13．集合，，若，則由實(shí)數(shù)組成的集合為____【答案】.【解析】集合，，且，或或，．則實(shí)數(shù)組成的集合為.故答案為：.例14．集合，則m＝___．【答案】【解析】∵集合，∴，解得．故答案為：±2．例15．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】或或0【解析】已知集合，，當(dāng)，滿足；當(dāng)時，，因?yàn)?，故得到或，解得或；故答案為：或?.例16．已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【解析】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.故答案為：或例17．已知為實(shí)數(shù)，，．(1)當(dāng)時，求的取值集合；(2)當(dāng)時，求的取值集合.【解析】（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，．又，所以，此時，滿足．所以當(dāng)時，的取值集合為．（2）當(dāng)時，，不成立；當(dāng)時，，，成立；當(dāng)且時，，，由，得，所以．綜上，的取值集合為．例18．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M?N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若M?N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)∵M(jìn)?N，∴，∴a∈?；(2)①若N＝?，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2時，滿足M?N．②若N≠?，即a≥2時，要使M?N成立，則，解得1≤a≤3，此時2≤a≤3．綜上a≤3．例19．已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時，，；(2)由，則有：，解得：，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．例20．設(shè)集合，.(1)若，試求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，解得或，.當(dāng)時，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分為以下幾種情況．當(dāng)時，，此時方程有兩根為，，則，解得.當(dāng)時，又可分為兩種情況．當(dāng)時，即或，當(dāng)時，此時方程有且只有一個根為，則，解得，當(dāng)時，此時方程有且只有一個根為，則，此時方程組無解，當(dāng)時，此時方程無實(shí)數(shù)根，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值為.例21．已知集合，，若滿足的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，則____，的子集有____個．【答案】

8【解析】由得，而，當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，或，∴或，∴，∴的子集個數(shù)為.故答案為：；8.題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)例23．已知，，若，則（

）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.例24．已知集合，則______．【答案】1【解析】易知．∵，∴，即，∴，．又由集合中元素的互異性，知，∴，故．故答案為：1例25．已知，.若，則______.【答案】【解析】因?yàn)樗越庵茫汗蚀鸢笧椋豪?6．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)_______【答案】【解析】因?yàn)椋苑匠逃星抑挥幸粋€實(shí)數(shù)根，所以，解得.所以故答案為：題型五：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參數(shù)例27．設(shè)，，全集，，或，則______.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，所以?又或，所以，，所以.故答案為：1.例28．已知集合M={1，2，3}，，若，則a的值為（

）A．1B．2C．3D．1或2【答案】C【解析】當(dāng)時，由，得，即，不滿足題意；當(dāng)時，由，得，即，不滿足題意；當(dāng)時，由，得或，即，滿足題意.故選：C例29．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，又，所以?dāng)時，，要使，則，即．故選：A．例30．設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0B．-1C．2D．0或2【答案】A【解析】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為0.故選：A例31．已知集合,或，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】由，得，從而．①若，則，解得；②若，在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖所示，則，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．例32．設(shè)集合，，或．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若中只有一個整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以．①?dāng)時，由，得，解得；②當(dāng)，即時，成立．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（2）因?yàn)橹兄挥幸粋€整數(shù)，所以，且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．例33．設(shè)集合，．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)集合A中的時，求集合A的非空真子集的個數(shù)；(3)若，且不存在元素x，使得與同時成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)，即時，，滿足．當(dāng)，即時，要使，只需，即．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（2）當(dāng)時，，共個元素，所以集合A的非空真子集的個數(shù)為．（3）由，得，即．又不存在元素x，使得與同時成立，所以或，即或．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．例34．已知集合．(1)若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若或，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由，知，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）由題意，得，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．例35．已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因?yàn)锳＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因?yàn)锳∩C＝C，所以C?A.當(dāng)C＝?時，△＝1﹣24a＜0，解得a；當(dāng)C＝{2}時，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此時無解；當(dāng)C＝{6}時，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此時無解或a＝0.綜上，a的取值范圍為.例36．已知集合，，或．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）∵，∴．在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖1所示，則由圖1可知，解得．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）∵，∴．當(dāng)，即，即時，滿足．當(dāng)，即時，在數(shù)軸上標(biāo)出集合B，C，若，則有兩種情況，如圖2、圖3所示．由圖2可知，解得，又，∴無解；由圖3可知，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或．例37．已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，.（2）{或，當(dāng)時，，此時，解得；當(dāng)時，若，則解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例38．若集合，，且，則______，______．【答案】

4

0【解析】若，則，顯然不成立，所以；所以，即，得，此時，所以，即，得．故答案為：4；0題型六：集合的創(chuàng)新定義例39．已知A，B都是非空集合，且．若，，則（

）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由題意，得，，故或．故選：D例40．已知集合，，則集合B中元素的個數(shù)為______.【答案】6【解析】因?yàn)?，，，所以時，；時，或，時，或3或4.，所以集合B中元素的個數(shù)為6.故答案為：6.例41．戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．【答案】，（答案不唯一）【解析】以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）例42．已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？請你取一個實(shí)數(shù)，再求出A中的元素．(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論？【解析】（1）由題意，可知，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是A中的元素．取，則，，，，所以當(dāng)時，A中的元素是3，，，．（3）