2025年數(shù)學隨機分布題目及答案

一、單項選擇題1.設(shè)隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B2.已知隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}kx^2,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(k\)的值為（）A.2B.3C.4D.5答案：B3.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則隨著\(\sigma\)的增大，概率\(P(|X-\mu|\lt\sigma)\)（）A.增大B.減小C.不變D.不確定答案：C4.若隨機變量\(X\)服從\(0-1\)分布，且\(P(X=1)=0.6\)，則\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)為（）A.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\0.4,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)B.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\0.6,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)C.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\0.5,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)D.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\0.3,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)答案：A5.設(shè)隨機變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)},k=1,2,3,\cdots\)，則\(c\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：A6.隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，其概率密度函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上的值為（）A.\(\frac{1}{b-a}\)B.\(\frac{1}{b+a}\)C.\(b-a\)D.\(b+a\)答案：A7.已知隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^2)\)的值為（）A.8B.10C.12D.14答案：A8.設(shè)隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，且\(X\)服從參數(shù)為\(2\)的指數(shù)分布，\(Y\)服從參數(shù)為\(3\)的指數(shù)分布，則\(Z=X+Y\)的期望\(E(Z)\)為（）A.\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)C.\(2+3\)D.\(2-3\)答案：A9.若隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\gt0)\)的值為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案：D10.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(+\infty)\)的值為（）A.0B.0.5C.1D.不存在答案：C二、多項選擇題1.以下哪些是離散型隨機變量的分布（）A.二項分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.均勻分布答案：AB2.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.\(E(X)=\mu\)B.\(D(X)=\sigma^2\)C.\(X\)的概率密度函數(shù)關(guān)于\(x=\mu\)對稱D.\(P(X\gt\mu)=0.5\)答案：ABCD3.對于隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)，具有以下性質(zhì)（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)答案：ABCD4.設(shè)隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則（）A.\(E(X+Y)=5\)B.\(E(XY)=6\)C.\(D(X+Y)=13\)D.\(D(XY)=36\)答案：ABC5.以下關(guān)于概率密度函數(shù)\(f(x)\)的說法正確的是（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(f(x)\)唯一確定分布函數(shù)\(F(x)\)答案：ABCD6.若隨機變量\(X\)服從二項分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)D.當\(n\)很大，\(p\)很小時，近似服從泊松分布答案：ABCD7.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，則以下說法正確的是（）A.\(P(X=a)=0\)（連續(xù)型隨機變量）B.\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)C.\(f(x)\)在某點\(x_0\)處連續(xù)，則\(F^\prime(x_0)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)的圖像與\(x\)軸圍成的面積為1答案：ABCD8.已知隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(1,3)\)，則（）A.\(E(X)=2\)B.\(D(X)=\frac{1}{3}\)C.\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&1\leqx\leq3\\0,&其他\end{cases}\)D.\(P(1.5\ltX\lt2.5)=\frac{1}{2}\)答案：ACD9.對于隨機變量\(X\)和\(Y\)，若\(Cov(X,Y)=0\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)相互獨立B.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)答案：BCD10.設(shè)隨機變量\(X\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，則（）A.\(E(X)=\lambda\)B.\(D(X)=\lambda\)C.\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots\)D.當\(\lambda\)較大時，近似服從正態(tài)分布答案：ABCD三、判斷題1.離散型隨機變量的分布律滿足\(\sum_{k}P(X=k)=1\)。（√）2.連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)\(f(x)\)在某一點的值表示該點的概率。（×）3.若隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(X\)一定取到\(\mu\)這個值。（×）4.隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)一定都存在。（×）5.設(shè)隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(D(X-Y)=D(X)-D(Y)\)。（×）6.均勻分布\(U(a,b)\)的概率密度函數(shù)在區(qū)間\((a,b)\)上是常數(shù)。（√）7.若隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(P(X=x_0)=0\)。（√）8.二項分布\(B(n,p)\)中，當\(n=1\)時，就是\(0-1\)分布。（√）9.對于任意隨機變量\(X\)，\(E(X^2)\geq[E(X)]^2\)。（√）10.若隨機變量\(X\)與\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨立。（×）四、簡答題1.簡述離散型隨機變量分布律的性質(zhì)。離散型隨機變量分布律\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)具有以下性質(zhì)：一是非負性，即\(p_k\geq0,k=1,2,\cdots\)；二是規(guī)范性，\(\sum_{k}p_k=1\)。這兩個性質(zhì)是判斷一個數(shù)列是否為離散型隨機變量分布律的重要依據(jù)，非負性保證概率的合理性，規(guī)范性確保了所有可能取值的概率總和為1，涵蓋了所有可能情況。2.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，寫出其概率密度函數(shù)，并說明其圖像特點。正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x\in(-\infty,+\infty)\)。其圖像特點：關(guān)于\(x=\mu\)對稱，在\(x=\mu\)處達到最大值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)；以\(x\)軸為漸近線，\(x\)離\(\mu\)越遠，\(f(x)\)值越??；\(\sigma\)決定圖像的“胖瘦”，\(\sigma\)越大圖像越“胖”越平坦，\(\sigma\)越小圖像越“瘦”越陡峭。3.什么是隨機變量的期望和方差？它們分別反映了隨機變量的哪些特征？隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)，對于離散型隨機變量\(X\)，若分布律為\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)，則\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)；對于連續(xù)型隨機變量\(X\)，概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)。它反映隨機變量取值的平均水平。方差\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)，反映隨機變量取值相對于期望的離散程度，方差越大，取值越分散，方差越小，取值越集中在期望附近。4.簡述指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和無記憶性。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\geq0\\0,&x\lt0\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\lambda\gt0\)為參數(shù)。指數(shù)分布具有無記憶性，即對于任意的\(s,t\gt0\)，有\(zhòng)(P(X\gts+t|X\gts)=P(X\gtt)\)。這意味著在已經(jīng)經(jīng)歷了時間\(s\)沒有發(fā)生事件的條件下，再等待\(t\)時間才發(fā)生事件的概率，與從開始就等待\(t\)時間發(fā)生事件的概率相同，好像把過去的時間“忘記”了。五、討論題1.在實際生活中，有哪些現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來近似描述？并說明理由。在實際生活中，許多現(xiàn)象可以用正態(tài)分布近似描述。比如學生的考試成績，大量學生的考試成績往往呈現(xiàn)中間多、兩頭少的分布形態(tài)。因為大部分學生的學習水平處于中等，成績接近平均分數(shù)；而成績特別好和特別差的學生占少數(shù)。人的身高也是，大多數(shù)人的身高集中在某個平均值附近，過高或過矮的人占比相對較小。這是由于這些現(xiàn)象受到眾多相互獨立的隨機因素綜合影響，根據(jù)中心極限定理，當這些因素足夠多時，其總體分布近似服從正態(tài)分布。2.討論離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量在描述隨機現(xiàn)象時的區(qū)別與聯(lián)系。區(qū)別：離散型隨機變量的取值是可列的、離散的，如拋骰子出現(xiàn)的點數(shù)；而連續(xù)型隨機變量的取值充滿某個區(qū)間，不可一一列舉，如某地區(qū)一天內(nèi)的氣溫。離散型隨機變量用分布律描述，連續(xù)型隨機變量用概率密度函數(shù)描述。離散型隨機變量取某一特定值有非零概率，連續(xù)型隨機變量取某一特定值概率為0。聯(lián)系：都是用來描述隨機現(xiàn)象的變量類型，都有相應(yīng)的分布函數(shù)來刻畫其概率特征，分布函數(shù)都具有非負性、規(guī)范性、單調(diào)不減等性質(zhì)，都可以計算隨機變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率。3.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)，討論\(X\)與\(Y\)相互獨立、不相關(guān)之間的關(guān)系，并舉例說明。若\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(X\)與\(Y\)一定不相關(guān)，即\(Cov(X,Y)=0\)，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。但反之不成立，\(X\)與\(Y\)不相關(guān)不能推出\(X\)與\(Y\)相互獨立。例如，設(shè)\(X\)服從\(U(-1,1)\)，\(Y=X^2\)，\(E(X)=0\)，\(E(XY)=E(X^3)=0\)，則\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0\)，\(X\)與\(Y\)不相關(guān)，但\(Y\)的值完全由\(X\)決定，\(X\)與\(Y\)不相互獨立。相互獨立是更強的條件，意味著\(X\)的取值對\(Y\)的取值概率沒有影響，而