2025年求最值題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=x^2-4x+6\)在區(qū)間\([1,4]\)上的最小值是（）A.2B.3C.4D.6答案：A2.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值是（）A.7B.8C.9D.10答案：C3.函數(shù)\(y=3x+\frac{12}{x^2}(x\gt0)\)的最小值是（）A.6B.9C.12D.15答案：B4.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=2\)，則\(\sqrt{ab}\)的最大值是（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.2答案：A5.函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)的最大值是（）A.3B.4C.5D.6答案：B6.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值是（）A.2B.4C.6D.8答案：C7.若實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)滿足\(x^2+y^2=1\)，則\(x+y\)的最大值是（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.2答案：B8.函數(shù)\(y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值是（）A.\(\frac{5}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.2D.3答案：A9.已知\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x-1}\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.4答案：C10.函數(shù)\(y=\sinx+\frac{4}{\sinx}(0\ltx\lt\pi)\)的最小值是（）A.4B.5C.6D.8答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列求最值的過程正確的是（）A.若\(x\lt0\)，則\(x+\frac{1}{x}=-[(-x)+\frac{1}{-x}]\leq-2\sqrt{(-x)\cdot\frac{1}{-x}}=-2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=-1\)時(shí)取等號B.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=2\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}(2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y})\geq\frac{1}{2}(2+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}})=2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=y=1\)時(shí)取等號C.若\(x\gt0\)，則\(x^2+\frac{1}{x^2+1}=x^2+1+\frac{1}{x^2+1}-1\geq2\sqrt{(x^2+1)\cdot\frac{1}{x^2+1}}-1=1\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x^2+1=\frac{1}{x^2+1}\)即\(x=0\)時(shí)取等號D.若\(x\)，\(y\inR\)，\(xy\lt0\)，則\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-[(-\frac{x}{y})+(-\frac{y}{x})]\leq-2\sqrt{(-\frac{x}{y})\cdot(-\frac{y}{x})}=-2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=-y\)時(shí)取等號答案：ABD2.對于函數(shù)\(y=x+\frac{16}{x}(x\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.函數(shù)有最小值8B.函數(shù)在\((0,4)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)在\((4,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.當(dāng)\(x=4\)時(shí)，函數(shù)取得最小值答案：ABCD3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=4\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(ab\leq4\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq1\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq2\sqrt{2}\)D.\(a^2+b^2\geq8\)答案：ABCD4.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\x+y\leq1\end{cases}\)，則（）A.\(z=x-y\)的最大值為1B.\(z=x+2y\)的最大值為2C.\(z=3x+y\)的最大值為3D.\(z=x^2+y^2\)的最大值為1答案：ABD5.下列函數(shù)中，有最大值的是（）A.\(y=-x^2+2x\)B.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\gt0\)）C.\(y=-2x+3\)（\(x\inR\)）D.\(y=\sinx\)（\(x\inR\)）答案：AD6.已知\(x\)，\(y\)為正實(shí)數(shù)，且\(2x+y=1\)，則（）A.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(3+2\sqrt{2}\)C.\(4x^2+y^2\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{2x}+\sqrt{y}\)的最大值為\(\sqrt{2}\)答案：ABC7.關(guān)于函數(shù)\(y=3x^2+\frac{1}{x^2}\)，以下說法正確的是（）A.有最小值\(2\sqrt{3}\)B.當(dāng)且僅當(dāng)\(3x^2=\frac{1}{x^2}\)時(shí)取得最小值C.函數(shù)在\((0,\sqrt[4]{\frac{1}{3}})\)上單調(diào)遞減D.函數(shù)在\((\sqrt[4]{\frac{1}{3}},+\infty)\)上單調(diào)遞增答案：ABCD8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+2y=3\)，則（）A.\(xy\)的最大值為\(\frac{9}{8}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\)的最小值為\(\frac{4}{3}\)C.\(x^2+4y^2\)的最小值為\(\frac{9}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{2y}\)的最大值為\(\sqrt{6}\)答案：ABCD9.若函數(shù)\(y=a-x^2+2x\)在區(qū)間\([0,3]\)上有最大值4，則\(a\)的值可能為（）A.3B.4C.5D.6答案：BC10.下列求最值問題可以用基本不等式解決的是（）A.求函數(shù)\(y=x^2+\frac{1}{x^2+2}\)的最小值B.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值C.求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值D.已知\(x\gt0\)，求\(x+\frac{1}{x}\)的最小值答案：BD三、判斷題1.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的最小值是2。（）答案：√2.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則\(ab\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）答案：√3.函數(shù)\(y=-x^2+4x+1\)在區(qū)間\([2,+\infty)\)上有最大值5。（）答案：×4.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=2\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是2。（）答案：√5.函數(shù)\(y=\sinx+\frac{4}{\sinx}(0\ltx\lt\pi)\)的最小值是4。（）答案：×6.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\x+y\leq1\end{cases}\)，則\(z=x+y\)的最大值是1。（）答案：√7.函數(shù)\(y=3x^2+\frac{1}{x^2}\)的最小值是\(2\sqrt{3}\)。（）答案：√8.已知\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x-1}\)的最小值是3。（）答案：√9.函數(shù)\(y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值是\(\frac{5}{2}\)。（）答案：√10.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=2\)，則\(\sqrt{ab}\)的最大值是\(\sqrt{2}\)。（）答案：×四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。先將函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)化為頂點(diǎn)式\(y=(x-1)^2+2\)。其對稱軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)取得最小值\(2\)。然后分別計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)值，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=3^2-2×3+3=6\)。所以函數(shù)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值是6，最小值是2。2.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。將\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)進(jìn)行變形，\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+2=3+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\)。因?yàn)閈(x\gt0\)，\(y\gt0\)，根據(jù)基本不等式\(\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\geq2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{2y}{x}}=2\sqrt{2}\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq3+2\sqrt{2}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}\)時(shí)取等號，即最小值為\(3+2\sqrt{2}\)。3.求函數(shù)\(y=4x+\frac{9}{x}(x\lt0)\)的最大值。因?yàn)閈(x\lt0\)，則\(-x\gt0\)。所以\(y=4x+\frac{9}{x}=-[(-4x)+\frac{9}{-x}]\)。根據(jù)基本不等式，\((-4x)+\frac{9}{-x}\geq2\sqrt{(-4x)\cdot\frac{9}{-x}}=12\)，那么\(-[(-4x)+\frac{9}{-x}]\leq-12\)，即\(y\leq-12\)。當(dāng)且僅當(dāng)\(-4x=\frac{9}{-x}\)，即\(x=-\frac{3}{2}\)時(shí)取等號，所以函數(shù)的最大值是-12。4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，求\(ab+\frac{1}{ab}\)的最小值。由基本不等式\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)，已知\(a+b=1\)，則\(ab\leq(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b=\frac{1}{2}\)時(shí)取等號。令\(t=ab\)，則\(t\in(0,\frac{1}{4}]\)，函數(shù)\(y=t+\frac{1}{t}\)在\((0,\frac{1}{4}]\)上單調(diào)遞減。所以當(dāng)\(t=\frac{1}{4}\)時(shí)，\(y\)取得最小值，\(y=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}\)，即\(ab+\frac{1}{ab}\)的最小值是\(\frac{17}{4}\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^2+\