第04講三角形的外角(6種題型)

?！局R梳理】

1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.如圖，/ACD是

△ABC的一個外角.

要點詮釋：

(1)外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊

的延長線.

(2)三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角.所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外

角，因此，我們常說三角形有三個外角.

2.性質(zhì):

(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角.

要點詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理、證明經(jīng)常使用的理論依

據(jù).另外，在證明角的不等關(guān)系時也常想到外角的性質(zhì).

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°.

要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補角，由三角形的內(nèi)角和是180。，可推出三角形的

三個外角和是360°.

'?【考點剖析】

題型一、三角形的外角

例1.(1)如圖，AB和CD交于點0,求證：ZA+ZC=ZB+ZD.

(2)如圖，求證：ZD=ZA+ZB+ZC.

【答案與解析】

解：(1)如圖，在aAOC中，/COB是一個外角，由外角的性質(zhì)可得：ZC0B=ZA+ZC,

同理，在ABOD中，ZC0B=ZB+ZD,

所以NA+/C=NB+/D.

(2)如圖，延長線段BD交線段與點E,

在ADCE中，ZBDC=ZBEC+ZC②，

將①代入②得，ZBDC=ZA+ZB+ZC,即得證.

【總結(jié)升華】

重要結(jié)論：(1)“8”字形圖：ZA+ZC=ZB+ZD；(2)"燕尾形圖"：ZD=ZA+ZB+ZC.

題型二：三角形的外角和

例2：如圖，ZBAE,ZCBF,NACO是△ABC的三個外角，它們的和是多少？

E

A

解：解法一：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得/BAE=N2+N3,ZCBF=Z1+Z3,

ZACD=Z1+Z2.

又知N1+Z2+Z3=18O°,所以N8AE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3)=360°.

解法二：如圖，/BAE+N1=18O°①，ZCBF+Z2=180°?,NACO+/3=180。③,

又知N1+N2+N3=18O。，①+②+③得

ZBAE+ZCBF+ZACD+(Z1+Z2+Z3)=540°,

所以/2AE+ZCBF+ZACD=540°180°=360°.

解法三：如圖，過A作AN平行于BC,則易得N3=Z4,Z2=ZBAM,

所以21+Z2+Z3=Z1+Z4+ZBAM=360°.

題型三、三角形的內(nèi)角、外角綜合

例3.如圖所示，已知DE分別交AABC的邊AB、AC于D、E,交BC的延長線于F,

ZB=67°,ZACB=74°,ZAED=48°,求/BDF的度數(shù).

【思路點撥】要求NBDF的度數(shù)，應(yīng)從三角形內(nèi)角和與三角形的外角出發(fā)，若將NBDF看成4BDF的內(nèi)角,

只需求/F的度數(shù)即可.

【答案與解析】

解：ZCEF=ZAED=48°,ZBCA=ZCEF+ZF,

ZF=ZBCAZCEF=74°48°=26°,

/.ZBDF=180°ZBZF=180°67°26°=87°.

【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和與外角是進行與角有關(guān)的計算或證明的重要工具，本題也可將

ZBDF看成4ADE的外角來求解.

【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點，過點P作PGLBC于G,試說明/

【答案】

解：ZBPD=ZCPG；

理由如下：

AD、BE、CF分別是/BAC、NABC、NACB的角平分線,

111

Zl=-ZABC,Z2=-ZBAC,Z3=-ZACB,

222

Zl+Z2+Z3=-(ZABC+ZBAC+ZACB)=90°,

2

又：Z4=Z1+Z2,

Z4+Z3=90°，

又：PG_LBC,

Z3+Z5=90",

Z4=Z5,即NBPD=NCPG.

題型四：應(yīng)用三角形的外角求角的度數(shù)

例4：如圖，ZA=42°,ZABD=28°,ZACE=18°,求/8FC的度數(shù).

解：是的一個外角，AZBEC=ZA+ZACE.

VZA=42°,ZAC￡=18°,:.NBEC=60；

NBFC是ABEF的一個外角,：.ZBFC^ZABD+ZBEF.

'：ZABD=2S°,NBEC=6Q°,：.ZBFC=88°.

例5.如圖所示，P為△/6C內(nèi)一點，NBPC=150°,/ABP=20°,ZACP^3Q°,求NH的度數(shù).

解析：延長解交/C于6或連接/戶并延長，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出//的度數(shù).

解：延長露交“1于點￡,則/郎G/W分別為△尸宙△/龍的外角，ABPC=APEC+APCE,4PEC

=ZABE+ZA,：.APEC=ABPC-APCE=150°-30°=120°.：.ZA=ZPEC-ZABF=12Q°-20°=

100°.

方法總結(jié)：利用三角形的外角的性質(zhì)將已知與未知的角聯(lián)系起來是計算角的度數(shù)的方法.

【變式】（一題多解）如圖，ZA=51°,ZB=2Q°,ZC=30°,求NBOC的度數(shù).

思路點撥：添加適當?shù)妮o助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.

解法一：連接AO并延長于點E.

在△A3。中，Z1+ZABD=Z3,

在△ACO中，Z2+ZACD=Z4.

因為NBOC=/3+/4,ZBAC=Z1+Z2,

所以NBDC=NBAC+ZABD+ZACD

=51o+20°+30o=101°.

解法二：延長8。交AC于點E

A

在△ABE中，N1=/ABE+NBAE,

在△ECD中，ZBDC=Z1+ZECD.

^VXZBDC=ZBAC+ZABD+ZACD=51°+20°+30°=101°.

解法三：連接延長CD交AB于點尸（解題過程同解法二）.

題型五：用三角形外角的性質(zhì)把幾個角的和分別轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角和

例6.已知：如圖為一五角星，求證：ZA+ZB+ZC+ZD+180°.

A

解析：根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出/用?=/8+/〃NEGF=NA+4C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N￡+

/EGF+Z.EFG=\8G,代入即可得證.

證明：':/EFG、/分別是△質(zhì)'、△47G的外角，:./EFG=NB+/D,/EGF=/A+/C.又?:在AEFG

中，AE+AEGF-YAEFG=180°,：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=18Q°.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點，利用三角形外角的性質(zhì)將分散的角集中到某個三角形

中，利用三角形內(nèi)角和進行解決.

【變式】（2022?上海?八年級專題練習）如圖，已知NA=50。，ZD=40°.

(1)求N1度數(shù)；

(2)求NA+NB+NC+/D+/E的度數(shù).

【答案】(1)90。(2)180°

【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)N1的同旁內(nèi)角為/2,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得=

3Z2=ZB+ZD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

(l)Zl=ZiA+ZD=90°；,

(2)設(shè)N1的同旁內(nèi)角為N2,如圖，

'：Z1=ZA+ZD,Z2=ZB+ZE,Zl+Z2+ZC=180",

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟

記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

題型六：三角形外角的性質(zhì)和角平分線的綜合應(yīng)用

例7.如圖①，//①是△板的外角，BE平濟NABC,CE平64ACD,且龐、方交于點￡

⑴如果N/=60°,NA8C=5Q°,求的度數(shù)；

(2)猜想：/￡與NA有什么數(shù)量關(guān)系(寫出結(jié)論即可)；

⑶如圖②，點￡是△/歐兩外角平分線龐、鶴的交點，探索/￡與乙4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：先計算特殊角的情況，再綜合運用三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合三角形的角平分線概念解決.

BCD

解：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得N/G9=N/+N49C=60°+50°=110°,.??龐平分N4比；CE平分/ACD,：,4

1=^ZACD=55°,N2=；NZ8C=25°.???/￡+N2=N1,：.ZE=Zl~Z2=30°；

（2）猜想：ZE=-ZA；

⑶:龍、四是兩外角的平分線，???N2=；N曲,/4=3/8。居而NC切=N4+NAC8,ZBCF=ZA+ZABC

???N2=；（NZ+N/㈤，N4=；（NZ+NZ80.丁N￡+N2+N4=180°,J/￡+；（//+NZ㈤+；（N/

+N板）=180。,即NE+\NZ+^NZ+NZCB+NZ夕0=180°.???/』+N2Gff+N—ai80°,AZE+

；N/=90。.

方法總結(jié)：對于本題發(fā)現(xiàn)的結(jié)論要予以重視：圖①中，Z￡=|z^；圖②中，Z￡=90°-1ZA

【答案】30。

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出NP的度數(shù).

【詳解】：BP是△ABC中乙48c的平分線，CP是/ACB的外角的平分線，

AZABP=ZCBP=2O°,ZACP=ZMCP=5O°,

：/PCM是△BCP的外角，

NP=/PCM/CBP=50°20°=30°,

故答案為：30°.

【點睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一個三角形的外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和.

”【過關(guān)檢測】

一、單選題

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答.

故選：D.

【點睛】此題考查三角形外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，熟記定理是解題的關(guān)

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進行解題.

故選D.

【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A.40°B.50°C.60°D.45°

【答案】B

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A.32°B.34°C.56°D.58°

【答案】A

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

D

【答案】B

【分析】根據(jù)三角板的特點及三角形外角的性質(zhì)求解即可.

故選：B.

【點睛】題目主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【答案】B

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角板中的角度計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角性

質(zhì)，三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

C.89°D.98°

【答案】C

故選：C.

【點睛】考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?八年級單元測試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中/a的度數(shù)為（）

B.50°C.75°D.80°

【答案】C

【詳解】解:如圖:

【點睛】本題主要考查三角形的外角，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)，三角形一個外角等于和它不相鄰的

兩個內(nèi)角的和，是解決本題的關(guān)鍵.

【答案】A

故選：A.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求一個角的鄰補角，折疊是一種對稱變換，它屬于

軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

A.14°B.16°C.20°D.12°

【答案】A

故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記"三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和"是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2022秋,廣東茂名?八年級校聯(lián)考期末）如圖，回1的大小為.

【分析】直接利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的定義，熟練運用外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】

【點睛】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的

和.

【答案】30。/30度

【詳解】延長PC交于點E,

故答案為：30°.

【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，三角形的外角

和.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì).掌握"三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和"是解題的關(guān)

鍵.

【答案】浣？

故答案為：哥~?

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出/a,

NA3與4的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【答案】①②③

綜上，結(jié)論正確的是①②③，

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和

定理是解題關(guān)鍵.

【答案】35°

故答案為:35°.

【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記掌握三

角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì).

【詳解】解：如圖：

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

和運用基本圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題

【答案】15°

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的度

數(shù)之和是解題的關(guān)鍵.

【答案】見解析

【詳解】證明：如圖，延長