第14講直線(xiàn)的方程8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及

一般式)，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

||重I基礎(chǔ)知最

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知識(shí)點(diǎn)1直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、斜截式

名稱(chēng)條件方程圖形

/P(%o,yo)

點(diǎn)斜式直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)尸(X0,泗)，斜率為ky—yo=k(x—xo)

直線(xiàn)/的斜率為k,且與y軸的交點(diǎn)y

為(0,6)(直線(xiàn)/與y軸的交點(diǎn)(0,b)

斜截式,V=kx+bk

的縱坐標(biāo)6叫做直線(xiàn)/在y軸上的*

截距)

注：1.直線(xiàn)的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？

斜率存在及已知點(diǎn)(或直線(xiàn)在y軸上的截距).

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸o(xo,/)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，可以分為兩類(lèi)：

(1)斜率存在的直線(xiàn)，方程為y一次=左(丁一祝)；

(2)斜率不存在的直線(xiàn)，方程為x—xo=O,即x=xo.

3.當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為了=外.特別地，x軸的方程是y=0；當(dāng)直線(xiàn)與y軸平行

或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)可將方程寫(xiě)成X=xo.特別地，V軸的方程是x=0.

4.直線(xiàn)的斜截式是直線(xiàn)的點(diǎn)斜式y(tǒng)—yo=^(x—xo)的特例.如：直線(xiàn)/的斜率為左且過(guò)點(diǎn)(0,

6),該直線(xiàn)方程為y=fcc+6.

5.縱截距不是距離，它是直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.

6.斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是》=履+6的形式，但有區(qū)別：當(dāng)左#0時(shí)，夕=日+6為

一次函數(shù)；當(dāng)上=0時(shí)，y="不是一次函數(shù).故一次函數(shù)y=fcc+6(左W0)一定可看成一條直線(xiàn)的斜截式方

程.

知識(shí)點(diǎn)2直線(xiàn)的兩點(diǎn)式與截距式方程

兩點(diǎn)式截距式

Pig/)和尸2(x2,yi)

條件在X軸上截距°,在y軸上截距b

其中X1WX2,yi^yi

圖形產(chǎn)

y~yi_x~x\

方程"=1

y2~yiX2~xiab

不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)及過(guò)

適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)

原點(diǎn)的直線(xiàn)

注：（1）兩點(diǎn)式方程

①利用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)方程必須滿(mǎn)足X1—X2且力力/，即直線(xiàn)不垂直于坐標(biāo)軸.

（即：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（xi,yi）,（X2,H）的直線(xiàn)斜率不存在（X1=X2）或斜率為0（n=V2）時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程

表示.）

②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).

③方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線(xiàn)的斜率相等.

（2）截距式方程

①如果已知直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線(xiàn)的方程.

②將直線(xiàn)的方程化為截距式后，可以觀察出直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖.

③與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)都不能用截距式表示.

④過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的橫、縱截距都為零.

知識(shí)點(diǎn)3直線(xiàn)的一般式方程

1.定義：關(guān)于x,v的二元一次方程4r+3v+C=0（其中4.3不同時(shí)為0）叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)

稱(chēng)一般式.

2.系數(shù)的幾何意義：當(dāng)時(shí)，則一取斜率），一軸上的截距）；

當(dāng)8=0,NW0時(shí)，則一0=a（x軸上的截距），此時(shí)不存在斜率.

A

3.直線(xiàn)一般式方程的結(jié)構(gòu)特征

①方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.

②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x,V，常數(shù)的先后順序排列.

③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).

④雖然直線(xiàn)方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線(xiàn)的方程.

4.當(dāng)直線(xiàn)方程4v+坊+C=0的系數(shù)/,B,C滿(mǎn)足下列條件時(shí)，直線(xiàn)4c+%+C=0有如下性質(zhì):

①當(dāng)/#0,3W0時(shí)，直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸都相交;

②當(dāng)/=0,B=0,CW0時(shí)，直線(xiàn)只與x軸相交，即直線(xiàn)與y軸平行，與x軸垂直;

③當(dāng)/=0,BRO,CW0時(shí)，直線(xiàn)只與夕軸相交，即直線(xiàn)與x軸平行，與y軸垂直;

④當(dāng)/=0,BW0,C=0時(shí)，直線(xiàn)與x軸重合;

⑤當(dāng)/WO,B=0,C=0時(shí)，直線(xiàn)與y軸重合.

注：(1)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示

(2)每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程4c+2y+C=0(/,3不同時(shí)為零)都能表示一條直線(xiàn)

||豳解題策略］

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1'求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的方法步驟

(1)求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(xo,/)一定斜率**寫(xiě)出方程y—yo=-x—xo)；

(2)點(diǎn)斜式方程y—yo=A(x—xo)可表不過(guò)點(diǎn)尸(xo,/)的所有直線(xiàn)，但x=xo除外.

2、直線(xiàn)的斜截式方程的求解策略

(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線(xiàn)的斜率存在.

(2)用斜截式求直線(xiàn)方程，只要確定直線(xiàn)的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；

(3)直線(xiàn)的斜截式方程y=fcc+6不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，左是直線(xiàn)的斜率，6是直線(xiàn)在y軸上的截

距，只要確定了左和b的值，直線(xiàn)的圖象就一目了然.因此，在解決一次函數(shù)的圖象問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)把一

次函數(shù)解析式化為直線(xiàn)的斜截式方程，利用鼠6的幾何意義進(jìn)行判斷.

3、求直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)

(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷是否滿(mǎn)足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的

連線(xiàn)不平行于坐標(biāo)軸，若滿(mǎn)足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求

出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程.

(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.在記憶

和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

4、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)

(1)如果問(wèn)題中涉及直線(xiàn)與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線(xiàn)方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.

(2)選用截距式直線(xiàn)方程時(shí)，必須首先考慮直線(xiàn)能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直.

(3)要注意截距式直線(xiàn)方程的逆向應(yīng)用.

5、求直線(xiàn)一般式方程的策略

(1)當(dāng)/W0時(shí)，方程可化為x+%+C=o,只需求士C的值；若8￥0,則方程化為4+y+C=0,只

AAAABB

需確定4,0的值.因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線(xiàn)方程.

BB

(2)在求直線(xiàn)方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求

方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.

6、含參直線(xiàn)方程的研究策略

⑴若方程4x+3y+C=0表示直線(xiàn)，則需滿(mǎn)足/,2不同時(shí)為0.

(2)令x=0可得在y軸上的截距.令y=0可得在x軸上的截距.若確定直線(xiàn)斜率存在，可將一般式化

為斜截式.

(3)解分式方程要注意驗(yàn)根.

7、利用直線(xiàn)的斜截式方程解決直線(xiàn)平行與垂直問(wèn)題的策略

已知直線(xiàn)/i：與直線(xiàn)為：>=松+歷，

(1)若則后=左2,此時(shí)兩直線(xiàn)與V軸的交點(diǎn)不同，即61。岳；反之質(zhì)=左2,且時(shí)，/1〃/2.所

以有/1〃/2臺(tái)質(zhì)=依，且61W62.

(2)若/1_1_氏則后「后2=—1；反之左「左2=—1時(shí)，.所以有71~L，2臺(tái)上「左2=—1.

注若已知含參數(shù)的兩條直線(xiàn)平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注

意考慮仇W岳這個(gè)條件.

8、利用一般式解決直線(xiàn)平行與垂直問(wèn)題的策略

直線(xiàn)/i：4x+8iy+Ci=0,直線(xiàn)心：/加+82歹+。2=0,

⑴若向=0且囪。2—82。1力0(或/C2-42C1WO).

(2)若/1X/2<=>^1^2+5152=O.

9、與已知直線(xiàn)平行(垂直)的直線(xiàn)方程的求法

(1)由已知直線(xiàn)求出斜率，再利用平行(垂直)的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系確定所求直線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式

寫(xiě)方程.

(2)①可利用如下待定系數(shù)法：與直線(xiàn)4v+助+C=0(4,8不同時(shí)為0)平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為/x+

8y+Ci=0(CiRC),再由直線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)確定Ci；

②與直線(xiàn)4V+為+。=0(/,3不同時(shí)為0)垂直的直線(xiàn)方程可設(shè)為質(zhì)一川+。2=0,再由直線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)

確定02.

Q考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程

(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知直線(xiàn)的方程是了+7=-》-3,貝!!(

A.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,7),斜率為一1B.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(7,-1),斜率為-1

C.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,-7),斜率為一1D.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-7,-3),斜率為1

變式1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,1),3(3,-3),求直線(xiàn)/的方程，并求直線(xiàn)/在了

軸上的截距.

變式2.(2023春?上海寶山?高一上海交大附中校考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)(04)且傾斜角為45。

的直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第象限.

變式3.(河南省開(kāi)封市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量為(2,T),

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)/仙0),則直線(xiàn)/的方程為()

A.x-y-l=0B.x+y-l=0

C.x—2>—1=0D.x+2y—l=0

變式4.(2023春?上海寶山?高二統(tǒng)考期末)直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(2,3),且與向量：=(1,2)垂直，則直線(xiàn)/的方程為

變式5.(2023秋?高一單元測(cè)試)已知“3C的頂點(diǎn)分別為4(2,4),5(0,-2),。(-2,3),求：

(1)直線(xiàn)N5的方程；

(2)/2邊上的高所在直線(xiàn)的方程；

變式6.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知。8C在第一象限，若4LD,8(5,1),44=60。，/B=45。,

求：

(1)AB邊所在直線(xiàn)的方程；

(2)AC邊所在直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程.

考點(diǎn)二：直線(xiàn)的斜截式方程

2.(2023?高二課時(shí)練習(xí))寫(xiě)出下列直線(xiàn)的斜率以及在y軸上的截距.并畫(huà)出圖形.

(l)y=-3x+5；

1

(2)y=--x.

變式1.【多選】(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))一次函數(shù)＞=區(qū)+以左＞0),則下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)6>0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限

B.當(dāng)6<0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限

C.VbeR時(shí)，函數(shù)圖像必經(jīng)過(guò)一、三象限

D.VbeR時(shí)，函數(shù)在實(shí)數(shù)R上恒為增函數(shù)

變式2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知上eR,b=k2-2k+3,則下列直線(xiàn)的方程不可能是>=h+6的是（）

則它們的圖象可能為（）

C.

變式4（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線(xiàn)y=h+b總在直線(xiàn)了=2x-3的上方,

則（）

A.k>2,b>-3B.k>2,b=-3

C.k=2,b>-3D.k=2,b=—3

考點(diǎn)三：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程

例3.【多選】（2023秋?貴州貴陽(yáng)?高二貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線(xiàn)的斜率越大，則傾斜角越大

B.兩點(diǎn)式七\(yùn)=三;適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線(xiàn)

C.若直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量為（cos45。,-sin45。），則直線(xiàn)I的傾斜角為135°

D.任何一條直線(xiàn)的一般式方程都能與其他四種形式互化

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)4-1,1）,8（2,4）,則直線(xiàn)/的方程為（）

A.y=x-2B.y=-x-2C.y=-x+2D.y=x+2

變式2.（2023秋?高二校考課時(shí)練習(xí)）已知“5C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為/（1,1）,5（3,1）,C（4,5）,M為45的中

點(diǎn)，則中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)的方程為（）

A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0

C.2x+>+3=0D.2x-y-3=0

變式3.（2023秋?山東濟(jì)寧?高二校考階段練習(xí)）萊昂哈德?歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》

中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn).后來(lái)人們稱(chēng)這條直線(xiàn)為該三角形的歐拉線(xiàn).已知“3C

的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1,0）,（3,0）,（0,2）則的歐拉線(xiàn)方程為.

考點(diǎn)四：直線(xiàn)的截距式方程

（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)工（4,1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程是（)

B.y=x+5

x

D.y=~-

74

變式1.（2023春?上海閔行?高二校考階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)“（5,2）,并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)/有

()條

A.0B.1C.2D.3

變式2.（2023春?湖南衡陽(yáng)?高二衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（4,-3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)

的直線(xiàn)方程為.

變式3.（2023秋?江蘇南京?高二南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)44,-3）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距的

絕對(duì)值相等的直線(xiàn)方程為（）

A.x-y-l=0

B.x+y-l=0

C.x-y_7=0或x+y_l=0

D.x-y-7=0或x+y-l=0或3x+4y=0

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（L2）且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為0（不過(guò)原點(diǎn)）的直線(xiàn)方程為,

此直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)____.

變式5.（2023秋?高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（2,0）,且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于6的直線(xiàn)方程是—.

變式6.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）直線(xiàn)/在x軸上的截距比在y軸上的截距小1,且過(guò)定點(diǎn)4-3,8）,則

直線(xiàn)I的方程為.

變式7.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,2）且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線(xiàn)/的方程.

變式8.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）若直線(xiàn)±+*1（。＞0,6＞0）過(guò)點(diǎn)（2,3）,則2a+6的最小值為_(kāi)_____.

ab

考點(diǎn)五：直線(xiàn)的一般式方程（一）直線(xiàn)的一般式方程及辨析

OQ例5.（2023春?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)尸（3,1）,0（2,4）,則直線(xiàn)尸。的一

般式方程為.

變式1.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)/的方程為"+如-2=0,則下列判斷正確的是（）

A.若ab＞。,則直線(xiàn)/的斜率小于0

B.若6=0,“片0,則直線(xiàn)/的傾斜角為90。

C.直線(xiàn)/可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

D.若。=0,6x0,則直線(xiàn)/的傾斜角為0。

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)直線(xiàn)方程/x+3.v+C=0的系數(shù)B,C滿(mǎn)足什么條件時(shí)，該直線(xiàn)分

別具有以下性質(zhì)？

（1）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；

（2）與兩條坐標(biāo)軸都相交；

（3）只與x軸相交；

（4）是x軸所在直線(xiàn)；

（5）設(shè)戶(hù)（x0,九）為直線(xiàn)/x+gv+C=O上一點(diǎn)，證明：這條直線(xiàn)的方程可以寫(xiě)成“（》-/）+8（y-％）=0.

變式3.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）以下關(guān)于直線(xiàn)3x-即+1=0的說(shuō)法中，不正確的是（）

A.直線(xiàn)即+1=0一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

B.直線(xiàn)3x-即+1=0一定不經(jīng)過(guò)第三象限

C.直線(xiàn)3%-e+1=0一定經(jīng)過(guò)第二象限

D.直線(xiàn)3x-町+1=0可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)

（二）直線(xiàn)的一般式方程的應(yīng)用

（2023秋?江蘇鹽城?高二校考期末）若直線(xiàn)"+y+c=0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則有（)

A.Q>0,?！?B.Q>0,c<0

C.a<0,c>0D.a<0,c<0

變式1.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如果45〉0,5?！?,那么直線(xiàn)Zx+與+。=0不經(jīng)過(guò)的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式2.（2023秋?黑龍江佳木斯?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若直線(xiàn)-1卜-〉+1-2斤=0不過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)

后的取值范圍（）

（.11「1Jr,x「1「

A.[-%B.--,1C.[1,+°°）D.-,1

變式3.【多選】（2023?高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)自，的方程分別為4：尤+即+6=0,小工+少+”;。，它們?cè)?/p>

坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.6〉0,d<0B.b<0,d>0

C.a>cD.Q<。

變式4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線(xiàn)加x-2y-3加=0（加w0）在％軸上的截距是它在歹軸上截距的

4倍，則加=

變式5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）己知直線(xiàn)/x+gv+C=0在x軸的截距大于在y軸的截距，則/、B、C

應(yīng)滿(mǎn)足條件（）

CCCCc

A.A>BB.A<Bc.-+->0D.-----<0

ABAB

考點(diǎn)六：兩直線(xiàn)平行與垂直的應(yīng)用

（一）由直線(xiàn)方程的一般式研究直線(xiàn)的平行與垂直

例7.【多選】（2023秋?浙江溫州?高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線(xiàn)4：4x+Bj+G=。，4：^+B2y+C2=0,

下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)4與4不重合

B.當(dāng)/也一出?產(chǎn)。時(shí)，直線(xiàn)4與4相交

c.當(dāng)/也-44=0時(shí)，11Hl2

D.當(dāng)44+4為=0時(shí)，/1±12

變式1.（2023秋?山東東營(yíng)?高二統(tǒng)考期末）若直線(xiàn)/：（a+l）x-y-3=0與直線(xiàn)〃"x+（2"l）k3=0互

相平行，則。=.

變式2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)4：必+3y+4=0與直線(xiàn)4：2x+（加+l）y+4=0平行，則加的值

為（）

A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3

變式3.（2023秋?河北滄州?高二任丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。>0,8>0,直線(xiàn)（a-l）x+2y+3=0

與直線(xiàn)隊(duì)-了-1=0平行，則上1+：2的最小值是_____.

ab

變式4.（2023秋?北京海淀?高二?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)/?x+y+l=0,4：尤+即+1=。.若4，則實(shí)

數(shù)4=,若〃〃2，貝！J實(shí)數(shù)a=?

變式5.（2023秋?河北滄州?高二任丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)4：ax+y-l=0,/2：（a-l）x-27+l=0,

則“a=-l”是“/—4”的（）條件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要

變式6.【多選】（2023秋?高二校考課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)4:辦-3>+1=0,/2：x-6y+2=0,則（）

A.若…，則:=一3

b

B.若〃〃2，則仍=3

c.若4與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為I,則。=土）

0

D.當(dāng)6<0時(shí)，4不經(jīng)過(guò)第一象限

（二）由兩條直線(xiàn)的平行、垂直求直線(xiàn)方程

例8.（2023秋?四川涼山?高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)（1,1）且與直線(xiàn)x+y-l=O平行的直線(xiàn)方程是（）

A.x-y=0B.x-y-2=0C.x+y+2=0D.x+y-2=0

變式1.（2023春?廣西南寧?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)（T,2）且與直線(xiàn)2x-3y+4=0垂直，貝I]/的方

程是（）

A.2x-3y+5=0B.3x+2y+7=0

C.3x+2y-l=0D.2x-3>+8=0

變式2.（2023春?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)/：3%+4歹+5=0,求：

⑴過(guò)點(diǎn)N（l,l）且與直線(xiàn)I平行的直線(xiàn)的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)/（"）且與直線(xiàn)/垂直的直線(xiàn)的方程.

變式3.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知直線(xiàn)/：3x+4了-7=0,則與已知直線(xiàn)/平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的

三角形的面積為6的直線(xiàn)方程為.

考點(diǎn)七：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

例9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）不論。取何值時(shí)，直線(xiàn)（a-3）x+2町+6=0恒過(guò)第象限.

變式1.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)/：丘-y+1+2左=0（我尺）不經(jīng)過(guò)第四象限，則左的取值范圍為.

變式2.【多選】（2023秋?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于直線(xiàn)/：x=ay+l,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）

B.直線(xiàn)/斜率必定存在

C.加=2時(shí)直線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：

4

D.,”=有時(shí)直線(xiàn)/的傾斜角為60。

變式3.【多選】（2023?高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）

A.若直線(xiàn)y=E+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，貝！1(左,6)在第二象限

B.直線(xiàn)履一y-2左+3=0必過(guò)定點(diǎn)

C.過(guò)點(diǎn)(2廠1),且斜率為的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為了+l=-&(x-2)

D.斜率為-2,且在V軸上的截距為3的直線(xiàn)方程為了=-2尤士3

變式4.(2023秋?安徽滁州?高二?？计谀?已知直線(xiàn)加：(“+2)x+(l-2。)>+4-3。=0.

(1)求證：直線(xiàn)"Z過(guò)定點(diǎn)M；

(2)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)”使直線(xiàn)與兩負(fù)半軸圍成的三角形/O8的面積等于4,求直線(xiàn)〃的方程.

變式5.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知一條動(dòng)直線(xiàn)3(m+l)x+(m-l)y-6〃2-2=0,

(1)求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第二象限，求加的取值范圍；

(3)若直線(xiàn)與xj軸的正半軸分別交于4,2兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，"03的面積為6,求直線(xiàn)的方程.

變式6.(2023秋?浙江杭州?高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥?已知直線(xiàn)/的方程為：(3+m)x-(l-2m)y+(l+5m)=0.

(1)求證：不論相為何值，直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)M；

(2)過(guò)點(diǎn)“引直線(xiàn)總使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

考點(diǎn)八：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積、周長(zhǎng)問(wèn)題

0^］例10.(2023秋?浙江臺(tái)州?高二校考階段練習(xí))已知直線(xiàn)/：加X(jué)-V-4機(jī)+1=0與兩坐標(biāo)軸正半軸分

別交于a3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ZO8面積的最小值為

變式1.(2023秋?浙江紹興?高二諸暨中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)〃(2,1),且與X軸、〉軸的正方

向分別交于/，8兩點(diǎn)，分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程：

(1)8M=2/M時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

(2)當(dāng)0的面積最小時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

變式2.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知直線(xiàn)/的傾斜角為銳角，并且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6,周

長(zhǎng)為12,求直線(xiàn)/的方程.

變式3.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知。8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為5(3,2),C(5,4).

(1)求邊上過(guò)點(diǎn)C的高所在直線(xiàn)的方程；

(2)若直線(xiàn)/與/C平行，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,求直線(xiàn)/與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的

周長(zhǎng).

變式4.（2023秋?四川南充?高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)/與x軸的正半軸、

V軸的正半軸分別交于4B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求△048面積的最小值以及面積最小時(shí)直線(xiàn)I的方程；

（2）是否存在直線(xiàn)/,使△CU8的周長(zhǎng)為12,若存在，求出直線(xiàn)/的方程;若不存在，說(shuō)明理由.

變式5.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)尸（2,1）作直線(xiàn)/分別交x,y的正半軸于A,8兩點(diǎn).

（1）求面積的最小值及相應(yīng)的直線(xiàn)/的方程;

⑵當(dāng)|。4|+|?；厝∽钚≈禃r(shí)，求直線(xiàn)/的方程；

（3）當(dāng)4H尸同取最小值時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

[域真題演練f

----------------------lllllllllllllilllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.兩條直線(xiàn)4'+4>+。］=0,4%+52夕+。2=0垂直的充要條件是（）

A.44+802=0B.44—4為=o

c"=-1B\B?_]

D.

4為44

2.直線(xiàn)%+少=2。+2與辦+>=。+1平行（不重合）的充要條件是（）

A.a=—B.a=—C.a=lD.a=-1

22

3.若直線(xiàn)4：2x+町+1=0與直線(xiàn)4：?=3%—1平行，則加=.

4.直線(xiàn)歹=3、繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線(xiàn)為（）

A.歹=-++；B.歹=-+1C.y=3x—3D.y=3x+1

5.直線(xiàn)4x+y-l=0的傾斜角8=.

6.給定三點(diǎn)力（1,0）,3（-1,0）,C（l,2）,那么通過(guò)點(diǎn)/并且與直線(xiàn)5c垂直的直線(xiàn)方程是

I后過(guò)關(guān)檢測(cè)門(mén);

-------------------llllllllllllllllllllllllllllllllillllllll------------------------

一、單選題

1.（2023春?新疆塔城?高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)（L7）且斜率為g的直線(xiàn)/的方程是（）

A.3x+2>-7=0B.2x+y-4=0

C.x—2y—3=0D.x—2y+3=0

2.（2023秋?高一單元測(cè)試）若/<0,bc<0,則直線(xiàn)Q%+制+。=0不經(jīng)過(guò)第象限（）

A.一B.二C.三D.四

3.（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)4：x+2y-l=0,4：3》->=0的傾斜角分別為6,

%，則（）

A.%>a>a?B.%C.—>>%D.5>a?>ccy

4.（2023秋?重慶長(zhǎng)壽?高二統(tǒng)考期末）若直線(xiàn)《：（。-2）x+y+1=0與直線(xiàn)4：2x-（。+1萬(wàn)-2=0互相平行，

則實(shí)數(shù)的值為（）

A.2或0B.1C.0D.0或-1

5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)加x+y-5=0與2x+（3冽-1”-1=0垂直，則根的值為（）

.11

A.—5B.—C.5D.一

55

6.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）直線(xiàn)cx+Qn+a=0與dx-cy+6=0不同時(shí)為0）的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.斜交D.與a,b,c,d的值有關(guān)

7.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)mx+"y+3=0在y軸上的截距為-3,而且它的斜率是直線(xiàn)=3右的

斜率的相反數(shù)，則（）

A.m=—\/3,〃=1B.m=~\/3，n=-1

C.m=V3,〃=-1D.m=y/3，〃=1

8.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)6-〉+1=3左，當(dāng)左變動(dòng)時(shí)，所有直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（3,1）D.（2,1）

二、多選題

8.（2023秋?福建?高二校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的有（）.

A.直線(xiàn)了="-3。+2過(guò)定點(diǎn)（3,2）

B.過(guò)點(diǎn)（2廠1）且斜率為-g的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y+l=-&（x-2）

C.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線(xiàn)方程為了=-2尤±3

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）且在x軸和〉軸上截距相等的直線(xiàn)方程為x+y-2=0

9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）下列各直線(xiàn)中，與直線(xiàn)-3=0平行的是（）

A.2ax-即一6=0（。w0,〃w2）

B.y=2x

C.2x-y+5=0

D.2