高等數(shù)學(xué)二試題及答案一、單項選擇題1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f(x)\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(-\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A2.若\(\int_{0}^{a}x^{2}dx=9\)，則\(a\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：C3.曲線\(y=x^{3}-3x^{2}+1\)在點\((1,-1)\)處的切線方程為（）A.\(y=-3x+2\)B.\(y=3x-4\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)答案：A4.設(shè)\(f(x)\)為可導(dǎo)函數(shù)，且\(f^\prime(x)=3\)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x-\Deltax)}{\Deltax}\)等于（）A.3B.6C.9D.12答案：B5.已知\(y=\ln(1+x^{2})\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\frac{2x}{1+x^{2}}\)B.\(\frac{1}{1+x^{2}}\)C.\(2x\ln(1+x^{2})\)D.\(\frac{1}{2(1+x^{2})}\)答案：A6.若\(\int_{a}^f(x)dx=3\)，\(\int_{a}^g(x)dx=2\)，則\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx\)等于（）A.1B.3C.5D.6答案：C7.曲線\(y=e^{x}\)在點\((0,1)\)處的曲率為（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{2}\)答案：A8.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得（）A.\(f^\prime(\xi)=0\)B.\(f(\xi)=0\)C.\(f^\prime(\xi)>0\)D.\(f^\prime(\xi)<0\)答案：A9.已知\(y=x\sinx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\sinx+x\cosx\)B.\(\cosx+x\sinx\)C.\(\sinx-x\cosx\)D.\(\cosx-x\sinx\)答案：A10.若\(\int_{0}^{1}e^{x}dx=e-1\)，則\(\int_{0}^{1}xe^{x^{2}}dx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}(e-1)\)B.\(e-1\)C.\(\frac{1}{2}e\)D.\(e\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A.\(f(x)=x^{2}-2x\)，\(x\in[1,+\infty)\)B.\(f(x)=e^{x}-x\)，\(x\inR\)C.\(f(x)=\sinx\)，\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)D.\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,1)\)答案：ABC2.已知\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)為\(f^\prime(x)\)，則下列說法正確的有（）A.若\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)單調(diào)遞增B.若\(f^\prime(x)<0\)，則\(f(x)\)單調(diào)遞減C.若\(f^\prime(x)=0\)，則\(f(x)\)為常數(shù)函數(shù)D.若\(f(x)\)為常數(shù)函數(shù)，則\(f^\prime(x)=0\)答案：ABD3.下列積分值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^{3}dx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^{2}dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)答案：AC4.曲線\(y=x^{3}-3x\)的漸近線有（）A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.直線\(y=x\)D.直線\(y=-x\)答案：AD5.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.\((\sinx)^\prime=\cosx\)B.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)答案：ABCD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_{0}\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處必連續(xù)。（）答案：√2.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）答案：√3.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）答案：×4.曲線\(y=x^{3}\)在點\((0,0)\)處的切線方程為\(y=0\)。（）答案：√5.若\(f(x)\)為奇函數(shù)，則\(f^\prime(x)\)為偶函數(shù)。（）答案：√6.若\(\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處連續(xù)。（）答案：×7.若\(f(x)\)在\(x_{0}\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處一定不連續(xù)。（）答案：×8.若\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）答案：×9.曲線\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上無界。（）答案：√10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值和最小值，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）答案：√四、簡答題1.簡述導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點處的變化率，定義為\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)。其幾何意義是函數(shù)在某一點處切線的斜率。2.定積分的幾何意義是什么？定積分的幾何意義是被積函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積，\(x\)軸上方的面積為正，\(x\)軸下方的面積為負。3.求函數(shù)\(y=x^{2}-2x\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。對\(y=x^{2}-2x\)求導(dǎo)得\(y^\prime=2x-2\)，令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)。當(dāng)\(x\in[0,1)\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(1,3]\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=1\)時取得最小值\(y=-1\)，\(x=3\)時取得最大值\(y=3\)。4.說明不定積分與定積分的區(qū)別與聯(lián)系。不定積分是求導(dǎo)的逆運算，結(jié)果是一個函數(shù)族；定積分是一個數(shù)值，是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的累積。聯(lián)系是定積分可以通過求被積函數(shù)的不定積分再代入積分上下限來計算。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x\)的單調(diào)性和極值。對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x+3=3(x-1)^{2}\)，因為\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，所以函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞增，無極值。2.討論定積分\(\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx\)與\(\int_{0}^{1}e^{x}dx\)的大小關(guān)系。因為當(dāng)\(x\in[0,1]\)時，\(x^{2}\leqx\)，而\(e^{x}\)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以\(e^{x^{2}}\leqe^{x}\)，根據(jù)定積分的性質(zhì)，可得\(\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx\leq\int_{0}^{1}e^{x}dx\)，又因為\(e^{x^{2}}\neqe^{x}\)，所以\(\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx<\int_{0}^{1}e^{x}dx\)。3.討論曲線\(y=\lnx\)與直線\(y=x-1\)的交點個數(shù)。令\(f(x)=\lnx-x+1\)，對其求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=\frac{1}{x}-1\)，當(dāng)\(x\in(0,1)\)時，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x\in(1,+\in