新高考數(shù)學數(shù)列的概念選擇題專項訓(xùn)練之知識梳理與訓(xùn)練及解析一、數(shù)列的概念選擇題1．已知數(shù)列滿足，且，則的最小值為（）A．21 B．10 C． D．答案：C解析：C【分析】由累加法求出，所以，設(shè)，由此能導(dǎo)出或時有最小值，借此能得到的最小值.【詳解】解：所以設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又因為，所以當或時可能取到最小值.又因為，所以的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力.2．數(shù)列滿足：，其前項積為，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出，且有，再利用數(shù)列的周期性可計算出的值.【詳解】，，，，，，，且，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，涉及數(shù)列周期性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3．已知數(shù)列滿足，，則的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由題中條件，得到，由累加法得到，根據(jù)，，逐步計算出所有可能取的值，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，則，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，則，因為，，則，所以，則或，所以或；則或，所以或；則或或，所以或或；則或或，所以或或；……，以此類推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值為，所以所有可能取的值為，，，，，，，，，，；則所有可能取的值為，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于將題中條件平方后，利用累加法，得到，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值問題，再由條件，結(jié)合各項取值的規(guī)律，即可求解.4．數(shù)列，，，，…的一個通項公式是（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)選項進行逐一驗證，可得答案.【詳解】選項A.,當時，無意義.所以A不正確.選項B.,當時，，故B不正確.選項C.，，，所以滿足.故C正確.選項D.,當時,,故D不正確.故選：C5．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；6．已知數(shù)列滿足，且，則的前2021項之積為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由，且，可得：，可得其周期性，進而得出結(jié)論.【詳解】因為，且，所以，，，，，，..則的前2021項之積.故選：B【點睛】方法點睛：已知遞推關(guān)系式求通項：（1）用代數(shù)的變形技巧整理變形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)等方法求得通項公式．（2）通過具體的前幾項找到其規(guī)律，如周期性等求解.7．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A． B． C．(-1，1) D．答案：A解析：A【分析】由題在恒成立，即，討論為奇數(shù)和偶數(shù)時，再利用數(shù)列單調(diào)性即可求出.【詳解】數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，在恒成立，即恒成立，即，當為奇數(shù)時，則恒成立，單調(diào)遞減，時，取得最大值為，，解得；當為偶數(shù)時，則恒成立，單調(diào)遞增，時，取得最小值為20，，解得，綜上，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查已知數(shù)列單調(diào)性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵由數(shù)列單調(diào)性得出恒成立，需要討論為奇數(shù)和偶數(shù)時的情況，這也是容易出錯的地方.8．已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（）A．B．C．數(shù)列的最小項為和D．數(shù)列的最大項為和答案：C解析：C【分析】令，由已知得運用累加法得，從而可得，作差得，從而可得，由此可得選項.【詳解】令，則，又，所以，，，，，所以累加得，所以，所以，所以當時，，當時，，即，當時，，即，所以數(shù)列的最小項為和，故選：C.【點睛】本題考查構(gòu)造新數(shù)列，運用累加法求數(shù)列的通項，以及運用作差法判斷差的正負得出數(shù)列的增減性，屬于中檔題.9．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先將函數(shù)化簡為，再解函數(shù)零點得或，，再求即可.【詳解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列為：故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學運算求解能力，是中檔題.10．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項為（）A．174 B．184 C．188 D．160答案：A解析：A【分析】根據(jù)已知條件求得，利用累加法求得.【詳解】依題意：所以（），且，所以.所以.故選：A【點睛】本小題主要考查累加法，屬于中檔題.11．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項為（）（注：）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560答案：C解析：C【分析】設(shè)該數(shù)列為，令，設(shè)的前項和為，又令，則，依次用累加法，可求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，令，設(shè)的前項和為，又令，設(shè)的前項和為，易得，所以，，進而得，所以，同理：所以，所以.故選：C【點睛】本題考查構(gòu)造數(shù)列，用累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.12．數(shù)列的前項和記為，，，，則（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前8項，分析可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，進而可得，計算即可得答案．【詳解】解：因為，，，則，，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，因為，所以．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析數(shù)列各項變化的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．13．已知數(shù)列的前n項和為，則()A．10 B．8 C．6 D．4答案：D解析：D【分析】根據(jù)，代入即可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題主要考查了由數(shù)列的前項和求數(shù)列中的項，屬于基礎(chǔ)題.14．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項和為，則，，所以數(shù)列的前48項和為：1176.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及利用分組求和法求和，考查歸納思想和計算能力.15．已知數(shù)列的前項和，則（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根據(jù)題目已知條件求出數(shù)列的通項公式，問題得解.【詳解】,時，時滿足，故選：A.【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項.已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當時的表達式．(3)對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．．二、數(shù)列多選題16．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a(chǎn)1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022答案：BCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，依次判斷四個選項，即可得正確答案.【詳解】對于A，可知數(shù)列的前8項為1，1，2，3，5，8，13，21，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，可解析：BCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，依次判斷四個選項，即可得正確答案.【詳解】對于A，可知數(shù)列的前8項為1，1，2，3，5，8，13，21，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，可得，則即，，故C正確；對于D，由可得，，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出數(shù)列的遞推關(guān)系，，能根據(jù)數(shù)列性質(zhì)利用累加法求解.17．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為答案：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】解析：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補充：等比數(shù)列的通項公式：.18．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數(shù)列為，則的通項公式為（）A．B．且C．D．答案：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．19．記為等差數(shù)列前項和，若且，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．數(shù)列中最大值的項是C．公差 D．數(shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，所以C選項錯誤.對于B選項，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項是，所以B選項正確.對于D選項，由上述分析可知，時，，當時，，且.所以數(shù)列的前項遞減，第項后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】等差數(shù)列有關(guān)知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項和的最值，可以令或來求解.20．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當數(shù)列為等比數(shù)列時，答案：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；當數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，屬于中檔題21．設(shè)d為正項等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項中的項全部用表示，并根據(jù)判斷各選項．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯誤.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項中的項全部用表示，并根據(jù)判斷各選項．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯誤.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是由已知確定的范圍，由通項公式寫出各項（用表示）后，可判斷．22．在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)解析：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，將這k個式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，屬于中檔題.23．等差數(shù)列的首項，設(shè)其前項和為，且，則（）A． B． C． D．的最大值是或者答案：BD【分析】由，即，進而可得答案．【詳解】解：，因為所以，，最大，故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．解析：BD【分析】由，即，