試卷第=page4242頁，共=sectionpages4242頁10閱讀理解、探究拓展1．在數(shù)學(xué)小組探究學(xué)習(xí)中，張兵與他的小組成員遇到這樣一道題：已知，求的值．他們是這樣解答的：∵∴∴即∴∴．珇你根據(jù)張兵小組的解題方法和過程，解決以下問題：(1)______．(2)化簡；(3)若，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1），故答案為：；（2）解：；（3），，∴，即．∴．∴．2．閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．(1)應(yīng)用：①若點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC與AB的比值是．②如圖，學(xué)校元旦晚會的舞臺AB的長為20米，主持人小明學(xué)習(xí)了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識后，認(rèn)為站在點C處更自然得體（已知點C是線段AB上靠近點B的黃金分割點），則此時小明與點A的距離為米．(2)理解：如圖（1），請將內(nèi)角分別36°，36°，108°的等腰三角形分割成三個“黃金三角形”，并標(biāo)出每個“黃金三角形”內(nèi)角的度數(shù)；(3)運用：如圖（2），已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，，，BD為的平分線．求證：點D是AC的黃金分割點．【答案】(1)①；②（）；(2)見解析；(3)見解析【詳解】（1）①解：根據(jù)黃金分割點的概念得：AC：AB＝．故本題答案為：．②解：∵點C是線段AB上靠近點B的黃金分割點，AB＝20米，∴AC＝AB＝×20＝（米），故答案為：（）．（2）解：圖形如圖1所示：（3）證明：∵，，∴，又∵BD平分，∴∴∴即又∵∴∴，∴，∴D點是AC的黃金分割點．3．閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：在學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系后，我們可以繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關(guān)系，在銳角中，的對邊分別是．如圖1，過點作于點，則根據(jù)定義得，于是，也就是，即．同理有，，即最終得到．即在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結(jié)論就可以求出其余三個未知元素．(1)在銳角△ABC中，若，，，求．(2)仿照證明過程，借助圖2或圖3，證明和中的其中一個．【答案】(1)；(2)見解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵，，，∴，即，解得：；（2）解：證明如下：過點B作于點E，∴，∴，∴，∴；證明如下：過點C作于點F，∴，∴，∴，∴．4．閱讀理解：已知，求代數(shù)式的值．王紅的做法是：根據(jù)得，，得：．把作為整體代入：得．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知x=，求代數(shù)式的值．【答案】(1)-6；(2)【詳解】（1），，，，；（2），，，變形整理得：，．5．閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則．．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、滿足，，且，求①；②的值．【答案】(1)；(2)；(3)①；②【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：．（2）∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）∵實數(shù)s、t滿足，，且，∴可以看作方程的兩個根，∴，，①===；②，∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上分析可知，的值為：．6．閱讀材料：①對于任意實數(shù)a和b，都有，∴，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②任意一個非負(fù)實數(shù)都可寫成一個數(shù)的平方的形式.即：如果a≥0，則．如：等．例：①用配方法求代數(shù)式的最小值．②已知，求證：.①解：由題意得：，∵，且當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為：；②證明：∵，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．請解答下列問題：某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）.設(shè)垂直于墻的一邊長為x米.(1)若所用的籬笆長為36米，那么：①當(dāng)花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米？②設(shè)花圃的面積為S米，求當(dāng)垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大？并求出這個最大面積；(2)若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？【答案】(1)①垂直于墻的一邊長為6米或12米；②最大面積是162；(2)若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是40米【詳解】（1）解：①由題意得，化簡后得，解得，，答：垂直于墻的一邊長為6米或12米；②由題意得，∵，∴當(dāng)時，S取得最大值是162，∴當(dāng)垂直于墻的一邊長為9米時，S取得最大值，最大面積是162；（2）設(shè)所需的籬笆長為L米，由題意得，，∴若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是40米．7．【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問題：①在進(jìn)行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：，以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知，，求．我們可以把和ab看成是一個整體，令，，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．(1)計算：；(2)m是正整數(shù)，，且，求m(3)已知，求的值．【答案】(1)；(2)2；(3)9【詳解】（1）解：原式；（2）解：∵，∴，，∵∴∴∴∴∴或∵m是正整數(shù)∴；（3）解：∵∴∴∴∴，∵，∴8．?dāng)?shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要．我們經(jīng)常運用類比，轉(zhuǎn)化，從特殊到一般等思想方法來解決一些數(shù)學(xué)問題．如圖①，在平行四邊形中，點是邊的中點，點是線段上一點，的延長線交于點．若，求的值．【嘗試探究】在圖①中，過點作交于點，則的值為＿＿＿＿，的值為＿＿，的值為＿＿＿＿．【類比延伸】如圖②，在原題的條件下，若，則的值為＿＿＿＿（用含的代數(shù)式表示）．【拓展遷移】如圖③，若點在線段的延長線上，的延長線交的延長線于點，，則的值為＿＿＿＿（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）5，2，；（2）；（3）【詳解】解：（1）如圖①，過點作交于點，∵，∴∴，∴，∵，∴，又∵點是邊的中點，∴為的中位線，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，故答案為：，；（2）如圖②，過點作交于點，∵，∴∴∴，∵，∴，又∵點是邊的中點，∴為的中位線，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，故答案為：；（3）如圖③，過點作交于點，∵，∴∴∴，∵，∴，又∵點是邊的中點，∴為的中位線，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．故答案為：．9．閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，∴，∵，∴．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實數(shù)x，y滿足，求的值．(2)解方程：．(3)已知a，b，c是的三邊（c為斜邊），周長為15，且a，b滿足，試求的面積．【答案】(1)；(2)或；(3)【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，∴，∴，∴或，∵，∴，∴；?）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，∴，∴或，?dāng)時，則，∴，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解；當(dāng)時，則，∴，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解；∴原方程的解為或；（3）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，∴，∴或，∵，∴，∵a，b，c是的三邊（c為斜邊），∴，∴，∵周長為15，∴，∴，∴．10．閱讀下列材料，完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：已知角平分線分線段成比例定理內(nèi)容：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例，如圖①，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個定理的部分證明過程．(1)證明：如圖②，過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．(2)你還有其他的證明方法么？如果有，另外寫出一個完整的證明過程【答案】(1)見解析；(2)有，見解析【詳解】（1）證明：如圖②，過C作，交BA的延長線于E，則∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∵，∴＝，∴＝；（2）解：有其他的證明方法，理由如下：過點A作AE⊥BC，過點D作DF⊥AB，過點D作DG⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分線，DF⊥AB，過點D作DG⊥AC，∴DF=DG，∵，，，∴，，∴．11．閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則_________．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、滿足，，且，求的值．【答案】(1)1；(2)；(3)【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，，∴，故答案為：（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為、，∴，，∴；（3）解：∵實數(shù)、滿足，，∴與看作是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，，∴，∴．12．如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，若、，求的值．【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.【詳解】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性質(zhì)得在和中，；（2）成立，證明如下：如圖，過點分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形由正方形對角線的性質(zhì)得，為的角平分線則在和中，；（3）如圖，過點分別作，垂足分別為同（2）可知，由長方形性質(zhì)得：，即在和中，.13．小明在做二次根式的化簡時，遇到了比較復(fù)雜的二次根式，通過資料的查詢，他得到了該二次根式的化簡過程如下＝＝=(1)結(jié)合以上化簡過程，請你動手嘗試化簡．(2)善于動腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a，b，m，n為正整數(shù)時，若，則，所以，若，且a，m，n為正整數(shù)，；求a，m，n的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：==．（2）解：∵∴，∵∴，，．14．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．請按要求畫圖：將ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B′，點C的對應(yīng)點為C′，連接BB′，此時∠ABB′等于多少度；【問題解決】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流、對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABP’，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系……請參考他們的想法，完成該問題的解答過程；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AC＝7，點P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面積；【思維拓展】如圖4，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），請直接寫出BD的長（用含k的式子表示）．【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】（1）∠AB′B＝45°；【問題解決】（2）PB＝5；【學(xué)以致用】（3）S△APC＝7；【思維拓展】BD＝．【詳解】解：（1）連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案為45°；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABP'，連接PP′，如圖2所示：則△APP′是等邊三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∴∠PP′B＝90°，∴PB＝；（3）將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C，連接PP′，如圖3所示：則△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP?PC＝××2＝7；(4)∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，如圖4所示：∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，BE＝CE＝1，∴BC＝2，DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝，∴BD＝CG＝．15．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個值得思考的問題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來看分析，不外乎就是三個環(huán)節(jié)，【閱讀觀察】－【類比應(yīng)用】－【拓展延伸】．下面同學(xué)們從這三個方面試著解決下列問題，閱讀觀察：二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當(dāng)?shù)亩胃剑?，化簡．解：將分子、分母同乘以得，．類比?yīng)用：(1)化簡：__________；(2)化簡：拓展延伸：寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬．(3)黃金矩形ABCD的長____________；(4)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論：(5)在圖②中，請連接AE，則點D到線段AE的距離為____________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)見解析；(5)【詳解】（1）化簡：．故答案為：．（2）解：原式＝（3）∵寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形ABCD的寬，黃金矩形ABCD的長BC為：．故答案為：．（4）矩形DCEF是黃金矩形，理由如下：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可知：，F(xiàn)D=EC=AD-AF，，所以矩形DCEF是黃金矩形；（5）如圖，連接AE，DE，過點D作DG⊥AE于點G，∵AB=EF=1，，，在△AED中，，，，解得，以點D到線段AE的距離為，故答案為：．16．閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由書達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)a，b滿足：，且，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，；(2)或；(3)15【詳解】（1）解：令y=，則有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，∴，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵，∴或①當(dāng)時，令，，∴則，，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，此時；②當(dāng)時，，此時；綜上：或（3）解：令，，則，，∵，∴即，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，故．17．某校數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．【探究發(fā)現(xiàn)】6+6＝2＝12；；0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；．【猜想結(jié)論】如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立）．【證明結(jié)論】∵≥0∴①當(dāng)且僅當(dāng)＝0，即a＝b時，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；②當(dāng)≠0，即a≠b時，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．綜合上述可得：若a＞0，b＞0，則a+b≥2成立（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立）．(1)【應(yīng)用結(jié)論】已知函數(shù)與函數(shù)，則當(dāng)時，取得最小值為．(2)【應(yīng)用結(jié)論】對于函數(shù)y＝（x＞4），當(dāng)x取何值時，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？(3)【拓展應(yīng)用】疫情期間，高速公路某檢測站入口處，為了解決疑似人員的臨時隔離問題，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），計劃用鋼絲網(wǎng)圍成6間相同的長方形隔離房．如圖，已知每間隔離房的面積，問：每間隔離房的長、寬各為多少米時，所用鋼絲網(wǎng)長度最短？最短長度是多少？【答案】(1)1，2；(2)當(dāng)x=5時，最小值是6；(3)當(dāng)長=6米，寬為4米時，鋼絲網(wǎng)長度最短，最短長度是72米【詳解】（1）解：∵已知函數(shù)與函數(shù)，∴＝，∵x＞0，∴≥2，即≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝即x2＝1，只取x＝1時，等號成立；∴≥2，∴當(dāng)x＝1時，取得最小值為2．故答案為：1，2（2）解：∵x＞4，∴x－4＞0，∵，∴2，∴y＝＝≥6，此時，解得，，經(jīng)檢驗，是分式方程的根，∵x＞4，∴x＝5，∴當(dāng)x＝5時，函數(shù)y＝（x＞4）的值最小，最小值是6．（3）解：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為m米，與墻垂直的邊為米，所用鋼絲網(wǎng)長度為w米，由題意得：w＝6m+9×＝+6m，即：w＝+6m，∴+6m≥2，∵2＝2×36＝72，∴w＝+6m≥72，當(dāng)且僅當(dāng)＝6m時，等號成立，即6m2＝216，解得m＝6或﹣6（不合題意，舍去），∴m＝6，此時＝4，∴每間隔離房的長、寬各為6米和4米時，所用鋼絲網(wǎng)長度最短，最短長度是72米．18．閱讀下面材料，回答下列問題：構(gòu)造法是依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題做適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而疏通解題思路的方法．構(gòu)造方程是常用的一種構(gòu)造方法，它能使得問題被簡化，得以迅速解決．材料：已知，求代數(shù)式的值；分析：這道題如果將代數(shù)式化簡，再直接將代入求值比較困難，觀察的值，發(fā)現(xiàn)，對比一元二次方程求根公式，不難發(fā)現(xiàn)是方程的根，所以，，所以原式．(1)以2，為根的方程可以是_________；(2)已知，請用材料中的方法求代數(shù)式的值；(3)求代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）以2，為根的方程可以是：故答案為：（2）∵，∴是方程的根，∴，∴；（3）設(shè)，∴，∵，∴x是方程的根，∴，∴．19．閱讀理解：材料：小華在學(xué)習(xí)分式運算時，通過具體運算：，，，，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立．應(yīng)用規(guī)律，快速計算：．根據(jù)材料，回答問題：在學(xué)習(xí)二次根式運算時，小華根據(jù)分式學(xué)習(xí)積累的活動經(jīng)驗，類比探究二次根式的運算規(guī)律，并解決問題．請將下面的探究過程，補充完整．（1）具體運算：特例1：，特例2：，特例3：，特例4：（填寫一個符合上述運算特征的例子）．……（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（為正整數(shù)），并證明此規(guī)律成立．（3）應(yīng)用規(guī)律：①計算：；②如果，那么n＝．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【詳解】解：（1）（答案不唯一）；（2）；故答案為：證明：=故答案為：（3）①；，，，．②則20．【項目學(xué)習(xí)】“我們把多項式及叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：因為，所以，因此，當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)當(dāng)___________時，代數(shù)式有最小值，最小值為___________．(2)當(dāng)x取何值時，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)當(dāng)x，y何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？(4)如圖所示的第一個長方形邊長分別是、，面積為；如圖所示的第二個長方形邊長分別是、，面積為，試比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)1，；(2)時，4；(3)，，16；(4)，見解析．【詳解】（1）解：因為，所以，因此，當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值是．故答案為：1；（2）解：，因為，所以，因此，當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值是4．（3）解：因為，，所以，因此，當(dāng)，時，即，時，代數(shù)式有最小值，最小值是16．（4）解：，，∴，∵，∴，即．21．（1）觀察探究：①；②；③．（2）嘗試練習(xí)：（仿照上面化簡過程，寫出①的化簡過程，直接寫出②化簡結(jié)果）①，②；（3）拓展應(yīng)用：①化簡：；②計算的值．【答案】（2）①，②；（3）①，②．【詳解】（2）①；②；（3）①；②原式=．22．請閱讀下列材料：我們可以通過配方，利用平方的非負(fù)性來求出代數(shù)式的最值．例如：①請求出代數(shù)式的最值．，且，∴當(dāng)時，代數(shù)式有最小值．②請求出代數(shù)式的最值．，且．∴當(dāng)時，代數(shù)式有最大值2．請根據(jù)上述方法，解決下列問題：(1)當(dāng)x=，代數(shù)式有最（填“大”，“小”）值為(2)代數(shù)式有最小值2，求k的值．(3)應(yīng)用拓展：如圖，現(xiàn)在有長度24m的圍欄，要利用一面墻（墻的最大可用長度為15m）來圍成菜園，的長度不大于墻的長度，要圍成中間有一道圍欄的矩形菜園，請問菜園的長和寬分別為多少時，菜園有最大面積？【答案】(1)，小，；(2)k=；（3）【詳解】（1）解：∵，且∴當(dāng)時，代數(shù)式：有最小值：；故答案為：，小，；（2）∵，且，∴當(dāng)時，代數(shù)式有最小值：，∴，解得：k=；（3）解：設(shè)，則：，∵，∴，解得：；由題意得：，當(dāng)時，代數(shù)式有最大值：72，∴當(dāng)時，菜園面積最大．23．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為，所以5是“完美數(shù)”．解決問題：(1)已知10是“完美數(shù)”，請將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式__________；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則________；探究問題：(3)已知，則____________；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．拓展結(jié)論：(5)已知實數(shù)x、y滿足，求的最值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)時，S為“完美數(shù)”，理由見解析；(5)6【詳解】（1）解：∵∴10是“完美數(shù)”故答案為．（2）解：∵∴∴故答案為．（3）解：∴∴．故答案為．（4）解：當(dāng)時，S為“完美數(shù)”，理由如下：，∵∴．（5）解：∵，∴，即，∴．當(dāng)時，最大，最大值為6．24．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題；例題：求代數(shù)式的最小值．解：，，，∴代數(shù)式的最小值為4．(1)求代數(shù)式的最小值(2)某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個面積為的矩形已知柵欄的總長度為，設(shè)較小矩形的寬為（如圖），當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)2；(2)，．【詳解】（1）解：，，，代數(shù)式的最小值為2；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為，則，由題意得，解得，∴自變量x的取值范圍是，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，答：當(dāng)時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為．25．閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：解方程：．解：，方程即為：，設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為：解得，，，當(dāng)時，即，，；當(dāng)時，即，不成立．綜上所述，原方程的解是，．以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．(1)已知方程：，若設(shè)，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于的方程是______；(2)仿照上述方法，解方程：．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)，則，可化為：，即，故答案為：；（2）設(shè)，則，原方程可化為：，整理得，，或，或，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，無解，檢驗，當(dāng)時，左邊右邊，是原方程的解，故原方程的解為：．26．【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣的一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點P為邊BC上任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE＝CF．小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．小俊的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD＝GF，PE＝CG，則PD+PE＝CF．[變式探究]如圖3，當(dāng)點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD﹣PE＝CF；請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：[結(jié)論運用]如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；[遷移拓展]圖5是一個航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，且AD?CE＝DE?BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．【答案】小軍的證明：見解析；小俊的證明：見解析；[變式探究]見解析；[結(jié)論運用]PG+PH的值為4；[遷移拓展]（6+2）dm【詳解】小軍的證明：連接AP，如圖②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，∵AB＝AC，∴CF＝PD+PE．小俊的證明：過點P作PG⊥CF，如圖