第頁4.5.1函數(shù)的零點與方程的解【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)題型三：零點存在性定理的應用題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型九：函數(shù)與方程的綜合應用【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點個數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.（2）定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；②兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù).4、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；（3）若符號為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。5、已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點例1．函數(shù)的零點為（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）例2．若是函數(shù)的一個零點，則的另一個零點為（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）例3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．有2個零點，分別為1和3C．在上單調(diào)遞增 D．最小值是變式1．若為奇函數(shù)，且是的一個零點，則一定是下列哪個函數(shù)的零點（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．若滿足，滿足，則________.例5．若正實數(shù)是方程的根，則___________．變式2．已知，若是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A．1 B．2021 C． D．4016變式3．已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3變式4．若實數(shù)，滿足，，則（

）A． B．1 C． D．2題型三：零點存在性定理的應用例7．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．例8．方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例9．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式5．在下列區(qū)間中，函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．已知為冪函數(shù)，（，且）的圖象過點．，若的零點所在區(qū)間為，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0例11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例12．若函數(shù)有三個零點0，1，，且(1，2)，則a的取值范圍是（

）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)變式6．若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式7．已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式9．已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍例13．已知函數(shù)若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．若函數(shù)有兩個零點，則整數(shù)a的值共有（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．17個例15．已知函數(shù)，若存在互不相等的實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________．變式10．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．變式11．已知函數(shù)若方程有且僅有三個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．若函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例17．已知函數(shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）例18．已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則（

）A． B． C．或 D．變式16．已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．變式17．已知且在內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例19．已知函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”，若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例20．若方程的兩實根中一個小于，另一個大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例21．已知關(guān)于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．變式18．若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根、，且滿足，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．（2，5） B．C． D．變式19．已知實數(shù)，關(guān)于x的方程有兩個實根，，且，則實數(shù)a，b，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．變式21．已知函數(shù)的零點至少有一個大于0，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式23．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式24．已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例22．已知函數(shù)的零點位于區(qū)間（）內(nèi)，則（

）A．1 B．2C． D．4例23．已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．已知函數(shù)，，的零點分別為，，，以下說法正確的是（

）A． B． C． D．變式25．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____________．變式26．（2022·全國·高一專題練習）設(shè)依次表示函數(shù)的零點，則的大小關(guān)系為______．題型九：函數(shù)與方程的綜合應用例25．已知函數(shù)，若方程有4個不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例26．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個實根，則的最小值為（

）A． B． C．10 D．9例27．已知函數(shù)且時，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式27．已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式28．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（）A．

B．

C． D．[﹣5，﹣4]變式29．已知函數(shù)，若方程有六個相異實根，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．變式31．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式33．已知函數(shù)，若有四個不等實根，且，求的取值范圍（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【同步練習】一、單選題1．已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21.則實數(shù)的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或12．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，4．已知函數(shù)的零點為，不等式的最小整數(shù)解為k，則k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．65．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點的是（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若且，則（

）A． B． C． D．隨值變化7．已知，分別是方程，的根，則（

）A．1 B．2 C． D．8．已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則，，的大小順序為（

）A． B．C． D．二、多選題9．關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若則 D．有且僅有兩個零點10．若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)，且，，，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上有且只有1個零點B．函數(shù)在區(qū)間上一定沒有零點C．函數(shù)在區(qū)間上可能有零點D．函數(shù)在區(qū)間上至少有1個零點12．函數(shù)有兩個零點，且，下列說法錯誤的有（

）A．且 B．且 C．且 D．三、填空題13．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，且有兩個零點，則滿足題意的一個實數(shù)的值可以為______．14．已知函數(shù)的零點是和，則________.15．若二次函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為______