2025廣東線性代數(shù)自考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的秩為（）A.0B.1C.2D.33.向量組\(\vec{\alpha}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{\alpha}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{\alpha}_3=(0,0,1)\)的線性相關(guān)性是（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.不確定D.部分相關(guān)4.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)可逆B.\(A\)不可逆C.\(A\)的秩為\(n\)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)5.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)6.已知矩陣\(A\)的特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.6B.5C.7D.87.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^TA\)等于（）A.\(A\)B.\(A^{-1}\)C.\(E\)（單位矩陣）D.\(0\)（零矩陣）8.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）B.\(r(A)\ltn\)C.\(r(A)\gtn\)D.\(A\)可逆9.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)10.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.32二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(A\)、\(B\)可交換時成立）B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量個數(shù)C.向量組中存在零向量D.向量組的向量個數(shù)大于向量的維數(shù)3.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^m=A^mB^m\)（\(m\)為正整數(shù)）C.\(A\)、\(B\)同時可對角化D.\(A\)、\(B\)有相同的特征值4.下列屬于正交矩陣性質(zhì)的有（）A.\(\vertA\vert=\pm1\)B.\(A^T=A^{-1}\)C.\(A\)的列向量組是單位正交向量組D.\(A\)的行向量組是單位正交向量組5.關(guān)于線性方程組\(Ax=b\)，說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，方程組有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程組無解C.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），方程組有唯一解D.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，方程組有無窮多解6.矩陣\(A\)可相似對角化的充分必要條件有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量B.\(A\)的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)C.\(A\)的特征值互不相同D.\(A\)是實對稱矩陣7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)為正定的判定方法有（）A.二次型的矩陣\(A\)的順序主子式全大于\(0\)B.二次型的正慣性指數(shù)\(p=n\)C.對于任意非零向量\(x\)，\(f(x)\gt0\)D.二次型的矩陣\(A\)合同于單位矩陣8.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則（）A.\(A\)可逆B.\(A\)的特征值只能是\(2\)或\(-1\)C.\(A\)可對角化D.\((A-E)\)可逆9.下列關(guān)于行列式性質(zhì)正確的有（）A.行列式某行（列）元素加上另一行（列）對應(yīng)元素的\(k\)倍，行列式值不變B.行列式兩行（列）互換，行列式值變號C.行列式某行（列）元素全為\(0\)，則行列式值為\(0\)D.行列式某行（列）元素都乘以\(k\)，行列式值乘以\(k\)10.設(shè)\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s\)是向量組，\(\vec{\beta}\)可由該向量組線性表示，則（）A.\(r(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s,\vec{\beta})=r(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s)\)B.存在一組數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使得\(\vec{\beta}=k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_s\vec{\alpha}_s\)C.向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s,\vec{\beta}\)線性相關(guān)D.\(\vec{\beta}\)是該向量組的極大線性無關(guān)組中的向量三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為\(0\)。（）2.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）4.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。（）5.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是\(A\)可逆。（）6.矩陣\(A\)的特征值\(\lambda\)對應(yīng)的特征向量是唯一的。（）7.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2\)是正定二次型。（）8.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式。（）9.行列式某行元素的公因子可以提到行列式外面。（）10.向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的判定方法。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的判定方法有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可通過初等行變換化為單位矩陣；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)等。2.說明向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的區(qū)別。答：線性相關(guān)指向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示；線性無關(guān)則是向量組中任意一個向量都不能由其余向量線性表示，線性無關(guān)向量組秩等于向量個數(shù)，線性相關(guān)向量組秩小于向量個數(shù)。3.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。答：實對稱矩陣的性質(zhì)有：特征值都是實數(shù)；不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；必可相似對角化，且存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣。4.如何求線性方程組\(Ax=b\)的通解？答：先求增廣矩陣\((A|b)\)的秩\(r(A|b)\)和\(A\)的秩\(r(A)\)，判斷解的情況。有解時，先求對應(yīng)的齊次方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系，再求非齊次方程組的一個特解，通解為特解加上齊次方程組基礎(chǔ)解系的線性組合。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似對角化在實際問題中的應(yīng)用。答：在實際中，矩陣相似對角化可用于簡化矩陣運算，如計算矩陣的高次冪。在物理、工程等領(lǐng)域，可用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、求解線性微分方程組等，通過將復雜矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣，降低計算難度。2.探討二次型正定的實際意義。答：在優(yōu)化問題中，二次型正定有重要意義。例如在多元函數(shù)極值問題里，若目標函數(shù)的黑塞矩陣正定，那么該函數(shù)在駐點處取得極小值。在物理中，正定二次型可描述系統(tǒng)的能量等具有非負性的物理量。3.論述線性代數(shù)中線性方程組理論與向量組理論的聯(lián)系。答：線性方程組\(Ax=b\)可看作向量組的線性組合問題，\(x\)的分量為系數(shù)。方程組有解等價于向量\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示。齊次方程組基礎(chǔ)解系與向量組極大線性無關(guān)組相關(guān)，秩的概念在兩者中相互關(guān)聯(lián)。4.談?wù)務(wù)蛔儞Q在幾何中的應(yīng)用。答：正交變換在幾何中應(yīng)用廣泛。在平面和空間幾何里，正交變換保持向量的長度和夾角不變，可用于圖形的