PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages5757頁專題03方程（組）與不等式（組）的應(yīng)用考點一、一元一次方程的應(yīng)用1．（2022·河北·中考真題）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置．如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達標記位置．已知搬運工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（

）A．依題意 B．依題意C．該象的重量是5040斤 D．每塊條形石的重量是260斤【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意可得方程；則A錯誤，B正確；解上面的方程得：x=240,故D錯誤；∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）故C錯誤，故選：B．2．（2025·河北·中考真題）甲、乙兩張等寬的長方形紙條，長分別為，．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在一起，形成長為81的紙條，則．

【答案】99【詳解】解：由題意可知：重疊部分為：，設(shè)重疊部分的長度為k，則，，重疊后的總長度為：，即，代入，得：，解得：，∴，，∴，故答案為：99．3．（2023·河北·中考真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數(shù)，需重新投，計分規(guī)則如下：投中位置A區(qū)B區(qū)脫靶一次計分（分）31在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次，脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】(1)珍珍第一局的得分為6分；(2)．【詳解】（1）解：由題意得(分)，答：珍珍第一局的得分為6分；（2）解：由題意得，解得：．4．（2021·河北·中考真題）已知訓(xùn)練場球筐中有、兩種品牌的乒乓球共101個，設(shè)品牌乒乓球有個．（1）淇淇說：“筐里品牌球是品牌球的兩倍．”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：．請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確；（2）據(jù)工作人員透露：品牌球比品牌球至少多28個，試通過列不等式的方法說明品牌球最多有幾個．【答案】（1）不正確；（2）36【詳解】解：（1），解得：，不是整數(shù)，因此不符合題意；所以淇淇的說法不正確．（2）∵A品牌球有個，B品牌球比A品牌球至少多28個，∴，解得：，∵x是整數(shù)，∴x的最大值為36，∴A品牌球最多有36個．5．（2024·河北·中考真題）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，乙數(shù)軸上的三點D，E，F(xiàn)所對應(yīng)的數(shù)依次為0，x，12．(1)計算A，B，C三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求的值；(2)當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：∵甲數(shù)軸上的三點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，∴，，，∴；（2）解：∵點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F(xiàn)上下對齊，∴，∴，解得：；6．（2025·河北·中考真題）一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長度的增加稱為線膨脹．在（本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長為的銅棒、鐵棒受熱后，伸長量與溫度的增加量之間的關(guān)系均為，其中為常數(shù)，稱為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)（單位：）；原長為的鐵棒從加熱到伸長了．(1)原長為的銅棒受熱后升高，求該銅棒的伸長量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．(2)求鐵的線膨脹系數(shù)；若原長為的鐵棒受熱后伸長，求該鐵棒溫度的增加量．(3)將原長相等的銅棒和鐵棒從開始分別加熱，當它們的伸長量相同時，若鐵棒的溫度比銅棒的高，求該鐵棒溫度的增加量．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1）解：，答：該銅棒的伸長量．（2）解：，解得：，設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，，解得：，答：鐵的線膨脹系數(shù)，該鐵棒溫度的增加．（3）解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，，解得：，答：該鐵棒溫度的增加量為．考點二、一元二次方程的應(yīng)用7．（2025·河北·中考真題）若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點在平面直角坐標系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】解：原方程展開并整理為標準形式：其中，，．∴，．∴點即的橫、縱坐標均為負數(shù)，故位于平面直角坐標系的第三象限．故選：C．8．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】C【詳解】解：由題意得：，解得：或（舍）故選：C．考點三、分式方程的應(yīng)用9．（2023·河北·中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n7ba1【答案】【詳解】解：當時，，即，當時，，即，當時，，即，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，∴，故答案為：；10．（2024·河北·中考真題）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進行技能測試，考慮多種因素影響，需將測試的原始成績x（分）換算為報告成績y（分）．已知原始成績滿分150分，報告成績滿分100分、換算規(guī)則如下：當時，；當時，．（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分數(shù)線，80是報告成績的合格分數(shù)線）公司規(guī)定報告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格．(1)甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若，求甲、乙的報告成績；(2)丙、丁的報告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值：(3)下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計表：原始成績（分）95100105110115120125130135140145150人數(shù)1225810716201595①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；②若①中的中位數(shù)換算成報告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率．【答案】(1)甲、乙的報告成績分別為76，92分(2)125(3)①130；②【詳解】（1）解：當時，甲的報告成績?yōu)椋悍?，乙的報告成績?yōu)椋悍?；?）解：設(shè)丙的原始成績?yōu)榉郑瑒t丁的原始成績?yōu)榉郑弑?、丁的報告成績分別為92分和64分，∴丙的原始成績合格，則丁的原始成績不合格，即，∴解得：，且符合題意，∴的值為；（3）解：①共計100名員工，且成績已經(jīng)排列好，∴中位數(shù)是第50，51名員工成績的平均數(shù)，由表格得第50，51名員工成績都是130分，∴中位數(shù)為130；②∵①中的中位數(shù)換算成報告成績?yōu)?0分，∴原始成績分，報告成績分合格，∴，解得，∴由表格得到原始成績?yōu)?10及110以上的人數(shù)為，∴合格率為：．考點四、不等式與不等式組的應(yīng)用11．（2024·河北·中考真題）下列數(shù)中，能使不等式成立的x的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：∵，∴．∴符合題意的是A故選A．12．（2021·河北·中考真題）已知，則一定有，“”中應(yīng)填的符號是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：將不等式兩邊同乘以-4，不等號的方向改變得，∴“”中應(yīng)填的符號是“”，故選：B．13．（2025·河北·中考真題）（1）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（2）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（3）直接寫出不等式組的解集．【答案】（1），見解析；（2），見解析；（3）【詳解】解：（1）不等式兩邊同時除以2得，數(shù)軸表示如下所示：（2）移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，數(shù)軸表示如下所示：（3）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為．14．（2022·河北·中考真題）整式的值為P．(1)當m＝2時，求P的值；(2)若P的取值范圍如圖所示，求m的負整數(shù)值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵當時，；（2），由數(shù)軸可知，即，，解得，的負整數(shù)值為．專練一、一元一次方程的解法15．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，小明將等式進行變形，最后得到一個錯誤的結(jié)論，則下列說法正確的是（

）A．第一步錯誤 B．第二步錯誤 C．第三步錯誤 D．三步都正確，原等式錯誤【答案】C【詳解】解：第一步等式兩邊同時加，第二步合并同類項，都是正確的，第三步兩邊同時除以a是錯誤的，因為a可能等于零．正確的做法是移項得，解得，故選：C．16．（2025·河北·一模）關(guān)于x的方程的解為，則a的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【詳解】解：關(guān)于的方程的解是，，解得：．故選：A．17．（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）某同學(xué)在解關(guān)于的一元一次方程時，誤將看作，得到方程的解為，則原方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．把代入一元一次方程，得，解得．故選：A．18．（2025·河北唐山·二模）在解關(guān)于的方程時，小亮在去分母的過程中，忘記給方程右邊的m乘公分母，求出方程的解為．(1)求出m的值；(2)寫出正確的求解過程．【答案】(1)(2)，見解析【詳解】（1）解：由題可知，，即，∵，∴；（2）由（1）可知，原方程為，去分母，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．19．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）綜合實踐課上，同學(xué)們玩“接力游戲”，由每組學(xué)生合作解一元一次方程．如圖，老師將題目交給甲同學(xué)，他完成一步解答后交給乙同學(xué)，依次進行，最后由戊同學(xué)完成求解．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．(1)寫出這個“接力游戲”中過程出錯的同學(xué)；(2)請你寫出正確的求解過程．【答案】(1)甲，乙，戊(2)見解析【詳解】（1）解：甲同學(xué)在去分母時，右側(cè)沒有乘以6；乙同學(xué)去括號，括號內(nèi)的符號沒有變號；戊同學(xué)最后將未知數(shù)系數(shù)化為1時，方程右邊沒有除以，而是除以；故這個“接力游戲”中計算錯誤的同學(xué)有：甲，乙，戊；（2）解：正確的解答過程如下：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：．專練二、一元一次方程的應(yīng)用20．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，將一張長方形紙片進行折疊，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，，∴，∵，則，∴，解得，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，故選：B．21．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，在編寫數(shù)學(xué)謎題時，“□”內(nèi)要求填寫同一個數(shù)字，若設(shè)“□”內(nèi)數(shù)字為t，則列出方程正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：依題意得：．故選：B．22．（2025·河北秦皇島·一模）如圖，數(shù)軸上兩個相鄰刻度的距離是一個單位長度，點、、、對應(yīng)的位置如圖所示，它們所表示的數(shù)分別是、、、，且，則點表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)點對應(yīng)的數(shù)是，數(shù)軸上每相鄰兩點相距一個單位長度，點表示數(shù)位：，點表示的數(shù)是：，點表示的數(shù)是：，又點、、、所表示的數(shù)分別是、、、，且，，解得：，故選：D．23．（2025·河北廊坊·一模）已知，若，則的值為（

）A．101 B．199 C．399 D．401【答案】C【詳解】解：，當時，，解得，故選：C．24．（2025·河北邯鄲·三模）明代珠算大師程大位在《直指算法統(tǒng)宗》中給出這樣一道題：客人分銀子，如果每人分七兩，則多四兩；如果每人分九兩，則還差半斤（明代時，1斤兩）．若用方程解答這道題，設(shè)共有個客人，則的值為．【答案】6【詳解】解：設(shè)共有個客人，根據(jù)題意，得，解得，故答案為：6．25．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，在數(shù)軸上，點A，B表示的數(shù)分別為，2，點P，Q從點A同時出發(fā)，沿數(shù)軸勻速向點B運動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度．(1)計算點A，B表示的數(shù)之和；(2)設(shè)運動時間為，當點P是的中點時，求t的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：．（2）解：，．當點P是的中點時，，∴，解得．26．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動加上2，同時B區(qū)就會自動減去1，且均顯示計算結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的數(shù)分別是和7．(1)按鍵1次后，求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果的和；(2)若按鍵n次后，A區(qū)的結(jié)果比B區(qū)結(jié)果的2倍少5，求n的值．【答案】(1)按鍵1次后，A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果的和為5(2)【詳解】（1）解：按鍵1次后，A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果的和為；（2）解：由題意得：，解得．27．（2025·河北石家莊·三模）老師在黑板上寫了一個不完整的算式：．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后將指針所指區(qū)域的數(shù)填入“”并完成算式計算，若指針指在邊界線上無效．如圖是第1次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針所指區(qū)域的情況．(1)第1次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后，求算式的計算結(jié)果；(2)某次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后，算式的計算結(jié)果是，求指針所指區(qū)域的數(shù)；(3)多次轉(zhuǎn)動（指針在每個區(qū)域至少停留一次）轉(zhuǎn)盤并計算后發(fā)現(xiàn)，有一個計算結(jié)果最大．請直接寫出這個最大的結(jié)果．【答案】(1)(2)3(3)5【詳解】（1）解：如圖可知，第1次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針所指區(qū)域為，所以．（2）解：設(shè)指針所指區(qū)域為，則解得：，所以指針所指區(qū)域的數(shù)為．（3）當時，算式為：；當時，算式為：；當時，算式為：；當時，算式為：；，所以最大的結(jié)果為．專練三、二元一次方程的應(yīng)用28．（2025·河北滄州·一模）已知，是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，由，可得，解得，，，故選：A．29．（2025·河北邢臺·三模）甲、乙兩人進行一分鐘跳繩練習(xí)，結(jié)束后，甲說：“我的跳繩個數(shù)加你的跳繩個數(shù)的剛好等于220個”；乙說：“我的跳繩個數(shù)加你的跳繩個數(shù)的剛好也等于220個”．設(shè)甲的跳繩個數(shù)為x個，乙的跳繩個數(shù)為y個，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意，可列方程組為．得，化簡得，解得，故選：D．30．（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童鬧?！愤B續(xù)三個月獲得全國月度票房冠軍，某小組12名同學(xué)相約一起觀看該電影，其中8人購買了電影票，4人購買了電影票，共花費560元．已知每張電影票的售價比電影票的售價多5元，求每張電影票、電影票的售價分別為多少元．設(shè)每張電影票的售價為元，每張電影票的售價為元，根據(jù)題意，可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)每張電影票的售價為元，每張電影票的售價為元，根據(jù)題意，可列方程組為，故選：B．31．（2025·河北邯鄲·二模）《九章算術(shù)》中給出了方程組的表示及消元算法．如圖1表示的是方程組消元算法：“以左行上禾遍乘右行而以直除”，即用左行上禾3乘右行每一個數(shù)，然后用運算結(jié)果中的每個數(shù)減去對應(yīng)左行每個數(shù)，得圖2，其中右行表示的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)圖2，右行上禾為，下禾為，實為5，即，∴右行表示的方程是．故選D．32．（2025·河北·模擬預(yù)測）紅星中學(xué)假期組織了“研學(xué)活動”，共有48名同學(xué)參加，______．條件1：男生比女生多1人；條件2：男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少3人．從上述兩個條件中選取一個，添加到橫線處，能確定男生和女生人數(shù)的是（

）A．條件1 B．條件2 C．兩個條件都可以 D．兩個條件均不能確定【答案】B【詳解】解：設(shè)女生x人，男生有y人，若選擇條件1：由題意得方程組：，解得，由于人數(shù)必須為整數(shù)，無解，故條件1無法確定具體人數(shù)．若選擇條件2：由題意得方程組：，解得，，符合要求且均為整數(shù)，故條件2可以確定男生和女生人數(shù)．故選：B．33．（2025·河北秦皇島·一模）“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名的數(shù)學(xué)問題．意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿．問雞兔各有多少只？下列說法錯誤的是（

）A．設(shè)雞有x只，所列方程為B．設(shè)雞有x只，兔有y只，所列方程組為C．假設(shè)每只動物抬起2只腳，則剩余腳數(shù)為只，此時雞無腳站立，剩余均為兔腳，每只兔剩2只腳，故有12只兔．D．假設(shè)所有動物均為兔，則應(yīng)有只腳，但實際有94只腳，少出46只腳；每只雞少2只腳，所以有23只雞．【答案】A【詳解】解：A．設(shè)雞有x只，則兔有只，則所列方程為，故該選項錯誤，符合題意；B．設(shè)雞有x只，兔有y只，所列方程組為，故該選項正確，不符合題意；C．假設(shè)每只動物抬起2只腳，則剩余腳數(shù)為只，此時雞無腳站立，剩余均為兔腳，每只兔剩2只腳，故有12只兔，故該選項正確，不符合題意；D．假設(shè)所有動物均為兔，則應(yīng)有只腳，但實際有94只腳，少出只腳；每只雞少2只腳，所以有23只雞，故該選項正確，不符合題意；故選：A．34．（2025·河北·模擬預(yù)測）某公司科研部計劃抽調(diào)100名工程師，組建三種型號的研發(fā)小組共8個．下表是三種型號需要的工程師人數(shù)：型號硬件工程師軟件工程師型124B型54型45若每名工程師只能在一個小組進行研發(fā)，且每種型號的研發(fā)小組至少有2個．給出下列結(jié)論：①若100名工程師恰好全部編入研發(fā)小組，則型號的研發(fā)小組的個數(shù)為4個；②若100名工程師中硬件工程師比軟件工程師多2名，且要求型號研發(fā)小組的數(shù)量最多，則可組建型號的研發(fā)小組個數(shù)分別為2，2，4．則下列正確的是（

）A．①對，②錯 B．①錯，②對C．①②均錯誤 D．①②均正確【答案】D【詳解】解：①每個小組的工程師需求：型：人型：人型：人設(shè)型小組數(shù)為，型為，型為．根據(jù)條件：①；，，②由①得：，代入②：解得：∴，且，，所以，或，（不滿足）等，唯一解是，．因此，型小組數(shù)為個，結(jié)論①正確；②設(shè)硬件工程師總數(shù)為，軟件工程師為，依題意，：解得：，設(shè)型小組數(shù)為，型為，型為．當組建型號的研發(fā)小組個數(shù)分別為2，2，4時，需要硬件工程師人數(shù)為：，故②正確故選：D．35．（2025·河北保定·一模）古書《四元玉鑒》中有記載：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通飲了一斗九，三十三客醉醺醺．欲問高明能算士，幾何醨酒幾多醇？（一斗為十升）”，譯文：“酒分為醇酒和醨酒（醇酒是濃酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．總共飲用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．問：飲用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗10升）”．則下列說法錯誤的是（

）A．設(shè)飲用了升醇酒，升醨酒．列出方程組為：B．設(shè)飲用了升醇酒，則飲用了升醨酒．列出方程為：C．飲用了10升醇酒D．飲用了10升醨酒【答案】D【詳解】解：設(shè)飲用了升醇酒，升醨酒．根據(jù)題意列方程得，故選項A正確，不符合題意；設(shè)飲用了升醇酒，則飲用了升醨酒．根據(jù)題意列方程得：，解得：，則，飲用了升醇酒，飲用了升醨酒故選項B、C正確，不符合題意；選項D錯誤符合題意；故選：D．36．（2025·河北邯鄲·一模）已知，都是實數(shù)，觀察表中的運算，則的值為（

）的運算運算的結(jié)果7A．21 B． C．40 D．【答案】D【詳解】解：∵，，∴，，∴將，代入得，故選：D．37．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，大小不同的兩個圓按圖中的方式擺放，兩個圓陰影部分的面積分別為M，N，兩個圓重合部分的面積為K．計算若大圓半徑為10，小圓半徑為6，．（1）大圓面積與小圓面積之差為______；（2）______．發(fā)現(xiàn)：設(shè)兩個圓的面積分別為，，用，表示的值，并證明你的結(jié)論．運用：設(shè)兩個圓的半徑分別為R，，且，，求這兩個圓的面積之和．【答案】（1）；（2）；發(fā)現(xiàn)：，見解析；運用：【詳解】解：（1）大圓面積與小圓面積之差為，故答案為：；（2），故答案為：；發(fā)現(xiàn)：．證明過程如下：依題意，則．運用：由，得，故，化為．又∵，，則，得，解得，把代入，得，∴．∴這兩個圓的面積之和為．專練四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系38．（2025·河北邯鄲·二模）已知一元二次方程的兩個根分別為m，n，則（

）A．4 B．8 C．12 D．20【答案】C【詳解】解：已知方程的兩個根為和，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，∵，∴．故選：C．39．（2025·河北廊坊·二模）已知，是關(guān)于x的方程的兩個根，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∵，是關(guān)于x的方程的兩個根，∴；故A正確，B錯誤；∴，∴異號或其中一個的值為0，的值不一定大于0；故C，D錯誤；故選A．40．（2025·河北邢臺·三模）如圖，點A，C在不完整的數(shù)軸上，對應(yīng)的數(shù)分別為a，c，原點與點A，C均不重合．若，則方程的根的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．兩根之和為【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意可知，，，，為負數(shù)，為正數(shù)，，異號，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，兩根之和為，故選：B．41．（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程，其中在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則這個方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根C．兩根之和小于0 D．兩根之積大于0【答案】C【詳解】解：由數(shù)軸看出，，，∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴，，，∵，，∴∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴A，B，D不符合題意，C符合題意故選：C．42．（2025·河北邢臺·三模）已知關(guān)于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，則的值為（

）A．或1 B．或 C． D．1【答案】D【詳解】解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩個根，∵其中一根是另一根的3倍，∴設(shè)，，，解得：，，∴，，故選：D．43．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程有兩個異號的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，解得：．由條件可知，解得．的取值范圍為．故選：A．44．（2025·河北邯鄲·二模）定義一種運算：，如：．若，則所有滿足條件的實數(shù)的和為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴，∵∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴．故選：B．45．（2025·河北唐山·二模）已知，是方程的兩根，求代數(shù)式的值，嘉嘉和淇淇分別給了不同的解題思路，下列說法正確的是（

）嘉嘉：解方程；將步驟中的解，代入到代數(shù)式中，解得代數(shù)式的值為．淇淇：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出，的值；化簡；將步驟中的，的值代入到步驟化簡后的結(jié)果中，解得代數(shù)式的值為．A．嘉嘉，淇淇都對 B．嘉嘉對，淇淇不對C．嘉嘉不對，淇淇對 D．嘉嘉，淇淇都不對【答案】A【詳解】解：嘉嘉：，∴，或，，∴當，時，原式；當，時，原式，故嘉嘉解法正確；淇淇：∵，∴，，∴，故淇淇解法正確；故選：．專練五、解一元二次方程46．（2025·河北石家莊·三模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則t的值不可以是（

）A．0 B． C．3 D．【答案】C【詳解】解：由題意，，解得．而，故選：C．47．（2025·河北·一模）方程的一個根是（）A． B． C．無實數(shù)根 D．【答案】C【詳解】解：，，，，，因此方程無實數(shù)根．故選：C．48．（2025·河北唐山·二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【詳解】解：的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且，解得：且，故選：B．49．（2025·河北·模擬預(yù)測）張偉計劃用家里現(xiàn)有的籬笆圍建一個矩形羊圈．他計算了一下，如果把10米長的墻作為所圍的矩形的一邊，則這個矩形的面積是單純利用籬笆圍成的最大矩形面積的2倍．張偉家里現(xiàn)有的籬笆總共長度是（

）A．20米 B．24米 C．28米 D．32米【答案】A【詳解】解：設(shè)現(xiàn)有的籬笆總共長度是米，∴把10米長的墻作為所圍的矩形的一邊，這個矩形的另一邊長為，面積為；設(shè)單純利用籬笆圍成的矩形一邊長為米，則矩形的另一邊長為，面積為，∴當時，單純利用籬笆圍成的最大矩形面積為，∴，解得，故選：A．50．（2025·河北邢臺·三模）如圖，甲、乙兩個圖形都由長方形或正方形拼成，邊長數(shù)據(jù)如圖所示．(1)若甲、乙兩圖的外輪廓周長相等，求x的值；(2)求甲圖的面積（用含x的代數(shù)式表示）；(3)若甲圖的面積比乙圖的面積大1，求乙圖的面積．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：由題意，得，解得；（2）解：；（3）解：由題意，得，∴，∴，∴，解得或，∵，∴，∴．51．（2025·河北·一模）如圖，每個表格內(nèi)包含一個運算，選定一個數(shù)后按照相應(yīng)順序運算得出結(jié)果．甲乙丙丁取倒數(shù)平方取相反數(shù)加2(1)若選取數(shù)字2，按照丙乙丁甲的運算順序列算式算出結(jié)果；(2)如選取一個非負數(shù)后，按照丁乙丙的順序運算后，結(jié)果為，求選取的數(shù)字．【答案】(1)(2)0【詳解】（1）解：若選取數(shù)字2，按照丙乙丁甲的順序運算得：，（2）解;設(shè)所選數(shù)字為x，根據(jù)運算程序所以列出方程：，∴，解得，，∵所選數(shù)為非負數(shù)，∴所選數(shù)為0．52．（24-25九年級下·河北秦皇島·階段練習(xí)）習(xí)題課上，數(shù)學(xué)老師展示嘉嘉和淇淇解同一道題的錯誤解答過程：嘉嘉：解方程解：方程兩邊同時除以得

第一步第二步

第三步淇淇：解方程解：移項：

第一步分解因式

第二步即或

第三步所以

第四步(1)分別寫出嘉嘉和淇淇的解答過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤的；(2)請給出這道題的正確解答過程．【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步(2)見解析．【詳解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；（2）解：移項：，分解因式，即或，所以，．專練六、解分式方程53．（2025·河北石家莊·一模）將兩把不同刻度的直尺和直尺，分別按圖-1和圖-2的方式緊貼在一起，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列正確的是（

）A．B．C．D．直尺中的刻度18正對直尺中的刻度22【答案】B【詳解】解：根據(jù)圖可知：，即，故選項A錯誤，選項B正確；解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，故選項C錯誤；同理：設(shè)直尺中的刻度18正對直尺中的刻度為y，則，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，故選項D錯誤；故選：B．54．（2025·河北唐山·二模）方程的解為．【答案】2【詳解】解：方程兩邊同乘，去分母得，移項，合并同類項，得，檢驗：當時，，∴是原分式方程的根，故答案為：．55．（2025·河北邢臺·三模）若，則．【答案】6【詳解】解：，，，，．故答案為：6．56．（2025·河北保定·三模）對于兩個不相等的實數(shù)，我們規(guī)定符號表示中較大的數(shù)，如，按這個規(guī)定，方程的解為．【答案】或1【詳解】①若，即，則，即，解得：或負值舍去，經(jīng)檢驗：是原分式方程的解；②若，即，則，即，解得：，經(jīng)檢驗：是原分式方程的解；綜上，方程的解為或1．故答案為：或1．57．（2025·河北張家口·模擬預(yù)測）習(xí)題課上，數(shù)學(xué)老師展示了兩道習(xí)題及其錯誤的解答過程：習(xí)題1：計算解：原式

…………第一步

…………第二步

…………第三步習(xí)題2：解方程解：

…………第一步

…………第二步

…………第三步檢驗：當時是原方程的增根原方程無解

…………第四步(1)習(xí)題1的解答過程從第______步開始錯誤，習(xí)題2的解答過程從第______步開始錯誤；(2)從以上兩道習(xí)題中任選一題，寫出正確的解答過程．【答案】(1)一，一(2)習(xí)題1：；習(xí)題2：【詳解】（1）解：一、一；故答案為：一，一；（2）習(xí)題1：解：原式=，習(xí)題2：解方程解：，檢驗：當時是原方程的根．58．（2025·河北石家莊·二模）已知：分式．(1)計算；(2)利用（1）的結(jié)論，解分式方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵，∴．（2）解：由（1）知，∴，∵，，方程兩邊同時乘以，得，解得：，經(jīng)檢驗：是解分式方程的解，∴．59．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)老師寫了一個運算過程并蓋住了運算符號和一個代數(shù)式，如圖1，小穎將問題轉(zhuǎn)化為圖2，※為運算符號，為一個代數(shù)式．(1)小穎猜測※為“”，求；(2)數(shù)學(xué)老師告訴小穎※為“”，用表示出，并求時的值．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）解：由題意得；（2）解：若※為“”；當時，即，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解．60．（2025·河北唐山·二模）按照如圖和圖所示的程序，進行計算．(1)如果輸入，求輸出結(jié)果；(2)若在圖基礎(chǔ)上增加一個計算程序“”，如圖，重新輸入，第一次運算得到，求輸出結(jié)果．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）解：；（2）解：，，∴，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴．61．（2025·河北廊坊·一模）佳佳和琪琪分別解方程過程如下：佳佳：解：去分母，得去括號，得合并同類項，得解得原方程的解是琪琪：解：去分母，得去括號得合并同類項得解得經(jīng)檢驗，是方程的增根，原方程無解你認為佳佳和琪?的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩人解法都錯誤，，正確解答過程見解析【詳解】解：觀察兩人解分式方程的過程可知，兩人解法都錯誤，正確解答如下：解：去分母，得，去括號得，移項，合并同類項得，經(jīng)檢驗，是方程的解，∴原方程的解為．62．（2025·河北保定·一模）有四張卡片，正面分別寫有．四張卡片除正面的代數(shù)式不同外，其余均相同（如圖）．(1)將四張卡片洗勻并背面向上，從中隨機抽取一張，恰好能抽到寫有整式的卡片的概率是．(2)請將卡片上寫的代數(shù)式化簡；(3)用（2）中化簡后的代數(shù)式減去卡片上寫的代數(shù)式，若差為3，請求出此時的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：共4種等可能結(jié)果，其中符合題意的有2種，∴將四張卡片洗勻并背面向上，從中隨機抽取一張，恰好能抽到寫有整式的卡片的概率是，故答案為：；（2）解：；（3）解：由題意可知：，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴．專練七、不等式的性質(zhì)及解不等式（組）63．（2025·河北石家莊·一模）若，則下列不等式不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、由得，則，故A正確，不符合題意；B、當，則，故B錯誤，符合題意；C、由可得，故C正確，不符合題意；D、由可得，故D正確，不符合題意；故選：B．64．（2025·河北保定·一模）不等式的解集在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：解不等式得．故選：D．65．（2025·河北秦皇島·一模）下列各數(shù)滿足不等式的是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：∵，∴，∴滿足不等式的是3；故選：C．66．（2025·河北廊坊·二模）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，解不等式①可得：，解不等式②可得：，將解集表示在數(shù)軸上如圖所示：，故選：B．67．（2025·河北邢臺·三模）不等式的解集如圖所示，則a的值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【詳解】解：由題意，得解集為．∵，則，，，故選B．68．（2025·河北石家莊·三模）不等式的最小整數(shù)解為（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【詳解】解：解不等式解得：，則不等式的最小整數(shù)解為．故選B．69．（24-25七年級下·上?！るA段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則m的值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【詳解】解：∵，，由圖像可知，，解得：，故選：A．70．（2025·河北唐山·二模）已知，．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵∴∵∴∴∵∴∴．故選：A．71．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為5，且關(guān)于的一元一次方程的解大于1，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（）A．12 B．11 C．10 D．5【答案】A【詳解】解：解不等式組得，不等式組的所有整數(shù)解的和為5，可取2或3，亦可取，0，1，2，3，或，或；解一元一次方程得，由題意，得，，，且，或且．是整數(shù)，可取4，5，6或，，滿足條件的所有整數(shù)的和是12．故選：A．72．（2025·河北廊坊·一模）寫出一個滿足不等式的正整數(shù)的值．【答案】（答案不唯一）【詳解】解：解得，寫出一個滿足不等式的正整數(shù)的值，可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?，故答案為：（答案不唯一）．73．（2025·河北·一模）若關(guān)于x的不等式組有2個整數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】解：解不等式組，得：，∵關(guān)于x的不等式組有2個整數(shù)解，∴，∴，故答案為：．74．（2025·河北石家莊·二模）琪琪在解不等式組時，發(fā)現(xiàn)的系數(shù)被墨跡覆蓋了，媽媽用紙片擋住了部分答案給她看，如圖所示，(1)求被墨跡覆蓋的系數(shù)；(2)答案的第四步應(yīng)用的性質(zhì)為________（填序號）；A．等式的性質(zhì)B．不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變C．不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變D．不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變(3)該不等式組的解集為________【答案】(1)6(2)C(3)【詳解】（1）解：設(shè)被墨跡覆蓋的系數(shù)是，∴不等式可變形為，∵不等式①的解集為，∴，解得，經(jīng)檢驗，是該方程的解，∴被墨跡覆蓋的系數(shù)是6；（2）解：不等式得到，運用的是不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，故選：C；（3）解：，解①得，，解②得，，∴不等式組的解集為：．專練八、一元一次不等式（組）的應(yīng)用75．（2025·河北唐山·二模）如圖，經(jīng)了解，植物生長的溫度為，而大多數(shù)植物在范圍內(nèi)生長良好，且在這個溫度區(qū)間，植物隨溫度升高而長高，則以下適宜植物長高的最高溫度x是（

）A．15 B．20 C．24 D．25【答案】C【詳解】解：∵大多數(shù)植物在范圍內(nèi)生長良好，且在這個溫度區(qū)間，植物隨溫度升高而長高，∴四個選項中適宜植物長高的最高溫度x是24，故選：C．76．（2025·河北保定·二模）電影《劉三姐》中有這樣一個場景，羅秀才唱道：“把300條狗分成4群，每個群里狗的數(shù)量都是奇數(shù)．其中一個群狗的數(shù)量少，另外三個群狗的數(shù)量多且數(shù)量相同．問：“應(yīng)該如何分？”劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出一種答案：“99條打獵去，99條看羊來，99條守門口，剩下3條給財主．”設(shè)數(shù)量少的狗群中有狗條，則正確的是（）A．數(shù)量多的狗群每個群有狗條B．依題意C．有最小值，但沒有最大值D．是正確解，但不是唯一解【答案】D【詳解】A、設(shè)數(shù)量少的狗群中有狗條，則狗群數(shù)量多的每個群為條，此選項錯誤；B、依題意應(yīng)該是：，此選項錯誤；C、依題意得(x為奇數(shù))，解得：(x為奇數(shù))，故x的最小值為1，x的最大值為73．此選項錯誤；D、由C可知，(x為奇數(shù))，故是正確解，但不是唯一解，符合題意，故此選項正確．故選：D．77．（2025·河北邢臺·三模）將克糖放入水中，