第頁4.1指數【知識點梳理】知識點一、整數指數冪的概念及運算性質1、整數指數冪的概念2、運算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識點二、根式的概念和運算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數時，正數的奇次方根有一個，是正數，記為；負數的奇次方根有一個，是負數，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數時，正數的偶次方根有兩個，記為；負數沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個等式（1）當且時，；（2）知識點詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯系與區(qū)別；②計算根式的結果關鍵取決于根指數的取值，尤其當根指數取偶數時，開方后的結果必為非負數，可先寫成的形式，這樣能避免出現錯誤．知識點三、分數指數冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分數，分數指數冪可如下定義：知識點四、有理數指數冪的運算1、有理數指數冪的運算性質（1）（2）（3）當，為無理數時，是一個確定的實數，上述有理數指數冪的運算性質仍適用．知識點詮釋：（1）根式問題常利用指數冪的意義與運算性質，將根式轉化為分數指數冪運算；（2）根式運算中常出現乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換．如；（3）冪指數不能隨便約分．如．2、指數冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數運算．負指數冪化為正指數冪的倒數．底數是負數，先確定符號，底數是小數，先要化成分數，底數是帶分數，先要化成假分數，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數運算性質．在化簡運算中，也要注意公式：，，，，的運用，能夠簡化運算．知識點五、無理數指數冪一般地，無理數指數冪（，為無理數）是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．【注意】（1）對于無理數指數冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數；②它是有理數指數冪無限逼近的結果．（2）定義了無理數指數冪之后，冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍．知識點六、實數指數冪的運算性質①．②．③．【題型歸納目錄】題型一：由根式的意義求范圍題型二：利用根式的性質化簡或求值題型三：有限制條件的根式的化簡題型四：根式與指數冪的互化題型五：利用分數指數冪的運算性質化簡求值題型六：整體代換法求分數指數冪【典型例題】題型一：由根式的意義求范圍例1．若有意義，則的取值范圍是（

）A．B．∪C．D．【答案】D【解析】因為，則，解得.故選：D.例2．若有意義，則是（

）A．正偶數B．正整數C．正奇數D．整數【答案】C【解析】被開方數為負數時只能開奇數次方，所以n為正奇數，故選：C.例3．若，則實數的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，即．實數的取值范圍是．故選：．變式1．若要使有意義，則取值范圍是_______.【答案】【解析】∵，要使有意義，則，即，∴.故答案為：.變式2．若有意義，則實數的取值范圍為______________【答案】【解析】由，要使得有意義，則滿足，解得，故答案為：．變式3．若代數式有意義，則______．【答案】8【解析】因為有意義，所以，解得，故．故答案為：8【方法技巧與總結】使根式有意義題型二：利用根式的性質化簡或求值例4．若，則的值為（）A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】因為，所以.故選：C例5．下列各式中成立的一項是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤.故選：C例6．=__________.【答案】【解析】當時，；當時，.所以.故答案為：變式4．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=0【方法技巧與總結】此類問題應熟練應用．當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外或由外向里，用分數指數冪寫出，然后再用性質進行化簡．題型三：有限制條件的根式的化簡例7．求使等式成立的實數a的取值范圍.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．已知，化簡：______．【答案】【解析】，因為，，所以，所以．故答案為：.變式6．若滿足關系+=+，則的值為_______________．【答案】21【解析】由題意得：，則，∴x＋y＝19，∴＋＝0，則3x＋5y?2?m＝0①，2x＋3y?m＝0②，①?②得：x＋2y?2＝0，∵x＝19－y，∴y＝?17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案為：21．【方法技巧與總結】對于多重根式的化簡，一般是設法將被開方數化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題．化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可題型四：根式與指數冪的互化例10．已知，為正數，化簡_______．【答案】【解析】原式．故答案為：．例11．（多選）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】，而，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：CD.變式7．式子的計算結果為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故選：D.【方法技巧與總結】（1）運算順序（能否應用公式）；（2）指數為負先化正；（3）根式化為分數指數冪．題型五：利用分數指數冪的運算性質化簡求值例13．化簡的結果為（

）A．B．C．1D．【答案】C【解析】故選：C例15．（1）計算：（2）化簡：【解析】（1）．（2）變式9．化簡下列各式：(1)；(2)．【解析】(1)．(2)．【方法技巧與總結】根式的化簡結果應寫為最簡根式．（1）被開方數的指數與根指數互質；（2）被開方數分母為1，且不含非正整數指數冪；（3）被開方數的每個因數的指數小于根指數．題型六：整體代換法求分數指數冪例16．已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以，即所以，故答案為：例17．若，，則________．【答案】【解析】．故答案為:.變式11．（1）已知，化簡.（2）設，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，則，，，.∴.變式13．已知，且，求下列代數式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【解析】（1）因為，且，所以..（2）.（3）.變式14．（1）已知，計算：；（2）設，，求的值．【解析】（1）因為，所以，所以，所以，

所以，即，所以，所以．（2）因為，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值為27．變式15．已知，，，且，則______．【答案】4【解析】因為，，所以兩式相乘得，則．將代入，得，所以．故答案為：4變式16．已知，則______．【答案】3【解析】由，可得，，．故答案為：3【方法技巧與總結】對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值．對冪值的計算，一般應盡可能把冪化為底數是質數的指數冪，再考慮同底冪的運算法則以及乘法公式．【同步練習】一、單選題1．（2022·四川·成都市郫都區(qū)川科外國語學校高一開學考試）下列運算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：C2．下列運算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，所以，錯誤；對于B，因為，所以，則，錯誤；對于C，，正確；對于D，，錯誤．故選：C．3．設a，b為正實數，，，則（

）A．1B．3C．9D．27【答案】C【解析】因為，所以，即，∴，，∴，故選：C．4．（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】原式，故選：C．5．已知，則化為（

）A．B．C．mD．1【答案】C【解析】，.故選：C．6．下列根式與分數指數冪的互化正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】對A：，故選項A錯誤；對B：，故選項B正確；對C：，不能化簡為，故選項C錯誤；對D：因為，所以，故選項D錯誤.故選：B.7．若，且，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題設，，即，又，且，所以.故選：A.8．已知，則下列運算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】A選項：，∴，又，∴，∴，故A錯誤；B選項：，∴，故B正確；C選項：，，，，，故C錯誤；D選項：，故D錯誤，故選：B.二、多選題9．下列等式中，不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，，

故A不正確；對于B，

，故B不正確；對于C，

中，故C不正確；對于D，

，故D正確．故選：ABC11．下列運算（化簡）中正確的有（

）．A．B．C．D．【答案】ABD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：ABD12．下列命題中正確的結論的為（

）A．的結果為-9B．若，則C．若，那么等于8.D．設，，則【答案】BCD【解析】A：，錯誤；B：，即，而，正確；C：令，則，故，正確；D：由題設，其中，故其中元素與相同，有，正確.故選：BCD三、填空題13．計算：___________________．【答案】【解析】原式=.故答案為：14．已知，則______.【答案】【解析】.故答案為：.15．化簡___________.【答案】【解析】故答案為：四、解答題19．閱讀材料，解決問題：化簡：．由于題目沒有給出x的取值范圍，所以要分類討論，．令，，令，得；∴的零點值為3，的零點值為，在數軸上標出3和的點，數軸被分成三段，即，，；當時，原式；當時，原式=5；當時，原式．(1)求和的零點值；(2)化簡：．(3)求方程：的整數解．【解析】（1）可令和，解得和，∴，分別為和的零點值．（2）當時，，原式當時