新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.3相似多邊形

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?達(dá)州模擬）如圖，菱形ABCOs菱形AEFG,菱形4MG的頂點(diǎn)G在菱形ABCZ）的BC邊

上運(yùn)動(dòng)，G”與AB相交于點(diǎn)“，NE=60°,若CG=3,AH=1,則菱形48CQ的邊長為（）

A.8B.9C.8V3D.9V3

2.（2025?威海三模）定義：如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線將它分成的四個(gè)小三角形都是相似三角形,

那么稱這樣的四邊形為“全相似四邊形”.如圖,在四邊形ARC。中,AR=AD,CB=CD,下列

條件能使四邊形A8CO成為“全相似四邊形”的是（）

D

A.N人=90°B.Z?=90°C.ZC=90°D.ZD=60°

3.（2024秋?臨清市期末）下列各組圖形中，一定相似的是（)

A.兩個(gè)平行四邊形B.兩個(gè)正方形

C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)菱形

4.（2024秋?豐南區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的面枳比是9：16,其中較大多邊形的周長為48cm,則

較小多邊形的周長為（)

A.36c7〃B.32cmC.3QcmD.27cm

5.（2024秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)相似多邊形時(shí)，三位同學(xué)分別將邊長為4,6,

6的等腰三角形、邊長為4的正方形和長、寬分別為6,4的矩形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張，各

得到一個(gè)新圖形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則畫出的三組圖形中，新圖形和舊圖形是柱似多邊形

的有（）

B.1組C.2組D.3組

6.（2024秋?南通期末）如圖，矩形紙片A8CQ的長AO=a,寬AB=b,E,尸分別為A。，BC兩邊

的中點(diǎn).若將這張紙片沿著直線￡尸對(duì)折，得到的兩個(gè)矩形與原矩形均相似，則匕等于（）

7.（2024秋?興文縣期中）如圖，小福在矩形44co的左邊分割出正方形ABE凡然后在矩形廠石。。

的一組對(duì)邊E尸，C。上分別取中點(diǎn)M,M分割出矩形/和矩形MECM最后把矩形QV/NO

對(duì)半分割成矩形FMHG和矩形GHND.若矩形G”NO與矩形A8CO相似，則矩形A8C。的寬與

長的比黑的值為（）

FG

AD

MN

H

BC

E

1-1-V5V5+1V5-1

A.-B.------C.----D.----

2222

二.填空題（共5小題）

8.（2025?廣陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△/WC中，44=8,4c=10,點(diǎn)力在AC上，且AO=2,若要在A/3

上找一點(diǎn)石，使得△ABCs△8￡；/）,則AE的長為.

9.（2025春?淄川區(qū)期末）如圖，在長為8c”寬為6cm的矩形中，截取一個(gè)矩形（圖中陰影部分

所示），使留下的矩形與原矩形相似，則留下的矩形面積為cm*2.

10.（2023秋?衡東縣校級(jí)期末）在一張由復(fù)印機(jī)通過放大復(fù)印出來的紙上，一個(gè)面積為2門爐圖案

的一條邊由原來的變成4c利，則這次復(fù)印出來的圖案的面積是cnr.

11.（2024秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，小正方形的邊長都為1,則圖形中的陰影三角形柱似的序號(hào)

為.

三.解答題（共3小題）

13.（2024?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）畫圖題

（1）按1：3畫出下面的三角形縮小后的圖形；

（2）按2：1畫出下面的平行四邊形放大后的圖形.

（3）圖（1）縮小后圖形的面積為.

（4）圖（2）放大后圖形的面積

新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.3相似多邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?達(dá)州模擬）如圖，菱形菱形AEFG,菱形AEFG的頂點(diǎn)G在菱形ABCZ）的8。邊

上運(yùn)動(dòng)，G”與A8相交于點(diǎn)〃，ZE=60°,若CG=3,AH=1,則菱形A8C。的邊長為（）

C.873D.9V3

【考點(diǎn)】相似多邊形的件質(zhì)：等邊二.角形的判定與性質(zhì)：菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

RCDU

【分析】連接AC,首先證明△ABC是等邊三角形，再證明△BG〃sZ\C4G,推出77=77，由

ACCG

此構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解:連接AC

C

???菱形4BC￡>s菱形AEFG,

AZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

???△ABC是等邊三角形，設(shè)A4=3C=AC=〃，則3〃=a-7,BG=a-3,

AZACB=60°,

,?ZAGB=NAGH+NBGH=ZACG+ZCAG,

???NAG”=NACG=60°,

:?/BGH=4CAG,

,:4B=Z.ACG,

:ZGHsMAG,

BGBH

*a-3a-7

??,

a3

：.（?-10?+9=0,

.??a=9或1（舍棄），

?"8=9,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是止

確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

2.（2025?威海三模）定義：如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線將它分成的四個(gè)小三角形都是相似三角形，

那么稱這樣的四邊形為“全相似四邊形”.如圖.在四邊形ARC。中,AR=AD,CB=CD,下列

條件能使四邊形A8C。成為“全相似四邊形”的是（）

A.ZA=90°B.ZB=90°C.ZC=90°D.ZD=60°

【考點(diǎn)】相似圖形；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】如圖，連接AC,3。交于點(diǎn)O.證明△A8C0八4。。（SSS）,推出NA3C=NAQC,再

證明當(dāng)N/18C=90°時(shí)符合題意即可.

【解答】解：如圖，連接AC,笈。交于點(diǎn)O.

在△ABC和△AQC中,

(AB=AD

]BC=DC，

(AC=AC

???△ABCdAOC(SSS),

工ZABC=ZADC,

當(dāng)NA3C=90°時(shí),NAOC=90。，

*：AB=AD,BD=DC,

：.AC±BDf

???/A8O+/BAO=90°,NAC8+NBAO=90°,

???/ABO=NACB,

VZAOB=ZBOC=90a,

???AAOBs△BOC,同法可證△AOOs△DOC,

故選項(xiàng)B符合題意.

當(dāng)N4=90°或NC=90°或NO=60°時(shí)小符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等

三角形解決問題.

3.(2024秋?臨清市期末)下列各組圖形中，一定相似的是()

A.兩個(gè)平行四邊形B.兩個(gè)正方形

C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)菱形

【考點(diǎn)】相似圖形.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對(duì)應(yīng)成比例，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用

排除法解答.

【解答】解：A、兩個(gè)平行四邊形不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故本選項(xiàng)正確；

C、兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形相似的判定，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵，難度適中.

4.（2024秋?豐南區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16,其中較大多邊形的周長為48?！?，則

較小多邊形的周長為（）

A.36cmB.32。〃?C.30?！盌.27cm

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】相似多邊形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.據(jù)此列式計(jì)算即可.

【解答】解：:兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16,

，兩個(gè)相似多邊形的相似比為3：4,

???兩個(gè)相似多邊形的周長比是3：4,

設(shè)較小多邊形的周長為

Ax：48=3：4,

x=36?

，較小多邊形的周長為36°〃.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似多邊形的面枳的比等于相似比的平方，周

長的比等于相似比.

5.（2024秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)相似多邊形時(shí)，三位同學(xué)分別將邊長為4,6,

6的等腰三角形、邊長為4的正方形和長、寬分別為6,4的矩形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張，各

得到一個(gè)新圖形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則畫出的三組圖形中，新圖形和舊圖形是相似多邊形

的有（）

A.0組B.1組C.2組D.3組

【考點(diǎn)】相似圖形.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)相似多邊形的定義”對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”進(jìn)行分析即可求解.

【解答】解：如圖所示，延長C8交4'B'于點(diǎn)。，延長8c交A'C于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作尸G〃

8C交A'B'，AfC于點(diǎn)立G,

,:AF〃BD,AB//DF,

???四邊形4BD/是平行四連形,

：.AB=FD,

同理，四邊形ACEG是平行四邊形,

?"C=GE,

t：FG//DE//B,C',

，△川FGsB'c,

*ArFArGAiF,ArG

??

A/B_AfCFD一GE，

ArFAtBtAfFFD

?*?—

AiG~AfCf'AfG'GE‘

AfFAB

???

AtG~AC

A?AB,ABAC

??-9即一_，

AiCfACA/BfArCr

ABBC

同理可得，一9

ArB，BiC!

?_ABACBC

^AfBf~AfCr'B，C，'

「A'Bl//AB,DE//B'C',

/.ZABC=ZAZDB=ZA'B'C,

同理，ZACB=ZA'EC=ZArC'8',

：.ZBAC=ZAr,

B'C's△八8C；

如圖所示，延長A3交）C于點(diǎn)從延長8A交A'D'于點(diǎn)F,延長交4'B,于點(diǎn)E,延

長CB交A'B'于點(diǎn)G,

D

???四邊形A4C。是正方形，邊長為4,四邊形A'夕CD,是正方形，

:?AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=W，NA'=NB'=￡C=Z

D'=9(T,

：.AE=AF=1,BG=BH=1,GE=AB=4,

???A，B'=l+4+l=6=B'C=CD'=A，D',

AB_BC_CD_AD_2

且對(duì)應(yīng)角都是90°,都相等,

ArBfBrCfC，D，AiDf3'

???正方形ABCDs正方形川B'C。'：

如圖所示，矩形A8CQ,AB=CD=4,BC=AO=6,

計(jì)算方法同上述正方形，

J矩形A'B'C'D‘，A'B'=CD'=6,B'C=A'Dl=8,

?-B_￡_￡￡__3

''AiBi_3*B，C，-4’

???矩形A8CO與矩形A'B1CO'不是相似圖形；

綜上所述，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有2組，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的定義，理解并掌握相似多邊形的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2024秋?南通期末）如圖，矩形紙片ABC。的長八。一小寬E,尸分別為AD,8c兩邊

的中點(diǎn).若將這張紙片沿著直線E尸對(duì)折，得到的兩個(gè)矩形與原矩形均相似，則。：。等于（）

A.41：1B.W：1C.2：\[3D.2：1

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【答案】4

【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：???四邊形A8CQ是矩形,

：.AB=CD=b,AD=BC=ih

YE,二分別為4D,BC兩邊的中點(diǎn),

：.AE=ED=BF=CF=^,

???兩個(gè)矩形與原矩形均相似.，

.AEAB

''AB~BC

ba

Vfz>0,/AO,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì).

7.（2024秋?興文縣期中）如圖，小福在矩形A8CZ）的左邊分割出正方形ABEF,然后在矩形尸ECO

的一組對(duì)邊EECO上分別取中點(diǎn)M,N,分割出矩形FMND和矩形MEOV,最后把矩形/MNO

對(duì)半分割成矩形和矩形GHNQ.若矩形GHN。與矩形A8CQ相似，則矩形48C。的寬與

長的比的值為（）

1\/5+1x/5-l

L-B.---------C.-------D.-------

2222

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似：推理能力.

【答案】D

DGDNa

【分析】設(shè)FG=Z）G=mDN=CN=b,由矩形G〃N。與矩形A8C。相似得一=—,求出（?。?/p>

ABADb

2+6=0,解方程得:=卓，先求出*=竽，進(jìn)而可求出皆=與1

bb2AB2AD2

【解答】解：???在矩形ABCD的左邊分割出正方形ABEF,然后在矩形廠ECD的一組對(duì)邊ERCD

上分別取中點(diǎn)M,N,分割出矩形FMND和矩形MECN,最后把矩形FMND對(duì)半分割成矩形FMHG

和矩形GHND,

:.AB=EF=CD,FG=DG、DN=CN.

設(shè)尸G=OG=a,DN=CN=b,

則FD=2a,AB=EF=CD=2b,

???ABE尸是正方形,

：.AF=AB=2b,

AD=2a+2b.

???矩形GHND與矩形ABCD相似,

.DGDN

''AB~加

.ab

**2d-2a+2b'

c^+ab-62=0,

???（鏟+髀1=。，

a—1+遍a—l—y/s

-=------或-=------（舍去），

b2b2

AD2a+2b-1+V51+V5

方==+1=-------

2

AB_2_

AD~1+V5-2?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了正方形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟知以，知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?廣陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△48C中，A8=8,AC=10,點(diǎn)。在AC上，且AO=2,若要在48

上找一點(diǎn)￡，使得AA4cs△AE。，則八七的長為

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【弓題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【答案】|或去

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行分類討論即可得到答案.

【解答】解：△ABC中，4B=8,AC=10,點(diǎn)。在AC上，且40=2,

,ABAC810

當(dāng)--=—,即nn一=一時(shí)L，

AEADAE2

8

-

：.AE=5

,ABAC810

當(dāng)布二即一=—,△ABCS^AEO,

2AE

：.AE=y,

58

故答案為：二或二.

25

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，熟練掌握相似三角形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2025春?淄川區(qū)期末）如圖，在長為8c如寬為6c〃？的矩形中，截取一個(gè)矩形（圖中陰影部分

所示），使留下的矩形與原矩形相似，則留下的矩形面積為27cw2.

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力.

【答案】27.

【分析】根據(jù)相似得出比例式，求出OE的長，再求出矩形EbCO的面積即可.

???矩形ABCD和矩形EFCD相似,

ABAD

DE~CD

*68

??_——,

DE6

Q

解得：DE=2（c〃?），

■;DC=6cm,

???留下的矩形ERA的面積為QEXQC=Ux6=27（c〃?2）,

故答案為：27.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似得出染=染是解此題的關(guān)鍵.

DECD

10.（2023秋?衡東縣校級(jí)期末）在一張由復(fù)印機(jī)通過放大復(fù)印出來的紙上，一個(gè)面積為20n2圖案

的一條邊由原來的1c機(jī)變成40〃，則這次復(fù)印出來的圖案的面枳是32cm2.

【考點(diǎn)】相似圖形.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】復(fù)印前后的圖案按照比例放大或縮小，因此它僅是相似圖形，按照相似圖形的面積比等

于相似比的平方求解即可.

【解答】解：???在一?張由復(fù)印機(jī)通過放大復(fù)印出來的紙上，一個(gè)面積為2。層圖案的一條邊由原來

的1cm變成4cm,

???相似比=*,

???面枳比=（#=得，

???這次復(fù)印出來的圖案的面積=2X16=32（cm2）.

故答案是：32.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形，掌握相似圖形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

11.（2024秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，小正方形的邊長都為1,則圖形中的陰影三角形相似的序號(hào)

【考點(diǎn)】相似圖形.

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)各小正方形的邊長為1,根據(jù)勾股定理分別表示出已知陰影三角形的各邊長，同理利用

勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似可得出

圖中的陰影三角形與已知三角形相似的選項(xiàng).

【解答】解：①三邊分別為：V2,2,V10,②三邊分別為：I,企，遍，③三邊分別為：企，店,3,

④三邊分別為：1，V5,2V2,⑤三邊分別為：2,瓜V13,

..叵2/10/-

???圖形中的陰影三角形相似的序號(hào)為①@.

故答案為：①②.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，以及勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定方法有：1、二

對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；2、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊長對(duì)應(yīng)

成比例的兩三角形相似：4、相似三角形的定義.本題利用的是方法3.

12.（2024秋?雙峰縣期中）如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則Na的度數(shù)是一67°

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

【答案】67°.

【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等以及四邊形內(nèi)角和為360。解決問題即可.

【解答】解：如圖，???四邊形ABCQs四邊形A'B，CDf,

AZA'=NA=138°,

???a=NO=360°-NA-N8-NC=360°-138°-80c-75°=67°,

故答案為67°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考食相似多邊形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題，屬于中考?？碱}型.

三.解答題（共3小題）

13.（2024?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）畫圖題

（1）按1：3畫出下面的三角形縮小后的圖形：

（2）按2：1畫出下面的平行四邊形放大后的圖形.

（3）圖（1）縮小后圖形的面積為3.

（4）圖（2）放大后圖形的面積為

24?????????????????????

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】作圖題；多邊形與平行四邊形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）3；

（4）24.

【分析】（1）找出三角形的兩條直角邊，數(shù)出有幾個(gè)格，把它們分別除以3,然后畫出即可;

（2）找出形平行四邊的底與高，數(shù)出有幾個(gè)格，把它們分別乘以2,然后畫出即可；

（3）根據(jù)縮小后的底和高，利用三角形面積公式II算即可；

（4）根據(jù)放大小后的底和高，利用三角形面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）如圖所示，△AQE即為所求;

（2）如圖所示，平行四邊形AIEIFIGI即為所求:

（3）根據(jù)圖可知AAOE的底為3,高為2,

???△AOE的面積=4x3x2=3,

故答案為：3；

（4）根據(jù)圖可知：平行四邊形AIEIFIGI的底為6,高為4,

，平行四邊形AIEIFIGI的面積6X4=24,

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的放大與縮小，解答本題的關(guān)鍵是掌握比例尺的概念.

14.（2024秋?北鎮(zhèn)市期中）矩形。48cs矩形。QEF,它們的相似比為3：