上海市上海師范大學附屬中學2025-2026學年高三上學期暑

期考試數(shù)學試卷（7月份）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設,,力為實數(shù)，則“〃>/,>（）”的一個充分非必要條件是（）

A?B.6>b：

11卜a-b>b-a

C.—>—D.

ba

2.設&方表示空間的兩條直線，。表示平面，給出下列結論：（1）若。/g且bua，則

aHa\（2）若a//a且力ua，則a//b;（3）若a"b且a，/a，則3//a;（4）若°//Q

且b〃a，則a/e，其中不正確的個數(shù)是（）

A.1B.2個C.3個D.4個

3.設Q為曲線C/=4x上的任意一點，記P到。的準線的距離為4若關于點集

A=[M\MP\=力和8={（x,y）\（x-\）2+（y-\）2=/},給出如下結論:

①任意尸€（0,+oo）,力cA中總有2個元素；②存在廠e（0,+oo）,使得月D8=0.

其中正確的是（）

A.①成立，②成立B.①不成立，②成立

C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立

4.設@>0,若在區(qū)間92北）上存在“，b且°<6,使得sin?〃）+cos（勵）=2,則下列所

試卷第11頁，共33頁

給的值中/只可能是（）

A.C.2

3嗯

二、填空題

5.設全集U=R,若集合力=卜|國之1/￡式，則力=一.

6.函數(shù)/⑶=cos2x-sin2x的最小正周期為一?

7.現(xiàn)有一組數(shù)1,1,2,2,3,5,6,7,9,9,則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為一.

X.設3i（1為虛數(shù)單位）是關十x的方程+川=0（〃?eR）的根，則加二——.

9.函數(shù)y=Q的定義域為一.

10.若兀＜。＜又且sinO=-W,則tan(0-巴

25I4；

H.現(xiàn)有一個底面半徑為2cm、高為9cm的圓柱形鐵料.若將其熔鑄成一個球形實心工件，

則該工件的表面積為一（損耗忽略不計）.

12.設V48C的三邊。，卜，。滿足Q:/）:C=7:5:3，且s48c=15A/J，則此三角形最長的邊

長為一.

13.“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位kw.h）與氣溫x（單位：

°C）之間的關系，隨機統(tǒng)計了4天的用電量與當天的氣溫，這兩者之間的對應關系見下表:

氣溫X181310-1

用電審y24343864

若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程y=-2x+b（〃wR）來預測，則當氣溫為-4C時該小區(qū)相應的

試卷第21頁，共33頁

用電量約為---kw-h'

14.設小巴為雙曲線「:￡-<=1（“>0）左、右焦點，且「的離心率為石，若點例在「的

cr9

左支上，直線片M與「的左支相交于另一點M且則忻N|=----

15.設且若在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=bg?a+2）與］°

2x+a

的圖像于直線/對稱，則/與這兩個函數(shù)圖像的公共點的坐標為一.

16.設X、ywR，若向量［，力）滿足）=（“），力=［2/），1="1），且向量與）

互相平行，則I引+2m|的最小值為一?

三、解答題

17.如圖，在直三棱柱48C—44G中，4C=4，BC=3,4B=5,

⑴求證：JC15C,；

Q）設AC.與底面ABC所成角的大小為60。，求三棱錐C-ABQ的體積?

18.已知a>b均為不是1的正實數(shù)，設函數(shù)y=/q）的表達式為/（X）=〃.〃（X€R）.

⑴設八〃且/（x）"."，求x的取值范圍；

試卷第31頁，共33頁

8={(xM(x-a)2+(y-b)241},記

(1)若函數(shù)/(x)=L-當，請判斷〃，(°，°)中元素的個數(shù)，并說明理由：

x4

(2)設函數(shù)八力一曰^,若%6°)={(/—)|，求”的值以及曲線▼■/(“)在點

p(x。,比)處的切線方程；

(3)設加￡，函數(shù)/(x)=e-匡」+m,若對于任意的“，皆有火(。，。)=。成立，求

XX

m的取值范圍.

試卷第51頁，共33頁

《上海市上海師范大學附屬中學2025-2026學年高三上學期暑期考試數(shù)學試卷（7月

份）》參考答案

題號1234

答案ADBD

1.A

【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項與°>6>0推出關系即可.

【詳解】由則！可得可推出反向推不出,

Z>-l>0

滿足；

由/>〃,則網(wǎng)，推不出a>b>0,反向可推出,不滿足；

由〉一，則或或，推不出，反向可推出，不?兩足：

ba

由a-b>“a，則“>”推不出反向可推出，不滿足；

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)直線與直線平行、直線與平面平行的性質(zhì)分別判斷命題直假即可得解..

【詳解】若力/6且Ou。，則//a或QUO,故命題錯誤；

若a//a且則々/分或為異面直線，故命題錯誤；

若a"b且a/la'則b//a或bu”故命題錯誤；

若a〃a且6//a，則a//力或a,力相交或異面，故命題錯決.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)題意可得點M的軌跡是以P為圓心，d為半徑的圓，（x_i）2+（）,_i）2=/的

答案第11頁，共22頁

圓心N(l,l)，證明當點夕在原點處時，點在點河的軌跡圓外，即可得出結論?

2

【詳解】曲線C：y=4x的焦點廠(1,0)，

則陽=",

由陽刊=”得，點M的凱遜是以P為圓心，d為半徑的圓,

(工一1)2+(y-l)2=r2的圓心N(l,l)，

當點P在原點處時，/>(0,0)，此時d=l,

此時點切的軌跡方程為f+y2=］,

因為1+1=2>1，所以點在圓/+jj=［外，

則存在rw(0,+oo),使得兩圓相離，即4P|8二0，

故①錯誤，②正確.

故選：B.

4.D

sin(胸)=1①>01+4帆m,neZ

-n<(o<-----

【分析】由題設得k0s35)=l且，結合已知可得12且，分類討

n>m+—>0

4

論求①范圍，即可得答案

sin(0a)=16)>0_(1+4，〃)兀m,nsZ

【詳解】由題意知：Nosh而)=1且，則20

b="-

(0

又“，“€［兀，2兀)且。<力，則兀線(1+46)兀2、〃,,1+4/ii2/1cni,neZ

<,BnnP1<-----<——<2,

2(0CD2(0CD

答案第21頁，共22頁

/+4m叫拄eZ

n<CD<---------

2

所以1且

〃>〃？+->()

4

…即或〃為其它大于I的整數(shù))不滿足；“時2’若：—時

3<(y<-?

2

所以約滿足要求，其它不符合.

3

故選：D

5.{x|-l<.r<l}

【分析】解絕對值不等式求集合a應用集合補運算求彳.

A

【詳解】由題設4={x|x21或xW-l},又U=R,

所以4={x|-1<X<1}?

故答案為:{x|-l<x<1}

6.71

【詳解】試題分析：因為/(x)=cos2x,所以函數(shù)f(x)=cos'—si/x的最小正周期為

_27r

T=---=7T.

2

考點：三角函數(shù)的周期

7,2

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)集，應用百分數(shù)的求法求第25百分位數(shù).

答案第31頁，共22頁

【詳解】由題設，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個數(shù)據(jù)，則I（）x25%=2.5,

所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個數(shù)）.

故答案為：2

8.9

【分析】將根代入方程即可求參數(shù)值.

【詳解】由題設（3爐+加=0,即〃?-9=0,

所以2?

故答案為：9

9.(F,0)UI，-KO

【分析】求函數(shù)的定義域，保證根號下的式子大于等于0,分母不為。即可

【詳解】

1x<0

3-->0x/十

x，3或

所以定義域為:(Y),0)Ub

故答案為：（-00,0）U

10.-1

7

答案第41頁，共22頁

【分析】先根據(jù)平方關系及商數(shù)關系求出cos。,lane，再利用兩角差的正切公式即可得解?

【詳解】因為兀＜。＜久且sin。=-2,所以cos。=-Jl-sin?0=-1,

255

3

所以tan0=-,

4

tan0-tan———1

_________4_=4

則,八兀3,7,

1+tan0tan-1+-

44

故答案為：

36兀

【分析】根據(jù)圓柱的體積等于球的體積求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解?

【詳解】設球的半徑為R.

則兀22知,爐，解得“=3,

3

所以該工件的表面積為44&2.

故答案為:366

12.14

【分析】rha:6c=7:5:3,得邊。最長，不妨設a=7x,力=5x,e=3x，利用余弦定理求出

角A，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】由6c=753,得邊。最長，

答案第51頁，共22頁

不妨設a=1x,b=5x,c=3x

b?+c?25X2+9X2-49X2

則cosA=

2bc30x22

又/e（O,兀）,所以風力=3，

2

則S.」bcsin八及3'］5百，解得》=2，

224

所以三角形最長的邊長為7x=i4.

故答案為：14，

368

【分析】求出樣本中心點，再根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點求出方，再將工=-4代入

即可得解.

…s-18+13+10-124+34+38+64心

［詳解］x=-------------------=10,y=------------------------=40,

44

則40=-2xl0+“解得6=60'

所以y=-2x+60?

當x=-4時，y=68,

即當氣溫為_4℃時該小區(qū)相應的用電量約為68kwh

故答案為:68.

答案第61頁，共22頁

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式求出〃，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.

【詳解】由「的離心率為石，

得￡=、門衛(wèi)=5解得〃J，

f

由點”在「的左支上,^\MF2\-\MF]\=2a=3

又因|M^|=|〃N|，

所以|-|閆MN|-|=3，即閨N|=3?

故答案為：3.

15.1則/(-。5。)

【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象關于直線/對稱，再結合底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象

關于x軸對稱，可求得°,從而可得出答案.

【詳解】y=logi,—=-log"(2x+a)=log](2x+a),

"+"a

因為函數(shù)kbgaM+2)與y=log[(2x+4)的底數(shù)互為倒數(shù)，

a

而底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于X軸對稱，

函數(shù)y=bga("+2)與y=log,(2x+a)的圖像于直線/對稱，

a

所以函數(shù)kbg“M+2)與k憶(2工+。)的圖像于“軸對稱，

a

答案第71頁，共22頁

即直線/為X軸,

所以or+2=2x+a，所以a=2,

則兩個函數(shù)分別為N=bg式2x+2),klog|(2x+2),

2

2x+2=1

令噫(2%+2)=0,=%(2%+2)=0,^f解得工=」，此時尸°,

22

所以/與這兩個函數(shù)圖像的公共點的坐標為

16.3石

【分析】由向量平行的坐標表示可得x+y=3,在坐標系中G=8=(x,l)，

2坂=歷=(4,6-2x)，將D按向量值平移至。，根據(jù)C軌跡為直線2x+y-15=()，將問題

化為何+2/H方川%|最小，數(shù)形結合法求原點到直線距離即可得結果.

【詳解】由五一井=(工一2,1-?)，又向量萬與1互相平行，

所以x-2=1-y,故x+y=3，

令。=方=(/1)，b=OB=(2^-x)f則2$=歷=(4,6-2x)，

所以。(4,6-2x),將。按向量。平移至C(4+x,7-2x)，

所以C是直線2x+j，-15=0上的動點，如下圖示，

答案第81頁，共22頁

所以涕=歷=%，故忖+2同=|（刊+]方

由圖知：要使|]|+2訪|最小，只需0,4。三點共線且0到直線2x+y-15=0距離最短，

故|可+2出|最小值為原點到直線2工+k15=°的距離，最小值為心上里=3石，此時

五+『

題設中的k2,尸1.

故答案為：36

【點睛】關鍵點點睛：找到25=歷的。，并將其平移至。使蘇=歷=^，即有

同+2向=必|+|就|,問題化為求點到直線距離.

17.（1）證明見解析

Q）8&

【分析】（1）由4c?+5C2=力公證出力C_L4C，再由線面垂直的性質(zhì)得出cguc，

然后根據(jù)線面垂宜的判定定理即可得證；

（2）由NC/C為力G與底面力A。所成角求出棱柱的高，再由等體積法求體積即可?

【詳解】（1）.../0=4，BC=3'AB=5'

答案第91頁，共22頁

AC2+BC2=AB2

:,ACLBC^

又直三棱柱力8C-481G中，CC|_L平面/8C，

?.?4Cu平面N8C，ACC,1AC*

又CCqBC=C，CG，8Cu平面8CG4，

.?.力CJ■平面8CC4，

?.?8。'平面8。。4，二力。_1_8。/

（2）?.?（%；_L平面48。，

AC,在平面ABC上的射影為/C，即NC/C為AC］與底面加所成角,

.\ZC,/1C=60°>/.CC,=JCtan60°=4V3,

18.⑴由

（2）10216

【分析】（1）由題設〃.加“從優(yōu)，利用指數(shù)單調(diào)性求解集即可；

（2）由已知有/=2〃-4,包=4-，根據(jù)條件分析｛q。｝中的元素組成，利用等差數(shù)列前

〃項和公式、分組求和.

【詳解】（1）由題設〃.加4/>./，又且都不為1的正實數(shù)，

答案第101頁，共22頁

所以而巴>1,故"'I.

bbh

I2

（2）由a“=log2ab"=log,a+nlog,b=2〃-4，hn=ab"=4"?

而｛4｝數(shù)列前100項中有-2,0,2,4,6,8,...,194,196，其中屬于｛2｝數(shù)列有4,664,

所以匕｝數(shù)列前100項是;勺｝的前103項去掉4,16,64三個元素，

則/=@衛(wèi)普1.476-64=36.

/=12

19.⑴g

【分析】（1）用乘法公式和全概率公式，分別算出取到2個白球和3個白球的概率即可;

（2）分別計算出取到的白球數(shù)的概率，計算期望即可.

【詳解】（1）設取到的白球數(shù)為X，則X的可能值為：0,1,2,3.

則P-與《皆+?警_9_2_

取到2個白球的概率=

3O-TO

1c31

取到3個白球的概率=3）=-x-i=—>

'73C30

311

則取到的白球數(shù)不少于2個的概率：P（Z>2）=---1---=一

10303

⑵「（x=o）f!H喀51

306

Ic!c；IC'C；1C；C：152

P（%=1）=-X—4^-+-x—^+-x—=——

3c3c3C302

答案第111頁，共22頁

P(X=2)=；x等

30~10

)v5

P(X=3)=kq」，

''3C；30

所以取到的白球數(shù)的期望：^(A9=Oxl+lxl+2xA+3x±=|

20.(1)2；

（3）/\歷力8的面積是定值，定值為J6

【分析】（1）由題意可得點,的縱坐標，代入橢圓方程計算》=皿，再由橢圓的

2

關系列式求解加；（2）設直線。。的方程為y=h+2（〃eR）,聯(lián)立方程組，根據(jù)A>0得

公的范圍，寫出韋達定理，根據(jù)向量數(shù)量積公式列式代入計算化簡，并結合公的范圍，從

而求解出反?歷的范圍；（3）分別將直線CO，力8的方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定

理，根據(jù)弦長公式分別計算表示出|CO|，H同，再由|.|=2|cq列式化簡得關于左的關系式，

利用平行線間的距離表示出從而可得的面積為SW=；XM8|X〃，代入“

的關系式化簡計算即可求出定值.

【詳解】⑴因為梯形即為「的長軸，力88的高為

答案第121頁，共22頁

所以點。的縱坐標為代入橢圓方程得￡+』=i，

nr4

可得》=息3又因為,在48上的射影為「的焦點,

2

。=冊==且，解得'/=4

2

///>1,/.m=2-

（2）由題意，橢圓「：:+尸=1，直線0°的方程為）'="+2（"CR）

。（王，必），。（工2，%）

X1

—+V2=1

設，貝IJ2"

y=kx+2

化簡得（2公+1卜2+8履+6=（），

△=64公-24(2/+1)>0得犬>2,

-8k6

?.?%+/=赤?"/"折T'

:.OCOD=x1x2+凹y2=xx,+(上/+2)(AX2+2)

=(%2+1)玉工2+2〃($+/)+4

6&+1)_金+嗎=一2左由0一+」

2F+12^+12F+12k2+12k2+\

7

k2>-所以-]<—I+-y--<—

22k~+14

答案第131頁，共22頁

所以℃°力的取值范圍為（-1,?

（3）設直線C。的方程為》=履+小。（西,乂）,。（/,外），

彳（》3,%）,8（%乂）?2I

-=1.

，聯(lián)立

y=kx+t

化簡得（2犬+1田+必儀+2/一2=0，

A=1642產(chǎn)一4（212+1）（2/-2）＞0?

-4kt2!2-2

X22]（2^2+1）.￥2-2=0

聯(lián)立萬+，=】，化簡得

y=kx

八-2

.?.巧+七=0/3七=亦1，

e-層?=內(nèi)當I手'

???陷=2加|,所以2"巫年Ef孚’

化簡得"=6〃+3,即/6/+3

答案第141頁，共22頁

PAMABg告小2\t\

又的身為〃=，

VF7T

2yl2(2/+1)2M

所以sWlp=-x\AB\xh=-J\+k^

AAl/ID23242+1

將|j+3代入化簡得,,2（6/+3）（2犬+1）

2…:瓜

故△M4B的面積為定值J&.

【點睛】解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或）,）立一元

一次方程，然后借助根與系數(shù)的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.

2L（1）%（0,0）有2個元素，理由見解析

（2）k=~,24-2a+3=0

4

(3)，〃w(0,+8)

，2》■

X-+y~<\

【分析】（1）求]3x的解即可得到答案?

V=------

x4

（2）根據(jù)兩曲線的位置關系，先求心的值，再結合導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程.

（3）先把問題轉(zhuǎn)化成/?）＞］恒成立，再求函數(shù)/"）的最小值即可.

x2+y2<1==