第1頁/共1頁2024年11月20日黃梅育才高中的高中數(shù)學(xué)組卷一?選擇題（共8小題）1.設(shè)，向量，，，且，，則（）．A. B. C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】由條件結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)表示和平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求，由此可求的坐標(biāo)，再求其模即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所?故選：D.2.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】由，得，即，所以直線的斜率為.設(shè)直線的傾斜角為，，則，所以，所以直線的傾斜角為.故選:D4.圓心為，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義可直接得出.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為3，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D5.“”是“方程表示圓方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表示圓得到或，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】若表示圓，則，解得或，可以推出表示圓，滿足充分性，表示圓不能推出，不滿足必要性，所以是表示圓的充分不必要條件.故選：A.6.曲線與曲線（且）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】分析可知兩曲線都表示橢圓，求出兩橢圓的長軸長、短軸長、焦距以及離心率，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為的橢圓．曲線（且）表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為的橢圓．故選：C.7.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的長軸長為，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求出長軸，再根據(jù)算出即可.【詳解】由題意得，，所以所以，所以橢圓的離心率.故選：D.8.已知圓，以圓上任意一點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓：交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，的面積為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解即可.【詳解】由題意知，，在中，，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦最大時(shí)，最大，此時(shí)弦為圓的直徑，在中，，，所以，.故選：D.二?多選題（共3小題）9.已知直線，則（）A.直線的傾斜角為B.直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線的截距式方程為【答案】ACD【解析】【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用直線方向向量的概念可判斷B選項(xiàng)；作出直線的圖象，可判斷C選項(xiàng)；將直線的方程化為截距式方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，A對；對于B選項(xiàng)，直線的方向向量為，故直線的一個(gè)方向向量為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，作出直線的圖象如下圖所示：由圖可知，直線不經(jīng)過第三象限，C對；對于D選項(xiàng)，直線的方程可化為，其截距式方程為，D對.故選：ACD10.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，則（）A.焦點(diǎn)、坐標(biāo)為， B.的最大值為7，最小值為1C. D.為直角三角形的頂點(diǎn)有4個(gè)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷B；根據(jù)橢圓的定義判斷C；根據(jù)為直角三角形確定M個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】由橢圓，可知，且焦點(diǎn)在軸上，則，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故A錯(cuò)誤；由橢圓的性質(zhì)知，的最大值為，最小值為，故B正確；由橢圓的定義知，，故C正確；因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，為直角三角形有4個(gè)，當(dāng)或垂直軸時(shí)，為直角三角形有4個(gè)，故為直角三角形的頂點(diǎn)共有8個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，若，則（）A.當(dāng)為上一點(diǎn)時(shí)，的面積為1B.當(dāng)為上一點(diǎn)時(shí)，的值可以為1C.當(dāng)滿足條件的點(diǎn)均在內(nèi)部時(shí)，則的離心率小于D.當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，在上必存在點(diǎn)，使得【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，求的面積，判斷A的真假；根據(jù)A的結(jié)論和的取值范圍，判斷B的真假；根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，判斷，的關(guān)系，確定離心率的取值范圍；根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，判斷的大小.【詳解】對A：如圖：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，所以，又因?yàn)椋?所以，所以，故A正確；對B：因?yàn)?，，所以，?所以不可能為1，故B錯(cuò)誤；對C：如圖：當(dāng)都在橢圓內(nèi)部，則，故C正確；對D：如圖：當(dāng)在的外部時(shí)，因?yàn)?，所以以，為直徑的圓與橢圓必有交點(diǎn)，不妨取，則，故D正確.故選：ACD三?填空題（共3小題）12.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，橢圓上有一點(diǎn)，，則三角形的面積為__________．【答案】3【解析】【分析】依題意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，從而可求得的面積．【詳解】橢圓，，，．又為橢圓上一點(diǎn)，，、為左右焦點(diǎn)，，，，．．故答案為：．13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理將角度的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓離心率的不等式即可.【詳解】因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解?舍去)或不等式，即所以.故答案為：14.圓的方程為，圓的方程為，過圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為__________.【答案】6【解析】【分析】先判斷兩圓相離，再由，設(shè)直線和圓交于兩點(diǎn)，由的最小值是求解.【詳解】的圓心，半徑等于2，圓，圓心，半徑等于1.∵CM=，要使最小，需和最小，且最小，如圖所示，設(shè)直線和圓交于兩點(diǎn)，則的最小值是.，，，，故答案為：6.四?解答題（共5小題）15.甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立的求解某道數(shù)學(xué)題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為．（1）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.【答案】（1）乙獨(dú)立解出該題的概率為，丙獨(dú)立解出該題的概率為（2）【解析】【分析】（1）設(shè)事件為“甲獨(dú)立解出該題”，事件為“乙獨(dú)立解出該題”，事件為“丙獨(dú)立解出該題”，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可得，，，進(jìn)而求解即可；（2）先求出甲、乙、丙3人都未解出該題的概率，再求解甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.【小問1詳解】設(shè)事件為“甲獨(dú)立解出該題”，事件為“乙獨(dú)立解出該題”，事件為“丙獨(dú)立解出該題”，則，，，解得，即乙獨(dú)立解出該題的概率為，丙獨(dú)立解出該題的概率為.【小問2詳解】甲、乙、丙3人都未解出該題的概率為，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.16.如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明過程見解析（2）存在，.【解析】【分析】（1）只需結(jié)合已知證明平面，由面面垂直的判定定理即可進(jìn)一步得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，進(jìn)一步表示兩個(gè)平面的法向量，由向量夾角公式建立方程即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，滿足條件，所以可取，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，解得，所以，由題意，化簡并整理得，解得或（舍去），所以，綜上所述，棱上是否存在一點(diǎn)E，且，使得二面角的余弦值為.17.分別求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)．（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共焦點(diǎn)求得，再通過點(diǎn)在橢圓上，列出方程即可求解；（2）通過待定系數(shù)法即可求解.【小問1詳解】因?yàn)樗蟮臋E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在軸上，且．設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)，所以有①又，②由①②解得．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程.18.已知橢圓的長軸是短軸的倍，且右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)長軸和短軸的對應(yīng)關(guān)系，以及列方程，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出的坐標(biāo)，得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，由此求得的面積．【小問1詳解】因?yàn)殚L軸是短軸的倍，所以，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，所以，結(jié)合，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，由，得，解得，，即，則，點(diǎn)到直線的距離，則的面積．19.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距等于，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值;（3）記為橢圓上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作相互垂直的兩條直線BP，BQ分別與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).設(shè)直線BP的斜率為且，若，求的值.【答案】（1）