第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列第一節(jié)兩個計數(shù)原理與排列組合課程內(nèi)容要求1.了解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.理解排列的概念及排列數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡單的實際問題.3.理解組合的概念及組合數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡單的實際問題.[由教材回扣基礎]1.兩個計數(shù)原理名稱完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法N=m+n種不同的方法分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法N=m×n種不同的方法2.排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合的定義作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)Cnm=Anm性質(zhì)Ann=n!,0Cn0=1,Cnm=Cnn澄清微點·熟記結論(1)元素之間與順序有關的為排列,與順序無關的為組合.(2)①排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為CnmA②兩種形式分別為:a.連乘積形式;b.階乘形式.前者多用于數(shù)字計算,后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論證.(3)解受條件限制的排列、組合題,通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一,避免出現(xiàn)重復或遺漏.(4)對于分配問題,一般先分組,再分配,注意平均分組與不平均分組的區(qū)別,避免重復或遺漏.[練小題鞏固基礎]一、準確理解概念(判斷正誤)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.()(5)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(6)若組合式Cnx=Cnm,則x=m成立.(答案:(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×二、練牢基本小題1.從4名女同學和3名男同學中選1人主持本班的某次主題班會,則不同選法的種數(shù)為.

答案:72.3名同學每人從5本不同的電子書中任選1本,共有種不同的選法.

答案:1253.從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動,則男女生都有的選法種數(shù)是.

答案:304.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須在A的右側(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有種.

答案:60三、練清易錯易混1.(混淆兩個計數(shù)原理)一個口袋內(nèi)裝有5個小球,另一個口袋內(nèi)裝有4個小球,所有這些小球的顏色互不相同,則從兩個口袋中各取1個小球,有種不同的取法.

解析:分兩步完成,第一步從第1個口袋內(nèi)任取1個小球有5種方法,第二步從第二個口袋內(nèi)取1個小球有4種方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的取法種數(shù)是5×4=20種.答案:202.(分步、分類時產(chǎn)生重復或遺漏)從1,2,3,…,10中選出3個不同的數(shù),使這三個數(shù)構成等差數(shù)列,則這樣的數(shù)列共有個.

解析:根據(jù)構成等差數(shù)列的公差,分為公差為±1,±2,±3,±4四類,公差為±1時,有8×2=16個;公差為±2時,滿足要求的數(shù)列共有6×2=12個;公差為±3時,有4×2=8個;公差為±4時,只有2×2=4個,由分類加法計數(shù)原理可知,共構成了不同的等差數(shù)列16+12+8+4=40個.答案:40命題視角一兩個計數(shù)原理及應用(自主練通)1.如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析:選B由題意可知E→F有6種走法,F→G有3種走法,由乘法計數(shù)原理知,共6×3=18種走法,故選B.2.某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B,C,D中選擇,其他四個號碼可以從0~9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復),有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇,其他號碼只想在1,3,6,9中選擇,則他的車牌號碼可選的所有可能情況有()A.180種 B.360種 C.720種 D.960種解析:選D按照車主的要求,從左到右第一個號碼有5種選法,第二個號碼有3種選法,其余三個號碼各有4種選法.因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4=960(種).3.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A,B,C三個不同社區(qū)進行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去A社區(qū),乙不去B社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.5解析:選B根據(jù)題意,分兩種情況討論:①乙和甲一起去A社區(qū),此時將丙、丁二人安排到B,C社區(qū)即可,有2種情況;②乙不去A社區(qū),則乙必須去C社區(qū),若丙、丁都去B社區(qū),有1種情況,若丙、丁中有1人去B社區(qū),則先在丙、丁中選出1人,安排到B社區(qū),剩下1人安排到A或C社區(qū),有2×2=4種情況,則不同的安排方法種數(shù)有2+1+4=7種.故選B.4.在三位正整數(shù)中,若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字,則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”.比如“102”,“546”為“駝峰數(shù)”,由數(shù)字1,2,3,4可構成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個.

解析:十位數(shù)的數(shù)為1時,有213,214,312,314,412,413,共6個;十位上的數(shù)為2時,有324,423,共2個,所以共有6+2=8(個).答案:85.如圖,從A到O有種不同的走法(不重復過一點).

解析:分3類:第一類,直接由A到O,有1種走法;第二類,中間過一個點,有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法;第三類,中間過兩個點,有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不同的走法,由分類加法計數(shù)原理可得共有1+2+2=5種不同的走法.答案:5[一“點”就過](1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理,都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.(2)分類標準要明確,做到不重復不遺漏.(3)混合問題一般是先分類再分步.(4)切實理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進行.命題視角二排列問題[典例]3名男生,4名女生,按照不同的要求排隊,求不同的排隊方案的方法種數(shù).(1)選其中5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人;(3)全體站成一排,男、女各站在一起;(4)全體站成一排,男生不能站在一起.[解](1)問題即為從7個元素中選出5個全排列,有A75=2520(2)前排3人,后排4人,相當于排成一排,共有A77=5040(3)相鄰問題(捆綁法):男生必須站在一起,是男生的全排列,有A33種排法;女生必須站在一起,是女生的全排列,有A44種排法;全體男生、女生各視為一個元素,有A22種排法,由分步乘法計數(shù)原理知,共有N=A33·(4)不相鄰問題(插空法):先安排女生共有A44種排法,男生在4個女生隔成的五個空中安排共有A53種排法,故N=A44·A5[方法技巧]求解排列應用問題的5種主要方法直接法適用于沒有限制條件的問題優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中間接法正難則反,等價轉化的方法[針對訓練]1.由1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000的偶數(shù)共有()A.60個 B.48個C.36個 D.24個解析:選C先排個位,然后排萬位,再排其他位置,所以由1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000的偶數(shù)共有2×3×A33=36個.故選2.(2022·新課標Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()A.12種 B.24種C.36種 D.48種解析:選B因為丙、丁要在一起,先把丙、丁捆綁,看作一個元素,連同乙,戊看成三個元素排列,有A33種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式;注意到丙、丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學共有A33×2×2=24種不同的排列方式命題視角三組合問題[典例]已知男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)至少有1名女運動員;(3)隊長中至少有1人參加;(4)既要有隊長,又要有女運動員.[解](1)第1步,選3名男運動員,有C63第2步,選2名女運動員,有C42種選法,共有C63·C42(2)“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”,可用間接法求解.從10人中任選5人有C105種選法,其中全是男運動員的選法有C65種.所以“至少有1名女運動員”的選法有C105-(3)從10人中任選5人有C105種選法.其中不選隊長的方法有C85種.所以“至少有1名隊長”的選法為C105-(4)當有女隊長時,其他人任意選,共有C94種選法.不選女隊長時,必選男隊長,共有C84種選法,其中不含女運動員的選法有C54種,所以不選女隊長時的選法共有C84-C54種.所以既有隊長又有女運動員的選法共有[方法技巧]組合問題的2種題型及解法題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理[針對訓練]1.(2023·新課標Ⅱ卷)某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結果共有()A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.解析:選D由題意,初中部和高中部學生人數(shù)之比為400200=21,所以抽取的60名學生中初中部應有60×23=40(人),高中部應有60×13=20(人),所以不同的抽樣結果共有C40040·2.(2023·新課標Ⅰ卷)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

解析:由題意,可分三類:第一類,體育類選修課和藝術類選修課各選修1門,有C41C41種方案;第二類,在體育類選修課中選修1門,在藝術類選修課中選修2門,有C41C42種方案;第三類,在體育類選修課中選修2門,在藝術類選修課中選修1門,有C42C41答案:643.現(xiàn)有12張不同的撲克牌,其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張,現(xiàn)從中任取3張,要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張,則不同的取法種數(shù)為.

解析:分類完成,含有一張黑桃的不同取法有C31C92=108(種),不含黑桃時,有C93-3C33=81答案:189命題視角四分組分配問題考法(一)整體均分問題[例1]某校抽調(diào)志愿者下沉社區(qū),已知有4名教師志愿者和2名學生志愿者,要分配到3個不同的社區(qū)參加服務.每個社區(qū)分配2名志愿者,若要求兩名學生不分在同一社區(qū),則不同的分配方案有種.

[解析]有4名教師志愿者和2名學生志愿者,要分配到3個不同的社區(qū)參加服務,每個社區(qū)分配2名志愿者,共有C62C42C22A33·A33=90種分配方案;若兩名學生分在同一社區(qū),則有C[答案]72[方法技巧]對于整體均分,解題時要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以Ann(n為均分的組數(shù)),避免重復計數(shù)考法(二)部分均分問題[例2]將并排的有不同編號的5個房間安排給5名工作人員臨時休息,假定每個人可以選擇任一房間,且選擇各個房間是等可能的,則恰有2個房間無人選擇且這2個房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為.

[解析]先將5人分成三組(1,1,3或2,2,1兩種形式),再將這三組人安排到3個房間,然后將2個房間插入前面住了人的3個房間形成的空當中即可,故安排方式共有C51C41C3[答案]900[方法技巧]對于部分均分,解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應除以m!,一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).考法(三)不等分組問題[例3]將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,則有種不同的分法.

[解析]先把書分成三組,把這三組分給甲、乙、丙3名學生.先選1本,有C61種選法;再從余下的5本中選2本,有C52種選法;最后余下3本全選,有C33種選法.故共有C61·C52·C33=60種選法.[答案]360[方法技巧]對于不等分組,只需先分組,后排列,注意分組時,任何組中元素的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).[針對訓練]1.(多選)將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A,B,C三個社區(qū)進行暑期社會實踐活動,要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者,則下列選項正確的是()A.共有18種安排方法B.若甲、乙被安排在同社區(qū),則有6種安排方法C.若A社區(qū)需要兩名志愿者,則有24種安排方法D.若甲被安排在A社區(qū),則有12種安排方法解析:選BD對于A,4名志愿者先分為3組,再分配到3個社區(qū),所以安排方法有C42A33=36種,A錯誤;對于B,甲、乙被安排在同社區(qū),先從3個社區(qū)中選1個安排甲與乙,剩余兩個社區(qū)和剩余兩名志愿者進行全排列,所以安排方法有C31A22=6種,B正確;對于C,A社區(qū)需要兩名志愿者,所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū),再把剩余2名志愿者和2個社區(qū)進行全排列,所以安排方法有C42A22=12種,C錯誤;對于D,甲安排在A社區(qū),分為兩種情況,第一種為A社區(qū)安排了兩名志愿者,所以從剩余3名志愿者中選擇一個,分到A社區(qū),再把剩余2名志愿者和2個社區(qū)進行全排列,安排方法有C31A22種;第二種是A社區(qū)只安排了甲志愿者,2.今年,我校迎來了安徽師范大學數(shù)學系5名實習教師,若將這5名實習教師分配到高一年級的3個班實習,每班至少1名,最多2名,則不同的分配方案有()A.180種 B.120種 C.90種 D.60種解析:選C將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習,每班至少1名,最多2名,則將5名教師分成三組,一組1人,另兩組都是2人,有C51·C42A22=15(種)方法.再將3組分到3個班,共有15·A3.隨著高三學習時間的增加,很多高三同學心理壓力加大.通過心理問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn),某校高三年級有5位學生心理問題凸顯,需要心理老師輔導.已知該校高三年級有3位心理老師,每位心理老師至少安排1位學生,至多安排3位學生,則共有種心理輔導安排方法.

解析:根據(jù)題意,分2步進行分析:①將5位學生分為3組,若有兩組2人,一組1人,有C52C32A22=15種分組方法,若兩組1人,一組3人,有C53=10種分組方法,則有15+10=25種分組方法,②將分好的3組安排給3個老師進行心理輔導答案:150[課時跟蹤檢測]一、基礎練——練手感熟練度1.從甲地到乙地,一天中有5次火車,12次客車,3次飛機航班,還有6次輪船,某人某天要從甲地到乙地,共有不同走法的種數(shù)是()A.26 B.60 C.18 D.1080解析:選A由分類加法計數(shù)原理知有5+12+3+6=26(種)不同走法.2.教學大樓共有五層,每層均有兩個樓梯,由一層到五層的走法有()A.10種 B.25種 C.52種 D.24種解析:選D每相鄰的兩層之間各有2種走法,共分4步.由分步乘法計數(shù)原理,共有24種不同的走法.3.某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了3個新節(jié)目,如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為()A.504 B.210 C.336 D.120解析:選A分三步,先插一個新節(jié)目,有7種方法,再插第二個新節(jié)目,有8種方法,最后插第三個節(jié)目,有9種方法.故共有7×8×9=504種不同的插法.4.(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A.30種 B.60種C.120種 D.240種解析:選C甲、乙二人先選1種相同的課外讀物,有C16=6(種)情況,再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物,有C51C41=20(種)情況,由分步乘法計數(shù)原理可得共有6×20=120(種)5.若三角形三邊均為正整數(shù),其中一邊長為4,另外兩邊長為b,c,且滿足b≤4≤c,則這樣的三角形有個.

解析:當b=1時,c=4;當b=2時,c=4,5;當b=3時,c=4,5,6;當b=4時,c=4,5,6,7.故共有1+2+3+4=10個這樣的三角形.答案:10二、綜合練——練思維敏銳度1.六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種解析:選B第一類:甲在左端,有A55=120第二類:乙在最左端,甲不在最右端,有4A44=96種排法;所以共有120+96=2162.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種解析:選C先從6名同學中選1名安排到甲場館,有C61種選法,再從剩余的5名同學中選2名安排到乙場館,有C52種選法,最后將剩下的3名同學安排到丙場館,有C33種選法,由分步乘法計數(shù)原理知,共有C61·C52·3.從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出,如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi),那么不同的放法種數(shù)為()A.C102A8C.C81A解析:選C先排第1號瓶,從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C81種方法,再排剩余的瓶子,有A95種方法,故不同的放法共C84.從數(shù)字1,2,3,4,5,6,7中任取3個奇數(shù),2個偶數(shù),組成一個無重復數(shù)字且兩個偶數(shù)數(shù)字不相鄰的五位數(shù),則滿足條件的五位數(shù)共有()A.864個 B.432個 C.288個 D.144個解析:選A從數(shù)字1,2,3,4,5,6,7中任取3個奇數(shù),2個偶數(shù)的取法種數(shù)為C43C32.把3個奇數(shù)全排列,有A33種,再把2個偶數(shù)在3個奇數(shù)排后產(chǎn)生的空位置中排列,有A42種,5.(2023·全國甲卷)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()A.120種 B.60種C.30種 D.20種解析:選B先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動,有C51種方式.再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日,有A42種安排方式.所以不同的安排方式共有C51·A426.某人設計一項單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處,然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位,如果擲出的點數(shù)為i(i=1,2,…,6),則棋子就按逆時針方向行走i個單位,一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有()A.22種 B.24種 C.25種 D.27種解析:選D由題意知正方形ABCD(邊長為2個單位)的周長是8個單位,拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處,表示三次骰子的點數(shù)之和是8或16,點數(shù)和為8或16的有125,134,116,224,233,466,556,共有7種組合.組合125,134,每種情況可以排列出A33=6種走法,共有2A33=2×6=12種走法;組合116,224,233,466,556各自可以列出3種走法,共有5×3=15種走法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共有12+15=27(種)走法7.將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()A.12種 B.10種 C.9種 D.8種解析:選A將4名學生均分為2個小組共有C42C22A22=3(種)分法;將2個小組的同學分給2名教師共有A22=2(種)分法;最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A228.(多選)某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力,利用周末進社區(qū)義務勞動.高三一共有6個班,其中只有1班有2個勞動模范,本次義務勞動一共有20個名額,勞動模范必須參加并不占名額,每個班都必須有人參加,則下列說法正確的是()A.若1班不再分配名額,則共有C20B.若1班有除勞動模范之外的學生參加,則共有C19C.若每個班至少3人參加,則共有90種分配方法D.若每個班至少3人參加,則共有126種分配方法解析:選BD對于A,若1班不再分配名額,則20個名額分配到5個班級,每個班級至少1個,根據(jù)插空法,將其分成5組,則共有C194種分配方法,故A錯誤;對于B,若1班有除勞動模范之外的學生參加,則20個名額分配到6個班級,每個班級至少1個,根據(jù)插空法,將其分成6組,則共有C195種分配方法,故B正確;對于C、D,若每個班至少3人參加,1班有2個勞動模范,先滿足每個班級2個名額,還剩10個名額,分配到6個班級,每個班級至少1人,根據(jù)插空法,將其分成6組,則共有C95=126種分配方法,故C錯誤,D正確9.學校在高一年級開設選修課程,其中歷史開設了三個不同的班,選課結束后,有5名同學要求改修歷史,但歷史選修每班至多可接收2名同學,那么安排好這5名同學的方案有種.(用數(shù)字作答)

解析:由已知可得,先將5名學生分成3組,有C51C42C22A22=15種分組方法答案:9010.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意取出4只,則4只鞋子恰成兩雙的不同情況有種;4只鞋子沒有成雙的不同情況有種.

解析:根據(jù)題意只需選出兩雙鞋,所以有C102=45(種)情況.4只鞋若沒有成雙的,則它們來自4雙鞋;先從10雙中取4雙,有C104種取法,再從每雙中取一只,各有C21種取法,所以由分步乘法計數(shù)原理共有C104答案:45336011.植樹造林,綠化祖國.某班級義務勞動志愿者小組參加植樹活動,準備在如圖所示的一拋物線形地塊上的ABCDGFE七點處各種植一棵樹苗,其中A,B,C分別與E,F,G關于拋物線的對稱軸對稱,現(xiàn)有三種樹苗,要求每種樹苗至少種植一棵,且關于拋物線的對稱軸對稱的兩點處必須種植同一種樹苗,則共有不同的種植方法數(shù)是(用數(shù)字作答).

解析:由題意對稱相當于3種樹苗種A,B,C,D四個位置,有且僅有一種樹苗重復,有C31種選法;在四個位置上種植有A44A22=12答案:3612.一個質(zhì)點從原點出發(fā),每秒末必須向右或向左或向上或向下跳一個單位長度,則此質(zhì)點在第10秒末到達點P(2,6)的跳法共有種.(用數(shù)字作答)

解析:要使質(zhì)點從原點出發(fā)10秒末到達點P(2,6),可分為兩類情況.第一類,向上跳6次,向右跳3次,向左跳1次,有C106C43=840(種);第二類,向上跳7次,向下跳1次,向右跳2次,有C107C31=360(種).根據(jù)分類加法計數(shù)原理得答案:120013.從4名男同學中選出2人,6名女同學中選出3人,并將選出的5人排成一排.(1)共有多少種不同的排法?(2)若選出的2名男同學不相鄰,共有多少種不同的排法?(用數(shù)字表示)解:(1)從4名男生中選出2人,有C42從6名女生中選出3人,有C63根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知選出5人,再把這5個人進行排列,共有C42C63A5(2)在選出的5個人中,若2名男生不相鄰,則第一步先排3名女生,第二步再讓男生插空,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有C42C63A3第二節(jié)二項式定理課程內(nèi)容要求1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的問題.[由教材回扣基礎]1.二項式定理(1)定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnb(2)通項:第k+1項為Tk+1=Cnkan-kb(3)二項式系數(shù):二項展開式中各項的二項式系數(shù)為:Cnk(k=0,1,2,…,n2.二項式系數(shù)的性質(zhì)3.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)是指Cn0,Cn1,…,Cnn,它只與各項的項數(shù)有關,而與a,b的值無關;而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關,而且也與a,b的值有關.如(a+bx)n的二項展開式中,第k+1項的二項式系數(shù)是Cnk,而該項的系數(shù)是Cnkan-[練小題鞏固基礎]一、準確理解概念(判斷正誤)(1)Cnran-rbr是(a+b)n的展開式中的第r項.((2)(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a,b無關.()(3)二項展開式中,系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.()(4)(a+b)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分,包括符號等,與該項的二項式系數(shù)不同.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√二、練牢基本小題1.1x-x10的展開式中x2的系數(shù)等于(A.45 B.20 C.-30 D.-90答案:A2.x-2x6的展開式中的常數(shù)項為(A.-150 B.150 C.-240 D.240解析:選Dx-2x6的二項展開式的通項公式為Tk+1=C6kx6-k·-2xk=C6kx6-k·(-2)k·x-k2=(-2)kC6kx6-32k.令6-3.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1+a2+a3+…+a7=.

答案:-24.二項式x3-3答案:924三、練清易錯易混1.(混淆項的系數(shù)和與二項式系數(shù))在二項式x2-2xn的展開式中,所有二項式系數(shù)的和是解析:由題意得2n=32,所以n=5.令x=1,得各項系數(shù)的和為(1-2)5=-1.答案:-12.(易混淆二項式最大的項和二項式系數(shù)最大的項)(2x-1)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

解析:(2x-1)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是第四項,系數(shù)是C6323(-1)3=-答案:-1603.(錯用二項展開式的通項公式)x+1x(1+2x)5的展開式中,x3解析:x+1x(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2∵x(1+2x)5的展開式中含x3的項為xC52(2x)2=40x3,1x(1+2x)5的展開式中含x3的項為1x·C54(2x)4=80x3,答案:120命題視角一二項展開式中特定項及系數(shù)問題考法(一)形如(a+b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量[例1](1)(2024·北京高考)在(x-x)4的展開式中,x3的系數(shù)為()A.6 B.-6C.12 D.-12(2)若二項式x6-1xxn的展開式中含有常數(shù)項,則nA.8 B.9C.10 D.11[解析](1)(x-x)4的展開式的通項Tr+1=C4rx4-r(-x)r=(-1)rC4rx4-r2(r=0,1,2,3,4).由4-r2=3,得r=2,所以(x-x)4的展開式中x3(2)二項式x6-1xxn的通項公式為Tr+1=Cnr(x6)n-r·(-1)r·(x-32)r=Cnr·(-1)r·x3(4n-5r)2,由題意可知含有常數(shù)項,[答案](1)A(2)C[方法技巧]求形如(a+b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量的步驟考法(二)形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)展開式中與特定項相關的量[例2](1)關于二項式(1+ax+x2)(1-x)8,若展開式中含x2的項的系數(shù)為21,則a=()A.3 B.2 C.1 D.-1(2)(2022·新課標Ⅰ卷)1-yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答[解析](1)由題意得x2的系數(shù)為1×C82×(-1)2+a×C81×(-1)+1×C80=21,解得(2)(x+y)8展開式的通項Tr+1=C8rx8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=C86x2y6,令r=5,得T5+1=C85x3y5,所以1-yx(x+y)8的展開式中x2y6[答案](1)C(2)-28[方法技巧]求形如(a+b)n(c+d)m的展開式問題的思路(1)若n,m中一個比較小,可考慮把它展開得到多個,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展開分別求解.(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(3)分別得到(a+b)n,(c+d)m的通項公式,綜合考慮.考法(三)形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量[例3](2025·三明質(zhì)檢)在(2x2+x-1)5的展開式中,x3的系數(shù)為.

[解析](2x2+x-1)5=[2x2+(x-1)]5,故Tr+1=C5r(2x2)5-r(x-1)因為要求x3的系數(shù),所以r=4或5,當r=4時,x3的系數(shù)為C54·2·C43·(-1)3=-40,當r=5時,x3的系數(shù)為C55·C52所以x3的系數(shù)為-40+10=-30.[答案]-30[方法技巧]求形如(a+b+c)n展開式中特定項的步驟[針對訓練]1.(1-2x)3(2+x)4展開式中x2的系數(shù)為()A.0 B.24 C.192 D.408解析:選B由于(1-2x)3的通項公式為Tr+1=C3r(-2x)r,(2+x)4的通項公式為Tk+1=C4k24-kxk.若(1-2x)3中提供常數(shù)項1,(2+x)4的展開式中提供二次項,此時r=0,k=2,則系數(shù)為C30C4222=24;若(1-2x)3中提供一次項,(2+x)4的展開式中提供一次項,此時r=1,k=1,則系數(shù)為-2C31C4123=-192;若(1-2x)3中提供二次項,(2+x)4的展開式中提供常數(shù)項,此時r=2,k=0,則系數(shù)為4C32.(多選)已知1+ax2x-1x6的展開式中各項系數(shù)的和為A.a=1B.展開式中常數(shù)項為160C.展開式系數(shù)的絕對值的和為1458D.展開式中含x2項的系數(shù)為240解析:選ACD對于A,令x=1,所以1+ax·2x-1x6的展開式中各項系數(shù)的和為(1+a)(2-1)6=2,解得a=1,故A正確;對于B和D,2x-1x6展開式通項為Tr+1=C6r(2x)6-r-1xr當6-2r=0時,r=3;當6-2r=1時,r=52(舍去所以1+1x2x-1x6展開式中常數(shù)項為1×C63(當6-2r=2時,r=2;當6-2r=3時,r=32(舍去所以1+1x2x-1x6展開式中含x2項的系數(shù)為1×C62(-1)2×24=240,故B錯誤,D正確;對于C,二項式1+1x2x-1x6展開式系數(shù)的絕對值的和可看作是二項式1+1x2x+3.x+ax4的展開式中x2項的系數(shù)為8,則解析:x+ax4的展開式中第r+1項為Tr+1=C4rx4-raxr=C4rarx4-2r,故當r=1時,T2=C41ax2,因為x2答案:24.x2+2x6的展開式中常數(shù)項是解析:x2+2x6的展開式的通項Tr+1=C6r(x2)6-r·2xr=C6r2rx12-3r,令12-3r=0答案:240命題視角二二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和[典例](1)若x+13xn的展開式中各項系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開式中系數(shù)最大的項是A.63x B.C.4x6x D.4x或4(2)若x2-1xn的展開式中含x的項為第6項,設(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則a1+a2+…+(3)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.

[解析](1)令x=1,可得x+13xn的展開式中各項系數(shù)之和為2n,即8<2n<32,解得n=4,故第3項的系數(shù)最大,所以展開式中系數(shù)最大的項是C42(x(2)x2-1xn的展開式的通項公式為Tr+1=Cnr(x2)n-r·-1xr=Cnr(-1)rx2n-3r,因為含x的項為第6項,所以r=5,2n-3r=1,解得n=8,在(1-3x)n中,令x=1,得a0+a1+…+a8=(1-3)8=28,又a0=1,所以(3)設(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5①,令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②,①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.[答案](1)A(2)255(3)3[方法技巧]1.賦值法的應用(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令x=1即可.(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.2.二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)的展開式中:(1)各項系數(shù)之和為f(1).(2)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=f(1)-提醒:注意區(qū)分二項式系數(shù)與二項展開式的各項系數(shù).[針對訓練]1.已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

解析:由多項式展開式可知,a2=2C42(-1)2+C43(-1)3=12-4=8.令x=0可得a0=2,令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5答案:8-22.在二項式x+3xn的展開式中,各項系數(shù)之和為A,各項二項式系數(shù)之和為B,且A+B=72解析:令x=1,得各項系數(shù)的和為4n,而各項的二項式系數(shù)的和等于2n,根據(jù)已知,得方程4n+2n=72,解得n=3.所以二項展開式的通項Tr+1=C3r(x)3-r3xr=3rC3rx32-32r,顯然當r=1答案:93.已知(1+3x)n的展開式中,后三項的二項式系數(shù)的和等于121,則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.

解析:由已知得Cnn-2+Cnn-1+Cnn=121,則12n·(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15(舍去負值),所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T8=C157(3x)7答案:C157(3x)7和C158(命題視角三二項展開式的應用[典例]設a∈Z,且0≤a<13,若512018+a能被13整除,則a=()A.0 B.1 C.11 D.12[解析]由于51=52-1,512018=(52-1)2018=C20180522018-C20181522017+…-C20182017521+1,又13整除52,所以只需13整除1+a,又0≤a<13,a∈[答案]D[方法技巧]利用二項式定理解決整除問題的思路(1)要證明一個式子能被另一個式子整除,只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此,一般要將被除式化為含相關除式的二項式,然后再展開.(2)用二項式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理展開.但要注意兩點:①余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0,r),r是除數(shù),若利用二項式定理展開變形后,切記余數(shù)不能為負;②二項式定理的逆用.[針對訓練]1.使得多項式81x4+108x3+54x2+12x+1能被5整除的最小自然數(shù)x為()A.1 B.2C.3 D.4解析:選C∵81x4+108x3+54x2+12x+1=(3x+1)4,∴上式能被5整除的最小自然數(shù)為3.2.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…解析:∵1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(∴8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C∵前10項均能被88整除,∴余數(shù)為1.答案:1[課時跟蹤檢測]一、基礎練——練手感熟練度1.x-2x6的展開式中x32A.-12 B.12C.-192 D.192解析:選A二項式x-2x6的展開式的通項公式為Tr+1=C6r·(-2)r·x3-3r2,令3-3r2=32,2.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中x4的系數(shù)為()A.50 B.55C.45 D.60解析:選B(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中x4的系數(shù)是C54+C64+C73.已知(x+1)n的展開式的各項系數(shù)和為32,則展開式中x4的系數(shù)為()A.20 B.15C.10 D.5解析:選D由題意知(x+1)n的展開式的各項系數(shù)和為32,即(1+1)n=2n=32,解得n=5,則二項式(x+1)5的展開式中x4的項為C51x4=5x4,所以x4的系數(shù)為5,故選4.在(1-x)5(2x+1)的展開式中,含x4項的系數(shù)為()A.-5 B.-15C.-25 D.25解析:選B因為(1-x)5=(-x)5+5x4+C53(-x)3+…,所以在(1-x)5(2x+1)的展開式中,含x4項的系數(shù)為5-2C53=-155.(2024·上海高考)在(x+1)n的展開式中,若各項系數(shù)和為32,則展開式中x2的系數(shù)為.

解析:由題意得2n=32,所以n=5,則(x+1)5的通項Tr+1=C5rx5-r1r,令5-r=2,得r=3,所以展開式中x2的系數(shù)為C答案:106.已知m∈Z,二項式(m+x)4的展開式中x2的系數(shù)比x3的系數(shù)大16,則m=.

解析:由C42m2-C43m=16,得3m2-2m-8=0,解得m=2或m=-43,因為m∈Z答案:2二、綜合練——練思維敏銳度1.二項式x-ax8的展開式中x2的系數(shù)是-7,則a=(A.1 B.1C.-12 D.-解析:選B由題意,二項式x-ax8的展開式的通項公式為Tr+1=C8r(-a)rx8-2r,令8-2r=2,則r=3,所以含x2項的系數(shù)為C83(-a)3=2.若ax-1x6展開式的常數(shù)項為60,則a的值為(A.4 B.±4C.2 D.±2解析:選D因為ax-1x6展開式的通項為Tk+1=C6ka6-kx6-k(-1)kx-k2=C6ka6-k(-1)kx6-32k,令6-32k=0,則k=4,所以常數(shù)項為C64a6-4(-3.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中x2的系數(shù)是()A.60 B.80 C.84 D.120解析:選D(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中x2的系數(shù)為C22+C32+…+C92=C33+C32+4.在x-1xn的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為(A.-126 B.-70 C.-56 D.-28解析:選C∵只有第5項的二項式系數(shù)最大,∴n=8,x-Tk+1=(-1)kC8kx8-32k(k=0,1∴展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與相應奇數(shù)項的系數(shù)相等,偶數(shù)項的二項式系數(shù)與相應偶數(shù)項的系數(shù)互為相反數(shù),而展開式中第5項的二項式系數(shù)最大,因此展開式中第4項和第6項的系數(shù)相等且最小,為(-1)3C83=-5.若二項式x2+ax7的展開式中的各項系數(shù)之和為-1,則含x2的項的系數(shù)為A.560 B.-560C.280 D.-280解析:選A取x=1,得二項式x2+ax7的展開式中的各項系數(shù)之和為(1+a)7,即(1+a)7=-1,解得a=-2.二項式x2-2x7的展開式的通項為Tr+1=C7r·(x2)7-r·-2xr=C7r·(-2)r·x14-3r.令14-3r=2,得r=4.因此,二項式6.已知正整數(shù)n≥7,若x-1x(1-x)n的展開式中不含x4的項,則n的值為(A.7 B.8C.9 D.10解析:選Bx-1x(1-x)n=x(1-x)n-1x(1-x)n.∵(1-x)n的展開式的通項為Cnk(-1)kxk,∴x(1-x)n中x4的系數(shù)為Cn3(-1)3,1x(1-x)n中x4的系數(shù)為Cn5(-1)5,故x-1x(1-x)n的展開式中含x4項的系數(shù)為Cn3(-1)3-Cn5(7.(多選)對于x2-3x6的展開式,下列說法正確的是A.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為64C.常數(shù)項為1215D.二項式系數(shù)最大的項為第3項解析:選ABCx2-3x6的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故A正確;在x2-3x6中,令x=1,得(1-3)6=64,故B正確;x2-3x6展開式的通項為Tk+1=C6k(x2)6-k-3xk=(-3)kC6kx12-3k,k≤6,k∈N,令12-3k=0,得k=4,所以常數(shù)項為(-3)4×C68.設(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a2+a4a1A.-6160 B.-122C.-34 D.-解析:選C由二項式定理,得a1=-C51·24=-80,a2=C52·23=80,a3=-C53·22=-40,a4=C54·2=10,所以9.在x-ax5的展開式中,x3的系數(shù)等于-5,則該展開式的各項的系數(shù)中最大值為(A.5 B.10 C.15 D.20解析:選Bx-ax5的展開式的通項Tr+1=C5rx5-r-axr=(-a)rC5rx5-2r,令5-2r=3,則r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展開式中第2,4,6項的系數(shù)為負數(shù),第1,310.(多選)(a-x)(1+x)6的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64,則下列結論中正確的是()A.a=3B.展開式中常數(shù)項為3C.展開式中x4的系數(shù)為30D.展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64解析:選ABD設(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1)①,令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0②.由①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1),所以2×64=64(a-1),解得a=3,故A正確;故二項式為(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=0,得a0=3,即展開式中常數(shù)項為3,故B正確;由(3-x)(1+x)6=3(1+x)6-x(1+x)6,得其展開式中x4的系數(shù)為3×C64-1×C63=25,故C錯誤;由①+②得,2(a0+a2+a4+a6)=64×2,所以a0+a2+a4+a6=64,即展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64,故D正確.故選A、11.已知x-ax10的展開式中含有x112的系數(shù)是-120解析:由二項式定理的展開式可得C10rx10-r-axr=C10r-arx10-3r2.因為x112的系數(shù)是-120,所以x答案:112.已知(1+x)(2-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a3=,a0+a2+a4=.

解析:由(1+x)(2-x)4=(2-x)4+x(2-x)4,得其展開式中x3的系數(shù)a3=C432(-1)3+C4222(-1)2=16.令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=2,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,所以a0+a2+答案:16113.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若a0+a1+…+an=62,則logn25等于.

解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n=2(2n-1)2-1=2n+1-2=62,解得n=5,所以答案:214.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),設Sn=a0+a1+a2+…+an,數(shù)列1Sn的前n項和為Tn,當|Tn-1|≤12020時,n解析:因為(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),令x=1,得Sn=a0+a1+a2+…+an=2n,所以1Sn=12n,所以Tn=121-12n1-12=1-12n,所以|Tn-1|≤12020答案:11第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型課程內(nèi)容要求1.結合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結合實例進行隨機事件的并、交運算.3.結合具體實例,理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.4.通過實例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.5.結合實例,會用頻率估計概率.[由教材回扣基礎]1.樣本點與樣本空間(1)樣本點:我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點,一般地,用ω表示樣本點.(2)樣本空間:全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間,一般地,用Ω表示樣本空間.(3)有限樣本空間:如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.2.事件的關系與運算(1)事件的關系包含關系相等關系定義一般地,若事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等符號B?A(或A?B)A=B圖示(2)并事件與交事件并事件(或和事件)交事件(或積事件)定義一般地,事件A與事件B至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)一般地,事件A與事件B同時發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)符號A∪B(或A+B)A∩B(或AB)圖示(3)互斥事件和對立事件互斥事件對立事件定義一般地,如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,也就是說A∩B是一個不可能事件,即A∩B=?,則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=?,那么稱事件A與事件B互為對立,事件A的對立事件記為A符號A∩B=?A∪B=Ω,A∩B=?圖示3.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A,都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B)性質(zhì)6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)4.概率與頻率(1)隨機事件的概率:對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.(2)頻率的穩(wěn)定性:在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).5.古典概型的計算公式假設樣本空間含有n個樣本點,事件C包含有m個樣本點,則P(C)=mn澄清微點·熟記結論(1)頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變,概率是一個常數(shù).(2)對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件.(3)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽視只有當A∩B=?,即A,B互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B),此時P(A∩B)=0.(4)當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時,要用到概率加法公式的推廣,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).[練小題鞏固基礎]一、準確理解概念(判斷正誤)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(3)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.()(4)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()(5)兩互斥事件的概率和為1.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×二、練牢基本小題1.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶答案:D2.一架飛機向目標投彈,擊毀目標的概率為0.2,目標未受損的概率為0.4,則使目標受損但未擊毀的概率為.

答案:0.43.甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”,決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績,回答者對甲說“雖然你的成績比乙好,但是你倆都沒得到第一名”;對乙說“你當然不會是最差的”,從上述回答分析,丙是第一名的概率是.

答案:1三、練清易錯易混1.(混淆互斥事件與對立事件)袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則①恰有1個白球和全是白球;②至少有1個白球和全是黑球;③至少有1個白球和至少有2個白球;④至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事件中,是互斥事件但不是對立事件的為()A.① B.② C.③ D.④解析:選A由題意可知,事件③④均不是互斥事件;①②為互斥事件,但②又是對立事件,滿足題意只有①,故選A.2.(樣本點的個數(shù)不清)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是.

答案:13.(混淆頻率與概率)給出下列三個命題,其中正確命題有個.

①有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品;②做7次拋硬幣的試驗,結果3次出現(xiàn)正面,因此正面出現(xiàn)的概率是37③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.解析:①錯,不一定是10件次品;②錯,37是頻率而非概率;③錯,頻率不等于概率,這是兩個不同的概念答案:0命題視角一隨機事件的頻率與概率[典例]某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25℃的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25℃,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20℃,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值為900,300,-100,Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20℃的頻率為36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8[方法技巧]1.概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復試驗,事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.[針對訓練]1.某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下:賠付金額/元01000200030004000車輛數(shù)/輛500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率;(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.解:(1)由題意,樣本車輛數(shù)為1000,設A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,由頻率估計概率得P(A)=1501000=0.15,P(B)=1201000=0.由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3000元和4000元,且事件A與B為互斥事件,所以所求概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”,由已知,可得樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100(輛),而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機的有0.2×120=24(輛),所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為24100=0.24,由頻率估計概率得P(C)=0.242.電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率.(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率.(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結論)解:(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,獲得好評的第四類電影的部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為502000=0.025(2)由題意知,樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計為1-3722000=0.814(3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.命題視角二互斥事件、對立事件的概率[典例]一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1球,求:(1)取出的小球是紅球或黑球的概率;(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率.[解]記事件A={任取1球為紅球};B={任取1球為黑球};C={任取1球為白球};D={任取1球為綠球},則P(A)=512,P(B)=412,P(C)=212,P(D)(1)由于A,B互斥,故取出1球為紅球或黑球的概率為P1=P(A)+P(B)=512+412=(2)任取一球,取出的小球是紅球或黑球或是白球的對立事件是取出一個小球是綠球.故P2=1-P(D)=1-112=11[方法技巧]復雜的互斥事件的概率的兩種求法直接法第一步,根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和;第二步,運用互斥事件的概率求和公式計算概率間接法第一步,求事件的對立事件的概率;第二步,運用公式P(A)=1-P(A)求解.特別是含有“至多”“至少”的題目,用間接法就顯得比較簡便[針對訓練]經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率;(2)至少3人排隊等候的概率.解:記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.命題視角三古典概型考法(一)簡單的古典概型[例1](1)(2022·新課標Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A.16 B.C.12 D.(2)(2024·全國甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,則丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.[解析](1)從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),共有C72=21(種)取法,取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14種,根據(jù)古典概型的概率公式,得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為1421=23(2)法一畫出樹狀圖:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24種排法,其中丙不在排頭,且甲或乙在排尾的排法共有8種,所以所求概率為824=13,故選法二甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24(種)排法.丙不在排頭,甲或乙在排尾,則丙在中間兩個位置中選一個,有2種選法,甲或乙兩人中選一個排尾也有2種選法,余下2人全排列,有A22=2(種)排法,故共有2×2×2=8(種)排法,所以所求概率為[答案](1)D(2)B[方法技巧]求古典概型概率的3步驟考法(二)古典概型與其他知識的交匯[例2](1)已知向量a=(x,y),b=(1,-2),從6張大小相同分別標有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中,有放回地抽取兩張,x,y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號碼,則滿足a·b>0的概率是()A.112 B.C.15 D.(2)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點的概率為.

[解析](1)設(x,y)表示一個樣本點,則兩次抽取卡片的所有樣本點有36個,a·b>0,即x-2y>0,滿足x-2y>0的樣本點有(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(5,2),(6,2),共6個,所以所求概率P=636=1(2)依題意,將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有6×6=36種,其中滿足直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點,即滿足2aa2+b2≤2,即a≤b,滿足a≤b的數(shù)組(a,b)有6+5+4+3+2+1=21種[答案](1)D(2)7[方法技巧]求解古典概型與其他知識交匯問題的思路解決古典概型與其他知識交匯問題,其關鍵是將平面向量、直線與圓、函數(shù)的單調(diào)性及方程的根情況轉化為概率模型,再按照求古典概型的步驟求解.[針對訓練]1.從集合A={-2,-1,2}中隨機抽取一個數(shù)記為a,從集合B={-1,1,3}中隨機抽取一個數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.29 B.C.49 D.解析:選A(a,b)所有可能的結果為(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9種.由ax-y+b=0得y=ax+b,當a≥0,b≥0時,直線不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)的結果為(2,1),(2,3),共2種,∴直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率P2.(2025年1月·八省高考適應性演練)有8張卡片,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

解析:從8張卡片中隨機抽出3張,則樣本空間中的樣本點總數(shù)為C83=8×7×63×2=56,因為1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應為18,則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3種,所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點共3個,所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5答案:33.在某次測驗中,有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,2,…,6)的同學所得成績,且前5位同學的成績?nèi)缦?編號n12345成績xn7076727072(1)求第6位同學的成績x6,及這6位同學成績的標準差s.(2)從前5位同學中,隨機地選2位同學,求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率.解:(1)因為這6位同學的平均成績?yōu)?5分,所以16(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90,這6s2=16[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49所以標準差s=7.(2)從前5位同學中,隨機地選出2位同學的成績有(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種結果,恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種結果,故所求的概率P=410=2數(shù)學建?！ぞ毘橄笏季S——古典概型中的創(chuàng)新應用問題1.食物鏈亦稱“營養(yǎng)鏈”,是指生態(tài)系統(tǒng)中各種生物為維持其本身的生命活動,必須以其他生物為食物的這種由食物聯(lián)結起來的鏈鎖關系.這種攝食關系,實際上是太陽能從一種生物轉到另一種生物的關系,也即物質(zhì)能量通過食物鏈的方式流動和轉換.如圖為某個生態(tài)環(huán)境中的食物鏈,若從鷹、麻雀、兔、田鼠以及蝗蟲中任意選取兩種,則這兩種生物恰好構成攝食關系的概率為()A.13 B.C.35 D.解析:選B從鷹、麻雀、兔、田鼠以及蝗蟲中任意選取兩種,不同的選法有C52=10(種),其中恰好構成攝食關系的有鷹與田鼠、鷹與兔、鷹與麻雀、麻雀與蝗蟲,共4種.所以所求事件的概率P=4102.公元5世紀,數(shù)學家祖沖之估計圓周率的值的范圍是3.1415926<π<3.1415927.為紀念祖沖之在圓周率上的成就,把3.1415926稱為“祖率”,這是中國數(shù)學的偉大成就.某小學教師為幫助同學們了解“祖率”,讓同學們從小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6中隨機選取2位數(shù)字,整數(shù)部分3不變,那么得到的數(shù)大于3.14的概率為()A.2831 B.C.2231 D.解析:選A選擇數(shù)字的總的方法有5×6+1=31(種),其中得到的數(shù)不大于3.14的數(shù)為3.11,3.12,3.14,所以得到的數(shù)大于3.14的概率為P=1-331=2831.故選3.(多選)同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標有1,2,3,4的正四面體一次,記事件A={第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)},事件B={第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)},事件C={兩個四面體