3.3探索與表達(dá)規(guī)律

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.觀察下列數(shù)列的規(guī)律：27,22,18,15,（）,12,選擇括號(hào)中應(yīng)填哪個(gè)選項(xiàng)？（）

A.10B.11C.12D.13

2.一列有規(guī)律的數(shù)：-1,-4,7,10,-13,-16,19,22,L,則這列數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為（）

A.6067B.-6067C.6068D.-6068

3.同學(xué)們做操，排成一個(gè)正方形的隊(duì)伍，從前、后、左、右數(shù)，小紅都是第5個(gè)，問一共有（）

人.

A.81B.25C.32D.120

4.用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第2012個(gè)圖案需要棋子

（）枚.

圖案1圖案2圖案3

A.5046B.5782C.4986D.6038

5.觀察下列按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式:…，按這個(gè)規(guī)律,第匕個(gè)單項(xiàng)式

是（）

A.15A15B.-15/C.29ysD.一29ps

6.觀察元素原子結(jié)構(gòu)示意圖的規(guī)律，則某元素原子結(jié)構(gòu)的原子核中應(yīng)填的是（）

A.+14B.+15C.+16D.+18

7.如圖，用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺卜.去，則第10個(gè)圖形需

棋子（）枚

OOOOOO

OOOOOOOOO???

OOOOOO

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖

A.25B.28C.31D.34

8.如圖中每個(gè)圖形都是由口、0、△中的兩個(gè)（可以相同）構(gòu)成.觀察各圖形與它下面的數(shù)之間的

關(guān)系，可知最右面圖形下面的“？”表示（）

A@0@回△同

221321331132?

A.23B.32C.13D.31

9.觀察下列等式2=2;22=4;23=8;24=16；25=32;26=64;27=128;…,通過觀察，用

你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定220°，的個(gè)位數(shù)字是（）

A.2B.4C.8D.6

10.晉商人院一般指山西人院，是中國(guó)民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之說.皖南民

居以樸實(shí)清新而聞名，晉中大院則以深邃富麗著稱.下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中“。”代

表窗紙上所貼的剪紙，則第〃個(gè)圖中所貼剪紙的個(gè)數(shù)為（）

(1)(2)(3)

A.3nB.3〃+1C.3〃+2D.3〃+3

11.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形數(shù)表，我們稱之為“楊輝三角”，圖中兩線之間的一

列數(shù)：1,3,列10,15,…，我們把第一個(gè)數(shù)記為4,第二個(gè)數(shù)記為4，第三個(gè)數(shù)記為生，...，

第〃個(gè)數(shù)記為4,則為-的+為值是（）

A.17B.45C.27D.55

12.觀察下列圖形：它們是按一定的規(guī)律排列，依照此規(guī)律第〃個(gè)圖形共有（）個(gè)五角星.

￥￥斗

斗斗斗斗斗斗斗'斗、

4￥￥斗

斗斗

斗斗

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

A.1+〃B.1+2/7C.2+nD.1+3〃

二、填空題

13.數(shù)的運(yùn)算中含有一些有趣的數(shù)字位置對(duì)稱的形式，如12x231=132x21.按照此等式的形式填空:

12x462=x；x891-x81.

14.找規(guī)律，填一填：1,8,27,—,125,216,...

15.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派經(jīng)常把“形”與“數(shù)”聯(lián)系在一起，下圖是用“形”來表示“數(shù)，請(qǐng)你認(rèn)

真觀察：第1幅圖的點(diǎn)數(shù)為1,第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為5,第3幅圖的點(diǎn)數(shù)為9,依次排下去，第10幅圖

的點(diǎn)數(shù)為，第〃幅圖的點(diǎn)數(shù)為.

第1幅第2幅第3幅第4幅

16.觀察等式：r=2，2?=4，23=8,24=16.2$=32,26=64?27=128.L.通過觀察，用

你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定2誣的個(gè)位數(shù)字是.

17.先找規(guī)律，再填數(shù)：1,Q彳，57白9,盤，___,弓13.

49162549

三、解答題

18.定義：對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，交換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置得到一個(gè)新數(shù)，我們把這樣的兩個(gè)

數(shù)稱之為互為“友好數(shù)”；如63的“友好數(shù)”是36.

⑴填空：27、68的“友好數(shù)”分別是；

⑵對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為。，十位數(shù)字為3試說明這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一

定能被11整除.

上田2取23-1,125-31127-51129-711

9先閱讀，再答題廠曲二七1r而二丁溷=百=^^=而=廠§

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出:

211

（，）99=O-r）：

將②式減去①式得；2S-S-22020-1?

BPS=l+2+22+23+24+...+220,9=22020-l.

⑴請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：1+2+2?+2?+24+2,+2。

(2)求1+3+3?+33+3,+…+3*)的值；

(3)求鏟+4"+4,2+4”+…+420的值.

22.觀察以下等式：

第1個(gè)等式：(100+1)2=10(X)0+200+1,

第2個(gè)等式：(100+2)2=10000+400+4,

第3個(gè)等式：(100+3『=10000+600+9,

第4個(gè)等式：(100+4)2=10000+800+16,

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：」

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示）.

23.如圖，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰

格子中所填整數(shù)之和都相等.

⑵試判斷第2023個(gè)格子中的數(shù)是多少？并給出相應(yīng)的理由.

(3)判斷：前〃個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2024?若能，求出〃的值，若不能，請(qǐng)說明理由.

24.小華用邊長(zhǎng)為1厘米的正方形紙片分別擺出如下圖所示的圖形，并依次寫出了每個(gè)圖形的周長(zhǎng).請(qǐng)

圖圖圖圖

圖形???

123n

周長(zhǎng)/

???

厘米

3.3探索與表達(dá)規(guī)律》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DAADCCCDCC

題號(hào)1112

答案CD

1.D

【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)所給數(shù)列發(fā)現(xiàn)前后兩數(shù)的差依次減少I是解題的關(guān)鍵.

觀察所給數(shù)列發(fā)現(xiàn)前后兩數(shù)的差依次減少I，據(jù)此可解決問題.

【詳解】解：由題知，

27-22=5,

22-18=4,

18-15=3,

???接下來兩數(shù)的差為2,

則】5-13=2,

且13-12=1,

符合此規(guī)律，

???括號(hào)中應(yīng)填13.

故選：D.

2.A

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，觀察數(shù)據(jù)可得到其數(shù)值部分是3〃-2,且以2個(gè)負(fù)，2個(gè)正

數(shù)為一組，重復(fù)出現(xiàn)，據(jù)此可求解.

【詳解】解：T1,4,7,10,13,16,19,22........

二第〃個(gè)數(shù)是：3/7-2,

?.?該列數(shù)以2個(gè)負(fù)，2個(gè)正數(shù)為一組，重災(zāi)出現(xiàn)，

.?.2023+4=505.......3,

???第2023個(gè)數(shù)的符號(hào)為正，

???第2023個(gè)數(shù)為：3x2023-2=6067,

故選：A.

3.A

【分析】此題考查了方陣問題中總點(diǎn)數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)X每邊點(diǎn)數(shù)的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)行、列排列特

點(diǎn)求出每邊人數(shù).

因?yàn)閺那?、后、左、右?shù)，小紅都是第5個(gè)，所以每行都有；5x2-1=9人，山此利用方陣問題中；

總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)x每邊人數(shù)，即可解答.

【詳解】解：每邊人數(shù)是：5x2-1=9（人），

共有:9x9=81（人）,

答：一共有81人.

故選：A.

4.D

【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，觀察圖形后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多3個(gè)棋子，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：觀察圖形后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多3個(gè)棋子，

???第〃個(gè)圖案需要棋子的個(gè)數(shù)為：5+3（〃-1）=3〃+2,

???第2012個(gè)圖案需要棋子3x2012+2=6038枚；

故選D.

5.C

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項(xiàng)式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

由所給的單項(xiàng)式可得第〃個(gè)單項(xiàng)式為⑵I）/，當(dāng)〃=15時(shí)即可求解.

【詳解】解：???工,-3/,5丁,-7/9?,-11總?..,

..?第〃個(gè)單項(xiàng)式為（-1戶（2〃-1）廣,

.??第15個(gè)單項(xiàng)式為:29/,

故選：C.

6.C

【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律.

通過觀察三種原子結(jié)構(gòu)示意圖的電子分布規(guī)律發(fā)現(xiàn)原子核外包子的電子數(shù)之和等于原子核中的數(shù)字,

據(jù)此即可解答.

【詳解】解：由三種原子結(jié)構(gòu)示意圖可知：原子核外電子排行為第一層2個(gè)，第二層8個(gè)，三個(gè)電子

層的電子數(shù)之和等于原子核中的數(shù)字.

故：該元素原子結(jié)構(gòu)的原子核中數(shù)字2+8+6=16,

故選C.

7.C

【分析】本題考杳了圖形規(guī)律句題，旨在考杳學(xué)生的抽象概括能力，根據(jù)圖示確定一般規(guī)律即可求

解.

【詳解】解；由圖可知；第1個(gè)圖形需根子；3卜1=4（枚）；

第2個(gè)圖形需棋子：3x24-1=7（枚）；

第3個(gè)圖形需棋子：3x3+1=10（枚）；

,第10個(gè)圖形需棋子:3x10+1=31（枚）；

故選：C.

8.D

【分析】本題為圖形規(guī)律題，合理分析變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

觀察圖形找出規(guī)律求解即可.

【詳解】

解：觀察A可得：兩個(gè)三管形，一內(nèi)一外，即三角形代表2；

22

觀察可得：一內(nèi)一外，即正方形代表1,圓型代表3；

13

觀察可得:一內(nèi)一外，即三角形代表2,正方形代表1：

21

觀察（乃可得：一內(nèi)一外，即圓型代表3；

33

綜上TO內(nèi)一外，內(nèi)部圓形為3,外部正方形為1,則此圖為31；

故選：D.

9.C

【分析】】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)

的規(guī)律解決問題.由題中可以看出，以2為底的帚的末位數(shù)字是2,4,8,6…，依次循環(huán)的，根據(jù)

2007+4=501…3,即可得出答案.

【詳解】解：以2為底的寡的末位數(shù)字是2,4,8,6…依次循環(huán)的，

2007+4=501…3,

所以22°°,的個(gè)位數(shù)字是8,

故選：C.

10.C

【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，明確題意，從圖形中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

觀察圖形可知，第一個(gè)圖案為3xl+2=5個(gè)窗花，第二個(gè)圖案為3x212=8個(gè)窗花，第三個(gè)圖案為

3x3+2=11個(gè)窗花，……,由此可得第〃個(gè)圖案所貼窗花數(shù)，于是得解.

【詳解】解：第一個(gè)圖案為3劃+2=5個(gè)窗花，

第二個(gè)圖案為3x2+2=8個(gè)窗花，

第三個(gè)圖案為3x3+2=11個(gè)窗花，

由此可得，第〃個(gè)圖案所貼窗花數(shù)為(3〃+2)個(gè)，

故選：C.

11.C

【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

根據(jù)題意可得〃產(chǎn)1;%=1+2=3；q=l+2+3=6；/=1+2+3+4=1()；…，第〃個(gè)數(shù)記為

%=1十2十3十…十〃(〃十1),進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：

4=1;

a,=1+2=3；

%=1+2+3=6：

aA=1+2+3+4=10；

???,

第n個(gè)數(shù)記為/=l+2+3+—+〃=g〃(〃+l),

，%=；x9x(9+l)=45,

tz7=lx7x(7+l)=28

<%-%+q=45-28+10=27.

故選：C.

12.D

【分析】本題考查圖形類規(guī)律探索，其關(guān)鍵是觀察圖形分析數(shù)字關(guān)系找出規(guī)律求解.

觀察圖形可以得出規(guī)律：每個(gè)圖形上方始終只有一個(gè)五角星，左、右、下的五角星個(gè)數(shù)與忤形序號(hào)一

樣，，從而可得解.

【詳解】解：第1個(gè)圖形共有4個(gè)五角星,而4=l+lx3,

第2個(gè)圖形共有7個(gè)五角星，而7=l+2x3,

第3個(gè)圖形共有1()個(gè)五角星，而10=1+3x3,

第4個(gè)圖形共有13個(gè)五角星，而13=1+4x3,

第〃個(gè)圖形共有(1+3〃)個(gè)五角星.

故選：D

13,264,21,18,198

【分析】本題考查了數(shù)字運(yùn)算的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題目的規(guī)律，然后求解.分析題目中算式可

得：各個(gè)數(shù)字關(guān)于等號(hào)是“軸末稱”；依據(jù)所給例子的形式填空.

【詳解】解：12x462=264x21；

18x891=198x81.

故答案為:264,21；18,198.

14.64

【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，根據(jù)1=38=2',27=3，125=53216=6',從而可

得答案.

【詳解】解：???1=戶，8=2，27=3\125=5\216=6、

，括號(hào)內(nèi)為4,=64,

故答案為：64

15.374〃-3/-3+4〃

【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律題.根據(jù)第1,2,3幅圖的點(diǎn)數(shù)，可得到規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：第1幅圖的點(diǎn)數(shù)為1=4x1-3,

第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為5=4x2—3,

第3幅圖的點(diǎn)數(shù)為9=4x3—3,

依次排下去，

第10幅圖的點(diǎn)數(shù)為4x4-3=37,

第〃幅圖的點(diǎn)數(shù)為4〃-3.

故答案為：37；4〃-3

16.2

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方規(guī)律型題.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握以2為底的箱的末位數(shù)

字的循環(huán)規(guī)律.

可以看出，以2為底的暴的末位數(shù)字是2,4,8,6依次循的，根據(jù)2021+4=505……1,得到2?⑼的

個(gè)位數(shù)字是2.

【詳解】V2'=2?2?=4,2,=8，2，=16,

2'=32,26=64,2，=128,2s=256,

2。=512,L,

???以2為底的幕的末位數(shù)字是以2,4,8,6依次循環(huán),

???2021+4=505……1,

???的個(gè)位數(shù)字是2,

故答案為：2.

【分析】此題考查的是數(shù)字的變化類問題，觀察數(shù)據(jù)得出規(guī)律：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子為奇數(shù)（比序號(hào)數(shù)的

2倍小I）,分母為序號(hào)數(shù)的平方數(shù).據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答便可.

【詳解】解：根據(jù)題意知：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子為奇數(shù)（比序號(hào)數(shù)的2倍小1）,分母為序號(hào)數(shù)的平方數(shù).

，第6個(gè)數(shù)為：竿

6-36

故答案為:上

18.(1)72,86

（2）證明見解析

【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)、理解“友好數(shù)''的定義，按照定義分析是解題的關(guān)鍵。

（1）由“友好數(shù)''的定義可得答案;

（2）由題意得這個(gè)兩位數(shù)是10"。，它“友好數(shù)”是10。+6,計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和，即可得證.

【詳解】（I）解：由“友好數(shù)”的定義可得，27、68的“友好數(shù)”分別是：72,86,

故答案為：72,86；

（2）對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為。，十位數(shù)字為力,

則這個(gè)兩位數(shù)為：10人+a,

它的“友好數(shù)”為：10a+〃,

這兩個(gè)數(shù)的和為：10/?+a+10a+人=11（。+/?）,

因?yàn)椋闉檎麛?shù)，

所以，對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被11整除.

19.（1）9；11

（2）'1

nn+2

【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律的探索，結(jié)合題意分析規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中規(guī)律得出第5個(gè)等式即可得出結(jié)果;

（2）根據(jù)題意總結(jié)出規(guī)律即可；

（3）結(jié)合（2）中規(guī)律求解即可.

第5個(gè)等式為卷=髭4一5

【詳解】（1）解：由題意可得,

故答案為：9；11：

211

（2）由題意可得，第〃個(gè)等式:

〃(〃+2)n〃+2

故答案為：-

nn+2

2222222

(3)—i---1----1---1---1----1---

315356399143195

*工十2十△十3十3十二

1x33x55x77x99x1111x1313x15

-~33-5+5-7+7-9+9_TTT\~~\3耳一百

=1-1

15

14

-15,

20.(1)--+-=x—

5656

-1111

(2)一一+---=-x----

nn+1nn+1

⑶*

2024

【分析】本題考查/數(shù)字類規(guī)律題，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，掌握數(shù)字類規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)規(guī)律即可求解：

（3）先將乘法化為加法，再加減即可求解：

【詳解】⑴解：第5個(gè)等式：-2+!=-卜!，

5656

故答案為：一:+:=-!乂2；

5656

（2）解：第八個(gè)等式：一2H-x―■―,

nn+1nn+I

故答案為：-，+—二=一■-x；

nn+Inn+1

⑶解：原式+局+卜；+撲卜汨卜1卜七十盛〕

=-Id---1----1--1----1---卜???-----------1-----.

2233420232024

2024

2023

2024

21.(1)2』

⑵;(3"-1)

(3)|(42,-41°)

【分析】(1)設(shè)5=1+2+22+23+2'+…+23兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即

可求出所求式子的值；

(2)同理即可得到所求式子的值.

(3)同理即可得到所求式子的值.

此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類.有理數(shù)的混合運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是明確題意,運(yùn)用題目中的解題方

法，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解答句題.

【詳解】(1)ft?：?S=l+24-22+23+24+25+260,

將等式兩邊同時(shí)乘以2得：25=2+22+23+24+25+26+27(2),

將②-①得：25-5=27-1,

即5=2，-1,

貝打十2十22十2?十2*十2,十26—27-1;

故答案為：27-1;

(2)解:-Q：S=1+3+32+33+34+...+3100

將等式兩邊同時(shí)乘3得：3s=3+3?+33+34+...+3"+3"②，

將②一①得：3S-S=3"-1，^5=1(3"-1),

則1+3+3?+3、+34+...+3"=g(3"-1)；

(3)解：4Hl+4”+4“+4”+...+420

=(4+42+43+...+42<))-(4+42+4A+...+49)

=1(42,-I)-1(4IO-1)

2,,0

=1X4-1-1X4+1

3333

=24。4,0).

22.(1)(100+5)'=10000+1(X)0+25

⑵(100+〃)2=10000+200/7+n-

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各個(gè)等式并從中找到規(guī)律.

(1)根據(jù)提供的等式寫出第5個(gè)等式即可；

(2)觀察前4個(gè)等式，找出規(guī)律即可得到第〃個(gè)等式.

【詳解】(1)解：第5個(gè)等式：(1OO+5)2=10000+1000+25.

故答案為：(1OO+5)2=10000+1000+25.

(2)解：第1個(gè)等式：(100+1)2=10000+200+1=10000+200x1+12,

第2個(gè)等式：(IOO+2)2=10000+400+4=10000+200x2+22,

第3個(gè)等式：(100+3『=10000+600+9=10000+200x3+32,

第4個(gè)等式：(100+4『=100g