有理數(shù)的乘法和除法

析教材學(xué)知識

知識點01有理數(shù)的乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0.

(3)多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇

數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).

［注意］:①0沒有倒數(shù);②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-L

知識點02有理數(shù)的乘法運算律

(1)乘法交換律：ab=ba；(2)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；(3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.

知識點03確定乘積符號

(1)若a<0,b>0,貝!Jab<0；(2)若a<0,b<0,貝!Jab>0；(3)若ab>0,則a、b同號；

(4)若ab<Q,則a、6異號；(5)若a6=0,則。、6中至少有一個數(shù)為0.

知識點04有理數(shù)除法法則

?除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)

?兩數(shù)相除(被除數(shù)不為0),同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.

【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

8練題型強知識

【題型1兩個有理數(shù)的乘法運算】

例題：(2024七年級上.浙江?專題練習(xí))計算：

75

(2)(-24)x/；

O

(3)f-yV(-27)；

【答案】(1)-1

(2)-75

(3)504

(嗚

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；

(3)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；

(4)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=一1%'!)

=-1;

(2)解：原式=-124x高

=-75；

(3)解：原式=*27

=504；

(4)解：原式=

47

_6

"7,

【變式訓(xùn)練】

1.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))計算：

⑴7+(-3)

(2)3x(-2)

(3)(-8)x^1

(4)(1.5-0.6)x(3-1.8)

【答案】⑴4

⑵-6

(3)-42

(4)1.08

【知識點】有理數(shù)加法運算、兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的運算:

(1)根據(jù)加法法則，進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可；

(3)根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可；

(4)先算括號，再根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：7+(—3)=7—3=4；

(2)解：3x(—2)=—(3x2)=—6.

21

(3)解：(-8)x^-=-42；

(4)解：原式=0.9x1.2=1.08.

2.(2024七年級上?浙江?專題練習(xí))計算：

⑴(T2)x]-：J；

(2)(—8)x1.25；

7

(3)—x

-10

8

(4)?x

【答案】(1)21

(2)-10

⑶一方

嗎

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可;

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可;

(3)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可;

(4)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可.

7

【詳解】⑴解：原式"3

=21；

(2)解：原式二—(8x1.25)

=—10；

⑶解:原式=-(看―

_2_

-20；

(4)解：原式

169

」

-6,

3.(2024六年級上?上海?專題練習(xí))計算

⑴0x(-2012)；

(2)(-8)x125；

73

⑶一x(——)

1014

38

(4)(——)x(—)；

169

(5)7.5x(-8.2)x0x(-19.1)；

145

(6)(一--)xy;

⑺(―0.12)xgx(T00)；

3

(8)7x(-1+—).

【答案】⑴0;

⑵一10;

⑶一部

(4)7；

O

(5)0；

10

(6)---；

(7)1;

(8)-二

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、多個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，正確運用有理數(shù)的乘法法則，尤其是符號法則，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)。與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計算;

(2)根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算;

（3）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算；

（4）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進(jìn)行計算；

（5）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計算；

（6）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算；

（7）先利用乘法交換律，再根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進(jìn)行計算；

（8）先計算括號中的式子，再根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算.

【詳解】（1）解：0x（—2021）=0；

(2)解：(-8)xl.25=-(8xL25)=—10；

3

(3)

20

(4)

(5)解：7.5x(-8.2)x0x(-19.1)=0；

解：(-0.12)*\乂(-100)=(-0.12卜(-100)**=12*4=1；

(7)

【題型2多個有理數(shù)的乘法運算】

例題：（2024七年級上.全國?專題練習(xí)）計算:

(2)《

56

【知識點】多個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運算,解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法運算法則.

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可;

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可.

【詳解】（1）解：（-2）x|x2

?X

_3

=一天

81

--56,

【變式訓(xùn)練】

1.(2024七年級上.全國?專題練習(xí))計算:

⑴(一5)?)X3X(—2)；

⑵(-2八%2

X

【答案】(1)-180

(2)4

【知識點】多個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法運算等，掌握多個有理數(shù)相乘的符號規(guī)律為解題的關(guān)鍵.

(1)先確定積的負(fù)號，然后進(jìn)行計算即可;

(2)先確定積的負(fù)號，然后進(jìn)行約分計算即可.

【詳解】⑴解:(-5)x(-6)x3x(-2)

=-5x6x3x2

=-180.

4103

3

2

2.(2024七年級上.全國.專題練習(xí))計算:

(1)H)X5X(-1)X2；

(2)3x(-l)xI

⑶-1.2x5x（-3）x（T）.

【答案】（1）40

（2）1

（3）-72

【知識點】多個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查多個有理數(shù)相乘，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵;

（1）根據(jù)多個有理數(shù)乘法法則計算即可求解；

（2）根據(jù)多個有理數(shù)乘法法則計算即可求解；

（3）根據(jù)多個有理數(shù)相乘法則計算即可求解；

【詳解】（1）解：（T）X5X（-1）X2；

=4x5xlx2

=40

=3cxl,x-1

3

=1

(3)解：-1.2x5x(-3)x(-4)

=-1.2x5x3x4

=-72

3.(2024七年級上.全國.專題練習(xí))計算:

(l)(-10)x(-0.2)x2x(-5)；

【答案】（1）-20

（3）0

（4）-24

【知識點】有理數(shù)乘法運算律、多個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘法運算法則，準(zhǔn)確計算.

（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則進(jìn)行計算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則進(jìn)行計算即可;

（3）根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則進(jìn)行計算即可;

（4）逆用乘法分配律進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）解：（-10）x（-0.2）x2x（-5）

【題型3倒數(shù)】

例題：（2025?江蘇南京?二模）-g的倒數(shù)是—.

【答案】-3

【知識點】倒數(shù)

【分析】本題主要考查倒數(shù)，根據(jù)兩個數(shù)的乘積為1,這兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可.

【詳解】解：

二一；的倒數(shù)是一3,

故答案為：-3.

【變式訓(xùn)練】

4

1.（24-25六年級上?上海?階段練習(xí)）2-的倒數(shù)是.

7

【答案】m

【知識點】倒數(shù)

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是知道乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)

數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù).根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可.

A1Q7

【詳解】解：2A號的倒數(shù)是A,

7

故答案為：--.

Io

2.（24-25六年級上?上海閔行?階段練習(xí)）-2；的倒數(shù)是.

2

【答案】-

【知識點】倒數(shù)

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，掌握“乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”是解題關(guān)鍵.將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再

求倒數(shù)即可.

【詳解】解：=

22

52

的倒數(shù)是

即-21的倒數(shù)是

2

故答案為：_1?

3.(24-25七年級上?陜西榆林?階段練習(xí))的相反數(shù)是,+(-5)的倒數(shù)為.

【答案】j31

【知識點】倒數(shù)、相反數(shù)的定義

【分析】本題屬于較為基礎(chǔ)的相反數(shù)與倒數(shù)的概念填空題，主要考查了相反數(shù)與倒數(shù)的判斷，考生做此類

題時一定要認(rèn)真，細(xì)心，抓住細(xì)節(jié)，防止出錯.

根據(jù)題意，相反數(shù)為相加為。的兩個數(shù)，倒數(shù)為乘積為1的兩個數(shù).據(jù)此即可求解.

【詳解】解：的相反數(shù)是:，+(—5)的倒數(shù)為』

31

故答案為：萬，--.

【題型4有理數(shù)乘法運算律】

例題：(24-25七年級上?吉林四平?期末)計算：-24)

[4iZo)

【答案】47

【知識點】有理數(shù)乘法運算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法分配律，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序.

利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可.

[詳解]]-；-5-訃(-24)

I41Zo)

375

=—x24+——x24+—x24

4128

=18+14+15

=47.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25九年級下?山東濟南?開學(xué)考試)計算：［-^+l|-|jx(-36).

【答案】-11

【知識點】有理數(shù)乘法運算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可.

【詳解】解：1(+1|-jx(一36)

7113

=一§x(-36)+—x(-36)--x(-36)

=28-66+27

=-11.

2.(24-25七年級上?廣東河源?期中)下面是樂樂同學(xué)進(jìn)行有理數(shù)運算的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

解:

713

=(-12)x--(-12)x-+(-12)x-……第一步

364

=-8-2-9…第二步

=-10-9...第三步

=-19.…第四步

任務(wù)：

⑴填空：

①以上運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是—；

②第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是—.

(2)請直接寫出正確的計算結(jié)果.

【答案】(1)①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤

⑵-15

【知識點】有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)四則混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律簡便運算是解答的關(guān)鍵.

(1)①利用乘法分配律可得答案；②根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則判斷即可；

(2)根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的乘法和加減運算法則求解即可.

【詳解】(1)解：①在所給運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是乘法分配律；

②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是計算時符號出現(xiàn)錯誤，

故答案為：①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤；

⑵解：+j

71q

=(T2)x§—(—12)xq+(—12七……

=—8+2—9

=-6-9

=-15.

3.(24-25七年級上?廣東江門?期中)計算：能用簡算的用簡算

(2)-99一xl8.

24

【答案】⑴g

⑵-1799；

【知識點】有理數(shù)乘法運算律

【分析】本題考查乘法分配律，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用乘法分分配律的逆運算進(jìn)先計算解答即可；

(2)把原式化為1-100+L]X18,然后運用乘法分配律解題即可.

75

=-X—

27

5

=2；

23

(2)解：-99—xl8

=1-100+—1x18

I24；

=-100x18+—xl8

24

3

=-1800+-

4

=-1799-.

4

【題型5有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用】

例題：(24-25七年級上?廣東梅州?期中)某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)點在東西方向運營，向東走為

正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍?單位：km)依先后次序記錄如下：+9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10.

(1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點多遠(yuǎn)？在鼓樓的什么方向？

(2)若每千米的價格為2元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？

【答案】(1)離鼓樓出發(fā)點。米，出租車在鼓樓

(2)116元

【知識點】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，絕對值的應(yīng)用，有理數(shù)運算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”

的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量，比較簡單.

(1)把記錄的數(shù)字加起來，看結(jié)果是正還是負(fù)，就可確定是向東還是西；

(2)求出記錄數(shù)字的絕對值的和，再乘以2即可.

【詳解】(1)解：+9-3-5+4-8+6-3-6-4+10=0,

故出租車離鼓樓出發(fā)點。米，出租車在鼓樓；

(2)解：(|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+10|)x2=58x2=116ic,

故司機一個下午的營業(yè)額是116元.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25七年級上?福建漳州?期中)海洋科考隊于某天早晨乘船從海島M出發(fā)，在南北走向的海岸線上進(jìn)

行科考活動.規(guī)定向北行進(jìn)為正，向南行進(jìn)為負(fù).從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動時，他們的行進(jìn)里程(單

位：海里)記錄如下：+50,-120,+60,+150,-80,+140,-130,+120.

(1)結(jié)束當(dāng)天的科考活動時，科考隊是在海島M的北邊還是南邊？距離海島聞有多遠(yuǎn)？

(2)從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動，科考隊的船只總共行駛了多少海里？

(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個科考活動過程中，船只共耗油多少升？

【答案】(1)科考隊是在海島M的北邊，距離海島M有190海里；

(2)科考隊的船只總共行駛了850海里；

⑶船只共耗油3400升.

【知識點】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用、絕對值的幾何意義、有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法和乘法，絕對值的意義等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的加法運算，再由結(jié)果即可得出答案；

(2)根據(jù)絕對值的意義求解即可；

(3)根據(jù)單位耗油量乘以行駛里程即可求解.

【詳解】(1)解：(+50)+(-120)+(+60)+(+150)+(-80)+(+140)+(-130)+(+120)=190(海里)，

；?科考隊是在海島加的北邊，距離海島M有190海里；

(2)解：由題意可得：

|+50|+|-120|+|+60|+|+150|+|-80|+1+140|+|-130|+1+120|=850(海里),

科考隊的船只總共行駛了850海里；

(3)解：4x850=3400(升)，

船只共耗油3400升.

2.(24-25七年級上?湖南永州?期中)道州臍橙“橙紅鮮美、香甜多汁”，因出產(chǎn)于永州市道縣而得名.現(xiàn)有

20筐道州臍橙，以每筐25千克的質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值(單位：千克)-3-2-1.5012.5

筐數(shù)142328

(1)這20筐道州臍橙中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？

(2)若道州臍橙每千克售價6元，則這20筐道州臍橙可賣多少元？

【答案】(1)最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克

(2)這20筐道州臍橙可賣2032元

【知識點】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用

【分析】本題考查有理數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分別列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的加減乘除運算的

順序計算即可.

(1)利用超出最多的重量減去不足最多的重量，即可解題；

(2)用總質(zhì)量成單價即可.

【詳解】(1)解：由題知，2.5-(-3)=5.5(千克)，

答：最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克；

(2)解：由題知，

總質(zhì)量為20*25+(-3)+4X(-2)+2X(-L.5)+0*3+2*1+8*2.5

=500+8

=508(千克),

508x4=2032(元),

答：這20筐道州臍橙可賣2032元.

3.(24-25六年級上?上海?期中)外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣小哥一

周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單(送一次外賣為一單)的部分記為“+”，低于40單的部分記為“一”,

下表是該外賣小哥一周的送餐量：

星期一二三四五六日

送餐量/單-5+3-6+12+9+8+14

(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單.

(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構(gòu)成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的

部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每單補貼8元.求

外賣小哥這一周工資收入多少元.

【答案】⑴45

(2)1574元

【知識點】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：40+=45,解答

即可.

(2)先計算正常產(chǎn)量的工資，加上超產(chǎn)的獎勵工資即可.

本題考查的是正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用，平均數(shù)的計算，有理數(shù)的加法與乘法的實際應(yīng)用，理解題意，正確的列

代數(shù)式計算計算是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：40-5++3-6°+；12+"9+68+144=45(單).

答：外賣小哥這一周平均每天送餐45單.

(2)解：?..外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構(gòu)成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超

過40單的部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每

單補貼8元.

本周工資為：

30x7+(35x4)+(40x4+3x6)+(34x4)

+(40x4+10x6+2x8)+(40x4+9x6)+(40x4+8x6)+(40x4+10x6+4x8)

=210+140+178+136+236+214+208+252

=1574(元).

答：外賣小哥這一周工資收入1574元.

【題型6有理數(shù)的除法運算】

例題：(2024七年級上?全國?專題練習(xí))計算:

(1)(-60)4-(-12)；

(2)(-36Hg；

(3)(-0.75)+0.25；

【答案】(1)5

(2)-108

⑶-3

(4)36

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法計算法則是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除;

(2)根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于。的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答;

(3)根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除;

(4)根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答;

【詳解】(1)解：原式=60+12

=5；

(2)解：原式=(-36)x3

=-108；

(3)解：原式二—(0.75+0.25)

=-3

(4)解：原式=—6x(—6)

=36.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))計算:

⑴0+(-2)；

⑵(一315)+(一7)；

33

⑶+11：

(4)(-0.75)-(-0.25).

【答案】(1)0

(2)45

(3)-|

⑷3

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的除法運算.根據(jù)有理數(shù)的除法運算法則，先確定結(jié)果符號，再計算數(shù)值.

【詳解】⑴解:。+(-2)=。；

(2)解:(-315)+(-7)=+(315+7)=45；

33.n=-當(dāng)工=-3

(3)解:

5115

⑷解：(-0.75)+(-0.25)=+(0.75+0.25)=3.

2.(24-25七年級上?全國?假期作業(yè))計算：

(1)(-12)^(-3)

⑵4十中

(3)。+哈

(4)(-12)4-^-^-(-100)

【答案】(1)4

⑵-2

(3)0

(4)-1.44

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進(jìn)行計算即可；

(3)根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進(jìn)行計算即可；

(4)根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進(jìn)行計算即可.

本題主要考查了有理數(shù)除法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)除法運算法則，準(zhǔn)確計算.

【詳解】(1)解：(一12)+(—3)=12+3=4.

(3)解：

(4)解：

=(-12)x(-12)^(-100)

=144^(-100)

=-1.44.

3.(2024七年級上?江蘇?專題練習(xí))計算:

(1)-54-(-1|.)；

33

(2)-34-(--)4-(--)；

44

331

3

(4)-9-(-0.1)-(-3-).

【答案】⑴3

⑵《

(4)-25

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運算.熟練掌握有理數(shù)的除法運算是解題的關(guān)鍵.

(1)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運算即可;

(2)直接進(jìn)行除法運算即可；

(3)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運算即可;

(4)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運算即可.

2

【詳解】(1)解：-5-(-1-)

=54

5

=3；

33

(2)解：-3^-(--

44

16

T

(3)解:二-(-1

476

377

—X—4--

436

_3

="2；

3

(4)解：-9+(—0.1)+(—3?

18

=-9-—

10y

=—9x10x—

18

=-25.

【題型7有理數(shù)的乘除混合運算】

例題：(24-25六年級上?黑龍江哈爾濱?期中)計算:

(2)6x—+-

123618

⑶除23+—

(4)24x

4

【答案】(1)公

⑵3

23

(4)12

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算、有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)四則混合運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運算，乘法分配律，掌握其運算法則是關(guān)鍵.

(1)先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則計算即可；

(2)先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法，加減運算法則計算即可；

(3)先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法分配律的逆運算計算即可；

(4)運用乘法分配律計算即可.

aoo

【詳解】(1)解：器

358

二——X—x——

10311

4

11

6義工+』二

(2)解:

123618

「5518

6x----1----x——

12365

=—5I—1

22

(3)解:

172317

8119

一x----1----x—

17232317

891

---1---x—

171723

~23；

⑷解:24、&+；一曰

=24x-+24x--24x—

3412

=8+6-2

=12.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級上?黑龍江?期中）計算:

598

5假+28

⑶萬

【答案】⑴卷64;

(2)|;

(3)io|:

⑷13.

【知識點】有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)的除法運算、有理數(shù)乘除混合運算

【分析】（1）利用有理數(shù)的乘除運算法則即可求解；

（2）利用有理數(shù)的除法法則即可求解；

（3）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；

（4）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；

本題考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵.

aQQ

【詳解】⑴解：原式=》1x|

64

-75；

（2）解：原式=（x2xg|

8

=5；

31S

（4）解：原式=12x12x—I-12x—

426

=9-6+10

=13.

2.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）計算:

⑵(一5)+(一1訃31-2*7；

(3)(-6.5)x(一2)+］一/(一5).

【答案】⑴卷14

⑵一1

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運算，掌握有理數(shù)乘除混合運算法則成為解題的關(guān)鍵.

(1)先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運算法則計算即可；

(2)先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運算法則計算即可；

(3)先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運算法則計算即可.

14

25

(3)解：(-6.5)x(-2)1-g)+(-5)

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）計算.

⑵（一81）+［一2小：+（一8）.

【答案】（1）15

⑵-2

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法法則.

（1）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可.

（2）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可.

=15

（2）解：（-81）+卜2撲：+（-8）

【題型8有理數(shù)的乘除混合運算之新定義型問題】

例題：(2024七年級上.全國.專題練習(xí))中考新趨勢?新定義若規(guī)定："b=例如+l

-1,試求(27)4的值.

【答案】|7

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的除法運算和新定義運算，理解題意，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題中給出的信息，利用已知的新定義運算法則和有理數(shù)的除法運算法則計算即可.

【詳解】解：b=

1147

.(2A7)A4=(--)A4=(一一=-

??/122.

-7

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25七年級上?陜西寶雞?階段練習(xí)淀義新運算“※”:對于有理數(shù)a,Ka,b都不為0),“※人L(-2).例

a2

如：4X3='+(-』)=-L.求(-工※%※2的值.

4263

【答案】-3.

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題考查的是新定義運算，有理數(shù)的除法運算，理解新定義運算的運算法則與運算順序是解本題

的關(guān)鍵.先根據(jù)定義計算括號內(nèi)的-:※9,再根據(jù)定義進(jìn)行下一步的計算，從而可得答案.

【詳解】解：※萬=L(-3，

a2

2

??.(—:※9必2

=工※2

3

=3?|)

-3

2.(24-25七年級上廣東江門?階段練習(xí))“一”表示一種新的運算，它是這樣定義的：a6=2。+36例如:

1(―2)=2xl+3x(-2)=T

⑴求(一3),4的值；

(2)求5[4(-3)]的值.

【答案】(1)6

⑵7

【知識點】有理數(shù)加法運算、兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】此題考查了有理數(shù)的加法和乘法混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)利用題中的新定義先計算4(-3),進(jìn)一步計算即可求出值.

【詳解】(1)解：根據(jù)題中的新定義得：

(-3)4

=2x(-3)+3x4

=-6+12

=6；

(2)解：根據(jù)題中的新定義得：

5[4'(-3)]

=5[2x4+3x(-3)]

=5-[8+(-9)]

=5(-1)

=2x5+3x(-l)

=10+(-3)

=7.

3.(24-25七年級上?廣東惠州?階段練習(xí))在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運算“保”，

|-1-2-3|+(-1)+2+3

例如(-1)8)2?3==5.

2

⑴計算：40208；

⑵計算：30(-7)0^+y

(3)計算：.

【答案】（1）10

⑵3

（3）1

【知識點】帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)的加減混合運算、有理數(shù)的除法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算、絕對值等知識點，將新定義的運用化成有理數(shù)的運算成為解

題的關(guān)鍵.

(1)先將原式化成有理數(shù)的混合運算,然后運用絕對值和有理數(shù)混合運算法則計算即可;

(2)先將原式化成有理數(shù)的混合運算,然后運用絕對值和有理數(shù)混合運算法則計算即可;

(3)先將原式化成有理數(shù)的混合運算,然后運用絕對值和有理數(shù)混合運算法則計算即可.

|4-2-8|+4+2+8_|-6|+14_6+14

【詳解】（1）解：402?8==10.

【題型9有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題】

例題：（24-25七年級上?浙江金華?期中）分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡同時，可以這樣分類:

當(dāng)a＞0時，時=。；當(dāng)4=0時，同=。；當(dāng)。＜0時，|a|=-a.用這種方法解決下列問題：

（1）當(dāng)a=5時，求@的值.

a

a

（2）當(dāng)。＜0時，求時的值.

（3）已知。涉是有理數(shù)，當(dāng)而＞0時，試求回+曲的值.

ab

【答案】（1）1

⑵-1

⑶2或一2

【知識點】有理數(shù)的除法運算、絕對值的幾何意義

【分析】本題主要考查絕對值的意義及有理數(shù)的除法運算，熟練掌握有理數(shù)的除法運算及絕對值的意義是

解題的關(guān)鍵；

（1）把a=5直接代入進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)絕對值的意義及有理數(shù)的除法運算可進(jìn)行求解；

（3）由題意可分當(dāng)a>0,6>。和a<0,b<0進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】（1）解：把a=5代入得:

a55

(2)解：,;?<0,

（3）解：由必>0可分:

當(dāng)a>0,6>0時，貝I］有回+例=@+2=1+1=2；

abab

當(dāng)。<0,6<0時，則有回

綜上所述，回+例的值為2或-2.

a

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上?貴州畢節(jié)?期末）有理數(shù)瓦。在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示.

ba

⑴4-C0；(填""或"<”)

(2)化簡:回+也+

ab

【答案】（1）<

⑵-1

【知識點】有理數(shù)的除法運算、有理數(shù)的減法運算、帶有字母的絕對值化簡問題、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的

大小

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，有理數(shù)的比較大小，有理數(shù)的除法運算.

（1）根據(jù)數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大，有理數(shù)的減法法則判斷即可；

（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值化簡即可.

【詳解】⑴解:根據(jù)數(shù)軸得：b<a<0<c,\b\>\^>\c\,

a-c<0；

（2）解：b<a<0<c,

-a-bc

2.（24-25七年級上?山東聊城?期中）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道國=0（x=0）,所以當(dāng)x>0

-x（x<0）

%九％X

時，n=—=1；當(dāng)尤時，o=—=-1-現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題:

XXX—X

ab

⑴已知4,b是有理數(shù)，當(dāng)"wO時，求同+同的值;

abc

(2)已知。，b,。是有理數(shù)，當(dāng)血?"()，求同+忸+口的值;

b+ca+ca+b

(3)已知〃，b,c是有理數(shù)，a+b+c=Q,abc<0,求時+同+向的值.

［答案】⑴±2或0

(2)±1或±3

⑶-1

【知識點】帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)的除法運算

【分析】本題主要考查了絕對值的意義,有理數(shù)的乘、除法法則;

(1)根據(jù)a人w。，得出〃，6同號或。,6異號，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可;

(2)根據(jù)abcw。，得出a<0,Z?<0,c<0或。>0,b>0,c〉0或a,b,c兩負(fù)一正或b，c兩正

一負(fù)，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可;

b+ca+ca+babc

(3)根據(jù)a+Z?+c=O,得出a+Z?=—c,a+c=—b,b+c=—a,求出㈤-14Ml卬根

據(jù)"c<0,a+b+c=O,得出〃、b、。中一負(fù)兩正，再化簡絕對值即可.

【詳解】(1)解：已知。，人是有理數(shù)，當(dāng)"W0時,

9+JlT=-2；

①々<0，b<0,\4\b\

/+《=1+1=2;

②〃>0,

b>0,同網(wǎng)

_abc

③a,6異號，同+忸=。

ab

故時+忸的值為±2或°，

(2)已知〃，b,。是有理數(shù)，當(dāng)abcwO時,

/+X=TTT=-3：

①Q(mào)<0，

b<0,c<0,同回忖

++=1+1+1=3;

@a>0,

b>0,c>0,A14A網(wǎng)nId

abc

③〃，b,c兩負(fù)一正,

；+g+￡=_i+i+i=i

@a，b，c兩正一負(fù),

問\b\何

abc

故時+網(wǎng)+同的值為±1或6

(3)已知。，b,。是有理數(shù)，a+b+c=O,abc<0,

所以b+c=-a,a-\-c=-b,a+b=-c,4,b,c兩正―,負(fù),

所以

同Hlcl

—c=i---1----1---

c

同網(wǎng)ll、

b

++c1.

HHIl7

3.（24-25七年級上?江蘇鹽城?期中）“分類討論”是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)

思想解問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的兩個問題.

例：三個有理數(shù)a,b,c滿足人>0,求⑷+學(xué)+回的值.

abc

解：由題意得：。，。，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù).

①當(dāng)a,b,c都是正數(shù)，即a>0,b>0,c>0時，

則：叫例+目，+U1+1+1=3；

abcabc

②當(dāng)a,b,c有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)。>0,b<0,c<0,

則：忖+回+忖=色+3+2￡=1+（一+=一1,

accabc

綜上述：回+粵+回的值為3或-L

abc

請運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解答下面的問題：

ab

（1）已知a,6是有理數(shù)，當(dāng)abw。時，求;~^+；77值,

|a|\b\

b+ca+ca+b

(2)已知a,b,c是有理數(shù)，a+b+c=0,abc>0，求可+的值.

lcl

【答案】（1）±2或0

（2）1

【知識點】有理數(shù)加法運算、有理數(shù)的除法運算、絕對值的幾何意義

【分析】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法法則，根據(jù)分類討論的思想方法，能不

重不漏的分類，會確定字母的范圍和字母的值是關(guān)鍵.

⑴對。、〃進(jìn)行討論，即。、6同正，6同負(fù)’。異號，根據(jù)絕對值的意義計算》看得到結(jié)

果;

(2)根據(jù)。,b，。是有理數(shù)，a+b+c=O,把求+冬「+—轉(zhuǎn)化為求1彳+m+總的值，根據(jù)。6。>0

\a\\b\|c|\a\\b\|c|

得結(jié)果.

【詳解】(1)解：已知。，6是有理數(shù)，當(dāng)。6W0時，可分為四種情況：

...,abab4aA

①右。>0,b>0,而+面=/廠1+1=2；

abab/n/n一

②若a<0,b<0,—+—=—+-7=-1+-I-2;

\a\\b\-a-b

③右a>0,b<0,=1+(-1)=°；

\a\\b\a-b

...,abab/八，八

④右〃v0,b〉0,—+—=一+工=(-1)+1=。.

\a\\b\-ab

(2b

故丁+可的值為或；

l〃l1h1±20

(2)解：因為。，b,。是有理數(shù)，a+b+c=Q,abc>0,

所以人+0=—々，a+c=-b,a+b=-c,且。，b,。有兩個負(fù)數(shù)一個正數(shù)，

不妨設(shè)〃<0,&<0,c>0,

^..b+cQ+Ca+b-a-b-c...

則---+----+----=——+——+——=1+1+((—1)=1.

、|a|\b\|c|-a-bc

1串知識識框架

(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘

有

理

數(shù)

的

乘

除(1)若a<0,b>0,貝！Jab<0;(2)若a<0,b<0,貝Uab>

0;(3)若ab>0,則a、b同號；

運

知識點03確定乘積符號(4)若ab<0,則a、b異號；(5)若ab=O,則a、b中至少有一^為0.

算

除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)

知識點04有理數(shù)除法法則兩數(shù)相除(被除數(shù)不為0),同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.

一、單選題

1.(2025?陜西延安?模擬預(yù)測)計算：2x(-3)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】B

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算，直接根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則求解即可.

【詳解】解：2x(-3)=-6,

故選：B.

2.(2025?湖南常德?二模)下面算式錯誤的是()

A.2+(-3)=-2+3B.2-3=2+(-3)

C.(—2)x(—3)=2x3D.2+(—3)=2x[—

【答案】A

【知識點】有理數(shù)的減法運算、有理數(shù)加法運算、有理數(shù)的除法運算、兩個有理數(shù)的乘法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)有理數(shù)的加減乘除法則，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、2+(-3)=2-3W—2+3,錯誤，符合題意；

B、2-3=2+(—3),正確，不符合題意；

C、(-2)x(-3)=2x3,正確，不符合題意；

D、2+(-3)=2x1-；],正確，不符合題意；

故選A.

3.(24-25七年級上?浙江溫州?階段練習(xí))將下列運算符號填入算式-100+10U：的“W”中，使運算結(jié)果最

小的是()

A.+B.-C.xD.+

【答案】D

【知識點】有理數(shù)四則混合運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)混合運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵.分別

計算出四種運算下的結(jié)果即可得.

119

【詳解】解:-100-10+—=-10+—=-9—

101010

-100-10--=-10--=-10—

101010

-lOO-lOx—=-10x—=-1

1010

-100+10」=-10」=-100

1010

19

-100<-10—<-9—<-1

1010

使運算結(jié)果最小的是+

故選：D.

ab“cl

4.（2025?山東濟南?二模）已知表示有理數(shù)。"的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則同+同+2。25的值是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】C

【知識點】有理數(shù)的除法運算、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的除法計算，根據(jù)數(shù)軸可得。<0<6,據(jù)此化簡絕對值后計

算求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可得。<0<6,

++2025

A悶i\b7\|

=—+—+2025

—a—b

=-1+1+2025,

=2025,

故選：C.

5.（2025?四川?模擬預(yù)測）定義一種新運算：/\=AxB+BxC-C^A.

0Q

如：/\=3x5+5x6-6+3=43,則/\的值為（）

A.18B.20C.28I）.32

【答案】c

【知識點】有理數(shù)四則混合運算

【分析】本題考查了新運算的運算法則以及有理數(shù)的四則混合運算，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是

解題的關(guān)鍵.

依題意，根據(jù)該新運算的運算法則，代入數(shù)值即可列式作答.

【詳解】解：依題意，

=2x5+5x4-44-2=10+20-2=28,

二、填空題

6.（2025?湖南?模擬預(yù)測）計算：-2+]=.

【答案】-4

【知識點】有理數(shù)的除法運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法法則，掌握除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)除法法則計算即可.

【詳解】解：-2^1=-2x2=-4.

故答案為：-4.

7.（2025?四川資陽?模擬預(yù)測）若-1<。<0,比較」四個數(shù)的大小，并用“<”連接.

aa

【答案】一<a<—a<—

aa

【知識點】有理數(shù)大小比較、倒數(shù)

【分析】本題考查了有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和有理數(shù)的大小比較，正確得出4<-1,Q<-a<l,是

aa

解題的關(guān)鍵；

根據(jù)—1vav0可得一<—1,0<—a<1,—>1,即可得解.

aa

【詳解】解：因為—IvavO,

所以,<—1,0<-a<l,-->1,

aa

所以,<〃<一〃<」；

aa

故答案為：一<a<—a<—.

aa

8.（24-25七年級上?山東威海?期末）如圖，按程序框圖中的順序計算，當(dāng)輸入的初始值1為32時，則輸

出的最后結(jié)果為.

【答案】128

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)的運算，把32代入流程圖，列出算式進(jìn)行計算，直至最后結(jié)果>100,

即可.

【詳解】解：32x（