銜接點08自由落體運動

初中階段高中階段

主要引導(dǎo)學(xué)生對物體下落現(xiàn)象形成初步認知，通深入理解自由落體運動的本質(zhì)，即初速度為零、

過生活實例感知物體下落的快慢，能區(qū)分不同物體在加速度恒定(重力加速度g的勻加速直線運動。熟練

空氣中下落時速度變化的直觀差異。學(xué)生需掌握速掌握自由落體運動的速度公式V=gt、位移公式

度的基本概念和計算公式，理解勻速直線運動與變速

〃及速度一位移公式，=2gh,能夠運用這些

直線運動的區(qū)別，具備分析簡單運動情境的能力，為

高中深入學(xué)習(xí)自由落體運動的規(guī)律奠定基礎(chǔ)。公式進行定量計算，并結(jié)合勻變速直線運動的規(guī)律分

析實際問題。同時，需理解自由落體運動實驗的原

理和方法，通過實驗測量重力加速度，培養(yǎng)科學(xué)探究

能力和嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

銜接指引

初中階段考查形式:選擇題、填空題和簡單簡答題呈現(xiàn)。

高中階段考查形式:選擇題、填空題、計算題和實驗題。

知新高中知識

一、自由落體運動

1、定義:物體只在重力作用下從靜止開始■直下落的運動叫做自由落體運動

2、運動性質(zhì)：自由落體運動是初速度為零的勻加速直線運動。

3、物體做自由落體運動的條件

(1)只受重力而不受其他任何力。

(2)從靜止開始下落。

4、物體的下落可看作自由落體運動的條件:空氣阻力的作用比較小，可以忽略。

5、運動圖像：自由落體運動的v—t圖像(如圖)是一條過原點的傾斜直線，斜率k=g.

1

V

Ot

6、分析自由落體運動的兩點注意

（1）物體在真空中下落的運動不一定是自由落體運動，因為初速度不一定為零。

（2）物體在其他星球上也可以做自由落體運動，但同一物體在不同的星球上所受重力一般不同，所以

物體下落時的加速度一般不同。

二、自由落體加速度

1、定義:在同一地點，一切物體自由下落的加速度都相同，這個加速度叫作自由落體加速度，也

叫作重力加速度，通常用g表示。

2、方向：.豎直向下。

3、大小

（1）在同一地點，重力加速度都相同。

（2）在地球表面，g值隨緯度的增大而逐漸增大,隨高度的增大而逐漸減小。

（3）一般取值:g=9.8m/l或粗略計算時取g=10m/s2?

三、伽利略對自由落體運動的研究

1.問題發(fā)現(xiàn)

亞里士多德觀點：重物下落得快，輕物下落得慢。

矛盾:把重物和輕物捆在一起下落，會得出兩種矛盾的結(jié)論。

伽利略觀點:重物與輕物下落得一樣快。

2.猜想與假說

伽利略猜想落體運動應(yīng)該是一種最簡單的變速運動,并指出這種運動的速度應(yīng)該是均勻變化

的假說.

3.理想斜面實驗

（1）如果速度隨時間的變化是均勻的，初速度為零的勻變速直線運動的位移x與運動所用的時間力的

平方成正比，即

（2）讓小球從斜面上的不同位置由靜止?jié)L下，測出小球從不同起點滾動的位移x和所用的時間io

（3）斜面傾角一定時，判斷是否成立。

（4）改變小球的質(zhì)量，判斷是否成立。

（5）將斜面傾角外推到0=90°情況一一小球自由下落，認為小球仍會做勻加速運動,從而得

到了自由落體運動的規(guī)律。

4.伽利略研究自然規(guī)律的科學(xué)方法:把實驗和邏輯推理（包括數(shù)學(xué)推演）和諧地結(jié)合起來.他給出了科

學(xué)研究過程的基本要素:對現(xiàn)象的一般觀察一提出假設(shè)一運用邏輯得出推論一通過實驗對推論進行檢驗一

2

對假設(shè)進行修正和推廣.

四、自由落體運動的實驗探究

1、實驗?zāi)康?測定自由落體物體的加速度大小。

2、實驗器材:打點計時器、紙帶、復(fù)寫紙、帶鐵夾的鐵架臺、幾個質(zhì)量不同的重物、夾子、交流電源、

毫米刻度尺。

3、實驗原理:紙帶在重物帶動下自由下落，打點計時器在紙帶上打下一系列的點。

4、實驗步驟

（1）按如圖所示將打點計時器豎直固定在鐵架臺上，連接好電路。

（2）使紙帶穿過兩個限位孔，下端用夾子夾住連到重物上，讓重物靠近打點計時器。

（3）用手捏住紙帶上端把紙帶拉成豎直狀態(tài)，啟動計時器，放開紙帶讓重物自由下落，重物落地后立

刻關(guān)閉電源，打點計時器就在紙帶上打下一系列的點。

（4）改變重物的質(zhì)量，重復(fù)幾次上面的實驗，選取一條點跡清晰的紙帶進行處理。

5、實驗數(shù)據(jù)處理

（1）用刻度尺測量打點計時器在紙帶上打出的點之間的距離。

（2）用乏0±1求出各點的速度，作y—力圖像，圖像應(yīng)為一條過原點的傾斜直線。

2T

（3）根據(jù)v—t圖像的斜率求加速度或根據(jù)Ax=a7計算加速度。

6、實驗結(jié)論：自由落體運動是初速度為零、加速度恒定（約為9.8m/s?,與物體的質(zhì)量無關(guān)）的勻加速

直線運動。

五、自由落體運動的規(guī)律

1.自由落體運動的性質(zhì)：自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動.

2.勻變速直線運動的基本公式及其推論都適用于自由落體運動.

3.自由落體運動的速度、位移與時間的關(guān)系式：■=gt,

2

4.以下幾個比例式對自由落體運動也成立

①物體在1T末、2T末、3T末……nT末的速度之比為

V1：V2：V3：:vn=l:2:3::n

3

②物體在IT內(nèi)、2T內(nèi)、3T內(nèi)nT內(nèi)的位移之比為

力/：力2：/3：......:力『1：4：9：.......:n

③物體在第IT內(nèi)、第2T內(nèi)、第3T內(nèi)……第nT內(nèi)的位移之比為

乩:比:風(fēng)：...:Hn=1:3:5....(2n-l)

④通過相鄰的相等的位移所用時間之比為

=

11:t?:ts:....:tn1:(A/2—1):(A/3—y/2):....:(,\[n—Yn-1)

六、豎直上拋運動

1.運動特點：加速度為g,上升階段做勻減速直線運動,下降階段做自由落體運動。

(2)基本規(guī)律

①速度公式：及=際一At；

②位移公式：h=vnt--^；

~2

③速度位移關(guān)系式：d—謚=-2儂。

例1、關(guān)于自由落體運動的說法，正確的是()

A.物體沿豎直方向的運動就是自由落體運動

B.物體初速度為零加速度是g的運動就一定是自由落體運動

C.物體只在重力作用下從靜止開始下落的運動是自由落體運動

D.只要是從靜止開始下落的運動就是自由落體運動。

【答案】C

【解析】物體的運動能否看作自由落體應(yīng)注意兩點：一是由靜止開始豎直下落；二是物體只受重力。

故選Co

例2、校園里的銀杏樹上有兩顆銀杏果先后落下，假設(shè)兩顆銀杏果均由靜止從同一高度下落，忽略銀杏果所

受阻力，下列說法正確的是()

A.銀杏果和銀杏葉的下落均可近似為自由落體運動B.下落過程中兩銀杏果的間距越來越大

C.先下落的銀杏果相對后下落的銀杏果做勻加速運動D.先下落的銀杏果落地速度較大

【答案】B

【解析】A.忽略銀杏果所受阻力，銀杏果的下落均為自由落體運動；銀杏葉所受阻力較大，不能忽略

不計，銀杏葉的下落不可近似為自由落體運動，故A錯誤；

BC.由于先后下落的銀杏果的加速度均為重力加速度，所以先下落的銀杏果相對后下落的銀杏果做勻速

運動，則先后下落的銀杏果的相對距離為?=v相加

4

可知下落過程中兩銀杏果的間距越來越大，故B正確，故C錯誤；

D.根據(jù)v2=2gh

由于下落高度相同，所以先后下落的銀杏果落地速度一樣大，故D錯誤。

故選Bo

力認點捶

自由落體運動的理解

1.本質(zhì)條件

（1）僅受重力（忽略空氣阻力），初速度為零（\（v_0=0\））。

（2）運動性質(zhì)：初速度為零的勻加速直線運動，加速度\（a=g\）（重力加速度，方向豎

直向下）。

2.判斷是否為自由落體運動

（1）條件驗證：

是否忽略空氣阻力？

初速度是否為零？

（2）典型場景：

物體由靜止開始下落（如釋放小球）；

題目明確說明“不計空氣阻力”。

例3、讓一石塊從高處自由落下，測出下列哪個物理量不能算出落點的高度（不計空氣阻力，g值已知）（）

A.石塊下落到地面的總時間B.石塊開始落下第1s內(nèi)的位移

C.石塊落地前瞬間的瞬時速度D.石塊通過最后1m位移的時間

【答案】B

【解析】A.根據(jù)〃=gg/可知，若測出石塊下落到地面的總時間，則可以算出落點的高度，故A錯誤；

B.根據(jù)6=可知，石塊開始落下第1s內(nèi)的位移為定值，與落點的高度無關(guān)，故B正確；

C.根據(jù)y2=2g〃可知，若測出石塊落地前瞬間的瞬時速度，則可以算出落點的高度，故C錯誤；

D.若測出石塊通過最后1m位移的時間，貝必/!=；82-；8?-，）2,式中Ah=lm,t'已知，所以可以求

出石塊下落的時間，從而可以算出落點的高度，故D錯誤。

故選Bo

5

例4、一物體自由下落，落地時速度是30m/s,可近似看作是自由落體運動，g取10m/s2,問：

⑴物體落地所用總時間；

⑵物體落地前最后1s內(nèi)的位移大小。

【答案】⑴3s(2)25m

【解析】(1)根據(jù)v=gf

可得物體落地所用總時間為，=上=號s=3s

gio

(2)物體下落的總高度為產(chǎn)=；xl0x32m=45m

物體前2s下落的高度為//'=-gf2=-xl0x22m=20m

22

則物體落地前最后1s內(nèi)的位移大小為=45m-20m=25m

例5、如圖所示，懸掛的直桿N8長為.，在B以下處，有一長為6的無底圓筒QZ若將懸線剪斷，直

桿將穿過圓筒CD。(gmiOm/s2,不計空氣阻力)

⑴求直桿下端3穿過圓筒的時間。

⑵求整個直桿穿過圓筒的時間。

【解析】(1)直桿下端B到達圓筒上端時，有人=；3；

直桿下端B到達圓筒下端時，有〃+方=5??；

則直桿下端B穿過圓筒的時間為加=與-。=j(h+b)巨

gVg

12

(2)直桿上端B到達圓筒下端時，有〃+=5納

l2(a+/i+b)

則整個直桿AB穿過圓筒的時間為戰(zhàn)=「八=\1g

hi/MVi

6

自由落體運動運動三個基本公式的應(yīng)用

1.公式核心與適用條件

（1）三個基本公式（初速度v0=0,加速度a=g）：

①速度公式：v=gt

描述速度隨時間的線性變化，v與t成正比。

②位移公式：h=^gt2

位移與時間平方成正比，反映勻加速直線運動的位移特性。

③速度-位移公式：v?=2gh

消去時間t,直接關(guān)聯(lián)速度與位移，適用于未知時間的問題。

（2）適用前提：

僅受重力（忽略空氣阻力），初速度為零。

2.公式選擇策略

已知量待求量優(yōu)先公式示例場景

/712

tv/hV=gt///已知下落時間，求末速度或位移

ht/v產(chǎn)/v2=2gh已知下落高度，求時間或末速度

Vt/hv=gt/v2=2gh已知末速度，求時間或下落高度

分段臨界先自由下落再碰撞反彈，分析各

多段運動聯(lián)立公式+臨界點速度相等

點速度段運動

例6、原地豎直彈跳高度是指人豎直向上跳躍至最高點時，保持身體直立，雙腳離地的高度?，F(xiàn)測得某同學(xué)

的原地豎直彈跳高度為。45m。假設(shè)該同學(xué)離地后到落回地面的過程中身體始終保持直立狀態(tài),g取lOm/sz,

忽略空氣阻力的影響。求：

⑴該同學(xué)雙腳離開地面到雙腳再次接觸地面的時間；

⑵該同學(xué)下落過程中的平均速度大小。

【答案】（l）0.6s（2）1.5m/s

【解析】（1）下落過程，有〃=

7

2h"s=0.3s

解得公

g10

根據(jù)豎直上拋的對稱性可知，人從起跳到落地的總時間為％=2t

解得％=0-6s

(2)下落過程中的平均速度大小為v_=4h

t

解得v=1,5m/s

例7、海鷗捕到外殼堅硬的鳥蛤(貝類動物)后，有時會飛到空中將它丟下，利用地面的沖擊打碎硬殼。一

只海鷗叼著鳥蛤飛行到高處，松開嘴巴讓鳥蛤由靜止開始自由下落。鳥蛤下落過程中先后經(jīng)過4B,C三

點，經(jīng)過8點時的速度大小v=10m/s,已知/、B兩點間和8、C兩點間的高度差均為A=4.8m,取重力

加速度大小g=10m/s2,不計空氣阻力。求:

⑴鳥蛤經(jīng)過A點時的速度大小V”

⑵鳥蛤從B點運動到C點的時間t2；

⑶鳥蛤從A點運動到C點的平均速度大小v。

【答案】(l)2m/s(2)0.4s(3)8m/s

【解析】(1)從A到B,根據(jù)

v2=V；2+2gh

解得A點時的速度大小

Vi=2m/s

(2)從B到C,根據(jù)

,12

h=Vt2+-gt2

解得

t2=0.4s

(3)從A到B的時間

口=呼=。氐

%=

g10

從A點運動到C點的平均速度大小

v=——2/7=*三卷=8卷

4+0.8+0.4

加法在廈

自由落體平均速度

1.核心公式與物理意義

8

-總位移h

平均速度定義:V=----------

總時間

自由落體專屬推論：因初速度％=0,末速度v=gt,故：（僅適用于勻

變速直線運動）

物理意義：自由落體的平均速度等于初、末速度的算術(shù)平均值，也等于中間時刻的瞬時速

度。

2.公式選擇策略

已知量待求量優(yōu)先公式示例場景

-h

h,tVv=一已知下落高度和時間，直接求平均速度

t

-V

V（末速度）VV=一已知落地速度，求全程平均速度

2

-1

tVv=2gt已知時間，結(jié)合速度公式推導(dǎo)平均速度

例8、如圖所示，跳水運動員進行跳水訓(xùn)練，離開跳臺后做自由落體運動，利用頻閃照相技術(shù)（每隔相同時

間拍一次照）連續(xù)拍攝了運動員所處的三個位置A、B.C,測量并根據(jù)比例尺換算出相鄰兩位置間的距

離分別是M=0.8m和她=1.2m,重力加速度g取lOm/s?。將運動員視為質(zhì)點，不計空氣阻力，下列說法

正確的是（）

A.頻閃照相的周期為0.02sB.運動員在A位置的速度大小為3m/s

C.運動員在8位置的速度大小為4m/sD.運動員在C位置的速度大小為5m/s

【答案】B

【解析】A.由逐差法可知

2

Ah=AA2—A4=gT

9

則頻閃照相的時間間隔為

故A錯誤;

C.運動員在B位置時的速度大小為

M+A/Z20.8+1.2

v=m/s=5m/s

B-2T—-2x0.2

故C錯誤；

B.由自由落體運動公式

力=吟+gT

解得運動員在A位置時的速度大小為

vA=3m/s

故B正確；

D,由自由落體運動公式

%=VB+gT

解得運動員在C位置時的速度大小為

vc=7m/s

故D錯誤。

故選Bo

例9、用照相機拍攝從某磚墻前的高處自由落下的石子，拍攝到石子在空中的照片如圖所示。由于石子的運

動，它在照片上留下了一條模糊的徑跡45。已知石子從地面以上2.5m的高度下落，每塊磚的平均厚度為

6cm,則（）

石

子

下

落

的

徑

跡

地面

'/////f/////////////////////////n777777777777777777777777T777'

A.圖中徑跡長度約為0.06mB.A點離釋放點的高度約為0.5m

C.曝光時石子的速度約為6.3m/sD.照相機的曝光時間約為0.01s

【答案】C

【解析】A.由題圖可看出徑跡長度約為Ax=2d=0.12m

故A錯誤；

B.A點離釋放點的高度約h=2.5m-0.06x8.6m=1.984m

10

故B錯誤；

C.曝光時石子的速度約為v2=2gh

解得v?6.3m/s

故C正確；

D.由于AB距離較小，故可以近似將AB段做勻速直線運動，故時間為Z=^01s2=0.019s

6.3

故D錯誤。

故選Co

例10、（多選）對于自由落體運動（g=10m/s2）,下列說法正確的是（）

A.在前Is內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移大小之比是1：4：9

B.在相鄰兩個1s內(nèi)的位移之差都是10m

C.在第Is內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度大小之比是1：2：3

D.在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1：3：5

【答案】AB

【解析】A.根據(jù)自由落體運動位移與時間的關(guān)系可知

,12

h=

設(shè)前1s內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移分別是%、4、%、將％=ls、?2=2s>=3s分別帶入公式可得

4：：A3=1：4：9

故A正確；

B.根據(jù)勻變速直線運動連續(xù)相等的時間間隔內(nèi)的位移差相等的特性可知

Ax=gT2

帶入相關(guān)數(shù)據(jù)可得

Ax=10m

故B正確；

C.根據(jù)勻變速直線運動平均速度的公式可知

-x

v=—

t

由于每段的時間相等，所以平均速度之比即為該段的位移之比。根據(jù)A選項分析可知

%:：4=1:4:9

設(shè)第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度分別為,、E、E，位移分別為如%、旗，貝1J

%:匕：V3=：魚：=1：（4-1）：（9-4）=1:3:5

故C錯誤；

D.根據(jù)自由落體運動速度與時間的關(guān)系可知

v=gf

11

設(shè)1s末、2s末、3s末的速度分別是％、匕、丫3，將a=卜、，2=2S、4=3s分別市入公式可得

vi:v2:v3=1:2:3

故D錯誤。

故選ABO

例11、如圖所示，利用一顆蘋果下落的頻閃照片來研究自由落體運動。設(shè)頻閃光源的頻率為了豎直下落距

離4、飽和用均已知。

0二

_三

_三

-_一

三

等

5一

_三

_三

7_三i

4凄

~基

建.

e聿

J-S

建

息

0言

一

-三

0等

=一

三.

s-鼻

基

-重

3基

X

-ZS

-3

建

⑴若圖中/點的速度恰好為零，則%:用=,蘋果下落加速度的表達式為“=o（用九、

4和/表示）

⑵蘋果通過C點的瞬時速度的表達式為匕=（用飽、。和/表示）

【答案】⑴1：5/1g也一的產(chǎn)（2）；（4+始/

【解析】（1）⑴若圖中A點的速度恰好為零，根據(jù)

h=-at2

2

可得

4:（4+為）：（4+為+%）=1：4:9

則有

/?!:h2:h3=1:3:5

所以

%:%=1:5

[2]根據(jù)勻變速直線推論可得

,1

，3-4=2aT=2a『

可得蘋果下落加速度的表達式為

a產(chǎn)

（2）根據(jù)勻變速直線運動中間時刻速度等于該段過程的平均速度，則蘋果通過C點的瞬時速度的表達

式為

12

%—3

方法點接

1.推論

（1）比例推論（時間等分t。）

速度比總位移比相鄰相等時間位移比

時間分段

（%：V2：V3：…：V.）

(hi:h2:h3:…：h)（Ahi：Ah2:Ah3:???:Ahn）

第It。、2t（）、3to…1:2:3:,,,:nl2:22:32:-:n21:3:5::(2n-l)

（2）位移差公式（連續(xù)相等時間間隔T）

2

△h=hn+1—h?=gT

用途：已知頻閃照片中相鄰位移差，求重力加速度g或時間間隔T。

2.頻閃照片問題解法

（1）核心思路

頻閃照片中相鄰兩點時間間隔相等（設(shè)為T）,可通過位移差或比例關(guān)系求解。

常結(jié)合逐差法減小誤差（尤其適用于多組數(shù)據(jù)）。

（2）典型題型與解法

①已知相鄰位移，求g或T

方法：若為兩段位移％,h2,則△h=h2—h=gT＞得g（或求T）。

若為多段位移（如h”h2,h3,h4）,用逐差法：g=

②求某點瞬時速度

方法：利用“中間時刻速度等于平均速度"，即匕+4用

"2T

（3）判斷是否為自由落體運動

方法：驗證相鄰位移差是否恒定△h=g,。

例12、2024年10月1日是中華人民共和國成立75周年國慶節(jié)，每逢重大節(jié)日人們都喜歡燃放煙花慶祝。

我國宋代就已經(jīng)出現(xiàn)沖天炮這種煙花（如圖），也叫‘'起火"。若沖天炮從地面由靜止發(fā)射，豎直向上做加速

度大小為Sm/s?的勻加速直線運動，第4s末掉出一可視為質(zhì)點的碎片，不計碎片受到的空氣阻力，g取

10m/s2o則（）

13

A.碎片的最大速度為40m/sB.碎片掉出前離地面高度為80m

C.碎片離地面的最大高度為80mD.碎片從掉出到落回地面用時（2+2行卜

【答案】D

【解析】碎片脫離火箭時速度v=a4=5x4m/s=20m/s,碎片掉出前離地面高度為==40m,碎片

離地面的最大距離為彳+E=60m,故B、C錯誤；由題意得碎片著地時速度最大

22g

vmax=72if7=20V3m/s,故A錯誤；取向上為正方向，根據(jù)-〃=vf-；g〃，解得碎片從掉出到落回地

面用時f=（2+2G）s,故D正確。

例13、無人機下掛一重物，由靜止開始自地面勻加速上升，當(dāng)?shù)竭_離地面高度〃=40m處時，其速度為

⑴重物自離開地面到再次落到地面的時間；

⑵重物落地時的速度。

【答案】（l"2s（2）30m/s,方向豎直向下

【解析】（1）設(shè)向上為正方向，無人機由靜止開始自地面勻加速上升過程有〃=￡%

解得。=8s

懸掛重物的繩子突然斷裂后，根據(jù)位移公式有-h=-gg考

解得tz=4s（另一值舍掉）

14

則重物自離開地面到再次落到地面經(jīng)歷時間/=%+72=12s

（2）懸掛重物的繩子突然斷裂后，結(jié)合上述，根據(jù)速度公式有"=%-卬2

解得v=-30m/s

所以中午落地后速度大小為30m/s,方向豎直向下。

方法在履

豎直上拋運動

1.運動性質(zhì)與核心規(guī)律

（1）運動特點

①初速度：vo#O（豎直向上），加速度a=-g（取向上為正方向）。

②分段性：

上升階段：勻減速直線運動（末速度v=0）。

下降階段：自由落體運動（初速度為0,加速度g）。

③對稱性：

時間對稱：上升到最高點時間t上=%,下降回拋出點時間t下=t上，總時t總=駕。

gg

速度對稱：同一高度處，上升與下降時速度大小相等、方向相反v±=—V卜。

（2）統(tǒng)一公式（全程法）

取向上為正方向，全程滿足勻變速直線運動公式：

①速度公式：V=V（）—gt

②位移公式：h=vt--gt2

o2

22

③速度位移公式:V—v0=—2gh

④符號含義：

h>0：物體在拋出點上方；h<0：物體在拋出點下方。

v>0：速度方向向上；v<0：速度方向向下。

2.解題方法與技巧

（1）分段法

步驟：

上升階段：視為末速度為。的勻減速運動，用公式：v0=gt上，H=-^-v

2g

下降階段：視為自由落體運動，從最高點開始，用公式：v=gt卜，h=1gt/

15

適用場景：需分別分析上升、下降過程的物理量（如求最高點高度、下降時間等）。

（2）全程法

優(yōu)勢：無需分段，直接用統(tǒng)一公式求解，適合求總位移、總時間或某時刻速度。注意：

位移h的正負表示位置相對于拋出點的方向。

速度v的正負表示運動方向（正為向上，負為向下）。

（3）對稱性法

應(yīng)用場景：

求某高度處的速度大小：利用v±=—v卜，如上升時經(jīng)過高度h的速度為v,則下降時經(jīng)

過h的速度為一V。

求時間：上升到某高度的時間與從該高度下降回拋出點的時間相等。

例14、如圖所示，在一種“子母球”表演中，讓同一豎直線上的小球A和小球B,從距水平地面BU>1）

和高度的地方同時由靜止釋放。忽略空氣阻力及碰撞時間，若B球與地面碰撞后原速率彈回，要使球B

在第一次上升過程中與球A相碰，則左的取值可能為（）

AQ------TT-

kh

\h

w

//////!///////_/

A.4B.6C.9D.12

【答案】A

【解析】B反彈后在上升階段與球A相碰，臨界情況是球B剛好反彈到出發(fā)點時與球A相碰，兩球的V-

t圖像如圖所示，

陰影部分面積之和就是球A的下落高度和球B的反彈高度之和kh,由圖可知

,12

h=~Sto

則

16

聯(lián)立解得

k=5

故k的取值范圍

l<k<5

故選Ao

例15、（多選）如圖甲，小球A（視為質(zhì)點）從地面開始做豎直上拋運動，同時小球B（視為質(zhì)點）從距

地面高度為加處由靜止釋放，兩小球距地面的高度h與運動時間t的關(guān)系圖像如圖乙，重力加速度大小為g,

A.A的初速度與B的落地時速度大小相等B.A上升過程的平均速度小于B下降過程的平均速度

C.A、B處于同一高度時距地面D.A、B落地的時間差為

4\g

【答案】AC

【解析】AB.由題圖可知，B由靜止釋放時距地面的高度與A上升到最高點時距地面的高度相等，B由

靜止釋放直到落地與A由拋出直到上升到最高點所用時間相等，所以，A的初速度與B落地時的速度大

小相等，A上升過程的平均速度與B下降過程的平均速度大小相等，故A正確，B錯誤；

C.設(shè)A豎直上拋的初速度為vO,則當(dāng)AB到達同一高度時有=片=2g%

聯(lián)立解得公”=7^

11

所以A、B處于同一高度時距地面力=即-3g產(chǎn)=：%

故C正確；

D.B落地時A剛好上升到最高點，所以AB落地的時間差就等于A從最高點下落到地面所用的時間，滿

1,

足為=]g2廠

解得加=杼

故D錯誤。

故選ACO

17

例16、如圖所示，一同學(xué)站在樓上離地面高度*=9.8m的位置由靜止釋放小球A,又經(jīng)過加的時間再次在

相同位置由靜止釋放另一個小球B,小球A與水平地面碰撞后原速率反彈，并在離地面高度〃=4.8m處與球

B相遇，不計空氣阻力，重力加速度g取lOm/sz,求：

1

(1)球A第一次落地時的速度大??；

(2)兩球相遇時，球B的速度大小；

⑶兩球釋放的時間間隔Afo

【答案】(l)14m/s(2)10m/s(3)0.8s

【解析】(1)小球A下落過程做自由落體運動，有〃=；g彳

解得小球A的下落時間為a=L4s

落地速度為“=g%=14m/s

(2)球B做自由落體運動有

2g

解得兩球相遇時球B的速度大小為=10m/s

(3)小球A反彈上升過程做勻減速直線運動，由運動學(xué)知識有人="*2-；卬；

解得小球A反彈上升的時間為芍=0?4s

小球B下落過程做自由落體運動，有〃=

解得小球B下落時間為灰=Is

則兩球釋放的時間差為加=%+?2-/B=0-8s

方認點歡

豎直上拋與自由落體相遇問題

1.核心思路

(1)運動分析

18

豎直上拋物體：初速度v（）WO（向上），加速度a=-g,位移公式hi=v°t—Lgt?。

2

自由落體物體：初速度v（）=0（向下），加速度a=g，位移公式hi=Lgt?（從起點向下為

2

正）。

（2）相遇條件

兩物體在同一時刻到達同一位置，即位移滿足幾何關(guān)系（需結(jié)合初始位置分析）。

2.常見模型與解法

模型1：豎直上拋與自由落體從同一位置先后釋放

場景：物體A先上拋，物體B后從同一位置自由下落，求相遇時間。設(shè)定：

A的初速度V”拋出時刻t=0；

B在時刻開始自由下落。位移方程：

A的位移：h=vt--gt2；

Ao2

B的位移：hB='g（t—to）'）（t^t0）o相遇條件：hA=hB（相遇時位置相同），聯(lián)立求

2

解to

模型2：豎直上拋與自由落體從不同高度同時釋放

場景：A從地面上拋（初速度%）,B從高處H自由下落，同時釋放，求相遇時間。位

移方程：

A的位移（向上為正）：h=vt--gt2；

Ao2

2

B的位移（向下為正）：hB=H--gt（初始高度H,下落位移,gt'

22

相遇條件：hA=H-hB（A上升高度等于B下落高度差），即：v°t—Lgt?=H—Lgt?—?

22

H

t=——

%

結(jié)論：相遇時間與g無關(guān)，僅由H和v。決定（適用于無空氣阻力）。

模型3：豎直上拋物體與自由下落物體空中相向運動

場景：A從地面上拋（V。），B從高處H同時自由下落，求相遇時速度關(guān)系。

關(guān)鍵：利用速度公式VA=V（）—gt,vB=-gt（B速度向下為負），結(jié)合位移關(guān)系求解。

3.解題步驟

（1）確定參考系與正方向：

19

通常取豎直向上為正方向，自由落體位移用負值或絕對值表示。

(2)列出位移方程：

豎直上拋：h^Vot——gt2；

2

自由落體：h2=h。-Lg/為初始高度，向下為正)。

2

(3)聯(lián)立方程求解：

相遇時h1=hz(或根據(jù)位置關(guān)系列等式，如h1+h2=H)。

(4