進(jìn)階4端點失效[分值：34分]1.(17分)已知函數(shù)f(x)=excosx，當(dāng)x>0時，f(x)≥ex(cosx1)+x2+(a1)x+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2.(17分)已知函數(shù)f(x)=sinxx+ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.答案精析1.解方法一(分離參數(shù))由f(x)≥ex(cosx1)+x2+(a1)x+1，可得ax≤exx2+x1，即當(dāng)x>0時，a≤exxx1x設(shè)g(x)=exxx1x+1(x則g'(x)=ex(x令φ(x)=exx1，則當(dāng)x∈(0，+∞)時，φ'(x)=ex1>0，所以當(dāng)x∈(0，+∞)時，φ(x)單調(diào)遞增，φ(x)>φ(0)=0，則當(dāng)x∈(0，1)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=e1，所以a的取值范圍為(∞，e1].方法二(指數(shù)處理技巧)當(dāng)x>0時，不等式等價于1+(a-1)x令h(x)=1+(a-1)x+則h'(x)=(-x+1)(x+①若a=1，h'(x)=(-x+1)(x因為(x1)2≥0，ex>0，所以h'(x)≤0，h(x)=1+(a-1)x+x2ex在(0，+∞)上單調(diào)遞減，h(x)<h(②若a<1，則1<2a，當(dāng)x∈(0，1)∪(2a，+∞)時，h'(x)<0；當(dāng)x∈(1，2a)時，h'(x)>0，所以h(x)在x=2a處取得極大值，由當(dāng)x>0時，ex>x+1知，e2a>3a，即h(2a)=3-ae又h(0)=1，所以h(x)<1在(0，+∞)上恒成立，因此a<1符合題意.③若1<a<2，則0<2a<1，當(dāng)x∈(0，2a)∪(1，+∞)時，h'(x)<0；當(dāng)x∈(2a，1)時，h'(x)>0，所以h(x)在x=1處取得極大值，則由h(0)=1,h(1)=a+1④若a≥2，則h(1)=a+1e≥3e綜上所述，a的取值范圍為(∞，e1].2.[錯解1]容易得f(0)=0，f'(x)=cosx1+2ax，f'(0)=0，f″(x)=sinx+2a.結(jié)合端點效應(yīng)，當(dāng)f″(x)=sinx+2a≥0，即a≥12時，f(x)≥0恒成立[錯解分析]該解法的思路是破題的一種方法.根據(jù)端點f(0)=0且f'(0)=0的特點，學(xué)生考慮f'(x)單調(diào)遞增時的一種“理想狀態(tài)”，即f″(x)≥0恒成立時，有f'(x)單調(diào)遞增，結(jié)合f'(0)=0，得f(x)min=f(0)=0，所以f(x)≥0，這必定符合題意.因此“a≥12”是問題成立的充分條件.對于此時的充分條件，如何證明其必要性呢？如果順著學(xué)生思路走下去，接下來應(yīng)考慮，當(dāng)a<12時，f(x)≥0不恒成立，即總能找到一個x0，使f(x0)<0.結(jié)合正確答案a≥1π來看，這顯然是行不通的.因此，正確的做法是當(dāng)a<12[錯解2]容易得f(0)=0，f'(x)=cosx1+2ax，f'(0)=0，求得f″(x)=sinx+2a.結(jié)合端點效應(yīng)，必有f″(0)=2a≥0，即a≥0.[錯解分析]該方法的思路是完全按照“端點效應(yīng)”的情況處理的，所以f″(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此時，求得的范圍是問題的必要條件，如何證明其充分性呢？如果順著學(xué)生思路走下去，接下來應(yīng)考慮，當(dāng)a≥0時，f(x)≥0恒成立.以上兩種思路都是處理該類不等式恒成立問題的常規(guī)解題思路，只是針對本題失效了而已.那么端點效應(yīng)解題為何會失效呢？關(guān)鍵還在于端點效應(yīng)解題本身有一種“湊巧”的成分在里面，此時不湊巧了而已！因此，利用端點效應(yīng)解題要注意解題過程的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.[正解]當(dāng)x>0時，將f(x)≥0變形，得ax1≥sinx因為函數(shù)y=sinxx在x=π處的切線y=1π點(0，1)，如圖，所以a≥1π下面證當(dāng)a≥1π時，f(x)≥因為a≥1π，所以f(x)≥sinxx+1πx令g(x)=sinxx+1πx2要證f(x)≥0，只需證g(x)≥0.①當(dāng)x∈(∞，0]時，g(x)=sinxx+1πx2≥sinxx又當(dāng)x≤0時，sinx≥x，所以g(x)≥0；②當(dāng)x∈(0，π)時，令g'(x)=cosx1+2πx=p(x)，p'(x)=sinx+2π=q(x)，易知q(x)在0，π因為q(0)=2π>0，qπ2=1+2q(π)=2π>0所以?x1∈0，π2，x2使得q(x1)=q(x2)=0.所以當(dāng)x∈(0，x1)∪(x2，π)時，q(x)>0；當(dāng)x∈(x1，x2)時，q(x)<0，所以p(x)在(0，x1)，(x2，π)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減.而p(0)=pπ2=p(π)=0所以當(dāng)x∈0，π2時，p(x當(dāng)x∈π2，π時，p(所以g(x)在0，π2上單調(diào)遞增，在π2，π上