13/55第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式第一節(jié)集合課程內(nèi)容要求1.了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系,能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上,用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合,了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能求兩個(gè)集合的并集與交集,理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集.4.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.[由教材回扣基礎(chǔ)]1.集合的有關(guān)概念(1)集合元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性.(2)集合與元素的關(guān)系:若a屬于集合A,記作a∈A;若b不屬于集合A,記作b?A.(3)集合的表示方法:列舉法、描述法、圖示法.(4)五個(gè)特定的集合:自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集NN*或N+ZQR2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素A?B或B?A真子集如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?AA?B或B?A相等集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素,集合B中的每一個(gè)元素也都是集合A中的元素A?B且B?A?A=B空集空集是任何集合的子集??A空集是任何非空集合的真子集??B且B≠?3.集合的三種基本運(yùn)算語(yǔ)言表示圖形表示符號(hào)語(yǔ)言并集所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B={x|x∈A,且x∈B}補(bǔ)集若全集為U,則集合A的補(bǔ)集為?UA?UA={x|x∈U,且x?A}4.集合基本運(yùn)算的性質(zhì)(1)A∩A=A,A∩?=?.(2)A∪A=A,A∪?=A.(3)A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A.(4)A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?.澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論1.有限集的子集個(gè)數(shù).設(shè)集合A是有n(n∈N*)個(gè)元素的有限集.(1)A的子集個(gè)數(shù)是2n;(2)A的真子集個(gè)數(shù)是2n-1;(3)A的非空子集個(gè)數(shù)是2n-1;(4)A的非空真子集個(gè)數(shù)是2n-2.2.?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).3.?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).[練小題鞏固基礎(chǔ)]一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若{x2,1}={0,1},則x=0或x=1.()(4)任意兩個(gè)集合A,B,(A∩B)?(A∪B)成立.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√二、練牢基本小題1.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,則實(shí)數(shù)x的值為.

答案:1或42.設(shè)全集為R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則?R(A∪B)=,(?RA)∩B=.

答案:{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}3.集合{x|(x-1)(x-2)(x-3)2=0}的子集個(gè)數(shù)為,非空真子集的個(gè)數(shù)為.

答案:86三、練清易錯(cuò)易混1.(忽視元素的互異性)已知集合A={1,3,m},B={1,m},若B?A,則m=()A.1 B.0或1或3C.0或3 D.1或3解析:選C由B?A,得m=3或m=m,解m=m,得m=0或m=1,由集合元素的互異性知m≠1.∴m=0或m=3.2.(忽視空集的情形)已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,則實(shí)數(shù)a的值為()A.-1 B.1C.-1或1 D.0或1或-1解析:選D由M∩N=N,得N?M,當(dāng)N=?時(shí),a=0;當(dāng)N≠?時(shí),1a=a,解得a=±1,故a的值為±1,03.(忽視集合運(yùn)算中端點(diǎn)取舍)已知集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析:由A∪B=A,得B?A,如圖所示,所以m≥3.答案:[3,+∞)命題視角一集合的基本概念(自主練通)1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為()A.9 B.8C.5 D.4解析:選A將滿足x2+y2≤3的整數(shù)x,y全部列舉出來(lái),即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個(gè).故選A.2.如果集合A={x|ax2+4x+1=0}中只有一個(gè)元素,則a的值為()A.0 B.4C.0或4 D.不能確定解析:選C當(dāng)a=0時(shí),集合A=-14,只有一個(gè)元素,滿足題意;當(dāng)a≠0時(shí),由集合A中只有一個(gè)元素,可得Δ=42-4a=0,解得a=4.綜上,a的值為0或3.已知集合A={0,1,2},B={ab|a∈A,b∈A},則集合B中元素個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.5解析:選C因?yàn)锳={0,1,2},a∈A,b∈A,所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4,故B={ab|a∈A,b∈A}={0,1,2,4},即集合B中含有4個(gè)元素.4.設(shè)集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A,B中有唯一的公共元素9,則實(shí)數(shù)a的值為.

解析:由題意知9∈A.若2a-1=9,即a=5,此時(shí)A={-4,9,25},B={9,0,-4},則集合A,B中有兩個(gè)公共元素-4,9,與已知矛盾,舍去.若a2=9,則a=±3,當(dāng)a=3時(shí),A={-4,5,9},B={9,-2,-2},B中有兩個(gè)元素均為-2,與集合中元素的互異性矛盾,舍去;當(dāng)a=-3時(shí),A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合題意.綜上所述,a=-3.答案:-3[一“點(diǎn)”就過(guò)](1)研究集合問(wèn)題時(shí),首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么,即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他集合;然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么,從而準(zhǔn)確把握集合的含義.(2)利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí),要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.命題視角二集合間的基本關(guān)系[典例](1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.15 D.16(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

[解析](1)A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3},其真子集的個(gè)數(shù)為23-1=7.(2)因?yàn)锽?A,所以,①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2.②若B≠?,則2m-1≥m+1,m+1由①②可得,符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].[答案](1)A(2)(-∞,3][方法技巧](1)一般利用數(shù)軸法、Venn圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合間的關(guān)系,如果集合中含有參數(shù),需要對(duì)式子進(jìn)行變形,有時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論.(2)確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù),需要先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù).不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿足的式子或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,常用數(shù)軸法、Venn圖法.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知集合M={x|y=1-x2,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},則集合M,N的關(guān)系是(A.M?N B.N?MC.M??RN D.N??RM解析:選B依題意知,M={x|y=1-x2,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以N?M.故選2.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A?B,則a=()A.2 B.1C.23 D.解析:選B依題意有a-2=0或2a-2=0.當(dāng)a-2=0時(shí),解得a=2,此時(shí)A={0,-2},B={1,0,2},不滿足A?B;當(dāng)2a-2=0時(shí),解得a=1,此時(shí)A={0,-1},B={-1,0,1},滿足A?B.所以a=1,故選B.命題視角三集合的運(yùn)算考法(一)集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算[例1](1)(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)若集合M={x|x<4},N={x|3x≥1},則M∩N=()A.{x|0≤x<2} B.xC.{x|3≤x<16} D.x(2)(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},則?U(M∪N)=()A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.?[解析](1)因?yàn)镸={x|x<4}={x|0≤x<16},N={x|3x≥1}=xx≥13,所以M∩(2)法一:M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以?U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍數(shù),即?U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故選A.法二:集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集,則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集,故選A.[答案](1)D(2)A[方法技巧]解決集合運(yùn)算問(wèn)題的3個(gè)技巧看元素構(gòu)成集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵對(duì)集合化簡(jiǎn)有些集合是可以化簡(jiǎn)的,先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算,可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決應(yīng)用數(shù)形離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算,常借助Venn圖求解;連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算,常借助數(shù)軸求解考法(二)利用集合的運(yùn)算求參數(shù)[例2](1)設(shè)集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|2x-a<0},且A∩B={x|-1<x<1},則a=()A.-1 B.-2C.1 D.2(2)已知集合A={x|x>2或x<-4},B={x|x<a},若A∪B=R,則a的取值范圍為()A.[-4,+∞) B.(-4,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)[解析](1)由題意,集合A={x|-1<x<3},B={x|2x-a<0}=xx<a2,因?yàn)锳∩B={x|-1<x<1},可得a2=1,(2)因?yàn)榧螦={x|x>2或x<-4},B={x|x<a},要使A∪B=R,如圖所示,需有a>2,故選D.[答案](1)D(2)D[方法技巧]利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)與不等式有關(guān)的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點(diǎn)值能否取到.(2)若集合能一一列舉,則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程(組)求解.提醒:在求出參數(shù)后,注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足互異性).[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=()A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}解析:選A因?yàn)锳={x|-5<x3<5}={x|-35<x<35},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<35<2,所以A∩B={-1,0}.2.已知M,N為R的兩個(gè)不相等的非空子集,若M∩N=M,則()A.M∪N=R B.M∪(?RN)=RC.N∪(?RM)=R D.(?RM)∪(?RN)=R解析:選C依題意M∩N=M,所以M?N,則集合M,N與R的關(guān)系如圖所示,所以N∪(?RM)=R.3.已知集合A={x|x<3},B={x|x>a},若A∩B≠?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.[3,+∞) B.(3,+∞)C.(-∞,3) D.(-∞,3]解析:選C因?yàn)锳∩B≠?,所以結(jié)合數(shù)軸可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3),故選C.數(shù)學(xué)建?！ぞ毘橄笏季S——集合中的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題1.(2024·重慶模擬)設(shè)集合A={(x,y,z)|x,y,z∈{-1,0,1}},那么集合A滿足條件“|x|+|y|+|z|=2”的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6C.9 D.12解析:選D若x=0,則y,z∈{-1,1},即有序數(shù)對(duì)(y,z)有4種取法,同理若y=0,則x,z∈{-1,1},即有序數(shù)對(duì)(x,z)有4種取法,若z=0,則x,y∈{-1,1},即有序數(shù)對(duì)(x,y)有4種取法,綜上所述,集合A滿足條件“|x|+|y|+|z|=2”的元素個(gè)數(shù)為4+4+4=12.2.設(shè)U是一個(gè)非空集合,F是U的子集構(gòu)成的集合,如果F同時(shí)滿足:①?∈F,②若A,B∈F,則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F,那么稱(chēng)F是U的一個(gè)環(huán).下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.若U={1,2,3,4,5,6},則F={?,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一個(gè)環(huán)B.若U={a,b,c},則存在U的一個(gè)環(huán)F,F含有8個(gè)元素C.若U=Z,則存在U的一個(gè)環(huán)F,F含有4個(gè)元素且{2},{3,5}∈FD.若U=R,則存在U的一個(gè)環(huán)F,F含有7個(gè)元素且[0,3],[2,4]∈F解析:選D由題意可得F={?,{1,3,5},{2,4,6},U}滿足環(huán)的兩個(gè)要求,故F是U的一個(gè)環(huán),故A正確;若U={a,b,c},則U的子集有8個(gè),則U的所有子集構(gòu)成的集合F滿足環(huán)的定義,且有8個(gè)元素,故B正確;如F={?,{2},{3,5},{2,3,5}}滿足環(huán)的要求,且含有4個(gè)元素,{2},{3,5}∈F,故C正確;令A(yù)=[0,3],B=[2,4],∵A,B∈F,∴A∩?UB=[0,2)∈F,B∩?UA=(3,4]∈F,A∪B=[0,4]∈F,設(shè)C=[0,2),則A∩?UC=[2,3]∈F,設(shè)D=[0,4],E=[2,3],則D∩?UE=[0,2)∪(3,4]∈F,再加上?,F中至少有8個(gè)元素,故D錯(cuò)誤.故選D.3.(2024·烏魯木齊一模)已知集合A={(x,y)|x-y=1},B={(x,y)|(x-2)2+(y+3)2=9},則A∩B的子集個(gè)數(shù)為.

解析:集合A表示直線x-y=1上點(diǎn)的集合,集合B表示圓(x-2)2+(y+3)2=9上點(diǎn)的集合.圓(x-2)2+(y+3)2=9的圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑為3,點(diǎn)(2,-3)到直線x-y=1的距離為|2+3-1|12+(-1)2=22<3,所以直線x-y=1與圓(x-2)2+(y+3)2=9相交,所以A∩B共有2個(gè)元素,所以A∩答案:44.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個(gè)關(guān)系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)寫(xiě)出滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)組(a,b,c,d)=,符合條件的全部有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是.

解析:顯然①不可能正確,否則①②都正確;若②正確,則a=2,b=3,c=1,若④正確,則a=2,b=所以符合條件的數(shù)組共6個(gè).答案:(3,2,1,4)(填一個(gè)正確的即可)6[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]1.(多選)若集合M?N,則下列結(jié)論正確的是()A.M∩N=M B.M∪N=MC.M?(M∩N) D.(M∪N)?N解析:選ACD由于M?N,即M是N的子集,故M∩N=M,M∪N=N,從而M?(M∩N),(M∪N)?N.2.(2024·全國(guó)甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A},則?A(A∩B)=()A.{1,4,9} B.{3,4,9}C.{1,2,3} D.{2,3,5}解析:選D由題意得B={1,4,9,16,25,81},則A∩B={1,4,9},所以?A(A∩B)={2,3,5}.故選D.3.(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},則{x|x≥2}=()A.?U(M∪N) B.N∪?UMC.?U(M∩N) D.M∪?UN解析:選A因?yàn)镸∪N={x|x<2},所以?U(M∪N)={x|x≥2},故選A.4.集合A={3,2a},B={a,b}.若A∩B={4},則A∪B=()A.{2,3,4} B.{1,3,4}C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,4}解析:選A∵A∩B={4},∴2a=4,則a=2,b=4.∴A∪B={2,3,4}.5.已知集合A={(x,y)|x+y=8,x,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.5解析:選B依題意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中滿足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3個(gè)元素.故選B.6.(多選)已知全集U的兩個(gè)非空真子集A,B滿足(?UA)∪B=B,則下列關(guān)系一定正確的是()A.A∩B=? B.A∩B=BC.A∪B=U D.(?UB)∪A=A解析:選CD令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},滿足(?UA)∪B=B,但A∩B≠?,A∩B≠B,故A、B均不正確;由(?UA)∪B=B,知?UA?B,∴U=A∪(?UA)?(A∪B),∴A∪B=U,由?UA?B,知?UB?A,∴(?UB)∪A=A,故C、D均正確.7.已知全集U={x|-1<x<9},A={x|1<x<a},A是U的子集,若A≠?,則a的取值范圍是()A.{a|a<9} B.{a|a≤9}C.{a|a≥9} D.{a|1<a≤9}解析:選D由題意知,集合A≠?,所以a>1,又因?yàn)锳是U的子集,故需a≤9,所以a的取值范圍是{a|1<a≤9}.8.已知集合A={-1,0,1},B={x|x2-3x+m=0},若A∩B={0},則B的子集有()A.2個(gè) B.4個(gè)C.8個(gè) D.16個(gè)解析:選B∵A∩B={0},∴0∈B,∴m=0,∴B={x|x2-3x=0}={0,3}.∴B的子集有22=4個(gè).9.(多選)已知全集U=R,函數(shù)y=ln(x-2)的定義域?yàn)镸,集合N=xx2-2x>0,則下列結(jié)論正確的是A.M∩N=M B.M∩(?UN)=?C.M∪N=U D.M=?UN解析:選AB由x-2>0得x>2,所以M=(2,+∞).由x2-2x>0得x<0或x>2,所以N=(-∞,0)∪(2,+∞),?UN=[0,2],所以M∩(?UN)=?,M∩N=M,M∪N=N≠U,M≠?UN.故選A、B.10.設(shè)全集U=R,集合A={x|4-x2≥0},B={x|x≤-1},則如圖所示陰影部分表示的集合為()A.(-1,2] B.[-1,2]C.[-2,-1) D.(-∞,-1]解析:選AA={x|-2≤x≤2},?UB={x|x>-1},易知陰影部分為集合A∩(?UB)=(-1,2].11.已知(?RA)∩B=?,則下列選項(xiàng)中一定成立的是()A.A∩B=A B.A∩B=BC.A∪B=B D.A∪B=R解析:選B作出Venn圖如圖所示,則B?A,所以A∩B=B.12.已知集合A=xx=k+16,k∈N,B=xx=m2-13A.A?C?B B.C?A?BC.A?B=C D.A?B?C解析:選A∵集合C=xx=n2+16,n∈N,∴當(dāng)n=2a(a∈N)時(shí),x=2a2+16=a+16,此時(shí)C=A,∴A?C.當(dāng)n=b-1(b∈N*)時(shí),x=b-12+16=b2-12+16=b2-13(b∈N*).而集合B=xx=m2-13,m∈N,13.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},則?UA=.

解析:因?yàn)閁={x|x>0},A={x|2≤x<6},所以?UA={x|0<x<2或x≥6}=(0,2)∪[6,+∞).答案:(0,2)∪[6,+∞)14.設(shè)集合M=x12<2x<8,N={x|x2-2x<0},則M解析:由12<2x<8,即2-1<2x<23,解得-1<x<3,所以M={x|-1<x<3},由x2-2x<0,即x(x-2)<0,解得0<x<2,即N={x|0<x<2},所以M∩N={x|0<x<2}答案:{x|0<x<2}15.若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A,則m的取值范圍為.

解析:①當(dāng)B=?,有B?A,此時(shí)m+1>2m-1,解得m<2,符合題意.②當(dāng)B≠?,要使B?A,只需2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2答案:{m|m≤3}16.已知函數(shù)f(x)=1-4x2,集合A為函數(shù)f(x)的定義域,集合B為函數(shù)f(x)的值域,若定義A-B={x|x∈A,且x?B},AB=(A-B)∪(B-A),則AB=.

解析:要使函數(shù)f(x)=1-4x2有意義,則1-4x2≥0,解得-12≤x≤12,所以A=-12,12,函數(shù)f(x)=1-4x2的值域B=[0,1],A-B={x|x∈A,且x?B}=x-12≤x<0,B-A={x|x∈B,且x?A}=x12<x≤1.AB=答案:-12第二節(jié)充分條件與必要條件及全稱(chēng)量詞與存在量詞課程內(nèi)容要求1.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.理解全稱(chēng)(存在)量詞的意義,并能對(duì)全稱(chēng)(存在)量詞命題進(jìn)行否定.[由教材回扣基礎(chǔ)]1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念記p,q對(duì)應(yīng)的集合分別為A,B,則p是q的充分條件p?qA?Bp是q的必要條件q?pA?Bp是q的充要條件p?q且q?pA=Bp是q的充分不必要條件p?q且qpA?Bp是q的必要不充分條件pq且q?pA?Bp是q的既不充分也不必要條件pq且qpA?B且A?B2.全稱(chēng)量詞和存在量詞量詞名稱(chēng)常見(jiàn)量詞符號(hào)表示全稱(chēng)量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等?3.全稱(chēng)(存在)量詞命題及含一個(gè)量詞的命題的否定命題名稱(chēng)語(yǔ)言表示符號(hào)表示命題的否定全稱(chēng)量詞命題對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)存在量詞命題存在M中的元素x,p(x)成立?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論不能將“若p,則q”與“p?q”混為一談,只有“若p,則q”為真命題時(shí),才有“p?q”,即“p?q”?“若p,則q”為真命題.[練小題鞏固基礎(chǔ)]一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)若p:x>1,q:x≥1,則p是q的充分不必要條件.()(2)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是存在量詞命題.()(3)當(dāng)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件.()(4)若a,b∈R,則“a2+b2≠0”是“a,b不全為0”的充要條件.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)√二、練牢基本小題1.設(shè)a,b∈R且ab≠0,則“ab>1”是“a>1b”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案:D2.下列命題中的假命題是()A.?x∈R,lgx=1 B.?x∈R,sinx=0C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0解析:選C當(dāng)x=10時(shí),lgx=1,故A是真命題;當(dāng)x=0時(shí),sinx=0,故B是真命題;當(dāng)x=-1時(shí),x3<0,故C是假命題;由指數(shù)函數(shù)的值域知D是真命題.3.若命題“?x∈R,x2+1>m”是真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

答案:(-∞,1)三、練清易錯(cuò)易混1.(混淆否命題與命題的否定)命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是.

答案:存在一個(gè)奇數(shù),它的立方不是奇數(shù)2.(對(duì)充分、必要條件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的條件.

答案:充分不必要命題視角一充分條件與必要條件的判斷[典例](1)(2024·天津高考)設(shè)a,b∈R,則“a3=b3”是“3a=3b”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析](1)由函數(shù)y=x3單調(diào)遞增可知,若a3=b3,則a=b;由函數(shù)y=3x單調(diào)遞增可知,若3a=3b,則a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要條件,故選C.(2)若[x]=[y]=a,則a≤x<a+1,a≤y<a+1.故-a-1<-y≤-a.所以-1<x-y<1,即|x-y|<1.故充分性滿足;若|x-y|<1,取x=0.5,y=1.2,滿足|x-y|<1.但[x]=0,[y]=1,故必要性不滿足.所以“[x]=[y]”是“|x-y|<1”成立的充分不必要條件.[答案](1)C(2)A[方法技巧]充分、必要條件的判斷方法(1)定義法:直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假.在判斷時(shí),確定條件是什么、結(jié)論是什么.(2)集合法:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范圍推得大范圍,即可解決充分必要性的問(wèn)題.

[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},則“M?N”是“a=0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選B若M?N,則a=0或a=-1.故“M?N”推不出“a=0”.反之,若a=0,則M?N,故“M?N”是“a=0”的必要不充分條件.2.“a=0”是“函數(shù)f(x)=(x-a)3(x∈R)為奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x-a)3定義域?yàn)镽,關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng).當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x3,所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x).故函數(shù)f(x)為奇函數(shù);當(dāng)函數(shù)f(x)=(x-a)3為奇函數(shù)時(shí),f(-x)=-f(x),即(-x-a)3=-(x-a)3,解得a=0.所以“a=0”是“函數(shù)f(x)=(x-a)3(x∈R)為奇函數(shù)”的充要條件.命題視角二根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍[典例](1)若p:x2+x-6=0是q:ax-1=0(a≠0)的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的值為()A.-12 B.-12C.-13 D.12或(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件,則k的取值范圍為(A.(-∞,-1] B.[1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)[解析](1)p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3,q:∵a≠0,∴x=1a,由題意知p是q的必要不充分條件,則1a=2或1a=-3,解得a=12或a=-1(2)由3x+1<1,得x-2x+1>0,即(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2.由題意可得{x|x>k}?{x|x<-1或x>2},所以k≥2,因此,實(shí)數(shù)k的取值范圍是[[答案](1)D(2)C[方法技巧]根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的思路方法(1)解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式能否取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易漏解或增解.[針對(duì)訓(xùn)練]1.若“x>2”是“x>a”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析:選C由“x>2”是“x>a”的必要不充分條件,知{x|x>a}是{x|x>2}的真子集,將這兩個(gè)集合表示在數(shù)軸上(如圖),由數(shù)軸知a>2,故選C.2.設(shè)命題p:2x-1x-1<0,命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a解析:解2x-1x-1<0,得1所以p:12<x<1由q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,即q:a≤x≤a+1.要使p是q的充分不必要條件,則12,1?[a,a+1],故a解得0≤a≤12所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,1答案:0,命題視角三全稱(chēng)量詞與存在量詞考法(一)命題的否定及真假判斷[例1](1)十七世紀(jì),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解”,經(jīng)歷三百多年,1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明,使它終成費(fèi)馬大定理,則費(fèi)馬大定理的否定為()A.對(duì)任意正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn都沒(méi)有正整數(shù)解B.對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解D.存在正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解(2)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知命題p:?x∈R,|x+1|>1;命題q:?x>0,x3=x,則()A.p和q都是真命題 B.p和q都是真命題C.p和q都是真命題 D.p和q都是真命題[解析](1)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,故只有D滿足題意.(2)法一對(duì)于p,由|x+1|>1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2,顯然?x∈R,|x+1|>1不恒成立,所以命題p為假命題,p為真命題.對(duì)于q,由x3=x,解得x=0或x=1或x=-1,所以?x>0使得x3=x,所以q是真命題.法二對(duì)于p,取x=-1,則有|x+1|=0<1,故p是假命題,p是真命題.對(duì)于q,取x=1,則有x3=13=1=x,故q是真命題,q是假命題.綜上,p和q都是真命題.[答案](1)D(2)B[方法技巧]1.全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假判斷的方法要判斷全稱(chēng)量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷存在量詞命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x,使p(x)成立即可.2.對(duì)全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的步驟(1)改寫(xiě)量詞:確定命題所含量詞的類(lèi)型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě).(2)否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.考法(二)由全稱(chēng)(存在)量詞命題的真假求參數(shù)[例2]已知命題“?x∈R,ax2+4x+1>0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

[解析]當(dāng)原命題為真命題時(shí),a>0且Δ<0,所以a>4,故當(dāng)原命題為假命題時(shí),a≤4.[答案](-∞,4][方法技巧]根據(jù)全稱(chēng)(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路與全稱(chēng)(存在)量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.[針對(duì)訓(xùn)練]1.命題?x∈R,?n∈N*,使得n>x2的否定是()A.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2 B.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2C.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2 D.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2解析:選C根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,則命題“?x∈R,?n∈N*,使得n>x2”的否定是“?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2”.故選C.2.(多選)下列命題中,是真命題的有()A.?x∈R,4x2>2x-1+3x2 B.空集是任何一個(gè)非空集合的真子集C.?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2 D.?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解解析:選BC對(duì)A,不等式4x2>2x-1+3x2化為x2-2x+1>0,當(dāng)x=1時(shí),x2-2x+1=0,故A是假命題;對(duì)B,空集是任何一個(gè)非空集合的真子集,故B是真命題;對(duì)C,存在x=1時(shí),|x-2|<2,故C是真命題;對(duì)D,當(dāng)a=0,b≠0時(shí),ax+b=0無(wú)解,故D是假命題.3.已知命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解析:因?yàn)槊}“?x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是假命題,所以其否定“?x∈R,4x2+(a-2)x+14>0”是真命題,則Δ=(a-2)2-4×4×14=a2-4a<0,解得0<答案:(0,4)一題多變·練比較思維——常用邏輯用語(yǔ)中的易錯(cuò)點(diǎn)1.(不對(duì)命題完全否定致誤)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是()A.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù) B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù) D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)答案:A2.(混淆條件與結(jié)論致誤)(1)“l(fā)n(x+1)<0”的一個(gè)必要不充分條件是()A.-1<x<-1eB.x>0C.-1<x<0D.x(2)“故不積跬步,無(wú)以至千里;不積小流,無(wú)以成江?！?這句話是來(lái)自先秦時(shí)期的名言.此名言中的“積跬步”一定是“至千里”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:(1)ln(x+1)<0等價(jià)于0<x+1<1,即-1<x<0,這是結(jié)論,因?yàn)?1<x<0可以推出x<0,而x<0不能推出-1<x<0,所以x<0是-1<x<0的必要不充分條件,所以“l(fā)n(x+1)<0”的一個(gè)必要不充分條件是“x<0”.(2)荀子的名言表明積跬步未必能至千里,但要至千里必須積跬步,故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.答案:(1)D(2)B3.(不能正確轉(zhuǎn)化邏輯條件與集合之間關(guān)系)若不等式1<x<3的必要不充分條件是m-2<x<m+2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[1,2] B.[1,3]C.(-1,2) D.(1,3)解析:選B設(shè)A={x|1<x<3},B={x|m-2<x<m+2},因?yàn)椴坏仁?<x<3的必要不充分條件是m-2<x<m+2,可得A?B,所以m-2≤1,m+2>3或m-2<1,m+2≥3,解得1≤m≤34.(求參數(shù)值時(shí)忽視端點(diǎn)值的取舍)若關(guān)于x的不等式|x-1|<a成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.(-∞,1)C.(3,+∞) D.[3,+∞)解析:選D由|x-1|<a,得1-a<x<a+1,若|x-1|<a成立的充分條件是0<x<4,則1-a≤0,1+a[微點(diǎn)撥]對(duì)充分、必要條件的判斷關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論,由條件可以推出結(jié)論,條件是結(jié)論成立的充分條件,由結(jié)論推出條件,條件是結(jié)論成立的必要條件,解題時(shí)最容易出現(xiàn)忽視充分條件與必要條件.[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]1.已知命題p:?x∈(1,+∞),x2+16>8x,則命題p的否定為()A.p:?x∈(1,+∞),x2+16≤8xB.p:?x∈(1,+∞),x2+16<8xC.p:?x∈(1,+∞),x2+16≤8xD.p:?x∈(1,+∞),x2+16<8x解析:選C全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題,故命題p的否定p:?x∈(1,+∞),x2+16≤8x.故選C.2.“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選A由題意,若x為整數(shù),則2x+1為整數(shù),故充分性成立;當(dāng)x=12時(shí),2x+1為整數(shù),但x不為整數(shù),故必要性不成立.所以“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件3.下列命題中的假命題是()A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2解析:選B根據(jù)y=2x-1的圖象知A正確;取x=1,則(x-1)2=0,故B錯(cuò)誤;取x=1,則lgx=0<1,故C正確;y=tanx的值域?yàn)镽,故D正確.4.不等式13x>13成立是不等式x2<1成立的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選B解不等式13x>13,得x<1,解不等式x2<1,得-1<x<1,又(-1,1)?(-∞,1),所以不等式13x>135.(多選)對(duì)下列命題進(jìn)行否定,得到的新命題是全稱(chēng)量詞命題且為真命題的有()A.?x∈R,x2-x+14B.所有的正方形都是矩形C.?x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3+1=0解析:選AC命題的否定是全稱(chēng)量詞命題,則原命題為存在量詞命題,故排除B選項(xiàng);命題的否定為真命題,則原命題為假命題,又選項(xiàng)A、C中的命題為假命題,選項(xiàng)D中的命題為真命題,故選A、C.6.設(shè)集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},則“x∈A且x?B”成立的充要條件是()A.-1<x≤1 B.x≤1C.x>-1 D.-1<x<1解析:選D∵集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},x∈A且x?B,∴-1<x<1;又當(dāng)-1<x<1時(shí),滿足x∈A且x?B,∴“x∈A且x?B”成立的充要條件是“-1<x<1”.7.已知p:m=-1,q:直線x-y=0與直線x+m2y=0互相垂直,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選A由題意得直線x+m2y=0的斜率是-1,所以-1m2=-1,m=±1.所以p是q的充分不必要條件.故選8.“?x∈[1,2],ax2+1≤0”為真命題的充要條件是()A.a≤-1 B.a≤-14C.a≤-2 D.a≤0解析:選A∵“?x∈[1,2],ax2+1≤0”為真命題,∴a≤-1x2對(duì)任意的x∈[1,2]恒成立,由于函數(shù)y=-1x2在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則ymin=-1,∴9.(多選)下列命題正確的是()A.“a>1”是“1a<1B.命題“?x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是“?x∈(0,+∞),lnx≠x-1”C.設(shè)x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分條件D.設(shè)a,b∈R,則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件解析:選ABD若1a<1,則a>1或a<0,則“a>1”是“1a<1”的充分不必要條件,故A正確;根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題,得“?x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是“?x∈(0,+∞),lnx≠x-1”,故B正確;當(dāng)x≥2且y≥2時(shí),x2+y2≥4,當(dāng)x2+y2≥4時(shí)卻不一定有x≥2且y≥2,如x=5,y=0,因此“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要條件,故C錯(cuò)誤;因?yàn)椤癮b=0”是“a=0”的必要不充分條件,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件,故D正確.故選A、B、10.若x>2m2-3是-1<x<4的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3]C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.[-1,1]解析:選D∵x>2m2-3是-1<x<4的必要不充分條件,∴(-1,4)?(2m2-3,+∞),∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故選D.11.(多選)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是()A.?x∈(0,π),使得2sinx+sinB.命題p:任意x∈R,都有cosx≤1,則p:存在x∈R,使得cosx>1C.命題“?x∈(0,π),sinx>cosx”為真命題D.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,m,n,p∈N*,則“am·an=ap2”是“m+n=2解析:選BD對(duì)于A,由2sinx+sinx=2,得sin2x-2sinx+2=0,其判別式Δ=4-8=-4<0,此方程無(wú)解,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,前提中“任意”改為“存在”,結(jié)論為補(bǔ)集形式,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)x∈0,π4時(shí),sinx≤cosx,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,在等比數(shù)列{an}中,an=1,則a1·a2=a32,但1+2≠2×3;另一方面,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=2p,則am·an=ap2.所以“am·an=ap2”是“m12.“關(guān)于x的方程a(2|x|+1)=2|x|有實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充分不必要條件是()A.13<a<1 B.a≥C.23<a<1 D.12≤解析:選C由題知:a(2|x|+1)=2|x|,a=2x2x+1,令t=2|x|≥1,則f(t)=tt+1=1-1t+1,因?yàn)閠≥1,所以0<1t+1≤12,所以f(t)∈12,1.故“關(guān)于x的方程a(2|x|13.命題p的否定是“對(duì)所有正數(shù)x,x>x+1”,則命題p可寫(xiě)為.

解析:因?yàn)閜是p的否定,所以只需將全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,再對(duì)結(jié)論否定即可.答案:?x∈(0,+∞),x≤x+114.能夠說(shuō)明“存在兩個(gè)不相等的正數(shù)a,b,使得a-b=ab是真命題”的一組有序數(shù)對(duì)(a,b)為.

解析:答案不唯一,如12,13,1答案:12,115.使得“2x>4x2”成立的一個(gè)充分條件是解析:2x>4x2?x>2x2?0<x<12,依題意知集合答案:0,14(16.若“?x∈0,π3,m≥2tanx”是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為解析:當(dāng)x∈0,π3時(shí),2tanx的最大值為2tanπ3=23,∴m≥23,實(shí)數(shù)m的最小值為答案:23第三節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式課程內(nèi)容要求1.掌握等式的性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小.3.理解不等式的性質(zhì),掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.[由教材回扣基礎(chǔ)]1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba-b>0ab>1(a,b>0)或ab<1(a,ba=ba-b=0ab=1(b≠0a<ba-b<0ab<1(a,b>0)或ab>1(a,b2.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱(chēng)性a>b?b<a;a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b,b>c?a>c;a<b,b<c?a<c同向可加性a>b?a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bcc的符號(hào)同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*?an>bn同正可開(kāi)方性a>b>0,n∈N,n≥2?na>同正3.一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-b沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}xR一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論(1)倒數(shù)性質(zhì).①a>b,ab>0?1a<1b;②a<0<b?1a③a>b>0,0<c<d?ac>b④0<a<x<b或a<x<b<0?1b<1x<(2)兩個(gè)重要不等式.若a>b>0,m>0,則:①ba<b+ma+m;ba>②ab>a+mb+m;ab<a(3)一元二次不等式恒成立問(wèn)題.①不等式ax2+bx+c>0(a≠0),x∈R恒成立?a>0且Δ<0;②不等式ax2+bx+c<0(a≠0),x∈R恒成立?a<0且Δ<0;③若a可以為0,需分類(lèi)討論,一般優(yōu)先考慮a=0的情形.(4)簡(jiǎn)單分式不等式.①f(x)g②f(x)g(x)>0?f(x(5)對(duì)于不等式ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記a=0時(shí)的情形.(6)當(dāng)Δ<0時(shí),不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是?,要注意區(qū)別.[練小題鞏固基礎(chǔ)]一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)a>b?ac2>bc2.()(2)a=b?ac=bc.()(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為R.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×二、練牢基本小題1.若a>b>0,c<d<0,則一定有()A.ac-ba>0 B.acC.ad>bc D.a答案:D2.已知不等式x2+ax+b<0的解集為(-3,-1),則實(shí)數(shù)a=,b=.

答案:43三、練清易錯(cuò)易混1.(乘法運(yùn)算忽視符號(hào))已知實(shí)數(shù)a∈(-3,1),b∈18,14,則ab的取值范圍是A.(-12,8) B.(-24,8)C.(-24,4) D.(-12,4)解析:選B當(dāng)-3<a≤0時(shí),ab∈(-24,0];當(dāng)0<a<1時(shí),ab∈(0,8).綜上可知ab∈(-24,2.(忽視二次項(xiàng)的符號(hào))不等式(x-2)(3-2x)≥0的解集為.

解析:由(x-2)(3-2x)≥0得(x-2)(2x-3)≤0,解得32≤x≤2,故不等式的解集為3答案:33.(忽視對(duì)含參二次項(xiàng)系數(shù)的討論)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x對(duì)任意x都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析:原不等式可整理為(2-m)x2+(4-2m)x+4>0.當(dāng)m=2時(shí),不等式為4>0,該不等式恒成立;當(dāng)m≠2時(shí),必須滿足2-m>0,(4-2m)2-4×4(2-m)<0,解得-2<m答案:(-2,2]命題視角一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用(自主練通)1.若1a<1b<0,給出下列不等式:①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1b;④lna2>lnbA.①④ B.②③C.①③ D.②④解析:選C因?yàn)?a<1b<0,故可取a=-1,b=-2.顯然|a|+b=1-2=-1<0,所以②錯(cuò)誤;因?yàn)閘na2=ln(-1)2=0,lnb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④錯(cuò)誤.綜上所述,可排除A、B、2.(多選)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<b<a且ac<0,則下列不等式一定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)>0C.ac(a-c)<0 D.cb2<ab2解析:選ABC因?yàn)閏<b<a且ac<0,所以c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;當(dāng)b=0時(shí),cb2=ab2,當(dāng)b≠0時(shí),有cb2<ab2,故D不一定成立,故選A、B、C.3.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b解析:選A∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,∴b-a=a2-a+1=a-122+34>0,∴b>a,∴c4.若a>0,b>0,則p=(ab)a+b2,q=abba的大小關(guān)系是(A.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q解析:選A因?yàn)閜>0,q>0,所以pq=(ab)a+若a>b>0,則ab>1,a-b>0,所以pq若b>a>0,則0<ab<1,a-b<0,所以pq若a=b,則p=q,所以p≥q.5.若1<α<3,-4<β<2,則α-|β|的取值范圍是.

解析:∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,∴-4<-|β|≤0.∴-3<α-|β|<3.答案:(-3,3)[一“點(diǎn)”就過(guò)]1.比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的2種方法2.謹(jǐn)記2個(gè)注意點(diǎn)(1)與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.(2)在求式子的范圍時(shí),如果多次使用不等式的可加性,式子中的等號(hào)不能同時(shí)取到,會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.命題視角二一元二次不等式的解法[典例](1)不等式2x+3-x2>0的解集是()A.{x|-1<x<3} B.{x|x>3或x<-1}C.{x|-3<x<1} D.{x|x>1或x<-3}(2)已知常數(shù)a∈R,解關(guān)于x的不等式12x2-ax>a2.[解析](1)選A原不等式變形為x2-2x-3<0,即(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3.故選A.(2)由題意,得12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.①當(dāng)a>0時(shí),解集為xx<-a4或x>a3;②當(dāng)a=0時(shí),x2>0,解集為{x|x∈R且x≠0};③當(dāng)a<0時(shí),解集為xx<a3或x>-a4.綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為xx<-a4或x>[方法技巧]1.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類(lèi)討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無(wú)實(shí)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集,確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí),要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.2.“三個(gè)二次”之間的關(guān)系若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1,x2,則x1,x2是不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)解集的端點(diǎn),也是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).[針對(duì)訓(xùn)練]1.(多選)下列四個(gè)不等式中,解集為?的是()A.-x2+x+1≤0B.2x2-3x+4<0C.x2+3x+10≤0D.-x2+4x-a+4a>0(解析:選BCD對(duì)于A,-x2+x+1≤0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=-x2+x+1開(kāi)口向下,顯然解集不為?;對(duì)于B,2x2-3x+4<0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)開(kāi)口向上,Δ=9-32<0,其解集為?;對(duì)于C,x2+3x+10≤0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)開(kāi)口向上,Δ=9-40<0,其解集為?;對(duì)于D,-x2+4x-a+4a>0(a>0),對(duì)應(yīng)的函數(shù)開(kāi)口向下,Δ=16-4a+4a≤16-4×2a×4a=0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào),其解集為2.若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集為()A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|0<x<3} D.{x|x<0或x>3}解析:選C由題意a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax,整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)>0①,又不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},則a<0,且-1,2分別為方程ax2+bx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得-1+2=-ba,(-1)×2=ca,即ba=-1,ca=-2②.將①兩邊同除以a得x2+ba-2x3.已知實(shí)數(shù)a滿足不等式-3<a<3,求關(guān)于x的不等式(x-a)(x+1)>0的解集.解:方程(x-a)(x+1)=0的兩根為-1,a.①當(dāng)a<-1,即-3<a<-1時(shí),原不等式的解集為{x|x<a或x>-1};②當(dāng)a=-1時(shí),原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-1};③當(dāng)a>-1,即-1<a<3時(shí),原不等式的解集為{x|x<-1或x>a}.綜上所述,當(dāng)-3<a<-1時(shí),原不等式的解集為{x|x<a或x>-1};當(dāng)a=-1時(shí),原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-1};當(dāng)-1<a<3時(shí),原不等式的解集為{x|x<-1或x>a}.命題視角三一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題考法(一)在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問(wèn)題[例1]若不等式2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為.[解析]當(dāng)k=0時(shí),顯然成立;當(dāng)k≠0時(shí),即一元二次不等式2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k<0,Δ=k2-4×2k×-38<0,解得-3<k<0.綜上,滿足不等式2kx2+[答案](-3,0][方法技巧]一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類(lèi)型恒成立條件ax2+bx+c>0a>0,Δ<0ax2+bx+c≥0a>0,Δ≤0ax2+bx+c<0a<0,Δ<0ax2+bx+c≤0a<0,Δ≤0考法(二)在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題[例2]設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,則m的取值范圍是.

[解析]f(x)<-m+5即mx2-mx+m-6<0,故mx-122+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.因?yàn)閤2-x+1=x-122+34>0,且m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.因?yàn)楹瘮?shù)y=6x2-x+1=6x-122+34在[1[答案](-∞,0)∪0,[方法技巧]在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題,即:已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.考法(三)不等式能成立或有解問(wèn)題[例3]設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式x2-ax+1≥0在區(qū)間[1,2]上有解,則()A.a≤2 B.a≥2C.a≥52 D.a≤[解析]∵關(guān)于x的不等式x2-ax+1≥0在區(qū)間[1,2]上有解,∴a≤x+1x在x∈[1,2]上有解?a≤x+1xmax,x∈[1,2],∵函數(shù)y=x+1x在[1,2]上單調(diào)遞增,∴f(x)max=[答案]D[方法技巧]解決不等式能成立問(wèn)題的策略一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,即a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知關(guān)于x的不等式x2-(k-1)x-k+1≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-∞,-3]∪[1,+∞) B.[-1,3]C.(-∞,1]∪[3,+∞) D.[-3,1]解析:選D關(guān)于x的不等式x2-(k-1)x-k+1≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則Δ=(k-1)2+4(k-1)≤0,解得-3≤k≤1.故選D.2.設(shè)m為實(shí)數(shù),若函數(shù)f(x)=x2-mx+2在區(qū)間(-∞,2)上單調(diào)遞減,對(duì)任意的x1,x2∈1,m2+1,總有|f(x1)-f(x2)|≤4,則m的取值范圍為(A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)解析:選A函數(shù)f(x)=x2-mx+2的對(duì)稱(chēng)軸為x=m2,由其在區(qū)間(-∞,2)上單調(diào)遞減,可得m2≥2,∴m≥4.∴m2∈1,m2+1且m2+1-m2≤m2-1,∴當(dāng)x1,x2∈1,m2+1時(shí),f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=fm2=-m24+2.由?x1,x2∈1,m2+1,總有|f(x1)-f(x2)|≤4,∴f(x1)-f(x2)max≤4,∴f(x)max-f(x)min≤4,∴(3-m)--m3.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-4.(1)若對(duì)于?x∈[0,3],不等式m+f(x)>0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若?x0∈[0,3],使得不等式m+f(x0)>0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:當(dāng)x∈[0,3]時(shí),-f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3∈[3,7].(1)依題意,m+f(x)>0即m>-f(x)對(duì)x∈[0,3]恒成立,故m>[-f(x)]max,∴m>7,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(7,+∞).(2)依題意,m+f(x)>0即m>-f(x)對(duì)x∈[0,3]能成立,故m>[-f(x)]min,∴m>3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(3,+∞).一題多變·練發(fā)散思維——“糖水不等式”的應(yīng)用[典型母題](湘教版必修①P33典例)ag糖水中含有bg糖,若再添加mg糖(其中a>b>0,m>0),生活常識(shí)告訴我們:添加的糖完全溶解后,糖水會(huì)更甜.根據(jù)這個(gè)生活常識(shí),你能提煉出一個(gè)不等式嗎?試給出證明.[解題觀摩]因?yàn)榧犹呛筇撬?即糖水的濃度變大,所以提煉出的不等式為:b+ma+m>ba,其中a>b>0,m>0.下面用作差比較法給出證明.b+ma+m-ba=a(b+m)-b(a+m)a(a+m)=m(a-b)[升維訓(xùn)練]1.已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b解析:選A∵a=log53=ln3ln5<ln3+ln53ln5+ln53=ln5ln253<ln5ln2.依據(jù)糖水不等式可得出log32log1510(用“<”或“>”填空);并寫(xiě)出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

解析:①因?yàn)?<log32<1,所以可得log32=log52log53<log5②由①可得log32<log1510?ln2ln3<ln10l答案:<ln2+l3.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(a1>0,q>0),則SnSn+2與Sn+12的大小關(guān)系為解析:∵Sn+2>Sn+1>Sn,∴Sn+2Sn+1=a1+qSn+1a1+答案:SnSn+2<S[融會(huì)貫通]“糖水不等式”,它實(shí)際是真分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì),總結(jié)如下:已知a,b,m都是正數(shù),且b>a,則:(1)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):a-mb-m<ab<a+(2)假分?jǐn)?shù)的性質(zhì):b+ma+m<ba<b-應(yīng)用“糖水不等式”可解決證明不等式、比較大小、單調(diào)性問(wèn)題.[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2≥0},則?RA等于()A.(1,2) B.[1,2]C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)解析:選A由題意可得,?RA={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},表示為區(qū)間形式即(1,2).故選A.2.若實(shí)數(shù)m,n滿足m>n>0,則()A.-1m<-1n B.m+nC.12m>12n D.解析:選B取m=2,n=1,代入各選擇項(xiàng)驗(yàn)證A、C、D不成立,只有B項(xiàng)成立(事實(shí)上2+1>2+1).3.若a<0,b<0,則p=b2a+a2b與q=a+b的大小關(guān)系為(A.p<q B.p≤qC.p>q D.p≥q解析:選Bp-q=b2a+a2b-a-b=b2-a2a+a2-b2b=(b2-a2)·1a-1b=(b2-a2)(b-a)ab=(b-a)2(a+b)ab,∵a<0,b<0,∴a+b<0,ab>04.不等式x+5(x-1)2≥2的解集是A.-3,12 C.12,1∪(1,3] D.-12,1∪解析:選D因?yàn)閤+5(x-1)2≥2,所以(2x+1)(x-3)(x-1)2≤0,所以5.若?x∈R,2x2-mx+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析:由題意可知Δ=m2-24≤0,解得-26≤m≤26.答案:[-26,26]二、綜合練——練思維敏銳度1.(多選)設(shè)a,b為非零實(shí)數(shù),且a<b,則下列不等式恒成立的是()A.a2>ab B.a2<b2C.1ab2<1a2b D解析:選CD對(duì)于A,當(dāng)a=2,b=3時(shí),a<b,但22<2×3,故A不一定成立;對(duì)于B,當(dāng)a=-2,b=1時(shí),a<b,但(-2)2>12,故B不一定成立;對(duì)于C,∵a<b,∴1ab2-1a2b=a-ba2b2<0,故C恒成立;對(duì)于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)a+12b2+34b2,∵a<b,∴a-b<0,又a2.已知a為實(shí)數(shù),則“a>1”是“a2<a3”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選C當(dāng)a>1時(shí),a2-a3=a2(1-a)<0,所以a2<a3;當(dāng)a2<a3時(shí),a2(a-1)>0,所以a>1.綜上,“a>1”是“a2<a3”的充要條件.故選C.3.若關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)解析:選C關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax<b的解集是(1,+∞),∴a=b<0,∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化為(x+1)·(x-3)<0,解得-1<x<3,∴所求解集是(-1,3).4.若存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.(-∞,-8]C.[1,+∞) D.[-8,+∞)解析:選A設(shè)f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,因?yàn)榇嬖趚∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,所以a≤f(x)max,所以a≤1,故選A.5.我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題:“今有出錢(qián)五百七十六,買(mǎi)竹七十八,欲其大小率之,問(wèn)各幾何?”其意是:“今有人出錢(qián)576,買(mǎi)竹子78根,擬分大、小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算,每根大竹子比小竹子貴1錢(qián),問(wèn)買(mǎi)大、小竹子各多少根?每種竹子單價(jià)各是多少錢(qián)?”則在這個(gè)問(wèn)題中大竹子的單價(jià)可能為()A.6錢(qián) B.7錢(qián)C.8錢(qián) D.9錢(qián)解析:選C依題意可設(shè)買(mǎi)大竹子x根,每根單價(jià)為m,購(gòu)買(mǎi)小竹子78-x根,每根單價(jià)為m-1錢(qián),所以576=mx+(78-x)(m-1),即78m+x=654,即x=6(109-13m).因?yàn)?≤x≤78,所以109-13m≥0,6(109-13m)≤78,即m≤10913,9613≤m,即9613≤m≤1096.若α,β滿足-π2<α<β<π2,則α-β的取值范圍是(A.-π<α-β<π B.-π<α-β<0C.-π2<α-β<π2 D.-π2<α解析:選B從題中-π2<α<β<π2可分離出三個(gè)不等式-π2<α<π2①,-π2<β<π2②,α<β③.根據(jù)不等式的性質(zhì),②式同乘以-1得-π2<-β<π2④,根據(jù)同向不等式的可加性,可得-π<α-β<π.由③式得α-β<0,所以-π<7.在關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù),則a的取值范圍是()A.(-3,5) B.(-2,4)C.[-3,5] D.[-2,4]解析:選D關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0.當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為(1,a);當(dāng)a<1時(shí),不等式的解集為(a,1).要使得解集中至多包含2個(gè)整數(shù),則a≤4且a≥-2.又當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為?,符合題意.所以a的取值范圍是[-2,4],故選D.8.若0<a<1,則不等式(a-x)x-1a>0的解集是解析:原不等式等價(jià)于(x-a)x-1由0<a<1,得a<1a,∴a<x<1答案:x9.已知a+b>0,則ab2+ba2與1a+解析:ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)·1b2-1a2=(a+b)(a-答案:ab2+ba210.已知三個(gè)不等式:①ab>0;②ca>db;③bc>ad.若以其中兩個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,共可組成個(gè)正確的命題解析:研究①②?③,由于ab>0,故-ca<-db兩邊同乘以-ab得bc>ad,故①②?③成立;研究①③?②,由于ab>0,故bc>ad兩邊同除以-ab得-ca<-db,故①③?②成立;研究②③?①,由于-ca<-db兩邊同乘以-ab得bc>ad,由不等式的性質(zhì)知必有-ab<0即ab>0,答案:311.若不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則a的取值范圍是.

解析:令f(x)=x2+ax-2.∵f(0)=-2,于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0,解得a>-235,故a的取值范圍為-答案:-12.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞).若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c的值為.

解析:由題意知f(x)=x2+ax+b=x+a22+b-a24.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),所以b-a24=0,得b=a24.由f(x)<c可得c>0,且x+a22<c,解得-a2-c<x<-a2+c,所以m=-a2-c,m+6=-a2+c,答案:913.已知二次函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函數(shù)f(x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn),則不等式f(x)>1的解集為.

解析:因?yàn)閒(x)=ax2-(a+2)x+1(a≠0),Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,所以函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+1必有兩個(gè)不同的零點(diǎn).因此f(-2)f(-1)<0,所以(6a+5)(2a+3)<0.解得-32<a<-56.又a∈Z,所以a=-1.不等式f(x)>1,即為-x2-x>0,解得-1<x<0.故不等式f(x)>1的解集為(-1,0答案:(-1,0)14.某商品每件成本價(jià)為80元,售價(jià)為100元,每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加85x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià)(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫(xiě)出定義域;(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元,求x的取值范圍.解:(1)由題意得,y=1001-x10·100因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià),所以1001-x10-80≥0,解得0≤x≤2.所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定義域?yàn)閧x|0≤x≤2(2)由題意得40(1