第8講再探數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

專題1數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(1)

模型一模型：

若A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為a,若A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為a,

向右運(yùn)動(dòng)m個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的數(shù)為a+m.向左運(yùn)動(dòng)m個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的數(shù)為a-m.

題型一知?jiǎng)狱c(diǎn)在數(shù)軸上位置,右邊OP=xp,左邊()P=-xp

【典例】如圖，A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，這兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-12,16.點(diǎn)P,Q分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)，在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別是2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是0.(規(guī)定：數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B之間的距離記為AB).

問(wèn)題：點(diǎn)P,Q在A,B之間相向運(yùn)動(dòng).

(DP點(diǎn)表示的數(shù)為,Q點(diǎn)表示的數(shù)為；

(2)若P,Q在M點(diǎn)相遇,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？&Q甲.

-12016

方法:⑴設(shè)時(shí)間為t;(2)xp=?12+2t,xQ=16-4t;(3)結(jié)合距離關(guān)系列方程.

題型二不知?jiǎng)狱c(diǎn)在數(shù)軸上位置，QP-|xp|

變式1?點(diǎn)P,Q在點(diǎn)A,B之間相向運(yùn)動(dòng)滿足OP=()Q,求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)：

-12016

變式2.點(diǎn)P,Q都向左運(yùn)動(dòng)，它們?cè)贛點(diǎn)處相遇，求M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；

4。甲一

-12016

變式3.點(diǎn)P,Q都向左運(yùn)動(dòng)，滿足求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).

4。I

-12016

專題2數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(2)-------追及與相遇問(wèn)題

題型一兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，注意分類討論

【典例】如圖，已知a,b滿足「4/叱+3-4)2=0,分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的A,B兩點(diǎn)

(1,并在數(shù)軸上畫出A,R兩點(diǎn)；

(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向數(shù)軸正半軸運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)

A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B距離的2倍？

(3)數(shù)軸上還有一點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為30,若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A和點(diǎn)B出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單

位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，立刻以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)

到終點(diǎn)A,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，P,Q兩點(diǎn)重合?并求此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù).

C

030-*

題型二線段中點(diǎn)問(wèn)題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式

變式數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-4點(diǎn)B表示的數(shù)為16,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)

軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒((t>0).

(DA,B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_____線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；

(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，AB=2PQ?

專題3數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(3)

題型注意點(diǎn)的位置不確定時(shí)，線段帶絕對(duì)值

【典例】(2024.武漢)如圖，A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,且匚〃+30+3-9)2=0,點(diǎn)O為原點(diǎn)點(diǎn)C

在數(shù)軸上O,B兩點(diǎn)之間.且AC+OC=BC.

(1)直接寫出:a=,b=點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是____;

(2)動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

①若PC=3CQ，求t的值；

②若動(dòng)點(diǎn)M同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)Q相遇后，動(dòng)點(diǎn)M

立即以同樣的速度返回,當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M恰好是線段PQ的中點(diǎn).

~~AOB~"~~AOB~A

備用圖

專題4數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(4)—軸上追及與相遇問(wèn)題

題型一點(diǎn)的折返問(wèn)題，注意分類討論

【典例】如圖，數(shù)軸上m,n,q所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為點(diǎn)M,點(diǎn)N,點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q到點(diǎn)M的距離表示QM,點(diǎn)

N到點(diǎn)Q的距離表示為NQ.我們有QM=q-m,NQ=n-q.

⑴點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4,6,c.且BC=CA,直接寫出c的值為;

(2)在⑴的條件下，兩只電子螞蟻甲，乙分別從A,C兩點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，甲的速度為每秒4個(gè)單位

長(zhǎng)度，乙的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,求經(jīng)過(guò)幾秒，點(diǎn)B與兩只螞蟻的距離和等于7.

(3)在(1)(2)的條件下，電子螞蟻乙運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后立即以原速返回，到達(dá)自己的出發(fā)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，

電子螞蚊甲運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B后也以原速返回，到達(dá)自己的出發(fā)點(diǎn)后又折返向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電子螞蟻乙

停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，電子螞蚊甲隨之停止運(yùn)動(dòng)?求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，兩只螞蟻相遇.

MQN

F5n"_ACB"-ACB"

備用圖

50

題型二注意速度變化

變式.如圖，小鋼珠A,B放置在數(shù)軸對(duì)應(yīng)一4,-6的點(diǎn)位置后，鋼珠A以30個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)鋼珠B以15個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它碰到數(shù)軸一21處的垂直鋼板時(shí)立即反3單，速度保持

不變，設(shè)兩個(gè)鋼珠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)三力〈日時(shí)，是否存在一個(gè)k值，使得k.OB-OA的值與t值

無(wú)關(guān)，若存在，請(qǐng)求出k值以及對(duì)應(yīng)的(kQB-OA)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(鋼珠的大小忽略不計(jì))

BA

_*^4'

專題6數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(6)-----------動(dòng)點(diǎn)定值問(wèn)題

題型注意點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論

【典例】如圖，A,B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是a,點(diǎn)B表示的數(shù)是b,且時(shí)+2口+(2入24)2=0.

(1)直接寫出:a=力=_，線段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一；

⑵點(diǎn)M,N都從點(diǎn)A出發(fā)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，且M點(diǎn)速度為N點(diǎn)速

度的3倍.8秒后，以A,M,N,B四個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和剛好為線段MN長(zhǎng)度的4

倍，求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；

A0B?

⑶如圖，C,D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-6,8,若線段BD固定不動(dòng)，線段AC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向右運(yùn)動(dòng)，E,F分別為AC,BD中點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.在線段AC向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)

間段內(nèi)，始終有.EF+AD為定值.求出這個(gè)定值，并直接寫出相應(yīng)的時(shí)間t的取值范圍.

-ACDB

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第8講再探數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

專題I數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(I)

【典例】(1)-12+2116-41;

(2)-12+2/=l6-4r,r=y,

16-4/=-j.

變式l>:|16-4t|=|12-2t|,

解得t=2或?P:-8或-j.

變式2.解：/=y=14,

M:16-14X4=-40.

變式3.解：□16-4/D-|(12+2/),

/=：或9,P:-15或-30.

專題2數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(2)------------追及與相遇問(wèn)題

【典例】(1)416;

ABC

0~41630-*

(2股運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

則xp=4+3t,

，3t=2|3t-12|,t=8或-2

(3)①4+31=16+1,?'?1=6,JxQ=22;

②31+1+12=2x(30-4),

t=10,:.xQ=26.

變式解:⑴20,6;

(2)由AB=2PQ,A20=2PQ,

:.PQ=10,|-4+3t-(l6-2t)|=10,t=2或6.

專逾3數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(3)

53

【典例】W：(l)-3,9,2;

(2)①依題意：I秒后，Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是92.所以CQ=|9-2l-2|=|2l-7|,因?yàn)镻C=l根據(jù)PC=3CQ,可得

3?|2t-7|=t,解得:t=3或z=y；

②依題意，t秒后，由于動(dòng)點(diǎn)M有返回，所以分兩種情況討論：

(j)當(dāng)0<t<2時(shí).此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M還未返回，點(diǎn)M處于P,Q之間，此階段P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是：2“，Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是：

92,M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是:-3+4匕所以PM=|5t-5|,QM=|6t-12|根據(jù)點(diǎn)M恰好為PQ的中點(diǎn)，可得:PM=QM,列方程|5t-5|=|6t-l

2|,解得：片吊或t=7(舍去).

(ii)當(dāng)t>2時(shí).此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M遇到Q點(diǎn)后返回，動(dòng)點(diǎn)M在t=2時(shí)相遇，并返回,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M所在位置表示的數(shù)

是5,此階段,M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是:5-4(l-2)=13-4t,P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是:2-t,Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是:92,所以PM=|3t-l1|,QM=|2t-4|,

根據(jù)點(diǎn)M恰好為PQ的中點(diǎn).可得:PM=QM冽方程為|3t-ll|=|2t-4|.解得:t=3或t=7、但當(dāng)t=7,P,Q恰好相遇，點(diǎn)M

不可能是線段PQ的中點(diǎn)，故舍去.

綜上所得：當(dāng)片?或1=3時(shí).點(diǎn)M恰好是線段PQ的中點(diǎn).

專題4數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(4)--------數(shù)軸上追及與相遇問(wèn)題

【典例】解:⑴c+4=6-c,???c=l;

⑵設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒則10-4t|+|5-t|=7,色或4;

(3股運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),tW10,電子螞蟻甲運(yùn)動(dòng)4個(gè)往返，

-4+4r=l+rDr=1;

②由+匚15。=3(甲乙共行15個(gè)單位長(zhǎng)度)；

③4t+t=35nt=7(甲乙共行35個(gè)單位長(zhǎng)度)；

□4/-30=Z-5n/=y.

變式.解：((l)a=-3,b=9;

(2)xc+3+lxc|=9-xc,

xc=2（6舍去）,

54

故xc=2;

(3)xp=-3+t,xQ=9-2t(0<t<5),

.*.PQ=|9-2t-(-3+t)|=|12-3t|,

/.|3-t|+2t=3|12-3t|,

當(dāng)0<t<3時(shí)，L,舍);當(dāng)3<t<4時(shí)片？；

104

當(dāng)4V小時(shí)、/=義舍)；綜上Q.

專題5數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題⑸一擋板問(wèn)題<坐標(biāo)關(guān)系問(wèn)題〉

【典例】解：設(shè)甲、乙相遇的點(diǎn)為P,相遇時(shí)間為t秒，則M,N的中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為

???MN=n-m,OM=m,ON=n,①當(dāng)甲、乙都反彈時(shí)，由兩彈珠從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到相遇走過(guò)的路程為2MN可得方程：

2(n-m)=3t.

(n-m),

由甲彈珠的路程可得P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：

-(2|m|-2t)=2m+2t,

[2〃什2片學(xué)，

2m+27(〃-/〃)=-7-,

:.m+5n=0;

②當(dāng)甲反彈，乙未反彈時(shí),5m+n=0.綜上所述,m+5n=0或5m+n=0.

變式.解：①當(dāng)時(shí)，B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-6-

15c,A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4+30t,

/.OB=6+15t,OA=30t-4,

/.k-OB-OA=k(6+15t)-(30t-4)

=(15k-30)t+6k+4,

J?與t值無(wú)關(guān)

即k-O