山東省2024-2025高一數(shù)學下學期模擬卷（3）

學校:姓名：班級：考號：

（三角函數(shù)與解三角形、平面向量、立體幾何、概率統(tǒng)計、復數(shù)）

一、單選題

1.己知上=l+i,貝U|z卜（）

Z

A.1B.,C.72D.2

2.如圖，用X,y,z三種不同元件連接成系統(tǒng)N,每個元件是否正常工作不受其它元件的影

響.當元件x,y都正常工作或z正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元件X,y,z正常工作

的概率分別為0.7,0.8,0.9,則系統(tǒng)N正常工作的概率為（）

系統(tǒng)例

A.0.504B.0.846C.0.902D.0.956

3.已知向量汗石滿足：|萬|=1,|萬+2方|=3.則|+|4+5|的最大值為（）

A.3B.MC.4D.5

4.如圖所示，在空間直角坐標系。-孫z中，三棱錐O-ABC各個頂點的坐標分別為

0（0,0,0）,A（4,0,2）,*2,4,4）,C（0,0,3）,則該三棱錐側(cè)視圖的面積為（）

A.9B.8C.7D.6

5.已知tana='，則cos2a=()

2

6.從五棱錐的6個頂點中隨機選取4個，則這4個頂點在同一個平面內(nèi)的概率是（）

7.已知平面向量圓5滿足同=1,（5,萬+5）欄，則歸-可的最大值為（）

A.2B.V2+1C.73+1D.3

8.在WC中，,18+JC=.18--4C^18=2^40=1^F為5c的三等分點，則

AE-AF=

8c10c2526

AA.-B.——C.—D.——

9999

二、多選題

9.對任意復數(shù)電，和，定義例*例=口0，其中加是。2的共軌復數(shù)，對任意復數(shù)句，Z2,

Z3,下列命題為真命題的是（）

A.（Z[+Z2）*Z3=Z1*Z3+Z2*Z3B.Z1*（Z2+Z3）=Z1*Z2+Z1*Z3

Z=ZZZ

C.（Z1*Z2）*31*（2*3）D.Z1*Z2=Z2*Z]

10.已知事件X,Y滿足P（X）=0.4,P（y）=0.5,則下列判斷可能正確的是（）

A.X,Y獨立B.x,y對立

c.p（xr）=P（X+Y）D.尸（x|y）=o.9

11.如圖，在棱長為4的正方體ABC。-A4GR中，瓦尸分別為出九CG的中點，G是線

A.點G到平面A跖的距離為定值

B.平面AEF截正方體ABCD-所得的截面為六邊形

UUUUUUlULU1UUUIU

c.若AG=xAA+y4E+z4A，且無+y+z=i,則G為線段與G的中點

D.直線AG與平面AEP所成角的正切值的取值范圍為

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.一只青蛙在正方體ABCD-EFGA的頂點A處，每次等概率的跳躍到相鄰三個頂點中的

一個，那么六次跳躍后回到頂點A的概率為.

13.以點。為球心，半徑為的球的表面與以點。為頂點，棱長為6的正四面體表面的

交線為P,則P的總長度為.

TT

14.在AASC中，C=-,BC=4,在邊AC上存在一點O,滿足=作小工的，

E為垂足，若角Ae(0,1],則。E的取值范圍是.

四、解答題

15.已知四邊形A5CD是平行四邊形，且A(2,3),C(4,2).

⑴求點。的坐標；

(2)求平行四邊形ABC。的面積.

16.象棋是中華民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)，為弘揚棋類運動精神，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,

豐富校園文化生活，培養(yǎng)學生良好的心態(tài)和認真謹慎的生活觀，某學校高一年級舉辦象棋比

賽.比賽分為初賽和決賽.初賽采用線上知識能力競賽，共有500名學生參加，從中隨機抽取

了50名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

并整理得到如圖頻率分布直方圖：

頻率

[贏

0.042------------]—?

^l^rn"T'n

5’06’07’0*09’0標虛績/分

(1)根據(jù)直方圖，求。的值，并估計這次知識能力競賽的平均數(shù)元；

(2)決賽環(huán)節(jié)學校決定從知識能力競賽中抽出成績最好的兩個同學甲和乙進行現(xiàn)場棋藝比拼,

2

比賽采取三局兩勝制.若甲每局比賽獲勝的概率均為H，且各輪比賽結(jié)果相互獨立.求甲最終

獲勝的概率.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是正方形，PAL平面ABC。，七/分別是

棱CD,AP的中點.

(1)證明：PC.LBD；

(2)證明：瓦7/平面MC.

18.在VABC中，cosC=—

5

UUUULUUUUUL1U

(1)右AB-AC=3BA-8C，求tanA的值；

⑵設(shè)向量x=(2sinB,-，y=[cos28』-2sin]],且I//],求sin(B-A)的值.

19.借助三角函數(shù)定義及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖象的旋轉(zhuǎn)問題.試解答下

列問題.

(1)在直角坐標系中，點+L堂-1],將點A繞坐標原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)￡到

I22；6

TT

點B,如果終邊經(jīng)過點A的角記為a，那么終邊經(jīng)過點B的角記為：+即試用三角函數(shù)定義,

6

求點3的坐標；

(2)如圖，設(shè)向量血=(〃水),把向量而按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得向量酢，試用Ak、

6表示向量次的坐標;

(3)設(shè)4。,。)、8(九〃)為不重合的兩定點，將點8繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)0角得點C.

判斷C是不能夠落在直線產(chǎn)x上，若能，請求出6的三角函數(shù)值(正弦、余弦、正切不限),

若不能，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《山東省2024-2025高一數(shù)學下學期模擬卷(3)》參考答案

題號12345678910

答案BDBADCCBABAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】利用復數(shù)的除法法則求得z,進而可求同.

PT1+i11.

【詳解】由上=l+i,可得--=—I—1

Z(l+i)0T222

故選：B.

2.D

【分析】利用對立事件的概率公式將目標事件合理轉(zhuǎn)化，再結(jié)合獨立事件的概率公式求解即

可.

【詳解】由題意得尸(X)=o.7,尸(y)=0.8,尸(Z)=0.9,

且系統(tǒng)N正常工作的對立事件為系統(tǒng)X,y不都正常工作且z也不正常工作，

而每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，則X,y,z相互獨立，

可得X,Y不都正常工作的概率為1-0.7X0.8=0.44,

故系統(tǒng)N不正常工作的概率為0.44x(l-0.9)=0.044,

由對立事件的概率公式得系統(tǒng)N正常工作的概率為1-0.044=0.956,故D正確.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)條件及不等式［等］w4答求最大值即可.

【詳解】因為|刈+|乙+2卜丁丫=2卜石忑=2行+47+4”

=2/三丁尤=2^^=&6，當且僅當|=|。+5|=半時等號成立,

所以|B|+|a+5|的最大值為JHL

答案第1頁，共12頁

故選：B

4.A

【分析】由題意，畫出三棱錐的側(cè)視圖，利用割補法即可求解側(cè)視圖的面積.

【詳解】解：由題意，該三棱錐側(cè)視圖為如圖所示的四邊形Q4BC及對角線AC（實線）和

OB（虛線），

過A作A4垂直于z軸，過B作8月垂直于z軸,

所以側(cè)視圖的面積為梯『“―小,=|x2x4+|（2+4）x2-|xlx2=9,

故選：A.

5.D

【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得結(jié)果.

1-

?、4c2-2cos2cr-sin2tz1-tan2a3

［詳角星］cosla-cosa-sma=——--------------=-------------

cosa+sina1+tana5

1+

故選：D.

6.C

【分析】計算出所有可能情況及符合要求的情況即可得.

【詳解】從五棱錐的6個頂點中隨機選取4個的不同選取方法有C：=15種，

其中選取的4個頂點在同一個平面內(nèi)的不同選取方法有C；=5種，

則所求概率

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用外接圓數(shù)

答案第2頁，共12頁

形結(jié)合可求最值.

【詳解】^.a=OA,b=OB,a+b=OC,如圖,

OAD

TT

由題意，即在平行四邊形Q4CB中，0A=1,NOC4=?,

6

求AB的最大值.

延長，4至OD,使。4=AD,則CD=AB,

r）A

由正弦定理，Q4C三點所在外接圓的直徑2尺=.=2,

smZOCA

所以R=l,設(shè)圓心為G,如圖，

7T

所以可知NGOO=],又0G=1,。。=2,

所以由余弦定理可得DG=^l2+22-2xlx2xcosy=A/3,

則由圖象可知CDVOG+R=l+6,

故選：C

8.B

【詳解】試題分析：因為府+園=|通-園，所以解+,2=|而一碼2,即超衣=0,

即NA=90°.所以

AE-AF=[AB+1（AC-AB）].[AC-|（AC-AB）]=|AB2+|AC2-1BC2,故應選8.

考點：1、平面向量的數(shù)量積的應用.

9.AB

【分析】利用新定義可*電=。初2和復數(shù)的運算性質(zhì)求解.

【詳解】對任意復數(shù)助，g,定義例*例=四@，其中W是g的共軌復數(shù)，

答案第3頁，共12頁

對于A,(z1+z2)*z3=(z1+z2)z3=z1z3+z2z3=(z1*z3)+(z2*z3),故A正確；

對于B,zl*(z2+z3)=z1(z2+z3)=z1(^z2+z3)=zlz2+z1z3=(z1*z2)+(z1*z3),故B正確；

對于C,(Z]*Z?)*Z3=(Z]*Z2"3=Z]Z?Z3,Zj*(Z2*Z3)=Z1*(z2z3)=Z](Z2Z3)=Z1Z2Z3,故C錯

'口

慶；

對于D,令Z]=1+i,z2=2,則Z[*z2=z/2=2(l+i)=2+2i,z2*z1=z9z1=2(1—i)=2—2i,

所以Z|*Z2XZ2*Z1,故D錯誤.

故選：AB.

10.AC

【分析】根據(jù)事件獨立、對立的概念和公式進行逐項判斷.

【詳解】對于選項A：

若x,y獨立，則尸(xr)=p(x)p(y)=o.2,在0-0.4范圍內(nèi)，所以A可能正確.

對于選項B：

因為p(x)+P(y)=0.4+0.5=0.9Hi,所以X,y不對立，所以B錯誤；

對于選項C：

p(xy)=p(y)-p(xy),

p(x+r)=1-p(x+y)=i-(p(x)+p(y)-P(xy))=1-p(x)-P(Y)+P(XY).

若P(XY)=尸(x+y),則p(y)-p(xy)=i-p(x)-p(y)+p(xy),

所以1一p(x)—2尸(y)+2尸(xr)=0,解得尸(xr)=0.2<0.4.

當x,y獨立時，p(xy)=p(x)p(r)=o.2,c可能正確.

對于選項D：

…二需=0.9,解得P(XT)=0.9x0.5=0.45>0.4,所以D錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】由正方體及線面平行的性質(zhì)判斷A；由平面的基本性質(zhì)直接判斷B；由空間向量加

答案第4頁，共12頁

UL1U1UUUUL1L11U_______.

減、數(shù)乘的幾何意義用AA，AE，AA表示出和，即可判斷C；根據(jù)對稱性求出點G到平面

3的距離，結(jié)合AGe[4后,4/]確定線面角正弦值范圍，進而得到正切值范圍判斷D.

【詳解】由題意，EF//與G，EFu面AEF,用G<z面AEF,可得4G〃面4跖，

又Ge與G，故點G到平面的距離為定值，A對;

由EF〃用G〃AD,則平面但'截正方體ABC。-A瓦GR所得為四邊形AEED,B錯;

uuiruuunuurumruuuuuumiuunuuuuuum

由圖,令AG=A4+BjG=A1E+EB]+AAJDJ——4A+4E+AA1￡)j且0W4W1,

所以—g+l+X=ln4=g,即G為線段4G的中點，C對;

由A分析及題設(shè)知，點G到平面AEF的距離，即為點C到平面AEF的距離,

CFCD2x44

即點C到線段DF的距離，故所求距離d=—5釘=云底=不，

而AGC[4A歷,4石],若直線AG與平面AEF所成角為8,貝！|sinMe

所以,D對.

61

12.

243

【分析】移動偶數(shù)〃次返回A的路徑數(shù)4,，考慮從A出發(fā)移動〃-2次后所在點4C,尸,H,

再分類探討得遞推公式，利用累加法求出％,進而求出概率P.即可得解.

【詳解】由點A出發(fā)，經(jīng)過偶數(shù)次移動只能到達點A,CR”,經(jīng)過奇數(shù)次移動后只能到達

B,D,E,G,

考慮移動〃（〃為偶數(shù)）次返回到A的路徑數(shù)為?！埃@然％=1;

由于移動--1次后只能位于點8,D,E,G,其中位于民再移動1次可回到A,

則考慮移動〃-2次后所在點AC，,“，把這4個點分成兩類，點A和點C,戶,H,

答案第5頁，共12頁

若在點A,路徑數(shù)為?！耙?,再移動2次返回到A只有3種折返路徑(ADAABA,g);

若在C,RH(路徑數(shù)為3"-2-4一)中的一個，再移動2次返回A路徑數(shù)，

每個點處都有2條路徑(CBA,CDA-FBA,FEA;HDA,HEA),

因此移動〃(〃為偶數(shù))次返回到A的路徑數(shù)為=34_2+2(3"2一a,.,,

24

即??-2=2?3"-2,累加得%=2(3°+3+3+...+3々)+1=芝土2，總路徑數(shù)為3",

4

因此青蛙跳躍〃(〃為偶數(shù))次后恰好回到A的概率口,=生=；(1+5)，

所以六次跳躍后回到頂點A的概率為區(qū)=條

故答案為：^―

13.5y/3n

【分析】先在正四面體。-ABC中求出高〃=2新＜34=尺，判斷出底面ABC與球相交，

交線是一個圓，進而求出底面圓的半徑為r=百，即可求出球與底面ABC相交的交線長；

然后在側(cè)面在三個側(cè)面等邊三角形中，求出。到對邊中點的距離都是3百=R,即可得知每

個側(cè)面與球的交線是以。為圓心，以R為半徑，圓心角為60。的圓弧，算出三個側(cè)面與球

相交的總弧長，即可求出交線P的總長度.

【詳解】

如圖所示的正四面體ABC,棱長為6,設(shè)底面A3C中心為。1，

答案第6頁，共12頁

在等邊VABC中，。為48邊的中點，

可知。。=條6=3/，cq=|cr＞=2G

所以在AOOC中，求得正四面體的高

2A2

h=ooi=^6-（2/3）=2屈＜36=R,

所以正四面體的底面ABC與球相交，交線是一個圓，圓心恰為。1，

設(shè)底面圓的半徑為r,則廠=JR2_〃2=J（3出j-（2庭j=V3,

所以球與底面ABC交線的周長為2口=26兀.

在三個側(cè)面等邊三角形OAB,OBC,OCA中，

0到對邊中點的距離都是=R,例如00=373,

所以每個側(cè)面與球的交線是以。為圓心，以R為半徑，

圓心角為60。的圓弧，所以弧長為空一X2TIR=LX2兀x3/=出71,

36006

所以三個側(cè)面的總弧長為3x扃=3扃.

所以交線P的總長度為2省71+3石71=5百兀.

故答案為：55/371

14.（收2⑸

2DE

DF2DFAB_BCtanA=4

【詳解】由題意可得的=族=,9=而1’由正弦定理

sinCsinAV3sinA

~T

cosAwgj）所以石＜。石426，填（迅,26].

DE=——,Ael0,1,

cosA

答案第7頁，共12頁

A

15.（1）（8,6）

⑵12

【分析】（1）設(shè)點。的坐標為（x,y）,結(jié)合初=友即可求解;

（2）根據(jù)題意，先求出而，而的夾角余弦值，進而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公

式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)點。的坐標為（x,y）.

由題意得通=（T,T）,DC=（4-x,2-y）.

4—x=-4x=8

因為會=配，所以2-尸T，解得

y=6，

所以點。的坐標為（8,6）.

（2）由荏=（T,T）,AD=（6,3）,

則相而=-24-12=-36，網(wǎng)=J16+16=4應,由=二36+9=3岔,

則cos（AB,AD）=-363回

MR472x375-10

所以sin（麗麗）=-cos2（MAD）=等,

則平行四邊形AB。的面積為

gx網(wǎng)x^xsin的，硝x2=gx4夜x3岳年x2=12.

16.（1）a=0.03,78

答案第8頁，共12頁

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖各組頻率之和等于1求出。，由頻率分布直方圖估算平均

數(shù)計算得解；

(2)由題，甲最終獲勝，比分可能是2:0,2:1,分別求出概率，再根據(jù)互斥事件的概率公

式求解.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖，[50,60)的頻率為0.08,[60,70)的頻率為0.12,[80,90)的頻率

為0.42,[90,100]的頻率為0.08,

所以[70,80)的頻率為1—0.08-0.12-0.42-0.08=0.3,

所以。琮=0.03,

根據(jù)平均數(shù)的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數(shù)：

x=55x0.08+65x0.12+75x0.3+85x0.42+95x0.08=78分.

(2)因為甲最終獲勝,比分可能是2:0,2:1,

設(shè)甲2:0獲勝為事件42:1獲勝為事件3,

若甲2:0獲勝，則概率為P(A)=||)=1,

若甲2:1獲勝，則概率為+2XL2=_§_,

3⑶33327

又A,B兩個事件互斥，則甲最終獲勝的概率為尸“)+尸(2)=去.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先證AC130和出，瓦＞,再由線線垂直證明線面垂直，易得BDLPC；

(2)取尸8的中點G,易遞FG//CE,FG=CE,得到口CEFG,則得所//CG,由線線平行

即得線面平行.

【詳解】(1)

答案第9頁，共12頁

如圖，連接交于點。，由四邊形A3CD是正方形，可得AC12D,

因PAL平面ABC。，BOu平面ABCD,則以，如，

又R4「AC=A,PA,ACu平面PAC,

所以即上平面PAC,又PCu平面PAC,

所以BDJ_PC.

（2）如圖，取尸8的中點G,連接產(chǎn)G,CG,

由瓦產(chǎn)分別是棱CD,A尸的中點.可得FG〃AB,FG=；AB,

又CEHAB,CE==AB,則FG//CE,FG=CE,即得口CEFG,所以EF〃CG

2

因EFU平面尸3C,CGu平面PBC,

所以￡F〃平面P2C.

【分析】（1）先由cosC=（推出tanC=2,再由向量數(shù)量積條件得出tan3=3tanA,最后

利用等式tanC=-tan（A+B）求出tanA的值.

⑵由向量平行條件推出2=三，再用sin（8-A）=sin（B-乃+8+C）=sin〔C-1求值.

【詳解】因為在VABC中，cosC=—,所以sinC=迪，tanC=2.

55

答案第10頁，共12頁

UUUUUiUuuuuu

(1)^6*ABAC=3BABC，貝！JAcosA=3accos3,

bcosA=3acosB,tanB=3tanA.

「/4tanA+tanB4tanA.

tanC=-tan(A+B)=--------------------=--------------=2

1-tanAtanB3tan2A-l

3tan2A—2tanA-l=0,

解得tanA=1或tanA=—；.

171

若tanA=-§,則A>5，tanB=3tanA=-l,

37r

B=—,A+B>7U,不符合題意，舍去.

4

所以tanA=l.

(2)因為x//y,所以2sinBcosB=-J^cos2B,

tan2B=—A/3,所以2B=,B=—.

sin(B-A)=sin(B-^+B+C)=sin^C-1^^x|-^x^=^^^

19.(1)(2,1)；(2)(Zzcos。-左sin，,左cos6+/zsin。)；(3)能,

k兀,m+n=2a

(7=<

^2—fl

kji+arctan------------(keZ),m+n^2a

、m+n-2a

【分析】(1)計算出|。4|以及sina、cosa的值，利用兩角和的正弦和余弦公式可求得

cos]a+w)和sin(a+^J,進而可得點8的坐標；

(2)記|福卜r,cos/?=—,sin=—,可得出AC=(rcos(￡+e),rsin(p+g)),利用兩角

和的正、余弦公式可求得向量XT的坐標；

(3)求得點C的坐標，由點C在直線>=彳上可得出(m+“-2a)sin6>=(m-")cose,分

加+八一2。=0與帆+〃一2]"。兩種情況討論，結(jié)合反三角函數(shù)可得出角0.

【詳解】⑴由于點?石+；岑-)則儂=5

1A/3

根據(jù)三角函數(shù)的定義可得co。，-22而+右,,那〃一耳一一岳-2百，

s[510