專題08三角函數(shù)的概念

但知識(shí)梳理

（一）任意角的概念

⑴角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

OA

⑵角的表示

如圖所示：

①始邊：射線的起始位置

②終邊：射線的終止位置。&

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.

④記法：圖中的角a可記為“角a”或“/a”或“/AOB”.

（3）正角、負(fù)角、零角

正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角：射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零度角，又

稱零角

這樣，我們就把角的概念推廣到任意角，包括正角、負(fù)角和零角.

（二）象限角

使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊一（除原點(diǎn)外）在第幾象限,就

說這個(gè)角是第幾，象限角.，即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi)，不與.坐標(biāo)軸.重合.

如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說這個(gè)角不屬于任何象限.

（三）終邊相同的角

（1）研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合.

⑵終邊相同的角的集合:所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={616=a+左360°,

k6Z},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

［拓展］1.象限角與軸線角（終邊在坐標(biāo)軸上的角）的集合表示

（1）象限角：

象限角集合表示

第一象限角{ct|^360o<ct<^360o+90°,k^Z}

第二象限角{a體360°+90°<a<K360°+180°,

第三象限角［砒-360。+180°?z<t360°+270°JGZ}

第四象限角{a|k360。+270°<a<^360°+360°,%￡Z}

(2)軸線角:

角的終邊的位置集合表示

終邊落在X軸的非負(fù)半軸上{a|a=k360。，Jtez)

終邊落在X軸的非正半軸上{a|a=jt-360°+180°,k^Z}

終邊落在y軸的非負(fù)半軸上｛砒/=必60。+90。，&Z｝

終邊落在y軸的非正半軸上｛加=左360。+270。，kGZ\

終邊落在y軸上{a|a=kl80°+90°,EZ、

終邊落在X軸上{a|a=kl80。，代Z}

終邊落在坐標(biāo)軸上{a|a=k90°,kRZ}

(四)弧度制

1.弧度制

(1)定義：以一弧度一為單位度量角的單位制叫做弧度制.

(2)度量方法：長(zhǎng)度等于.半徑長(zhǎng)一的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.如圖所示，圓。的半徑為r,AB的

長(zhǎng)等于r,/AOB就是1弧度的角.【一定大小的圓心角a的弧度數(shù)是所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值，是唯一確定

的，與半徑大小無關(guān)

(3)記法：弧度單位用符號(hào)rad表示,或用“弧度”兩個(gè)字表示.在用弧度制表示角時(shí)，單位通常省略不寫.

2.弧度數(shù)

一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)」—數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)二—數(shù)，零角的弧度數(shù)是

如果半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為I,那么角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是回=_1.

3.弧度與角度的換算公式

(1)周角的弧度數(shù)是2兀，而在角度制下的度數(shù)是360,于是360。=2兀rad,即

根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了.

弧度與角度的換算公式如下：

若一個(gè)角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為"，則arad=(號(hào)詈)。，rad.

(2)常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

222712兀3兀5兀3兀2兀

0兀

—6——4——3—2—T——T——T——T—

—

【角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時(shí)，二者不可混用.角度制是六十進(jìn)制，單位“。”不能省

略；弧度制是十進(jìn)制，單位“rad”可以省略】

(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起.一一對(duì)應(yīng)一關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一

的一個(gè)實(shí)數(shù)一(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng):反過來，任一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)(即弧度數(shù)等

于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).

4.弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式

(1)弧長(zhǎng)公式

在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為/的弧所對(duì)的圓心角大小為a,則|a|=:,變形可得/=|a|r,此公式稱為弧長(zhǎng)公式，

其中a的單位是弧度.

(2)扇形面積公式

由圓心角為1rad的扇形面積為若=9,而弧長(zhǎng)為/的扇形的圓心角大小為Jrad,故其面積為

將/=即代入上式可得5=品=如凡此公式稱為扇形面積公式.

(3)弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式的兩種表示

名稱角度制弧度制

mtr

弧長(zhǎng)公式/-180/=\a\r

rnir20—凰/1,

扇形面積公式'—3602^—2—

廠是扇形的半徑，"是圓心角的角度r是扇形的半徑，a是圓心角的弧度

注意事項(xiàng)

數(shù)數(shù)，/是弧長(zhǎng)

(五)任意角的三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義

(1)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(X,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r=^/?+/>0),

那么：

比值'叫做a的正弦，記作sinot,即sina=)；

r一r-

比值:叫做a的余弦，記作cosa,即cosa==_；

比值)叫做a的正切，記作tana,即tana=_；_.

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)

稱為三角函數(shù)（trigonometricfunction）.

（2）定義域：如表所示

三角函數(shù)解析式定義域

正弦函數(shù)y=sinxR

余弦函數(shù)y=cosxR

兀

正切函數(shù)y=tanx樣E+g,kRZ\

2.三角函數(shù)值的符號(hào)

sina、cosa、tana在各個(gè)象限的符號(hào)如下:

正弦、余弦和正切函數(shù)在各象限的符號(hào)可用以下口訣記憶：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦

其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正切值為正，在

第四象限只有余弦值為正.

（六）三角函數(shù)線

1.單位圓

在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓.

2.有向線段：一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，如果規(guī)定其中一個(gè)端點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，這條線段被看做帶有

方向，于是把它叫做有向線段.表示有向線段時(shí)，要先寫起點(diǎn)的字母，后寫終點(diǎn)的字母.當(dāng)有向線段與數(shù)

軸平行時(shí)，我們可根據(jù)此線段的方向（從起點(diǎn)向終點(diǎn)）與數(shù)軸的方向相同或相反，分別把它的長(zhǎng)度加上正號(hào)或

負(fù)號(hào)，這樣所得的數(shù)，就是此有向線段的數(shù)值，它是一個(gè)實(shí)數(shù).

3.三角函數(shù)線的作法

如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與角a的終邊交于點(diǎn)尸（角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角a的始邊與x

軸的非負(fù)半軸重合）.

過點(diǎn)P作無軸的垂線PM,垂足為M,過點(diǎn)A作單位圓的切線交。尸的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）于T點(diǎn)，這樣

就有sina=MP,cosc（=OM,tana=AT.單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角a的—

正弦線、余弦.線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.

4.特別提醒：

①三角函數(shù)線的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過

單位圓與無軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中正弦線和余弦線在單位圓內(nèi)，正切線在單位圓外.

②三角函數(shù)線的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切

點(diǎn)指向切線與a的終邊（或反向延長(zhǎng)線）的交點(diǎn).

③三角函數(shù)線的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸正方向或y軸正方向同向的為正值，與無軸正方向或y軸正方

向反向的為負(fù)值.

④三角函數(shù)線的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后.

⑤三角函數(shù)線的意義：三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號(hào)；三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于所表示的三角函

數(shù)值的絕對(duì)值.

（七）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1.公式

⑴平方關(guān)系：sin%+cos2a=l.

（2）商數(shù)關(guān)系：f^=tana.

注意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（在使函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系

式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)

2.常用的等價(jià)變形

<sin2a=l—cos2a,

cos2a=1-sin2a,

sin2a+cos2a=1=><

sina=^\j1—cos2a,

Icosat=±\j1-sin2a；

sina=tanacosa,

sina

tana=------

cosasina

cosot=7tana?

（八）誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式一四，它們可概括如下：

（1）記憶方法：2E+a（%6Z）,-a,社a的三角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角

時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.

（2）解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指

假設(shè)a是銳角，要看原三角函數(shù)值是取正值還是負(fù)值，如sin（7r+a）,若把a(bǔ)看成銳角，則兀+a是第三象限

角，故sin（7c+a）=—sina..

2.誘導(dǎo)公式五、六可簡(jiǎn)記為“函數(shù)名改變（正弦變余弦，余弦變正弦），符號(hào)看象限”.

3題型精析

題型一任意角

A.-22°B.-220°C.-202°D.-1580

【答案】A

故選:A

【總結(jié)提升】

（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0。?360。（0。?360。是指0。女＜360。）.

（2）確定任意角的度數(shù)關(guān)鍵看終邊旋轉(zhuǎn)的方向和圈數(shù)：

①表示角時(shí)，箭頭的方向代表角的正負(fù)，因此箭頭不能丟掉；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成負(fù)角常常容易被忽視.

②當(dāng)角的始邊相同時(shí)，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等.始邊和終邊重合的角不一定

是零角，只有沒作任何旋轉(zhuǎn)，始邊與終邊重合的角才是零角.

題型二終邊相同的角

【典例2】（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如果角a與角x+45。具有相同的終邊，角與角尤一45。具有相同的

終邊，那么。與夕之間的關(guān)系是（）

【答案】D

故選：D.

【規(guī)律方法】

1.理解集合S={￡W=a+/?360。，左eZ}要注意以下幾點(diǎn)：

（1）式中角a為任意角；

（2火GZ這一條件必不可少；

（3火?360。與a之間是“+”，如上360。一30。應(yīng)看成左360。+（—30。），即與一30。角終邊相同；

（4）當(dāng)a與￡的終邊相同時(shí)，a—￡=k36（F（ZeZ）.反之亦然.

2,把任意角化為a+k36（T0teZ,且0。a<360。）的形式，關(guān)鍵是確定玄可以用觀察法（a的絕對(duì)值較?。?，也

可用除法.

3.要求適合某種條件且與己知角終邊相同的角時(shí)，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再

依條件構(gòu)建不等式求出k的值.

4.要正確區(qū)分銳角、0。?90。的角、小于90。的角、第一象限角.銳角是0。*<90。的角；0。?90。的角是0°<ct<90°

的角；小于90。的角是a<90。的角（包括零角、負(fù)角）；第一象限角是｛aL360o<a<90o+》360。，左GZ｝所表示

的角.這四個(gè)概念不能混淆.

題型三終邊在某條直線上的角的集合

【典例3】（2022.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，如按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，終邊落在。4

位置時(shí)的角的集合是終邊落在位置時(shí)的角的集合是

【分析】利用終邊相同的角的表示方法直接表示出來.

【規(guī)律方法】

求解終邊在某條直線上的角的集合的思路

1.若所求角￡的終邊在某條射線上，則集合的形式為｛用片上360。+&正Z｝.

2.若所求角用的終邊在某條直線上，則集合的形式為｛川/=心180。十加上GZ｝.

題型四區(qū)域角的表示

【典例5】（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分的角a的取值集合為.

【分析】由已知，分別表示出射線OA和射線終邊所表示的角度，然后根據(jù)題意表示陰影部分的范圍即

可.

【規(guī)律方法】

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步：

⑴先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的一360。到360。范圍內(nèi)的角a和夕，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間｛x[a<x<W｝；

（3）起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角a、夕再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.

題型五角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化

【典例6】填空:

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

匹3兀

0兀2兀

2~2

【答案】見解析

【分析】

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717171712兀3兀5兀3兀

0兀2兀

6432346~2

【總結(jié)提升】

角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法：

(1)關(guān)鍵：抓住互化公式兀rad=180。是關(guān)鍵；

(2)方法：度數(shù)＞＜奇=弧度數(shù)；弧度數(shù)x(學(xué))。=度數(shù)；

(3)角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度；

(4)角度化為弧度時(shí)，其結(jié)果寫成兀的形式，沒特殊要求不必化成小數(shù).

題型六用弧度制表示區(qū)域角

【典例7】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.

y

【分析】根據(jù)實(shí)線表示的邊界可取,虛線表示的邊界不可取，且按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度變大分析即可.

【總結(jié)提升】

i.根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟：

①仔細(xì)觀察圖形.

②寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示.

③用不等式表示區(qū)域范圍的角.

2.注意事項(xiàng)：(1)用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí)，要注意角的集合形式是否能夠合并，這一點(diǎn)容易出錯(cuò).

7T

(2)2.角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如a=L36(F+/：GZ),￡=2加

.IT

+60。（左62）等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為。=。360。+30。（仁2）,6=2E+Q/ez）.

題型七扇形中的計(jì)算問題

【典例8】（2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4,那么這個(gè)圓心角所對(duì)

的弧長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】先確定圓的半徑，再利用弧長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)論.

故選：A.

【典例9】（2022?浙江?高一期中）魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，

以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)

械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.

如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧AB的長(zhǎng)度為2兀，則該魯洛克斯三角形的面積為.

設(shè)弧AB所對(duì)的扇形的面積為S,

【總結(jié)提升】

弧長(zhǎng)公式與扇形的面積公式在角度制與弧度制下形式不同，解題時(shí)要看清角的度量制，選用相應(yīng)的公式，

切不可混淆.

題型八：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.

故選：A.

【總結(jié)提升】

（1）已知角a的終邊在直線上的問題時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：

①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.

②注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)（a,b）,則對(duì)應(yīng)角的正弦值sina

b

余弦值正切值tana='

、足+盧

(2)當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

題型九：三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號(hào)

【典例11】【多選題】(2022?江蘇.南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知a是第一象限角，則下列結(jié)論中正確

的是()

【答案】AD

【分析】根據(jù)角所在象限，判斷三角函數(shù)值的符號(hào)。

故選：AD.

【總結(jié)提升】

(1)能準(zhǔn)確判定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號(hào)的關(guān)鍵；

(2)要熟記三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律.

(3)對(duì)于多個(gè)三角函數(shù)符號(hào)的判斷問題，要進(jìn)行分類(分象限)討論.

題型十：三角函數(shù)線的應(yīng)用

【典例12】設(shè)a是銳角，利用單位圓和三角函數(shù)線證明：sina<a<tana.

【答案】見解析

【解析】sina、tana分別用正弦線、正切線表示出來，a用它所對(duì)的弧表示出來，從而使關(guān)系式得證.

證明：如圖所示，設(shè)角a的終邊交單位圓于P,過點(diǎn)P作垂直于x軸，垂足為過點(diǎn)4(1,0)作單位圓

的切線交OP于點(diǎn)T,連接B4,則sina=MP,tana=AT,

S^OAP<S扇形OAP<SAOAT>

：.^\OA\-\MP\<-a\OA\2<^OA\-\A7].

又|OA|=1,A\MP\<a<\A1],即MPvaG4T.

sina<(x<tana.

【典例13]在單位圓中畫出適合下列條件的角。的終邊的范圍，并由此寫出角a的集合.

H1

(l)sina>2;(2)cosot<—

兀2兀2兀4兀

【答案】(1)[a\2kn+^<a<2hi+~^,kGZ}.(2)[a\2kTt+~^~<a<2kTi+~^,kGZ].

【解析】(1)如圖⑴所示，作直線y=坐交單位圓于A,8兩點(diǎn)，連接04,0B,則0A與02

圍成的區(qū)域(陰影部分)即為角a的終邊的范圍.

TT9jr

故滿足條件的角a的集合為{a|2E+鏟延2E+于，止Z}.

(2)如圖(2)所示，作直線x=-3交單位圓于C,。兩點(diǎn)，連接0C與。。，則OC與。。圍成的區(qū)域(陰影部

分)即為角a的終邊的范圍.

27r47r

故滿足條件的角a的集合為{a|2E+《WaW2E+w，%GZ}.

【總結(jié)提升】

1.利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn)：

(1)關(guān)鍵：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.

(2)注意點(diǎn)：比較大小，既要注意三角函數(shù)線的長(zhǎng)短，又要注意方向.

2.解答利用三角函數(shù)線求解不等式這類題目時(shí)，一般先根據(jù)三角函數(shù)值的范圍找出角的終邊所在的區(qū)域，在

找角的終邊所在的區(qū)域時(shí)，注意對(duì)正弦要找單位圓上的縱坐標(biāo)，對(duì)余弦應(yīng)在單位圓上找橫坐標(biāo)，根據(jù)這些

坐標(biāo)找出單位圓上滿足要求的弧，即可找到角的終邊所在的區(qū)域，再根據(jù)角的終邊所在的區(qū)域?qū)懗鼋堑姆?/p>

圍.

題型十一：根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值

A.-4B.--C.-1D.--

23

【答案】C

【分析】利用齊次化可求三角函數(shù)式的值.

故選：C.

【答案】B

故選：B.

【總結(jié)提升】

在使用開平方關(guān)系sina=Rl—cos2a和cosa=ir\/l-sin2a時(shí),一定要注意正負(fù)號(hào)的選取，確定正負(fù)號(hào)的依

據(jù)是角a所在的象限，如果角a所在的象限是已知的，則按三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)來確定正負(fù)號(hào)；如

果角a所在的象限是未知的，則需要按象限進(jìn)行討論.

題型十二：根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式

【典例16](2022?安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試)化簡(jiǎn)

【答案】(1)1；(2)1；(3)0.

【分析】根據(jù)同角關(guān)系式化簡(jiǎn)即得.

【總結(jié)提升】

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)過程中常用的方法：

(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造si/a+cos2a=1,以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到

化簡(jiǎn)的目的.

題型十三：根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角恒等式

【答案】證明見解析

【分析】利用配方法和平方關(guān)系可證該恒等式.

...原等式成立.

【總結(jié)提升】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式，其主要方法有：

(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)；

(2)左右歸一，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；

(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)地變形，以消除差異；

(4)變更命題法，如要證明楙=],可證ad=bc或證等；

片it?

(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊一右邊=0”或，滿=1”.

題型十四：sin"tcos”,sin，?cos。三者的關(guān)系及應(yīng)用

【答案】⑴(2)冬(3)-1,

【分析】(1)將已知平方結(jié)合平方關(guān)系即可得解；

⑵

(3)

【總結(jié)提升】

⑴對(duì)于三角函數(shù)式sin。土cosasinPcos。之間的關(guān)系，可以通過(sin。土cosd)2=l±2sin夕cos。進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

⑵若已知sinJ土cosasin夕cos。中三者之一，利用方程思想進(jìn)一步可以求得sin。，cos。的值，從而求出其余

的三角函數(shù)值.

題型十五：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解.

(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及余弦在各象限的符號(hào)進(jìn)行求解.

(3)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行大角化小角，負(fù)角化正角，再利用特殊角的余弦值進(jìn)行求解.

(1)

根據(jù)誘導(dǎo)公式有：

(2)

(3)

【總結(jié)提升】

1.利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)的步驟：

(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；

⑵“大化小”——用公式一將角化為0°到360。間的角；

(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；

(4)“銳求值”一得到銳角的三角函數(shù)后求值.

2.三類問題：求值、化簡(jiǎn)、證明三角恒等式.

位專題訓(xùn)練

一、單選題

A.立B.立C.-D.1

222

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

故選：B

A.-B.二C.三D.四

【答案】D

【分析】首先判斷305位于第四象限，再根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號(hào)特征判斷即可.

故選：D

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【