第1頁/共1頁赫章縣2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試卷高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科考生注意：1．滿分150分．2．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，又，故選：B.2若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的定義，列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，解得.故選：B3.已知直線的傾斜角為，直線的方向向量為，若，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求得直線的斜率，再根據(jù)方向向量的知識求得.【詳解】設(shè)的斜率分別為，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)橹本€的方向向量為，則有，則有.故選：D4.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個(gè)著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足，．現(xiàn)從數(shù)列的前2025項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3除余1的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出數(shù)列各項(xiàng)的余數(shù)，得到余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，從而確定前2025項(xiàng)中被3除余1的項(xiàng)數(shù)即可求得概率.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知，數(shù)列：，被3除的余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余數(shù)依次排成一列構(gòu)成以8為周期的周期數(shù)列，，所以數(shù)列的前2025項(xiàng)中被3除余1的項(xiàng)數(shù)為，所以所求概率為.故選：C5.如圖，在四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算來求得正確答案.【詳解】連接，，則.故選：A6.已知圓截直線所得線段的長度為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，即可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以.圓的圓心為，半徑，所以兩個(gè)圓的位置關(guān)系是外離.故選：D.7.已知表面積為的球與一圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切，若該圓臺的下底面半徑為上底面半徑的4倍，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得球的半徑，作出圓臺的軸截面，求出圓臺的上、下底面半徑，由圓臺的體積公式即可得解．【詳解】設(shè)球的半徑為，由，解得．作出圓臺的軸截面，如圖，設(shè)，則，由相切的性質(zhì)可知，，易知，分別是，的平分線，即，，又，所以，所以，所以，又，則，所以，即，所以，所以，解得（負(fù)值已舍去），所以該圓臺的體積為，故選：D．8.已知、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題目條件和橢圓定義表示其他邊長，利用勾股定理得出和的關(guān)系，分別在和直角中表示，建立等量關(guān)系求出橢圓離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義，得，由，得，即，整理得，解得，則，即點(diǎn)在軸上，如圖，在直角中，，在中，，化簡得，所以橢圓的離心率.故選：D二、選擇題．本題共有3小題，本題共18分，每小題6分．每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為 B.最小正周期為C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于對稱【答案】AC【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】因?yàn)?對于A，當(dāng)時(shí)，的最小值為，A正確；對于B，因?yàn)?，所以的最小正周期為B錯;對于C，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，D錯.故選：AC.10.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3C. D.【答案】ABD【解析】【分析】聯(lián)立方程組求得，且，結(jié)合選項(xiàng)，結(jié)合拋物線的定義和焦點(diǎn)弦，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)，則過點(diǎn)F且斜率為1直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，Δ=?62設(shè)，則，對于A，由拋物線的定義，得，故A正確；對于B，線段的中點(diǎn)的到軸的距離為，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以與不垂直，故錯誤；對于D，由，可得，由拋物線定義，得，所以，故D正確.故選：ABD.11.類比于數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”，任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步禁后，必得到數(shù)字1.如取，則的值依次為，共需5個(gè)步驟變成1，則稱該運(yùn)算為5步運(yùn)算，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的值依次為B.當(dāng)時(shí)，該運(yùn)算為7步運(yùn)算C.當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時(shí)，的值可能有13個(gè)D.當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時(shí)，的最大值與最小值之和為137【答案】ACD【解析】【分析】由題意得到進(jìn)而逐個(gè)判斷即可；【詳解】由題知，對于A，，則的值依次為，故A正確；對于B，，所以該運(yùn)算為6步運(yùn)算，故B錯誤；對于C，當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時(shí)，，逆推可得如下結(jié)果，據(jù)此可得的值可能有13個(gè)，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，的最大值為128，最小值為9，所以的最大值與最小值之和為137，故D正確，故選：ACD.三、填空題．本題共有3小題，每小題5分，本題共15分．12.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：13.一座圓拱形橋（圓的一部分），當(dāng)拱頂距離水面2m時(shí)，水面寬為12m．當(dāng)水面下降1m后，水面寬為______m．【答案】【解析】【分析】以圓拱拱頂為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以過圓拱拱頂?shù)呢Q直直線為縱軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出圓的方程，然后再根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)代入圓方程求解即可.【詳解】以圓拱拱頂為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以過圓拱拱頂?shù)呢Q直直線為縱軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心為，半徑為，則圓的方程為：，拱頂距離水面時(shí)，水面寬為，可知點(diǎn)在圓上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程中得：，解得，所以圓的方程為：，當(dāng)水面下降時(shí)，設(shè)，代入圓方程得：，解得，即，該點(diǎn)關(guān)于縱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此此時(shí)水面寬為m.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，為奇函?shù)，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得到，即，令，得到，再由，令，得，從而，得到，從而得到是以4為周期的周期函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，，即，令，得，由，令，得，所以，則，即，所以，則是以4為周期的周期函數(shù)，又，則，又，則，所以，所以，，故答案為：四、解答題．本題共有5小題，本題共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，再由正弦定理計(jì)算可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式可得，可得，所以的周長為5.【小問1詳解】根據(jù)題意由余弦定理可得，又可得，即可得，所以，可得，由正弦定理可得；【小問2詳解】易知，解得，即；由（1）中可得，所以的周長為.16.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系式探究數(shù)列的特性，再求出其通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而證得不等式成立.【小問1詳解】數(shù)列中，由，得，兩式相減得，而，則，又，，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列所以的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）知，，所以.17.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及雙曲線所過的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)，應(yīng)用點(diǎn)差法得，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)斜式寫出所求直線方程.【小問1詳解】由題意，知，解得，故雙曲線的方程為．【小問2詳解】設(shè)，則，兩式相減，得，整理得．因?yàn)榫€段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為.18.如圖，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)得到，結(jié)合，結(jié)合線面垂直的判定定理得到平面，再運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)證明所求結(jié)論即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法求解即可.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出每個(gè)平面的法向量，利用面面夾角的向量求法求解即可.【小問1詳解】直四棱柱中，底面，又底面，故，又面，得到平面，又平面，則.【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，由點(diǎn)到平面的距離公式得點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】由（2）知，設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，而，則，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，故平面與平面夾角的正弦值為.19.若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列滿足:對于，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為指形數(shù)列;若數(shù)列滿足:，且時(shí)，有，則稱數(shù)列為凹形數(shù)列.（1）若，判斷數(shù)列是不是指形數(shù)列?若是，證明你的結(jié)論，若不是，說明理由;（2）若，證明指形數(shù)列也是凹形數(shù)列;（3）若指形數(shù)列是遞減數(shù)列，令，求使得成立的最小正整數(shù).【答案】（1）是，證明見解析（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算得，即證明其為指形數(shù)列；（2）根據(jù)指形數(shù)列的概念求得，再計(jì)算，結(jié)合基本不等式即可證明其為凹形數(shù)列；（3）根據(jù)指形數(shù)列的定義得，再利用其為遞減數(shù)列得，從而求得，再利用等比數(shù)列求和公式得，最后引入高斯函數(shù)，分類