實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

瓜內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為X）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系

④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

知識(shí)點(diǎn)02用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型

1.行程問(wèn)題：路程=速度X時(shí)間

2.順?biāo)嫠畣?wèn)題：順?biāo)俣?船速+水速；逆水速度=船速-水速

3.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量X增長(zhǎng)率

4.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)

5.工程問(wèn)題：工作量=工作效率X工作時(shí)間,各部分勞動(dòng)量之和=總量

6.銀行存貸款問(wèn)題：本息和=本金+利息,利息=本金義利率X期數(shù)

7.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：abed=axlO3+Z?xlO2+ex10+47

03練題型強(qiáng)知識(shí)

【題型1實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之古代問(wèn)題】

例題：（2025?安徽淮北?三模）我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》記載了“多人共車”問(wèn)題：“今有三人共車，二車空；二

人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？”其意思是“每3人共乘一輛車，恰好空余2輛車；每2人共乘一輛車,

最終有9人無(wú)車可乘，問(wèn)人和車的數(shù)量各是多少？”求人和車的數(shù)量.

【變式訓(xùn)練】

1.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九

人步.問(wèn)人與車各幾何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一輛車，則空余兩輛車，其余車恰好坐滿；如

果兩人同乘一輛車，則所有車都坐滿后還有九人步行.請(qǐng)問(wèn)共有多少人出行？

2.（24-25七年級(jí)上?四川成都?期末）隔墻聽(tīng)得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半

斤.問(wèn)：人、銀各幾何？（選自《算法統(tǒng)宗》）

題目大意：幾個(gè)人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩問(wèn)：有多少個(gè)人？

有多少兩銀子？

（1）設(shè)人數(shù)為x,請(qǐng)求解此題；

⑵設(shè)銀子總數(shù)為y兩，請(qǐng)求解此題.

3.（24-25七年級(jí)上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）“曹沖稱象”的故事取材于《三國(guó)志》，故事中的稱象方案是這樣

的：先將象牽到船上，并在船的側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船

上留3個(gè)體重相同的士兵，這時(shí)水位恰好在標(biāo)記位置；如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)士兵，

水位在標(biāo)記位置不變，已知每塊條形石的質(zhì)量都是140千克.設(shè)每個(gè)士兵的體重是尤千克.

人

太祖欲知K斤玉.

訪2那卜..成典使出其理.沖Hi

一置望大船之上.而刎K水第所至.

稱物以1tt.西校可知矣.?

——《三國(guó)志》

（1）可列出等量關(guān)系：20塊條形石的質(zhì)量+3個(gè)士兵的體重=塊條形石的質(zhì)量+個(gè)士兵的體重.

（2）求尤的值.

（3）象的質(zhì)量是千克.

【題型2實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之銷售問(wèn)題】

例題：（2025?安徽蚌埠?三模）某商場(chǎng)采購(gòu)甲、乙兩種籃球，采購(gòu)40個(gè)甲種籃球和30個(gè)乙種籃球共需要5550

元，其中甲、乙兩種籃球的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

甲種籃球乙種籃球

進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）mm-25

售價(jià)（元/個(gè)）10075

（1）求上表中機(jī)的值;

（2）第二次商場(chǎng)采購(gòu)了35個(gè)甲種籃球和45個(gè)乙種籃球，由于兩種籃球進(jìn)價(jià)都比上次優(yōu)惠了20%,商場(chǎng)準(zhǔn)備

對(duì)甲種籃球進(jìn)行打折出售，讓利于顧客，乙種籃球價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)為1665元，求甲種籃球

打了幾折.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?期中）今年中國(guó)動(dòng)畫震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈砍?/p>

過(guò)一百五十億元.某企業(yè)組織員工去電影院觀看《哪吒之魔童鬧海》，IMAX電影票比普通2D電影票貴20

元，企業(yè)花費(fèi)3700元購(gòu)買了40張普通2D電影票和50張IMAX電影票.

（1）普通2D電影票和IMAX電影票的單價(jià)各是多少元？

（2）電影院為了吸引企業(yè)觀影，推出優(yōu)惠活動(dòng)：購(gòu)買普通2D電影票超過(guò)30張的部分，每張打八折；購(gòu)買IMAX

電影票超過(guò)20張的部分，每張打九折.該企業(yè)計(jì)劃購(gòu)買50張普通2D電影票和40張IMAX電影票，那么按

照優(yōu)惠活動(dòng)，該企業(yè)需要支付多少錢？

2.（24-25七年級(jí)下?重慶萬(wàn)州?階段練習(xí)）為了滿足學(xué)生的物質(zhì)需求，小賣部準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種綠色袋裝

食品，若購(gòu)買400袋甲和300袋乙共需要6400元，其中甲、乙兩種綠色袋裝食品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：

（1）甲的進(jìn)價(jià)元，乙的進(jìn)價(jià)______元；

（2）小賣部第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種綠色袋裝食品共800袋，全部售完后總利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）為5750元，

求小賣部甲、乙兩種食品分別購(gòu)進(jìn)多少袋？

（3）小賣部第二次購(gòu)進(jìn)了與第一次一樣多的甲、乙兩種食品，由于兩種食品進(jìn)價(jià)比第一次優(yōu)惠10%,小賣部

準(zhǔn)備對(duì)甲種袋裝食品進(jìn)行打折出售，讓利于學(xué)生，乙種袋裝食品價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)比上次還多10

元，求甲商品打了幾折？

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/袋）mm-2

售價(jià)（元/袋）2013

3.（24-25七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)豐水梨的價(jià)格如表:

購(gòu)買豐水梨（千克）單價(jià)

不超過(guò)10千克的部分9元/千克

超過(guò)10千克但不超過(guò)20千克的部分8元/千克

超過(guò)20千克的部分6元/千克

（1）若陳阿姨第一次購(gòu)買豐水梨5千克，需要付費(fèi)_____元；第二次購(gòu)買豐水梨15千克，需要付費(fèi)______元;

第三次購(gòu)買豐水梨x千克，（x超過(guò)20千克），需要付費(fèi)元（化簡(jiǎn)結(jié)果用含x的式子表示）.

（2）若陳阿姨購(gòu)買豐水梨花了200元，求她買了多少千克的豐水梨?

（3）若陳阿姨分兩次共購(gòu)買50千克的豐水梨，且第一次購(gòu)買的數(shù)量為。千克（。＜。420）,請(qǐng)問(wèn)她這兩次購(gòu)

買豐水梨共需要付多少元？（化簡(jiǎn)結(jié)果用含。的式子表示）

【題型3實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之方案問(wèn)題】

例題：（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）王大伯家去年收獲了24噸蘋果，這些蘋果均達(dá)到了一、二級(jí)質(zhì)量

標(biāo)準(zhǔn)，其中達(dá)到一級(jí)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的蘋果質(zhì)量是達(dá)到二級(jí)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)蘋果的60%.

方案一：如果分等級(jí)出售，那么一級(jí)蘋果每噸售價(jià)0.72萬(wàn)元，二級(jí)蘋果每噸售價(jià)0.48萬(wàn)元.

方案二：如果不分等級(jí)出售，那么所有蘋果每噸售價(jià)0.54萬(wàn)元.

請(qǐng)你算一算，按哪種方案出售比較合算.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25六年級(jí)下?山東威海?期中）“五一”期間，甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)以同樣價(jià)格出售相同的商品，并且各自

推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)250元后，超出部分打八五折；在乙商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100

元后，超出部分打九五折.

（1）購(gòu)買多少元商品時(shí)（大于250元），兩個(gè)商場(chǎng)的實(shí)際花費(fèi)相同？

（2）張阿姨要選定一個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買500元的商品，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明她選哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)物實(shí)際花費(fèi)會(huì)少些.

2.（24-25七年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期中）根據(jù)下面的兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式，考慮下列問(wèn)題：

方式一方式二

月租費(fèi)30元/月0

本地通話費(fèi)0.3元/分鐘0.4元/分鐘

（1）一個(gè)月內(nèi)在本地通話200分鐘，按方式一需交費(fèi)多少元？按方式二呢？

（2）本地累計(jì)通話時(shí)間為多少分鐘時(shí)，兩種計(jì)費(fèi)方式收費(fèi)一樣多？

3.（24-25七年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）某農(nóng)產(chǎn)品基地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利

潤(rùn)為100元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)可達(dá)450元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤(rùn)漲至750元.現(xiàn)收獲這

種蔬菜140噸，該基地加工能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可加工16噸；如果對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，

每天可加工6噸，但兩種加式方式不能同時(shí)進(jìn)行，受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全

部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案.

方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；

方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒(méi)有來(lái)得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷售；

方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成.

你認(rèn)為選擇哪種方案獲利

【題型4實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之配套問(wèn)題】

例題：（2025?陜西西安?三模）某服裝加工廠要用工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)一批上衣和褲子，已知該加工廠共有8臺(tái)

機(jī)器人，每臺(tái)機(jī)器人每天可完成240件上衣或400條褲子，為使每天生產(chǎn)的上衣和褲子剛好配套（每套含1

件上衣和1條褲子），請(qǐng)問(wèn)該服裝加工廠應(yīng)該安排多少臺(tái)機(jī)器人生產(chǎn)上衣？多少臺(tái)機(jī)器人生產(chǎn)褲子？

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末）在勞技課上，老師組織七年級(jí)一班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.該

班共有學(xué)生55人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少3人，并且每名學(xué)生每小時(shí)剪筒身50個(gè)或剪筒底120個(gè).

（1）該班有男生、女生各多少人？

（2）要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，為了使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身，多

少名學(xué)生剪筒底？

2.（24-25七年級(jí)下?重慶萬(wàn)州?階段練習(xí)）某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4

個(gè).在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.

（1）如果某產(chǎn)品要求甲種零件與乙種零件每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)按照3:4配比，那么應(yīng)該安排幾名工人加工甲種零

件，幾名工人加工乙種零件？

（2）已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利15元,每加工一個(gè)乙種零件可獲利20元.若此車間某天一共獲利1240元,

求這一天有幾名工人加工甲種零件.

3.（24-25七年級(jí)下?海南海口?階段練習(xí)）機(jī)械廠加工車間有45名工人，為了加快速度完成任務(wù)，在原有

工人的基礎(chǔ)上調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)比調(diào)入工人的人數(shù)2倍還多5人.（請(qǐng)用方程解

答）

（1）求新調(diào)入多少工人？

（2）在（1）的條件下，若工人平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪

配成一套，問(wèn)需分別安排多少名工人加工大小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？

【題型5實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之工程問(wèn)題】

例題：（2025?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）渭河特大橋作為渭河最長(zhǎng)干線公路橋梁，在建設(shè)過(guò)程中，有甲、乙兩個(gè)

工程隊(duì)參與其中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)一天共鋪設(shè)橋梁構(gòu)件80件，甲工程隊(duì)施工3天比乙工程隊(duì)施工2天多

鋪設(shè)橋梁構(gòu)件30件，求甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件的件數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.（2025九年級(jí)下?江蘇南京?專題練習(xí)）我國(guó)首臺(tái)千萬(wàn)億次超級(jí)計(jì)算機(jī)“天河一號(hào)”現(xiàn)在安裝的是由我國(guó)自

行設(shè)計(jì)制造的“飛騰”計(jì)算機(jī)中央處理器（CPU）芯片.據(jù)了解，安裝“飛騰”芯片后，“天河一號(hào)”的運(yùn)算速度

將在原來(lái)的基礎(chǔ)上提速20%,達(dá)到每秒1200萬(wàn)億次.已知一項(xiàng)復(fù)雜的運(yùn)算任務(wù)在安裝“飛騰”芯片后比安裝

前使用其他芯片快10分鐘，請(qǐng)算出“天河一號(hào)”以現(xiàn)在的運(yùn)算速度完成這項(xiàng)任務(wù)需多長(zhǎng)時(shí)間.

2.（2025?陜西咸陽(yáng)?二模）人工智能已經(jīng)成為當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的重要驅(qū)動(dòng)力，合理使用人工智能可以大幅度

提升工作效率.一家公司開(kāi)發(fā)了甲、乙兩款A(yù)I模型.為了提高效率，實(shí)驗(yàn)中學(xué)同時(shí)使用這兩款模型處理一

批數(shù)據(jù)，甲模型工作了2小時(shí)，乙模型工作了3小時(shí)，一共處理了255GB數(shù)據(jù).已知乙模型每小時(shí)處理的

數(shù)據(jù)比甲模型少15GB.甲模型和乙模型每小時(shí)分別處理多少GB的數(shù)據(jù)？

3.（24-25七年級(jí)下?山西臨汾?期中）甲、乙兩工程隊(duì)承接某段隧道挖掘工程，已知該段隧道長(zhǎng)度為600米，

甲工程隊(duì)每天挖掘的長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天挖掘長(zhǎng)度的1.5倍，甲、乙兩工程隊(duì)合作4天完成該工程的

（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別可挖掘隧道多少米.

（2）若甲工程隊(duì)先單獨(dú)挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，總費(fèi)用剛好94萬(wàn)元.已知甲工程

隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為3萬(wàn)元，求甲工程隊(duì)單獨(dú)挖掘的天數(shù).

【題型6實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之行程問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）帶著小狗的小明和小兵同時(shí)從相距1200米的兩地相向而行，小明

每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米.小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到

小明后再向小兵那邊跑L,當(dāng)小明和小兵相遇時(shí)，小狗一共跑了多少米？

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一輛汽車在A,B兩地之間不停地往返行駛，小剛從A去B,每小時(shí)4

千米，汽車從B去A,途中相遇，30分鐘后汽車由A返8追上小剛；再過(guò)70分鐘后汽車由B返A(chǔ)的途中又

與小剛相遇，再過(guò)50分鐘后汽車由A返8又追上小剛.

（1）求汽車的速度；

（2）求A、B兩地之間的路程；

（3）在前面的條件下，若人、車分別從A、B同時(shí)出發(fā)，同向行駛，汽車從B到C處后立即返回，回到B后

繼續(xù)朝A行駛，直至與小剛相遇，共用了5小時(shí)，求8C之間的路程.

2.（2025七年級(jí)下?河南?專題練習(xí)）如圖是兩張不同類型火車的車票（“Dxxx次”表示動(dòng)車，“Gxxx次”

表示高鐵）：

A地6）A地⑥

DUK次上Gxxx次

A地-----fB地02車12號(hào)A地------地03車13號(hào)

2025年IfIli10002025年1月IH1100

*360元￥560元

限乘當(dāng)日車次限乘當(dāng)日車次

⑴已知該動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為200km/h,300km/h,如果兩車均按車票信息準(zhǔn)時(shí)出發(fā)，且同時(shí)到達(dá)

終點(diǎn)，求A3兩地之間的距離；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)求出在什么時(shí)刻兩車相距100km.

3.（24-25七年級(jí)下?山西臨汾?期中）隨著全民健身的理念逐漸深入人心，跑步作為一項(xiàng)簡(jiǎn)單易行，老少皆

宜的運(yùn)動(dòng)，成為許多人日常鍛煉的首選.周末，小聰和小明準(zhǔn)備去迎澤大街進(jìn)行跑步活動(dòng).已知迎澤大橋

與五一廣場(chǎng)之間的距離為3.6千米.小聰從迎澤大橋出發(fā)，以10千米/時(shí)的速度向五一廣場(chǎng)方向跑步；小明

從五一廣場(chǎng)出發(fā)，以8千米/時(shí)的速度向迎澤大橋方向跑步.兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行.

迎澤大橋五一廣場(chǎng)

（1）兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

（2）若小聰在出發(fā)后5分鐘發(fā)現(xiàn)忘記帶水壺，于是停下來(lái)休息2分鐘后以原速度返回迎澤大橋取水壺，隨后

再次以原速度向五一廣場(chǎng)方向跑步，求兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

【題型7實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之?dāng)?shù)字問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上的數(shù)字的和是9.如果這個(gè)兩位數(shù)減去

27,那么得到的差正好是原來(lái)的數(shù)個(gè)位與十位數(shù)字交換.求原來(lái)的數(shù)？

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的2倍，如果把這兩個(gè)數(shù)字

對(duì)調(diào)位置，組成一個(gè)新的兩位數(shù)，所得新數(shù)與原數(shù)的和是132,原來(lái)的兩位數(shù)是多少？

2.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）把1~1000的數(shù)字如圖排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，

這六個(gè)數(shù)的和是87.如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837,這六個(gè)數(shù)

分別是多少？

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

................................9991000

3.（24-25七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）小剛是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他將連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,…排

成如圖所示的形式，并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù).請(qǐng)你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律，

并解答下列問(wèn)題.

13579

11131511719

21232529

3133353739

（1）設(shè)十字形框架中間的數(shù)為加，求十字形框架中的五個(gè)數(shù)的和.（用含加的式子表示）

（2）若將十字形框架上下左右移動(dòng)，可框住另外的五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)的和能等于65嗎？若能，寫出這五個(gè)數(shù);

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型8實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之比賽問(wèn)題】

例題：（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校九年級(jí)開(kāi)展了一次班級(jí)間的籃球比賽，規(guī)定每場(chǎng)比賽需分出勝負(fù),

勝1場(chǎng)積2分，負(fù)1場(chǎng)積1分.九年級(jí)共有13個(gè)班級(jí)，第一輪比賽中，每?jī)蓚€(gè)班級(jí)相互之間僅比賽一場(chǎng),

九（1）班在完成第一輪所有比賽后，總積分為19分，問(wèn)九（1）班第一輪勝了多少場(chǎng)？

【變式訓(xùn)練】

1.（2025?河北邯鄲?一模）某代表隊(duì)參加知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽依次分必答和搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)，規(guī)定：必答環(huán)節(jié)每

隊(duì)均需答10道題.答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)或不答扣10分；搶答環(huán)節(jié)各隊(duì)共搶答10道題，搶答且答對(duì)得

30分，搶答但答錯(cuò)扣10分，沒(méi)有搶答得0分.初始分?jǐn)?shù)為100分.

（1）必答環(huán)節(jié)該隊(duì)答對(duì)7道題，求該隊(duì)必答環(huán)節(jié)后的總分?jǐn)?shù)；

（2）若搶答環(huán)節(jié)該隊(duì)共搶答6次，本環(huán)節(jié)得140分，請(qǐng)通過(guò)列方程求該隊(duì)搶答環(huán)節(jié)答對(duì)題目數(shù).

2.（2025?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）為慶祝中華人民共和國(guó)成立75周年，某校開(kāi)展了一場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定答對(duì)

一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答對(duì)、答錯(cuò)、不答的題數(shù)如下表:

班級(jí)答對(duì)答錯(cuò)不答

八（1）班1541

八（2）班13

八（1）班最終得分比八（2）班多21分，求八（2）班答錯(cuò)了幾道題.

3.（24-25七年級(jí)上?江蘇宿遷?期末）某校七年級(jí)組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同,

每題必答.下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況.

參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)得分

A200120

B191112

C182104

（1）觀察表格數(shù)據(jù)并填空，參賽者答對(duì)1道題得分，答錯(cuò)1道題得分;

（2）參賽者小明得80分，他答對(duì)了幾道題？

【題型9實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之幾何問(wèn)題】

例題：（2025?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)正方形紙片ABCD,先沿EF剪去寬為1cm的長(zhǎng)方形

3

再沿G//剪去寬2cm的長(zhǎng)方形.記長(zhǎng)方形的面積為耳，長(zhǎng)方形DEGH的面積為$2,若1=-52,

求原正方形紙片的邊長(zhǎng)A8.

2cmH

I

E--------國(guó)---------F

Icm^Syr

【變式訓(xùn)練】

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，在一個(gè)正方形中先剪去一個(gè)寬為5的長(zhǎng)方形，再?gòu)氖Ｏ虏糠旨羧ヒ粋€(gè)寬為

6的長(zhǎng)方形，若剪下來(lái)的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積相等，求原正方形的面積.

2.（24-25七年級(jí)下?山東青島?階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB=4,BC=9,且點(diǎn)E是AB邊

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（2）求點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，三角形的面積等于長(zhǎng)方形ABCD面積的六分之一.

3.（24-25七年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6cm,3c=4cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，

以每秒4cm的速度沿折線AB-3C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1.5cm的速度沿射線CB方向運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/（秒）.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸在A5上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=cm.（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=cm（用含/的代數(shù)式表示）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求線段2。

的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。到點(diǎn)2的距離相等時(shí)，求f的值.

（4）當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AP、AQ.直接寫出△AP。的面積是3cm2時(shí)r的值.

【題型10實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之電費(fèi)和水費(fèi)問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）為倡導(dǎo)合理利用電資源，電力局推行了居民申請(qǐng)使用“峰谷”電制

度，具體如下圖所示.已知一個(gè)家庭使用峰谷電的某月電費(fèi)為95.2元，經(jīng)測(cè)算，比不使用峰谷電節(jié)約10.8元，

該家庭當(dāng)月使用峰電和谷電各多少千瓦時(shí)？

8:00-22:00：每千瓦時(shí)0.56元（峰電價(jià)格）

22:00-8:00：每千瓦時(shí)0.28元（谷電價(jià)格）

不使用峰谷電：每千瓦時(shí)0.53元

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)下?四川眉山?期中）“水是生命之源”，我縣自來(lái)水公司鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，收費(fèi)按以下標(biāo)

準(zhǔn)：

用水量/月單價(jià)（7U/m3）

不超過(guò)20m32.8

超過(guò)20m3的部分3.2

（1）如果1月份某用戶用水量為19m3,那么該用戶1月份應(yīng)該繳納水費(fèi)元.

（2）某用戶2月份共繳納水費(fèi)80元，那么該用戶2月份用水多少m3?

2.（24-25六年級(jí)下?山東東營(yíng)?期中）今年春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強(qiáng)一家去某電影院觀看

此部電影，到了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動(dòng)方案：

優(yōu)惠方案一會(huì)員費(fèi)200元，票價(jià)35元/人.

優(yōu)惠方案二原票價(jià)50元/人，成人原價(jià)，學(xué)生票價(jià)是原價(jià)的5折.

（1）若小強(qiáng)一家6人（成人4人，學(xué)生2人），優(yōu)惠方案一所需費(fèi)用_元；優(yōu)惠方案二所需費(fèi)用_元；他

選擇優(yōu)惠方案_（填“一”或“二”）劃算？

（2）若成人人數(shù)是學(xué)生人數(shù)的2倍且兩種優(yōu)惠方案所付費(fèi)用相等，求成人、學(xué)生各多少人？

3.（24-25七年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）為增強(qiáng)居民節(jié)約用電意識(shí)，某市對(duì)居民用電實(shí)行“階梯收費(fèi)”，具

體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

一戶居民一個(gè)月用電量電費(fèi)價(jià)格（元/千瓦時(shí)）

不超過(guò)160千瓦時(shí)的部分X

超過(guò)160千瓦時(shí)的部分x+0.15

某居民五月份用電190千瓦時(shí)，繳納電費(fèi)90元.

⑴求尤和超出部分的電費(fèi)單價(jià).

（2）若該戶居民六月份繳納電費(fèi)84元，求該戶居民六月份的用電量.

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為X）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)01列一元一次

二方程解應(yīng)用題的步驟④根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程

兀

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

一

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

次

方

1.行程問(wèn)題：路程=速度X時(shí)間

程

2.順?biāo)嫠畣?wèn)題：順?biāo)俣?船速+水速；逆水速度=船速-水速

的

應(yīng)3.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量x增長(zhǎng)率

用4.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)

5.工程問(wèn)題：工作量=工作效率x工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之

和=總量

6.銀行存貸款問(wèn)題：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期數(shù)

7.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法

一、單選題

1.（24-25九年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，

眾客都來(lái)到店中.一房七客多六客，一房八客一房空，問(wèn)有幾房幾客？”意思是：一批客人來(lái)到李三店中住

宿，如果每間客房住7人，那么有6人無(wú)房可??；如果每間客房住8人，那么就空出1間房.問(wèn)有多少間

客房？多少客人？設(shè)有x間房，則可列出方程是（）

C.7x+6=8（x-1）D.7x—6=8x—1

2.（24-25六年級(jí)下?山東泰安?期中）某校為了增強(qiáng)學(xué)生的防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙意識(shí)，舉行了一次知識(shí)搶答賽,

搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分.小勇一共得76分，則

小勇答對(duì)的個(gè)數(shù)為（）

A.16B.15C.13D.14

3.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天，乙單獨(dú)做要15天，丙單獨(dú)做要20天,

三人合做期間，甲因故請(qǐng)假，工程6天完工，則甲請(qǐng)了（）天假.

A.1B.3C.5D.6

2

4.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的!■，把十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)

字調(diào)換后，新數(shù)比原數(shù)大18,則原數(shù)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字之和是（）

A.10B.12C.18D.21

5.（2025?山東范澤?三模）如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱為第一次

操作；然后，將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形，稱為第二次操作；再將其

中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱為第三次操作...根據(jù)以上操作，若要

得到2026個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是（）

第一次操作第二次操作第三次操作

A.669B.670C.671D.675

二、填空題

6.（24-25七年級(jí)下?福建泉州?期中）爸爸和小北共下9局棋（未出現(xiàn)和棋），記分規(guī)則：爸爸贏一局記1

分，小北贏一局記2分.若爸爸和小北得分相同，則爸爸贏了局.

7.（2025?湖南?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位所著《算法統(tǒng)宗》卷十第十五題記載：“隔墻聽(tīng)得客分銀，

不知人數(shù)不知銀.六兩分之盈三兩，八兩分之不足五.借問(wèn)諸君能算者，多少客人多少銀？”其大意:客人一

起分銀子，若每人6兩，則多出3兩；若每人8兩，則還差5兩.若設(shè)有x人，則可得一元一次方

程.

8.（24-25七年級(jí)下?山東威海?期中）某品牌打印機(jī)按進(jìn)價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷售，某顧客

購(gòu)買該打印機(jī)時(shí)，將家里的舊打印機(jī)用于以舊換新，抵扣了258元后，又支付了942元，則該打印機(jī)的進(jìn)

價(jià)為元.

9.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，甲、乙兩人沿著邊長(zhǎng)為70米的正方形，按逆時(shí)針的方向行走，

甲從A以65米/分的速度行走，乙從8以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，是在正方形的邊—

（A3、BC、或ZM）上.

10.（24-25六年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，已知A、8分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-20,

8點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為80.有一只電子螞蟻P從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子

螞蟻。恰好從3點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，則它們相遇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是

AB

-206?！?/p>

三、解答題

11.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）一個(gè)防盜門的密碼由4個(gè)數(shù)字按從大到小的順序組成，這4個(gè)數(shù)字

之和是16,并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字都相差2,這個(gè)密碼是多少？

12.（2025?安徽合肥?三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，

人出九，盈十一：人出六，不足十六、問(wèn)人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多出

11錢；每人出6錢，又差16錢.問(wèn)人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？

13.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）游泳館推出兩種付費(fèi)方式：方式一，單次卡，每次收費(fèi)30元；方式

二，辦理會(huì)員年卡，一次繳納300元會(huì)員費(fèi)，每次游泳另外收費(fèi)10元（一年內(nèi)有效）.

（1）爸爸游泳鍛煉的計(jì)劃是一年，每月兩次.他選擇哪種方式更劃算？請(qǐng)寫出簡(jiǎn)要的思考過(guò)程.

（2）一年內(nèi)游泳達(dá)到幾次時(shí)，兩種付費(fèi)方式所用錢數(shù)相等？請(qǐng)寫出簡(jiǎn)要的思考過(guò)程.

14.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)：“一個(gè)博物院就是一所大學(xué)校”.某校聯(lián)系研學(xué)社組織

學(xué)生到博物院研學(xué)，研學(xué)社報(bào)價(jià)每人收費(fèi)400元，當(dāng)研學(xué)人數(shù)超過(guò)50時(shí)，研學(xué)社給出兩種優(yōu)惠方案：

方案一：研學(xué)團(tuán)隊(duì)先交1800元后，再每人收費(fèi)320元；

方案二：5人免費(fèi)，其余每人收費(fèi)打九折.

已知研學(xué)人數(shù)超過(guò)50,且上述兩種方案的收費(fèi)相同，求研學(xué)人數(shù).

15.（24-25七年級(jí)下?福建漳州?期中）如圖是2025年4月的月歷，觀察月歷，解答下列問(wèn)題：

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

（1）小寶這個(gè)月外出旅行三天，三天日期之和是36,求小寶出發(fā)的日期.

（2）月歷中“十”字型陰影圖形能覆蓋其中五個(gè)數(shù)字，則五個(gè)數(shù)字之和能否等于100?若能，求出其中最小的數(shù)

字；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.（2025?湖南長(zhǎng)沙?三模）近期“國(guó)家喊你減肥了”話題沖上熱搜，為了讓大家有一個(gè)健康的身體和良好的

生活習(xí)慣，某學(xué)校組織全體中學(xué)生參加健康生活方式知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)25道選擇題，各題分值相同，每題必

答，如表記錄了5個(gè)參賽者的得分情況.

參賽答對(duì)題答錯(cuò)題得

者數(shù)數(shù)分

A24195

B21480

C18765

D141145

E250100

(1)填空：每答對(duì)一道題得分，每答錯(cuò)一道題扣分；

⑵參賽者尸得70分，他答對(duì)了幾道題？

(3)參賽者G說(shuō)他得87分，你認(rèn)為可能嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

17.(24-25七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè))A、8兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導(dǎo)致連接這兩市

的公路受阻，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)