2025年數(shù)學(xué)競賽策略題目及答案

一、單項選擇題1.若\(a\)、\(b\)、\(c\)為整數(shù)，且\(\verta-b\vert^{19}+\vertc-a\vert^{99}=1\)，則\(\vertc-a\vert+\verta-b\vert+\vertb-c\vert\)的值為（）A.0B.1C.2D.3答案：C2.已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)的圖像如圖所示，對稱軸為直線\(x=1\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(ac\gt0\)B.\(b\lt0\)C.\(b^{2}-4ac\lt0\)D.\(2a+b=0\)答案：D3.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9答案：C4.若分式\(\frac{x^{2}-1}{x+1}\)的值為\(0\)，則\(x\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(\pm1\)答案：B5.已知點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖像上，若\(x_1\ltx_2\lt0\)，且\(y_1\lty_2\)，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k\gt0\)B.\(k\lt0\)C.\(k\geq0\)D.\(k\leq0\)答案：B6.用配方法解方程\(x^{2}-4x+1=0\)，配方后的方程是（）A.\((x+2)^{2}=3\)B.\((x-2)^{2}=3\)C.\((x+2)^{2}=5\)D.\((x-2)^{2}=5\)答案：B7.若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(kx^{2}-4x+3=0\)有實數(shù)根，則\(k\)的非負整數(shù)值是（）A.\(1\)B.\(0\)，\(1\)C.\(1\)，\(2\)D.\(1\)，\(2\)，\(3\)答案：A8.一個圓錐的底面半徑為\(3\)，高為\(4\)，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A.\(15\pi\)B.\(12\pi\)C.\(21\pi\)D.\(24\pi\)答案：A9.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，點\(P\)到圓心\(O\)的距離為\(4\)，則點\(P\)與\(\odotO\)的位置關(guān)系是（）A.點\(P\)在\(\odotO\)內(nèi)B.點\(P\)在\(\odotO\)上C.點\(P\)在\(\odotO\)外D.無法確定答案：A10.已知二次函數(shù)\(y=x^{2}-2mx+m^{2}+m-1\)（\(m\)是常數(shù)）的圖像與\(x\)軸交于點\(A\)、\(B\)，點\(P\)是該圖像的頂點。若\(\trianglePAB\)是直角三角形，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)答案：A二、多項選擇題1.下列運算正確的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\((ab)^{3}=a^{3}b^{3}\)D.\(a^{6}\diva^{2}=a^{4}\)答案：ABCD2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）的圖像經(jīng)過點\(A(0,-2)\)，\(B(1,0)\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(k=2\)B.\(b=-2\)C.當(dāng)\(x\gt1\)時，\(y\gt0\)D.該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為\(2\)答案：ABC4.若關(guān)于\(x\)的不等式組\(\begin{cases}x-m\lt0\\7-2x\leq1\end{cases}\)的整數(shù)解共有\(zhòng)(4\)個，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(6\ltm\lt7\)B.\(6\leqm\lt7\)C.\(6\ltm\leq7\)D.\(3\ltm\leq4\)答案：C5.下列命題中，真命題有（）A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的平行四邊形是矩形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形答案：AC6.已知\(x_1\)，\(x_2\)是一元二次方程\(x^{2}-3x-2=0\)的兩個實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(x_1+x_2=3\)B.\(x_1\cdotx_2=-2\)C.\(x_1^{2}+x_2^{2}=13\)D.\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{3}{2}\)答案：ABCD7.一個不透明的袋子中裝有\(zhòng)(3\)個紅球和\(2\)個綠球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中隨機摸出一個球，然后放回袋子中，再隨機摸出一個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是（）A.\(\frac{9}{25}\)B.\(\frac{6}{25}\)C.\(\frac{3}{10}\)D.\(\frac{3}{5}\)答案：A8.已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①\(abc\gt0\)；②\(2a+b=0\)；③\(a-b+c\lt0\)；④\(4a+2b+c\gt0\)；⑤\(b^{2}-4ac\gt0\)，其中正確的結(jié)論有（）A.①②③B.②④⑤C.②③⑤D.②③④⑤答案：B9.已知點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的圖像上，若\(x_1\ltx_2\lt0\)，則\(y_1\)與\(y_2\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_1\lty_2\)B.\(y_1\gty_2\)C.\(y_1=y_2\)D.無法確定答案：A10.已知\(\odotO\)的半徑為\(r\)，圓心\(O\)到直線\(l\)的距離為\(d\)，若直線\(l\)與\(\odotO\)有兩個不同的交點，則\(d\)與\(r\)的關(guān)系是（）A.\(d\gtr\)B.\(d=r\)C.\(d\ltr\)D.\(d\leqr\)答案：C三、判斷題1.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)。（×）2.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（×）3.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（√）4.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。（×）5.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(a\gt0\)時，函數(shù)圖像開口向上，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。（×）6.若一個多邊形的內(nèi)角和是\(1080^{\circ}\)，則這個多邊形是八邊形。（√）7.方程\(x^{2}-3x+2=0\)的解是\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（√）8.已知點\(A(2,-3)\)，點\(A\)關(guān)于\(x\)軸的對稱點\(A'\)的坐標(biāo)是\((-2,-3)\)。（×）9.若\(\frac{a}=\frac{c}gy6oysg\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)），則\(ad=bc\)。（√）10.半徑為\(2\)的圓的周長是\(4\pi\)。（√）四、簡答題1.先化簡，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)。答案：先對原式進行化簡：\[\begin{align}&(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}\\=&[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^{2}}\\=&\frac{x(x+1)-1}{(x+1)(x-1)}\times\frac{(x+1)^{2}}{x(x+1)}\\=&\frac{x^{2}+x-1}{(x-1)x}\end{align}\]當(dāng)\(x=2\)時，代入化簡后的式子\(\frac{x^{2}+x-1}{(x-1)x}\)，得\(\frac{2^{2}+2-1}{(2-1)\times2}=\frac{4+2-1}{2}=\frac{5}{2}\)。2.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過點\(A(1,4)\)和點\(B(0,2)\)，求這個一次函數(shù)的解析式。答案：把點\(A(1,4)\)和點\(B(0,2)\)代入一次函數(shù)\(y=kx+b\)中。將\(B(0,2)\)代入得\(2=k\times0+b\)，解得\(b=2\)。把\(A(1,4)\)和\(b=2\)代入\(y=kx+b\)得\(4=k\times1+2\)，即\(k=4-2=2\)。所以這個一次函數(shù)的解析式為\(y=2x+2\)。3.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，垂足分別為\(E\)、\(F\)。求證：\(BE=CF\)。答案：因為\(AB=AC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，所以\(\angleBAD=\angleCAD\)。又因為\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，所以\(\angleAED=\angleAFD=90^{\circ}\)。在\(\triangleAED\)和\(\triangleAFD\)中，\(\begin{cases}\angleBAD=\angleCAD\\\angleAED=\angleAFD\\AD=AD\end{cases}\)，所以\(\triangleAED\cong\triangleAFD\)（AAS），則\(AE=AF\)。因為\(AB=AC\)，即\(AB-AE=AC-AF\)，所以\(BE=CF\)。4.已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}-2x+m=0\)有兩個不相等的實數(shù)根，求\(m\)的取值范圍。答案：對于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其判別式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。在方程\(x^{2}-2x+m=0\)中，\(a=1\)，\(b=-2\)，\(c=m\)。因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以\(\Delta\gt0\)，即\((-2)^{2}-4\times1\timesm\gt0\)。\(4-4m\gt0\)，移項得\(4\gt4m\)，兩邊同時除以\(4\)得\(1\gtm\)，即\(m\lt1\)。五、討論題1.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)\(y=x^{2}-2x-3\)的圖像與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點（點\(A\)在點\(B\)左側(cè)），與\(y\)軸交于點\(C\)。請討論如何求\(\triangleABC\)的面積。答案：首先求\(A\)、\(B\)、\(C\)三點的坐標(biāo)。對于\(y=x^{2}-2x-3\)，令\(y=0\)，即\(x^{2}-2x-3=0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，解得