第頁3.3冪函數(shù)【知識點梳理】知識點一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識點二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識點詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2．作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域為或，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象．3．冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達式，就應(yīng)由定義知必有，即．4．冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小．（3）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大?。虎塾蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大?。绢}型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：求函數(shù)解析式題型三：定義域問題題型四：值域問題題型五：冪函數(shù)的圖象題型六：定點問題題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題題型八：比較大小題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【典型例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1.現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】冪函數(shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個，故選：B【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例2．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.例4．下列函數(shù)，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義：形如的函數(shù)是冪函數(shù)，排除A；的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶的函數(shù)，所以排除B;是偶函數(shù)，所以排除C；，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以選D.故選：D.題型二：求函數(shù)解析式例5．已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（4，2），那么這個冪函數(shù)的解析式為___________．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴這個冪函數(shù)的解析式為．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴格．判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．例6．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則_________．【答案】1【解析】因為為冪函數(shù)，所以，解得或，當時為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；當時為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，不符合題意；即；故答案為：例7．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．【解析】因為冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，又∵，∴或1．因為函數(shù)是偶函數(shù)，將分別代入，當時，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.當時，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.的解析式為．例8．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.【答案】【解析】是冪函數(shù)，，解得或，若，則，在上不單調(diào)遞減，不滿足條件；若，則，在上單調(diào)遞增，滿足條件；即.故答案為：例9．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為______．【答案】【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得m=1或m=-3，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以實數(shù)m的值為-3.故答案為：-3例11．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則___________．【答案】4【解析】由于是冪函數(shù)，所以，解得或.當時，，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意.當時，，圖象關(guān)于原點對稱，不符合題意.所以的值為，∴，.故答案為：4.例13．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得，所以，故,故選：D例14．已知為常數(shù)，函數(shù)為冪函數(shù)，則的值為______;【答案】或1【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或.故答案為：或1.例15．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為______．【答案】2【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故答案為：題型三：定義域問題例17．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定義域為．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】使表達式有意義．例19．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為______．【答案】【解析】∵的圖象過點，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域為．故答案為：例21．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.題型四：值域問題例22．已知冪函數(shù)的圖象過點(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域為（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【解析】解法一：因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，可得，所以，．因為，所以，故．因此，函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域為．故選：B．解法二：因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，可得，所以．因為，所以．因為，所以，所以，解得，即函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域為．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．例23．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】(1)因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當時，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當時，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.(2)由（1）知，，所以，令，則，，所以，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；所以，所以函數(shù)在的值域為.例25．已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）令，則，則，故．（2）由（1）可得．因為函數(shù)和函數(shù)均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．故．對任意，，不等式恒成立，即對任意，不等式恒成立，則解得或．故的取值范圍是．例27．已知冪函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象是上升的．（1）求實數(shù)k的值；（2）若存在實數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數(shù)a，b的值．【解析】（1）為冪函數(shù)，∴，解得或，又在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在實數(shù)a，b使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．題型五：冪函數(shù)的圖象例31．函數(shù)的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)，則滿足，解得，故函數(shù)的定義域為，又，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得選項C符合題意．故選：C【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進而確定中分母“”的奇偶性；當圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可．例32．圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【解析】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D例34．如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且 B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 D．是偶數(shù)，且【答案】C【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故為奇數(shù)，為偶數(shù)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故，故選：C.例35．已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)可知，所以當時，，即，故選項A錯誤，而當為其他值時，B,C,D均有可能出現(xiàn).故選：A題型六：定點問題例37．下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限C．如果兩個冪函數(shù)的圖象有三個公共點，那么這兩個函數(shù)一定相同D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點【答案】D【解析】對于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，當時，不過點，故A項錯誤；對于B，的圖象過第一、三象限，故B項錯誤；對于C，與的圖象有三個交點，這兩個函數(shù)不相同，故C項錯誤；對于D，因為冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時，圖象一定經(jīng)過點，故D項正確．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點例38．（多選）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點D．函數(shù)的最小值為0【答案】BD【解析】依題意，所以，由于的定義域是，不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)，A選項錯誤.在上遞增，所以B選項正確.，所以C選項錯誤.，所以D選項正確.故選：BD例40．下列命題中正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過點（0，0）和點（1，1）B．若函數(shù)f（x）＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線【答案】C【解析】冪函數(shù)y＝x－1的圖象不過點（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上單調(diào)遞減，于是A，B都不正確．冪函數(shù)y＝x的圖象是直線，D不正確．當x>0時，f（x）＝xα>0必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限，C正確故選：C．題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題例41．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，實數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】冪函數(shù)在上是減函數(shù)，，解得，，或．當時，為偶函數(shù)滿足條件，當時，為奇函數(shù)不滿足條件，則不等式等價為，即，在R上為增函數(shù)，，解得：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】運用函數(shù)的單調(diào)性，必須對圖象的特征有深刻的認識．可見，能很好地運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑．例42．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的，，且，滿足，若a，，且，則______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得m＝－1或m＝2．當m＝－1時，；當m＝2時，．因為函數(shù)對任意的，，且，滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因為，所以，所以，即．故答案為：＜.題型八：比較大小例43．比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，，．【解析】（1）因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以．（2）因為冪函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，所以，所以．（3），，，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題．當然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的．（3）引進數(shù)“1”和“0”，三個數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用例46．（多選）（已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當時， D．當時，【答案】ACD【解析】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域為，在上單調(diào)遞增，故A正確，因為的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤，當時，，故C正確，當時，，又，所以，D正確．故選：ACD.【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點題型．解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題．例47．（多選）若函數(shù)在上滿足：對任意的，，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】不妨設(shè)，則由題意可得，即，由單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即若在上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．A選項中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；B選項中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；C選項中，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合“理想函數(shù)”的定義；D選項中．該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義．故選：ABD．例49．已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間為_____.【答案】【解析】，函數(shù)的定義域為，令，則當單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在在單調(diào)遞增，故答案為：例50．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__．【答案】【解析】由，得或，令，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，而y＝是定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．例52．已知函數(shù)．(1)若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式：(2)若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【解析】(1)在上增函數(shù)，，解得又,，由為偶函數(shù)知，；(2)若在上減函數(shù)，則，解得或，即的取值范圍是{或且}．【同步練習(xí)】一、單選題1．下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于，是二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，符合題意；對于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對于，，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意，故選：B2．“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，因為，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.3．已知冪函數(shù)的圖像過點，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】設(shè)，依題意，所以，所以，所以；故選：B4．“當時，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【解析】當時，冪函數(shù)為減函數(shù)，所以有，所以冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的充分不必要條件，故選：C5．函數(shù)部分圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，，故BD不正確；當時，，且為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，故A不正確，故選：C.6．已知函數(shù)是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)是減函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：A.7．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，則，∴或.當時在上是增函數(shù)，符合題意；當時在上是減函數(shù)，不合題意.故選：B.8．給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.故選：A二、多選題9．冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱【答案】ABD【解析】因為冪函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以，所以，故為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以在上單調(diào)遞增；故選：ABD10．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為減函數(shù)C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】設(shè)冪函數(shù)為實數(shù)，∵其圖像經(jīng)過點，∴，解得，∴，其定義域為，且在上為增函數(shù)，A正確；時，，選項C正確；∵函數(shù)是上凸函數(shù)，∴對定義域內(nèi)任意的，都有成立，選項D錯誤.故選：AC.12．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．的值域是C．若，則D．是上的增函數(shù)【答案】BCD【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，又因為的圖像經(jīng)過點，所以有，即.A：函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，因此本命題不正確；B：因為，所以，因此本命題正確；C：因為，所以，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，所以可得，，因此，而，即，因此本命題正確；D：，當時，函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知中：函數(shù)是上的增函數(shù)，因此本命題正確，故選：BCD三、填空題14．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為___．【答案】【解析】冪函數(shù)過點，，解得，，故.故答案為：15．不等式的解為______．【答案】【解析】將不等式轉(zhuǎn)化成（Ⅰ），解得；（Ⅱ），解得；（Ⅲ），此時無解；綜上，不等式的解集為：故答案為：16．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②；③任取，，且．【答案】（答案不唯一）【解析】取，函數(shù)為冪函數(shù)，滿足①；