/湖北省武漢市部分高中2025屆高三起點考試數(shù)學試卷一、選擇題1．若全集,集合,,則()A. B. C. D.2．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)在復平面內對應的點在()A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限3．已知向量,,滿足,,則()A. B. C.20 D.54．若,為第二象限角,則()A. B. C. D.5．已知雙曲線的右頂點為A,若以點A為圓心,以b為半徑的圓與C的一條漸近線交于M,N兩點,且,則C的離心率為()A. B. C. D.6．若曲線的一條切線為（e為自然對數(shù)的底數(shù)）,其中a,b為正實數(shù),則的取值范圍是()A. B. C. D.7．已知數(shù)列的前n項和為,則()A.若為等差數(shù)列,且,,則,B.若為等差數(shù)列,且,,則,C.若為等比數(shù)列,且,則D.若為等比數(shù)列,且,則8．已知奇函數(shù)的定義域為R,對任意的x滿足,且在區(qū)間上單調遞增,若,,,則,,的大小關系為()A. B.C. D.二、多項選擇題9．下列論述正確的有()A.若A,B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)分別為,,則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關性較強B.數(shù)據(jù),,,,,,,的第60百分位數(shù)為38C.若隨機變量,且,則D.若樣本數(shù)據(jù),,,的方差為1,則數(shù)據(jù),,,的方差為410．已知函數(shù),則()A.關于直線對稱B.的最大值為C.在上不單調D.在,方程（m為常數(shù)）最多有4個解11．已知圓,斜率為k的直線l經過圓O內與O點不重合且不在坐標軸上的一個定點P,且與圓O相交于A、B兩點,下列選項中正確的是()A.若r為定值,則存在k,使得B.若k為定值,則存在r,使得C.若r為定值,則存在k,使得圓O上恰有三個點到l的距離均為D.若k為定值,則存在r,使得圓O上恰有三個點到l的距離均為三、填空題12．設橢圓的左、右焦點分別為,,P是C上的點,,,則C的離心率為________.13．已知正三棱錐,點P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為______________.14．為銳角三角形,其三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,,則周長的取值范圍為_______________.四、解答題15．如圖,四棱錐中,底面,,,,.(1)求證：平面;(2)若,求二面角的余弦值.16．第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者,他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如下：組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設,分別為這200人得分的平均值和標準差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表）,求,的值（,的值四舍五入取整數(shù)）,并計算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于的可以獲得1次抽獎機會,得分不低于的可獲得2次抽獎機會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀念品A的概率為,抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者,記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學期望.（參考數(shù)據(jù)：;;.）17．已知曲線C上的點到點的距離比到直線的距離小2,O為坐標原點.直線過定點.(1)直線l與曲線C僅有一個公共點,求直線的方程;(2)曲線C與直線l交于M,N兩點,試分別判斷直線,的斜率之和?斜率之積是否為定值？并說明理由.18．已知函數(shù)與函數(shù),其中.(1)求的單調區(qū)間;(2)若,求a的取值范圍;(3)若曲線與x軸有兩個不同的交點,求證：曲線與曲線共有三個不同的交點.19．定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和,形成新的數(shù)列,我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”,例如：數(shù)列1,2,3經過第一次“和擴充”后得到數(shù)列1,3,2,5,3;第二次“和擴充”后得到數(shù)列1,4,3,5,2,7,5,8,3,設數(shù)列a,b,c經過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為,所有項的和為.(1)若,,,求;(2)若,求正整數(shù)n的最小值;(3)是否存在數(shù)列a,b,,使得數(shù)列為等比數(shù)列？請說明理由.

答案1．答案：B解析：由,得或,而,所以.故選：B.2．答案：A解析：,故,故在復平面內對應的點在第四象限.故選：A.3．答案：A解析：,,故.故選：A.4．答案：B解析：由,有為第二象限角,則,故.故選：B.5．答案：B解析：不妨設該圓與漸近線分別交于M、N點,則,故,則,設,則,則有,,即有,則有,即,故,即,即,即,故有,即,故,即.故選：B.6．答案：C解析：,設點為,則,,,a,b,原式,當且僅當,即,時等號成立,即.故選:C.7．答案：D解析：設等差數(shù)列的公差為d,對于A,若為等差數(shù)列,且,,,,,,則,,,無法判斷符號,A錯誤;對于B,若,,,,,則,,則,則,,,B錯誤;設等比數(shù)列的公比為,對于C,若為等比數(shù)列,且,,,若時,則,,,故C錯誤;對于D,若為等比數(shù)列,且,,當時,則,當時,則;若時,,,,;若時,,,,;若時,,,,;D正確.故選：D.8．答案：D解析：因為對任意的x滿足,所以關于對稱,又因為奇函數(shù)的定義域為R,所以,則,則的周期為4,因為在區(qū)間上單調遞增,所以在區(qū)間上單調遞增,,,,,,又,,所以,即,故選：D.9．答案：BCD解析：對于A中,若A,B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)分別為,,因為,所以B組數(shù)據(jù)比A組數(shù)據(jù)的相關性較強,A錯誤;對于B,數(shù)據(jù)排序,,,,,,,共8個數(shù)據(jù),則,所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38,B正確;對于C,若隨機變量,且,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性,,則,C正確;對于D,樣本數(shù)據(jù),,,的方差為1,則數(shù)據(jù),,,的方差為,D正確.故選：BCD.10．答案：BCD解析：若,則,即,即,,故,,故其圖象如圖所示：對A：由圖象可得不關于直線對稱,故A錯誤;對B：由圖象可得的最大值為,故B正確;對C：當時,,則在上單調遞增,在上單調遞減,故C正確;對D：由圖象,當時,方程在有4個解,在時,方程在少于4個解,故D正確.故選：BCD.11．答案：AC解析：如圖,當P為弦AB中點時,,A正確,B錯誤;因為與l距離為非零定值的所有點的軌跡是與l平行的兩條平行線,若r為定值,當k趨向于0時,兩條平行線與l的距離趨向于0,都與圓相交,當k趨向于無窮大時,兩條平行線與l的距離趨向于無窮大,都與圓相離.由于P點在圓內且與O點不重合,前面兩個極限狀態(tài)之間必然存在一條平行線與圓相交而另一條平行線與圓相切的情況,此時圓O上恰有三個點到l的距離均為,符合題意,C正確;若k為定值,當圓O上恰有三個點到l的距離均為時,l的兩條平行線中一條與圓相切,一條與圓相交.設原點O與l的距離為d,直線OP與l的夾角為,此時,即,由于,所以,所以,故當時,不存在圓O上恰有三個點到l的距離均為,故D錯誤.故選：AC.12．答案：解析：在中，設，因為，所以，.故.故13．答案：解析：正三棱錐可看作由正方體截得,如圖所示,PF為三棱錐的外接球的直徑,且,設正方體棱長為a,則,,,由,得,所以,因為球心到平面ABC的距離為.14．答案：解析：由正弦定理可得,則,,則周長為,由為銳角三角形,則,解得,故,則,即周長的取值范圍為.故答案為.15．答案：(1)證明見解析(2)解析：(1)底面,平面,,,,又,,平面,平面;(2)令,取的中點E,由,,則,又,故三角形是正三角形,,,又底面,,平面,,在中,,,所以,以A為坐標原點,,,所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,設平面的一個法向量為,則,即,令,則,,故,設平面的一個法向量為,則,即,令,則,,即,所以,即二面角的余弦值為.16．答案：(1),;;(2)分布列見解析;期望為30.解析：(1)由已知得,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為：Y15304560P所以.17．答案：(1)或或(2)斜率之和為定值?斜率之積不是定值解析：(1)曲線C上的點到點的距離比到直線的距離小2,故曲線C上的點到點的距離與到直線的距離相等,故曲線C為以為焦點,直線為準線的拋物線,即有,過點的直線l與拋物線C僅有一個公共點,若直線l可能與拋物線C的對稱軸平行時,則有：,若直線l與拋物線C相切時,易知：是其中一條直線,另一條直線與拋物線C上方相切時,不妨設直線l的斜率為k,設為,聯(lián)立可得：,則有：,解得：,故此時的直線l的方程為：,綜上,直線l的方程為：或或;(2)若l與C交于M,N兩點,分別設其坐標為,,且,由（1）可知直線l要與拋物線C有兩個交點,則直線l的斜率存在且不為0,不妨設直線l的斜率為k,則有：,聯(lián)立直線l與拋物線C可得：,可得：,即有,根據(jù)韋達定理可得：,,則有：,,則,故為定值;故不為定值;綜上：為定值-4,不為定值.18．答案：(1)答案見解析(2)(3)證明見解析解析：(1)的定義域為：,又已知,,所以時,,單調遞減;時,,單調遞增;(2)由題意：,即,若,不等式恒成立,若,即,令,,當時,單調遞增,當時,,單調遞減,故,故a的取值范圍為;(3)曲線與軸有兩個不同的交點,即函數(shù)有兩個不同的零點,,不妨令,由（2）知,a的取值范圍為,且由得,同理得曲線與曲線共有兩個不同的交點,,下面證明這兩條曲線還有一個交點,令,,令,則,,令,則恒成立,則單調遞增,又,令,得,故存在,使得在上單調遞減,在單調遞增,,,,故有兩個零點,,,令,,即有且只有兩個極值點,,所以在上單調增,在上單調減,在上單調增,又,若,,由得,與題設矛盾,所以,同理,,不可能在同一單調區(qū)間,,,故有,,所以在間存在唯一的使得,即兩條曲線還有一個交點,故曲線與曲線共有三個不同的交點.19．答案：(1),(2)10(3)存在,且或解析：(1),,,第一次“和擴充”后得