第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第一節(jié)統(tǒng)計課程內(nèi)容要求1.了解總體、個體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機性.2.了解簡單隨機抽樣及分層隨機抽樣.3.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述.4.理解集中趨勢參數(shù)、離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；能用樣本估計總體的取值規(guī)律；理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.[由教材回扣基礎(chǔ)]1.簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.除非特殊說明，所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣抽取方式逐個不放回抽取特點每個個體被抽到的概率相等常用方法抽簽法和隨機數(shù)法2.分層隨機抽樣定義一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層比例分配在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配平均數(shù)計算在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為x，y，則樣本的平均數(shù)w=mm+nx+nm+ny3.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差：求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準，數(shù)據(jù)分組可以是等距，也可以是不等距.①若極差組距為整數(shù)，則極差組距=②若極差組距不為整數(shù)，則極差組距+1=組數(shù).([x]表示不大于x(3)將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.(4)列頻率分布表：計算各小組的頻率.(5)畫頻率分布直方圖：畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸(大長方形的高度)表示頻率組距4.其他統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢5.樣本的數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列(相同的數(shù)據(jù)要重復(fù)列出)，處在最中間位置的那個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)方差s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，x是樣本平均數(shù))，其中s百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值澄清微點·熟記結(jié)論(1)平均數(shù)的性質(zhì).①若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)為ax；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為ax+b.②若M個數(shù)的平均數(shù)是X，N個數(shù)的平均數(shù)是Y，則這(M+N)個數(shù)的平均數(shù)是MX+③若兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數(shù)分別是x和y，則x1+y1，x2+y2，…，xn+yn的平均數(shù)是x+y.(2)方差的性質(zhì).若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差為a2s2.特別地，當a=1時，有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù)，方差是不變的，即不影響數(shù)據(jù)的波動性.[練小題鞏固基礎(chǔ)]一、準確理解概念(判斷正誤)(1)分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).()(2)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(3)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()(4)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、練牢基本小題1.(多選)某城市收集并整理了該市2023年1月份至10月份每月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖，已知該市每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()A.每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月份D.最低氣溫低于0℃的月份有4個解析：選ABC由題圖可以看出，當最低氣溫較大時，最高氣溫也較大，故A正確；10月份的最高氣溫大于20℃，而5月份的最高氣溫不超過20℃，故B正確；從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0℃的月份是1，2，4三個月份，故D錯誤.2.一支田徑隊有男運動員56人，女運動員42人，按性別用分層隨機抽樣的方式從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，則男、女運動員應(yīng)各抽人，人.

答案：16123.如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)為.

解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.5×0.5=0.25，所以月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)為100×0.25=25.答案：254.已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的平均數(shù)和方差分別為.

答案：7，12三、練清易錯易混1.(忽視隨機抽樣的等可能性致誤)某校要從高一、高二、高三共2020名學(xué)生中選取50名學(xué)生組成志愿團，若先用簡單隨機抽樣的方法從2020名學(xué)生中剔除20名學(xué)生，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機抽樣的方法抽取50名學(xué)生，則下面對每名學(xué)生入選的概率描述正確的是.(填序號)

①都相等且為502020；②都相等且為140；③答案：①2.(混淆眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示，則這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為，這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為(精確到0.1)，這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.

答案：7573.3723.(不理解均值、方差的意義)某校高二年級在一次數(shù)學(xué)選拔賽中，因為甲、乙兩人的競賽成績相同，所以決定根據(jù)平時在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試的成績數(shù)據(jù)如下：甲127138130137135131乙133129138134128136則x甲=，x乙=，s甲2=，s乙2答案：133133473383命題視角一抽樣方法的應(yīng)用(自主練通)1.利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為13，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.14 B.1C.514 D.解析：選C根據(jù)題意，9n-1=13，解得n=28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為102.總體由編號為01，02，…，39，40的40個個體組成，從中選取5個個體.利用科學(xué)計算器依次生成一組隨機數(shù)如下，則選出來的第5個個體的編號為()6606586154350242354896321452415248A.54 B.14 C.35 D.32解析：選B生成的隨機數(shù)中落在編號01，02，…，39，40內(nèi)的有06，35，02，35(重復(fù))，32，14.故第5個編號為14.3.山東某高中針對學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參加這兩個社團的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級參加社團的人數(shù)情況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z=5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的35，為了了解學(xué)生對這兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”社團的學(xué)生中應(yīng)抽取人解析：因為“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的35，所以“剪紙”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的25，所以“剪紙”社團的人數(shù)為800×25=320.易知“剪紙”社團中高二年級人數(shù)所占比例為yx+y+z=35+3+2=310，所以“剪紙”社團中高二年級人數(shù)為320×310=96.由題意知答案：64.某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果學(xué)號為1號到30號的同學(xué)平均成績?yōu)?0分，那么學(xué)號為31號到50號同學(xué)的平均成績?yōu)榉?

解析：設(shè)所求平均成績?yōu)閤分，由題意知50×92=30×90+20×x，解得x=95.答案：95[一“點”就過]解決分層隨機抽樣題的關(guān)鍵先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù).常用公式：(1)抽樣比=樣本容量總體容量=各層樣本容量(2)層1的容量∶層2的容量∶層3的容量=樣本中層1的容量∶樣本中層2的容量∶樣本中層3的容量.命題視角二樣本的數(shù)字特征的計算[典例](1)有一組樣本數(shù)據(jù)：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，50%分位數(shù)為b，則有()A.a=13.7，b=15.5 B.a=14，b=15C.a=12，b=15.5 D.a=14.7，b=15(2)已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a(3)(2023·新課標Ⅰ卷)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差[解析](1)把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均數(shù)a=110×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7，因為10×50%=5，所以50%分位數(shù)為b=15+152(2)把題中數(shù)據(jù)按從小到大排列為11，13，15，15，16，16，17，18，18，18，平均數(shù)為a=110(11+13+15+15+16+16+17+18+18+18)=15710=15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b=16，c=18，所以c>b(3)取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為663，故A、C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確.故選B、D[答案](1)D(2)D(3)BD[方法技巧](1)利用平均數(shù)、方差的性質(zhì)可簡化運算，要熟記.(2)方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的幅度.應(yīng)用時注意其公式的簡化形式：(3)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).[針對訓(xùn)練]1.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分 D.87分、85分、90分解析：選C由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為110(100+95+2×90+4×85+80+75)=872.“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量(單位：本)5678910頻數(shù)(單位：人)58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的四分位數(shù)(第75百分位數(shù))是()A.8 B.8.5 C.9 D.10解析：選C由50×75%=37.5，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又5+8+13+11=37<38<5+8+13+11+9=46，故四分位數(shù)(第75百分位數(shù))是9.故選C.3.已知樣本9，10，11，x，y的平均數(shù)是10，標準差為2，則xy=.

解析：由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50，∴x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=(2)2×5=10，得x2+y2-20(x+y)=-192，(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192，∴xy=96.答案：96命題視角三統(tǒng)計圖表的應(yīng)用[典例](1)如圖是甲、乙兩人高考前10次數(shù)學(xué)模擬成績的折線圖，則下列說法錯誤的是()A.甲的數(shù)學(xué)成績最后3次逐漸升高B.甲的數(shù)學(xué)成績在130分以上的次數(shù)多于乙的數(shù)學(xué)成績在130分以上的次數(shù)C.甲有5次數(shù)學(xué)成績比乙高D.甲數(shù)學(xué)成績的極差小于乙數(shù)學(xué)成績的極差(2)(多選)某學(xué)校開展了針對學(xué)生使用手機問題的專項治理，效果顯著，現(xiàn)隨機抽取該校100名學(xué)生，調(diào)查他們周六使用手機的時間(單位：min)，數(shù)據(jù)按照[0，25)，[25，50)，…，[125，150]分組，得到如圖的頻率分布直方圖，則()A.這100名學(xué)生中，有25名學(xué)生周六使用手機的時間在[75，100)內(nèi)B.估計這100名學(xué)生中，周六使用手機的平均時間約為50minC.估計這100名學(xué)生中，周六使用手機時間的第60百分位數(shù)約為80D.估計該校周六使用手機時間超過2h的學(xué)生比例為10%[解析](1)對于A，由折線圖可知甲最后三次數(shù)學(xué)成績逐漸升高，故A說法正確；對于B，甲的數(shù)學(xué)成績在130分以上的次數(shù)為6次，乙的數(shù)學(xué)成績在130分以上的次數(shù)為5次，故B說法正確；對于C，甲有7次數(shù)學(xué)成績比乙高，故C的說法錯誤；對于D，由折線圖可知，甲、乙兩人的數(shù)學(xué)成績的最高成績相同，甲的最低成績?yōu)?20分，乙的最低成績?yōu)?10分，因此甲數(shù)學(xué)成績的極差小于乙數(shù)學(xué)成績的極差，故D說法正確，故選C.(2)根據(jù)頻率分布直方圖得25a=1-25×(0.004+0.006×2+0.012+0.002)=0.25，解得a=0.01，對于A，周六使用手機的時間在[75，100)內(nèi)的頻率為25a=0.25，故有25名同學(xué)，故A正確；對于B，周六使用手機的平均時間約為25×0.004×252+0.006×752+0.012×1252+0.01×1752+0.006×2252+0.002×2752=71.25，故B錯誤；對于C，周六使用手機時間在[0，75)內(nèi)的頻率為25×(0.004+0.006+0.012)=0.55，所以第60百分位數(shù)約為75+0.6-0.550.25×25=80，故C正確；對于D，周六使用手機時間在[100，125)內(nèi)的頻率為0.15，使用手機時間在[125，150]內(nèi)的頻率為0.05，所以周六使用手機時間超過2h的學(xué)生頻率為[答案](1)C(2)AC[方法技巧](1)謹記頻率分布直方圖的相關(guān)公式.①直方圖中各小長方形的面積之和為1.②直方圖中縱軸表示頻率組距，故每組樣本的頻率為組距×頻率組距，③直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù).(2)頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算.①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.[針對訓(xùn)練]1.某高中為了解學(xué)生課外知識的積累情況，隨機抽取200名同學(xué)參加課外知識測試，測試共5道題，每答對一題得20分，答錯得0分.已知每名同學(xué)至少能答對2道題，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則下列說法正確的是()A.該次課外知識測試及格率為90%B.該次課外知識測試得滿分的同學(xué)有30名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若該校共有3000名學(xué)生，則課外知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1440名解析：選C由題圖知，及格率為1-8%=92%，故A錯誤；該測試得滿分的同學(xué)百分比為1-8%-32%-48%=12%，即樣本中有12%×200=24(名)同學(xué)得滿分，但總體學(xué)生數(shù)未知，故B錯誤；中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8%+60×32%+80×48%+100×12%=72.8(分)，故C正確；3000名學(xué)生成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有3000×(48%+12%)=1800(名)，故D錯誤.故選C.2.(多選)某大學(xué)生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度(單位：厘米)，將所得數(shù)據(jù)分成6組：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中正確的是()A.b=0.25B.長度落在區(qū)間[93，94)內(nèi)的個數(shù)為35C.長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間[93，94)內(nèi)D.長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間[93，94)內(nèi)解析：選ABD對于A，由頻率和為1，得(0.35+b+0.15+0.1×2+0.05)×1=1，解得b=0.25，所以A正確；對于B，長度落在區(qū)間[93，94)內(nèi)的個數(shù)為100×0.35=35，所以B正確；對于C，頻率分布直方圖上不能判斷長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間[93，94)內(nèi)，所以C錯誤；對于D，[90，93)內(nèi)有45個數(shù)，[94，96]內(nèi)有20個數(shù)，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間[93，94)內(nèi)，所以D正確.故選A、B、D.命題視角四用樣本估計總體[典例]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和(1)求x，(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高如果y[解](1)∵x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3∴s12=110×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32)=0s22=110×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22)=0(2)∵y-x=10.3-10=0.3，2s12+s2∴y-x=0.3=2×0.15=2×0.152=2×0.0225>2×0.0076，滿足y-x≥2s12[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.[針對訓(xùn)練]1.某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?解：(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為40100=0.4；乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為28100=0.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為65×40+25×20-5×20-75×20100=15由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為70×28+30×17+0×34-70×21100=10比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻率分布表.y的分組[-0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附：74≈8.602.解：(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻率分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100=0.21，產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為2100=0.用樣本頻率分布估計總體分布，得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.(2)y=1100×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30s2=1100×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296s=0.0296=0.02×74≈0.17.所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為0.30，0.17.數(shù)學(xué)建模·練抽象思維——統(tǒng)計中的創(chuàng)新應(yīng)用問題1.一個樣本a，3，5，7的平均數(shù)是b，且a，b分別是數(shù)列{2n-2}(n∈N*)的第2項和第4項，則這個樣本的方差是()A.3 B.4 C.5 D.6解析：選C由題意，得a=22-2=1，b=24-2=4，∴s2=14[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=52.(多選)某生活超市2020年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比如下表所示：生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其他類營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%凈利潤占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%(營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比)，則()A.本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū)B.本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū)C.本季度此生活超市營業(yè)利潤最高的是日用品區(qū)D.本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過50%解析：選BC由題中數(shù)據(jù)知，營業(yè)收入最低的是其他類，故A錯誤；生鮮區(qū)的凈利潤占比為65.8%>12，故B正確；生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為65.8%48.6%×32.5%<50%，故D錯誤；同理可計算其他各區(qū)的營業(yè)利潤率，顯然日用品區(qū)為20.2%10.8%×32.5%，最高，故3.某高校為從甲、乙兩名學(xué)生中選出一名學(xué)生會主席，對甲、乙兩名學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)力進行了考核.已知一個人的領(lǐng)導(dǎo)力由影響力、控制力、決斷力、前瞻力和感召力這五項能力構(gòu)成.通過考核，得到甲、乙兩人的五項能力指標值的雷達圖如圖所示，則下列說法中正確的是()A.從整體上看，乙的領(lǐng)導(dǎo)力高于甲的領(lǐng)導(dǎo)力B.甲、乙兩人的五項能力指標值的方差不同C.如果僅從控制力、決斷力和前瞻力三項能力考慮，乙的領(lǐng)導(dǎo)力低于甲的領(lǐng)導(dǎo)力D.如果僅從影響力、感召力、控制力三項能力考慮，甲的領(lǐng)導(dǎo)力高于乙的領(lǐng)導(dǎo)力解析：選C由雷達圖可得甲的五項能力指標值分別為6，5，4，5，4，乙的五項能力指標值分別為6，4，5，4，5，甲、乙兩人的五項能力指標值的和相同，所以從整體上看，甲、乙兩人的領(lǐng)導(dǎo)力相當，選項A錯誤；由對A的分析易知甲、乙兩人五項能力指標值的方差相同，選項B錯誤；從控制力、決斷力、前瞻力考慮，甲的能力指標值的均值為143，乙的能力指標值的均值為133，故甲的領(lǐng)導(dǎo)力高于乙的領(lǐng)導(dǎo)力，選項C正確；從影響力、感召力、控制力考慮，甲、乙的能力指標值的均值相同，故甲、乙兩人的領(lǐng)導(dǎo)力相當，選項D錯誤.故選4.(多選)某運動隊共有8名運動員，教練為直觀了解運動員的訓(xùn)練效果，統(tǒng)計了近幾個月測試成績的平均分和標準差，得到如下統(tǒng)計圖，則()A.1號和2號運動員比較，1號競技水平較高，且2號成績較穩(wěn)定B.3號和4號運動員比較，3號競技水平較高，且4號成績較穩(wěn)定C.5號和6號運動員的競技水平都低于整體平均水平，且6號成績波動較大D.7號和8號運動員的競技水平都低于整體平均水平，且8號成績波動較大解析：選AD對于A，由統(tǒng)計圖可知，1號運動員成績的平均分和標準差均高于2號運動員，∴1號競技水平較高，2號成績較穩(wěn)定，A正確；對于B，由統(tǒng)計圖可知，3號運動員成績的平均分和4號運動員成績的平均分相同，∴兩名運動員的競技水平相同，B錯誤；對于C，由統(tǒng)計圖可知，5號運動員成績的標準差高于6號運動員成績的標準差，∴5號運動員的成績波動較大，C錯誤；對于D，由統(tǒng)計圖可知，7號和8號運動員成績的平均分均低于整體平均分，8號運動員成績的標準差高于7號運動員成績的標準差，∴7號和8號運動員的競技水平都低于整體平均水平，8號成績波動較大，D正確.故選A、D.[課時跟蹤檢測]一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1.(多選)某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛.為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進行檢驗，則下列說法正確的是()A.應(yīng)采用分層隨機抽樣抽取B.應(yīng)采用抽簽法抽取C.三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的解析：選ACD因為是三種型號的轎車，個體差異明顯，所以選擇分層隨機抽樣，故A正確；因為個體數(shù)目多，用抽簽法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有很好的代表性，故B不正確；抽樣比為571500+6000+2000=3500，三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛，故C正確；分層隨機抽樣中，每一個個體被抽到的可能性相同，故D正確.故選A、C、2.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)從某縣隨機抽取10位居民，他們的幸福感指數(shù)分別為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是()A.7.5 B.8 C.8.5 D.9解析：選C數(shù)據(jù)3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10個，且10×80%=8，所以80%分位數(shù)是第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均數(shù)，為8.5.3.某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校3000名學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委從這3000名學(xué)生中隨機選取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖：則選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為()A.50 B.75 C.100 D.125解析：選B由題意，本次調(diào)查的人數(shù)為50÷10%=500(人)，其中合唱比賽所占的比例為200500=0.4=40%，所以機器人所占的比例為1-10%-20%-15%-40%=15%，所以選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為500×15%=75.故選B4.對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20，25)上的為一等品，在區(qū)間[15，20)和區(qū)間[25，30)上的為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35]上的為三等品.用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為()A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45解析：選D由題圖可知，二等品的概率為1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其是二等品的概率為0.45.5.將6個數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，a去掉最大的一個，剩下的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.8，則a=.

解析：若a是最大的數(shù)，則1+2+3+4+55=3，不符合題意.故5是最大的數(shù)，則1+2+3+4+a5=1.8，解得a=答案：-1二、綜合練——練思維敏銳度1.(多選)PM2.5是空氣質(zhì)量的一個重要指標，我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在35μg/m3~75μg/m3之間空氣質(zhì)量為二級，在75μg/m3以上空氣質(zhì)量為超標.如圖是某地11月1日到10日PM2.5日均值(單位：μg/m3)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則下列敘述正確的是()A.這10天中有4天空氣質(zhì)量為一級B.這10天中PM2.5日均值最高的是11月5日C.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低D.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45解析：選ABC由圖易知：第3，8，9，10天空氣質(zhì)量為一級，故A正確；11月5日PM2.5日均值為82，顯然最大，故B正確；從5日到9日，PM2.5日均值分別為：82，73，58，34，30，逐漸降低，故C正確；將10個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，易知中位數(shù)是45+492=47，故D錯誤2.(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同解析：選CD設(shè)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和極差分別為x，m，s，t，則y1，y2，…，yn的平均數(shù)為x1+c+x2+c+…+xn+cn=x1+x2+…+xn+ncn=x3.等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x9的公差為1，若以上述數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x9為樣本，則此樣本的方差為()A.203 B.10C.60 D.30解析：選A由等差數(shù)列的性質(zhì)得樣本的平均數(shù)為19(x1+x2+…+x9)=19(2x5+2x5+2x5+2x5+x5)=x5，所以該組數(shù)據(jù)的方差為19[(x1-x5)2+(x2-x5)2+…+(x9-x5)2]=19[2×(42+32+22+124.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為()A.9 B.10 C.11 D.12解析：選B不妨設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，則由樣本方差為4，知(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.若5個整數(shù)的平方和為20，則這5個整數(shù)的平方只能在0，1，4，9，16中選取(每個數(shù)最多出現(xiàn)2次)，當這5個整數(shù)的平方中最大的數(shù)為16時，分析可知，總不滿足和為20；當這5個整數(shù)的平方中最大的數(shù)為9時，0，1，1，9，9這組數(shù)滿足要求，此時對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)為x1=4，x2=6，x3=7，x4=8，x5=10；當這5個整數(shù)的平方中最大的數(shù)不超過4時，總不滿足和為20，因此不存在滿足條件的另一組數(shù)據(jù).故選B.5.(2025·武漢模擬)(多選)某市2024年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖，則下列結(jié)論正確的是()A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的2D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍解析：選AD設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為M，而招商引資后經(jīng)濟收入為2M，則招商引資前工資凈收入為M×60%=0.6M，而招商引資后工資凈收入為2M×37%=0.74M，所以工資凈收入增加了，故A正確；招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為M×4%=0.04M，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2M×5%=0.1M，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯誤；招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為0.1M+0.56M=0.66M<25×2M=0.8M，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的25，故C錯誤；招商引資前經(jīng)營凈收入為M×30%=0.3M，招商引資后經(jīng)營凈收入為2M×30%=0.6M，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D6.某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠的產(chǎn)量分布如圖所示.現(xiàn)在用分層隨機抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為；測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時，980小時，1030小時，估計這個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均使用壽命為小時.

解析：由分層隨機抽樣可知，第一分廠應(yīng)抽取100×50%=50(件).由樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，可知這批電子產(chǎn)品的平均使用壽命約為1020×50%+980×20%+1030×30%=1015(小時).答案：5010157.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治、經(jīng)濟、文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出三種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三年級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人.

解析：在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有100-45-32=23(人)，設(shè)500名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有x人，則10023=500x，解得x答案：1158.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為(從小到大排列).

解析：不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4為正整數(shù).由題意，得x1+x2+x3+x4=2×4=8，x2+x3=2×2=4，又x1，x2，x3，x4為正整數(shù)，∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1，x2=x3=2，x4=3或x1=x2=1，x3=x4=3.∵s=14(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=1，∴x1=x2答案：1，1，3，39.甲、乙兩名學(xué)生在5次英語測試中的成績統(tǒng)計如下：甲：74，85，86，90，93；乙：76，83，85，87，97.現(xiàn)要從中選派一人參加英語口語競賽，從統(tǒng)計學(xué)角度，你認為派哪位學(xué)生參加更合適?請說明理由.解：x甲=74+85+86+90+935=85.x乙=76+83+85+87+975=85.s甲2=15×[(74-85.6)2+(85-85.6)2+(86-85.6)2+(90-85.6)2+(93-85.6)2]=15×209.s乙2=15×[(76-85.6)2+(83-85.6)2+(85-85.6)2+(87-85.6)2+(97-85.6)2]=15×231.因為x甲=x乙，s甲2<10.某次人才招聘活動中，某公司計劃招收600名新員工.由于報名者共2000人，遠超計劃，故該公司采用筆試的方法進行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示.已知在頻率分布直方圖中，左邊四個小長方形的高度自左向右依次構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問題：(1)求m；(2)估計此次筆試的平均成績；(3)估計該公司此次招聘的錄取分數(shù)線.解：(1)由題圖知，筆試成績在30到70的頻率為1-(0.020+0.015+0.005)×10=0.6.因為左邊四個小長方形的高度自左向右依次構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，可分別設(shè)為a，2a，4a，8a，所以(a+2a+4a+8a)×10=0.6，解得a=0.004，所以m=0.004×8=0.032.(2)成績在自左向右各段的頻率分別為0.04，0.08，0.16，0.32，0.2，0.15，0.05，則筆試成績的平均值x=0.04×35+0.08×45+0.16×55+0.32×65+0.2×75+0.15×85+0.05×95=67.1.(3)已知報名者共2000人，計劃招收600名新員工，則6002000=0.3.因為成績在80到100分的頻率為0.2，成績在70到80分的頻率為0.2，所以錄取分數(shù)線在70到80分之間，為0.2+0.2-0.30.2×10+70=75(分11.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)請作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可).(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級，估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大，請說明理由.滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意解：(1)作出頻率分布直方圖如圖所示.通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.理由如下：記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)×10=0.6，P(CB)的估計值為(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.第二節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析課程內(nèi)容要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.2.會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理.4.掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件.5.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測.6.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用.[由教材回扣基礎(chǔ)]1.變量的相關(guān)關(guān)系定義兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系正相關(guān)、負相關(guān)從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān)線性相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，則稱這兩個變量線性相關(guān)2.樣本相關(guān)系數(shù)計算公式r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)r的特征①r∈[-1，1].②當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).③當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱3.經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn).當a，b的取值為時，Q=(yi-bxi-a)2達到最小.將y^=b^x+a^稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b^，a^叫做提醒：經(jīng)驗回歸直線一定過點(x，y4.獨立性檢驗(1)假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d則χ2=n((2)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.(3)χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828[練小題鞏固基礎(chǔ)]一、準確理解概念(判斷正誤)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.()(2)通過回歸直線方程y^=bx^+a^可以估計預(yù)報變量的取值和變化趨勢.((3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測價值.()(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2值越大.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√二、練牢基本小題1.已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點圖如圖所示，回歸直線l的方程為y^=b^x+a^，則下列說法正確的是(A.a^>0，b^<0 B.a^>0C.a^<0，b^<0 D.a^<0解析：選D由題圖可知，回歸直線的斜率是正數(shù)，即b^>0；回歸直線在y軸上的截距是負數(shù)，即a^<0，故選2.下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120則表中a，b的值分別為，.

解析：∵a+21=73，∴a=52，又a+22=b，∴b=74.答案：52743.已知x，y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為y^=0.95x+a^，則a^x0134y2.24.34.86.7解析：∵回歸直線必過樣本點的中心(x，y)，又x=2，y=4.5，代入經(jīng)驗回歸方程，得a^=2答案：2.6三、練清易錯易混1.(獨立性檢驗理解不當)某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n=1000)，利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān).計算得χ2=4.453，經(jīng)查閱臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是()A.在100個吸煙的人中約有95個人患肺病B.若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C.有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”D.只有5%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”解析：選C由已知數(shù)據(jù)可得，有1-0.05=95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”.故選C.2.(忽視回歸直線過樣本點中心)已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x34567y2.5344.56根據(jù)上表可得經(jīng)驗回歸方程為y^=b^x-0.25，據(jù)此可以預(yù)測當x=8時，y^=(A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.45解析：選C由題意知x=3+4+5+6+75=5，y=2.5+3+4+4.5+65=4，將點(5，4)代入y^=b^x-0.25，解得b^=0.85，則y^=0.85x-0.25，所以當x=8時，y^=0.85×8-0.命題視角一相關(guān)關(guān)系的判斷(自主練通)1.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3解析：選A由散點圖可知圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故選A.2.已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D.x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：選C因為y=-0.1x+1的斜率小于0，故x與y負相關(guān).因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z=b^y+a^，b^>0，則z=b^y+a^=-0.1b^x+b^3.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx解析：選D用光滑的曲線把圖中各點連接起來，由圖象的大致走向判斷，此函數(shù)應(yīng)該是對數(shù)函數(shù)類型的，故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i=1，2，…，n)都在直線y=12x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A.-1 B.0 C.12 解析：選D所有樣本點均在同一條斜率為正數(shù)的直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為1，故選D.[一“點”就過]判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法散點圖法如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系相關(guān)系數(shù)法利用相關(guān)系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時，相關(guān)性越強命題視角二一元線性回歸模型考法(一)線性回歸模型及其應(yīng)用[例1](2024·衡水開學(xué)考試)當今社會面臨職業(yè)選擇時，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實現(xiàn)人生價值.小明是一名剛畢業(yè)的大學(xué)生，通過直播帶貨的方式售賣自己家鄉(xiāng)的特產(chǎn)，下面是他近5個月的家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y(單位：萬元)的情況，如表所示.月份56789時間代號t12345家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y32.42.221.8(1)根據(jù)5月至9月的數(shù)據(jù)，求y與t之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)，并判斷相關(guān)性；(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很強)(2)求出y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程(結(jié)果中b^保留兩位小數(shù))，并預(yù)測10月收入能否突破1.5萬元，請說明理由.附：8.48≈2.912解：(1)由5月至9月的數(shù)據(jù)可知t=15×(1+2+3+4+5)=3，y=15×(3+2.4+2.2+2+1.8)=2.tiyi=1×3+2×2.4+3×2.2+4×2+5×1.8=31.4，(ti-(yi-y)2=0.722+0.122+(-0.08)2+(-0.28)2+(-0.48=31.4-5×3×2.2810×0.848=-2.88.48≈-因為|r|=|-0.962|=0.962>0.75，所以認為y與t具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.所以a^=y-b^t=2.28-(-0.28)×3=3所以y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為y^=-0.28t+3.12當t=6時，y^=-0.28×6+3.12=1.44因為1.44<1.5，所以10月收入從預(yù)測看不能突破1.5萬元.[方法技巧]求經(jīng)驗回歸方程的步驟步驟一步驟二利用公式計算系數(shù)a步驟三寫出經(jīng)驗回歸方程y^=b^x考法(二)非線性回歸模型[例2]某公司為了了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響，對公司近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)進行了對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計量的值.令ui=xi2，vi=lnyi(i=1，2，…，12)，(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好.(2)①根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01)；②若下一年銷售額y需達到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是多少億元?附：相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗回歸直線y^=a^+b^參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e4.4998≈90.[解](1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，因為|r1|<|r2|，所以從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y=eλx+t的擬合程度更好.(2)①先建立v關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，由y=eλx+t，得lny=t+λx，即v=t+λx.因為λ==211≈0.18，t=v-λx=4.20-211×20≈0.56所以v關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為v^=0.18x+0.56所以y^=e0.18x+0.56②下一年銷售額y需達到90億元，即y=90，代入y^=e0.18x+0.56，得90=e0.18x+0.56又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.18x+0.56，所以x≈4.4998-0.560.18≈21.89所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是21.89億元.[方法技巧]非線性回歸問題的求解步驟(1)作出散點圖或利用已知散點圖；(2)根據(jù)散點圖選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)；(3)作恰當變換，將其化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程；(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過變換，可得非線性回歸方程.[針對訓(xùn)練]1.為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：cm)和身高y(單位：cm)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其經(jīng)驗回歸直線方程為y^=b^x+a^.已知=225，=1600，b^=4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(A.160cm B.163cmC.166cm D.170cm解析：選C由已知x=22.5，y=160，∴a^=160-4×22.5=70，當x=24時，y^=4×24+70=166，故選2.當前，冷凍冷藏類技術(shù)發(fā)展迅速且應(yīng)用廣泛，某制冷技術(shù)重點實驗室研究了不同果蔬在不同凍結(jié)速率下的冰點溫度.設(shè)凍結(jié)速率為x(單位：分鐘)，冰點溫度為y(單位：℃)，下表為某種水果冰點溫度隨凍結(jié)速率變化的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：x1020304050y-5-4.5-212根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖：(1)由散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說明；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測當凍結(jié)速率為60分鐘時，這種水果的冰點溫度.附：當|r|∈[0.75，1]時，兩個變量線性相關(guān)性很強，解：(1)≈1951000×40=0.975，因為0.975∈[0.75，1]，故兩個變量間線性相關(guān)性很強，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)由表可知，x=15×(10+20+30+40+50)=30，y=15×(-5-4.5-2+1+2)=-1.所以a^=y-b^x=-1.7-0.195×30=-7故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.195x-7.55當x=60時，y^=0.195×60-7.55=4.15(℃)故當凍結(jié)速率為60分鐘時，這種水果的冰點溫度為4.15℃.3.為了研究某種細菌隨天數(shù)x變化的繁殖個數(shù)y，設(shè)z=lny，收集數(shù)據(jù)如下：表(Ⅰ)天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y612254995190表(Ⅱ)(1)根據(jù)表(Ⅰ)在圖中作出繁殖個數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點圖，并由散點圖判斷y^=b^x+a^(a^，b^為常數(shù))與y^=c^1ec^2x(c^1，c^(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果和表(Ⅱ)中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(結(jié)果保留2位小數(shù)).解：(1)由題意作出散點圖如圖：由散點圖可知，樣本點是沿指數(shù)型曲線分布，不是分布在某直線附近，故y^=c^1ec^2x(c^1，c^2為常數(shù)，(2)由題意知z=lny，故z^=b^x+a^=z-b^x=3.53-0.69×3.50≈1則z^=0.69x+1.12，故y^=e0.69x+1.命題視角三獨立性檢驗[典例](2022·全國甲卷)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)?附：χ2=n(P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635[解](1)由題表可得A公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為240240+20=12B公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為210210+30=7(2)χ2=500×(240×30-20×210)2(240+20)×(210+30)×(240+210)×(20+30)≈3.205>2所以有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān).[方法技巧]獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表.(2)利用公式χ2=n(ad-bc(3)如果χ2>xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.[針對訓(xùn)練]甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：χ2=n(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

解：(1)因為甲機床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有150件一級品，所以甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為150200=34，因為乙機床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有120件一級品，所以乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為120200(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2=400×(150×80-120×50)2270×130×200×200=40039≈10.256，因為10.256>6.635，[課時跟蹤檢測]一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1.下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系的是()解析：選D觀察散點圖可知，只有D項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系.2.(2025·石家莊模擬)某醫(yī)院為了提高服務(wù)水平和病人滿意度，對一周前出院的病人進行電話回訪，主要涉及住院期間護士的服務(wù)態(tài)度、醫(yī)生是否收取紅包、對醫(yī)院有什么建議等問題.某天上午回訪的5人中，通話時間(單位：秒)如表所示：序號x12345時間y376521m32根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y^=b^x+40.9.據(jù)此求出(5，32)殘差為-7.4，則m=((殘差=實際值-觀測值)A.45 B.25C.37 D.7解析：選A由題知，當x=5時，y^=5b^+40.9=32+7.4=39.4，解得b^=-0.3，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=-0.3x+40.9.當x=x=3時，y^=y=-0.3×3+40.9=40，所以15×(37+65+21+m+32)=40，解得3.現(xiàn)在很多人喜歡“自助游”，某調(diào)查機構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在黃山旅游節(jié)期間，隨機抽取了100人，得如下所示的列聯(lián)表：贊成“自助游”不贊成“自助游”合計男性301545女性451055合計7525100附：χ2=n(α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828參照公式，得到的正確結(jié)論是()A.有99.5%以上的把握認為“贊成‘自助游’與性別無關(guān)”B.有99.5%以上的把握認為“贊成‘自助游’與性別有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別有關(guān)”解析：選D將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計算，得χ2=100×(30×10-45×15)245×55×75×25≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下4.(多選)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.85x-85.71，則下列結(jié)論正確的有()A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心(x，C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則其體重必為58.79kg解析：選ABC對于A，因為0.85>0，所以y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B，經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心(x，y)，故B正確；對于C，因為經(jīng)驗回歸方程為y^=0.85x-85.71，所以身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，故C正確；對于D，當x=170時，y^=0.85×170-85.71=58.79，但這是預(yù)測值，不可斷定其體重必為58.79kg，5.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，3，…，12)，其經(jīng)驗回歸方程為y^=2x+a^，且y1+y2+y3+…+y12=3(x1+x2+x3+…+x12)=24，則實數(shù)a^解析：由題意，得12y=3×12x=24，即x=23，y=2.又經(jīng)驗回歸方程一定過樣本點的中心(x，y)，故2=2×23+a答案：2二、綜合練——練思維敏銳度1.(多選)以下四個命題中，其中正確的是()A.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為y=a+bx，若b=2，x=1，y=3，則a=1B.兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0C.在經(jīng)驗回歸方程y^=0.2x+12中，當變量x每增加一個單位時，則變量y^平均增加0.D.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lny，將其變換后得到線性方程z=0.3x+4，則c=e4，k=0.3解析：選ACD對于選項A，b=2，x=1，y=3代入經(jīng)驗回歸方程y=a+bx，即3=a+2，則a=1，正確；對于選項B，兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，錯誤；對于選項C，在經(jīng)驗回歸方程y^=0.2x+12中，當變量x增加一個單位時，則變量y^=0.2(x+1)+12=0.2x+12+0.2，平均增加0.2個單位，正確；對于選項D，對y=cekx兩邊取對數(shù)得lny=lnc+kx，設(shè)z=lny，則z=kx+lnc，與z=0.3x+4比較得，則4=lnc，k=0.3，即c=e4，2.經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x(萬元)和年飲食支出y(萬元)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程：y^=0.245x+0.321，由經(jīng)驗回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加萬元解析：x變