/2024-2025學年遼寧省部分高中高二（上）開學數學試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z1，z2在復平面內對應的點的坐標分別為(?1,3)，(2,?5)，則z1A.17?i B.?13?11i C.13+11i2.已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是(

)A.若m?α，n?β，m//n，則α//β

B.若m⊥α，m//n，n?β，則α⊥β3.已知|a|=2，|b|=3，(a+bA.π3 B.π4 C.π64.已知函數f(x)=sin(2x+A.π6 B.π4 C.π35.人臉識別就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設二維空間中有兩個點A(x1,y1)，B(x2,y2)，O為坐標原點，定義余弦相似度為cos(A,A.?13 B.13 C.?6.在三棱錐A?BCD中，AB=AC=4，∠CAB=90°，BC=BD，∠A.2063 B.16637.如圖，某校數學興趣小組為了測量某古塔的高度AB，在地面上共線的三點C，D，E處測得點A的仰角分別為30°，45°，60°，且CD=DE=60m，則古塔高度AB約為(????)(結果保留整數A.69m

B.70m

C.73m

D.8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=2，3bsinB的面積為(

)A.1 B.2 C.74 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(?1,1)，b=(?2,3)，c=(A.|a+b|=5B.當(a+b)//c時，4m10.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=4，b2A.A=π3B.當△ABC有兩解時，b的取值范圍是(4,8)

C.△ABC面積的最大值為8+4311.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長均為4，點M在棱CC1上，且CC1=4CM，NA.MN⊥B1CB.若AP//平面BMN，則動點P的軌跡長度為4

C.點N到平面A1BM的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若tanθ=3，則cosθ(1+sin213.已知函數f(x)滿足下列條件：

①f(x)的圖象是由y=cosx的圖象經過變換得到的；

②對于?x∈R，均滿足14.如圖，正三棱錐P?ABC的側面和底面ABC所成的角為α，正三棱錐Q?ABC的側面和底面ABC所成的角為β，AB=2，P和Q位于平面ABC的異側，且這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則∠PBQ四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1是一塊鐵料，上、下底面的邊長分別為40cm和80cm，O1，16.(本小題15分)

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3，acosC+3asinC=b+17.(本小題15分)

如圖①，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，點E在邊BC上，AE/?/CD，AE=BE=CE=2CD=2，G為AB的中點，將四邊形AECD沿AE折起，使得二面角C?AE?B的大小為60°，得到如圖②所示的幾何體．

(1)證明：18.(本小題17分)

離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,?,k,k≥3)為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1PQk和平面Qk19.(本小題17分)

射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，O為透視中心，平面內四個點E，F(xiàn)，G，H經過中心投影之后的投影點分別為A，B，C，D.對于四個有序點A，B，C，D，定義比值x=CACBDADB叫做這四個有序點的交比，記作(ABCD)．

(1)證明：(EFGH)=(ABCD)；

答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.C

8.B

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.2513.f(x)=214.π2

?15.解：(1)如圖所示，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的每個側面皆為全等的等腰梯形，

分別取B1C1，BC的中點為M，N，連接O1M，ON，MN，

過點M作MH⊥ON于H，

則O1O=MH=60cm，O1M=20cm，ON=40cm，HN=20cm，

故MN16.解：(1)由正弦定理可得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

又因為sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

則3sinAsinC=cosAsinC+sinC，因為C∈(0,π)，所以sinC≠0，

則3sinA?cosA=1，即sin(A?π6)=12，所以A?π6=π6或5π6，

所以A=π3或π(舍去)，

故A=π3，17.(1)證明：如圖，取BE的中點O，連接OC，OG，

又因為G為AB的中點，所以OG//AE，且OG=12AE，

因為CD//AE,CD=12AE，所以CD//OG且CD=OG，

所以四邊形CDGO是平行四邊形，則DG//CO，

由題設易知AE⊥CE，AE⊥EB，CE∩EB=E，CE、EB?平面BCE，

所以AE⊥平面BCE，且∠CEB為二面角C?AE?B的平面角，

因為CO?平面BCE，所以AE⊥CO，則AE⊥DG，

因為二面角C?AE?B的大小為60°，所以∠CEB=60°，

因為BE=CE，所以△CEB為等邊三角形，

因為O是BE的中點，所以BE⊥CO，所以BE⊥DG，

因為BE∩AE=E，BE、AE?平面ABE，

所以DG⊥平面ABE；

(2)解：如圖，在平面ABE內，過點G作GH⊥AF，連接DH，GF，

由(1)知，DG⊥平面ABE，由線面垂直的性質定理知DG⊥AF，

因為GH⊥AF，DG、GH?平面DHG，DG∩GH=G18.解：(1)根據離散曲率的定義得：ΦP=1?12π(∠APB+∠BPC+∠APC)

ΦA=1?12π(∠PAB+∠BAC+∠PAC)，

ΦB=1?12π(∠PBA+∠ABC+∠PBC)，

ΦC=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)，

所以ΦP+ΦA+ΦB+ΦC=4?12π×4π=2．

(2)①因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC⊥BC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，

又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，即∠BCP=π2，

又ΦC=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)，

即38=1?12π(∠PCA+π2+π2)，所以∠PCA=π4，

過點A作AM⊥PC于點M，因為BC⊥平面PAC，AM?平面PAC，所以BC⊥AM19.解：(1)證明：在△AOC、△AOD、△BOC、△BOD中，

CACB=S△AOCS△BOC=12OA?OCsin∠AOC12OB?OCsin∠BOC=OAsin∠AOCOBsin∠BOC，

DADB=S△AODS△BOD=12OA?ODsin∠AOD12OB?ODsin∠BOD=OAsin∠AODOBsin∠BOD，

所