2025年勘察設(shè)計(jì)注冊(cè)土木工程師考試(巖土專業(yè)基礎(chǔ))經(jīng)典試題及答案一、高等數(shù)學(xué)1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$\lim_{x\to1}f(x)$。-首先對(duì)函數(shù)$f(x)$進(jìn)行化簡：-當(dāng)$x\neq1$時(shí)，$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$。-然后求極限：-根據(jù)極限的運(yùn)算法則，$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)$，將$x=1$代入$x+1$，可得$\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2$。2.設(shè)函數(shù)$y=\sin(2x+3)$，求$y'$。-根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，若$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y'=f'(u)\cdotg'(x)$。-令$u=2x+3$，則$y=\sinu$。-先對(duì)$y=\sinu$關(guān)于$u$求導(dǎo)，$y'_{u}=\cosu$；再對(duì)$u=2x+3$關(guān)于$x$求導(dǎo)，$u'_{x}=2$。-所以$y'=y'_{u}\cdotu'_{x}=\cos(2x+3)\cdot2=2\cos(2x+3)$。3.計(jì)算$\int_{0}^{1}x^2dx$。-根據(jù)定積分的基本公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$）。-對(duì)于$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。-再根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式$\int_{a}^F'(x)dx=F(b)-F(a)$，這里$F(x)=\frac{1}{3}x^3$，$a=0$，$b=1$。-則$\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}$。二、普通物理1.一定質(zhì)量的理想氣體，在等壓過程中從外界吸收了$400J$的熱量，同時(shí)對(duì)外做功$100J$，求該過程中氣體內(nèi)能的增量。-根據(jù)熱力學(xué)第一定律$\DeltaU=Q-W$，其中$\DeltaU$是內(nèi)能的增量，$Q$是吸收的熱量，$W$是對(duì)外做的功。-已知$Q=400J$，$W=100J$。-則$\DeltaU=400-100=300J$，即氣體內(nèi)能增加了$300J$。2.一列簡諧波在均勻介質(zhì)中沿$x$軸正方向傳播，波速為$v=2m/s$，已知在$x=0$處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為$y=0.05\cos(4\pit)$（$SI$），求該波的波長。-由振動(dòng)方程$y=0.05\cos(4\pit)$可知，角頻率$\omega=4\pirad/s$。-根據(jù)公式$\omega=2\pif$，可得頻率$f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi}=2Hz$。-再根據(jù)波速公式$v=f\lambda$，其中$\lambda$是波長。-已知$v=2m/s$，$f=2Hz$，則$\lambda=\frac{v}{f}=\frac{2}{2}=1m$。3.用波長為$\lambda=500nm$的單色光垂直照射到一狹縫上，在距離狹縫$D=1m$的光屏上得到夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，中央明紋的寬度為$l=2mm$，求狹縫的寬度$a$。-對(duì)于單縫夫瑯禾費(fèi)衍射，中央明紋寬度$l=\frac{2\lambdaD}{a}$。-已知$\lambda=500nm=500\times10^{-9}m$，$D=1m$，$l=2mm=2\times10^{-3}m$。-由$l=\frac{2\lambdaD}{a}$可得$a=\frac{2\lambdaD}{l}$。-代入數(shù)據(jù)$a=\frac{2\times500\times10^{-9}\times1}{2\times10^{-3}}=5\times10^{-4}m=0.5mm$。三、普通化學(xué)1.已知反應(yīng)$N_2(g)+3H_2(g)\rightleftharpoons2NH_3(g)$在某溫度下的平衡常數(shù)$K=0.1$，若在該溫度下，向某密閉容器中充入$N_2$、$H_2$和$NH_3$，它們的濃度分別為$c(N_2)=0.1mol/L$，$c(H_2)=0.3mol/L$，$c(NH_3)=0.2mol/L$，判斷反應(yīng)的方向。-首先計(jì)算反應(yīng)商$Q$，對(duì)于反應(yīng)$N_2(g)+3H_2(g)\rightleftharpoons2NH_3(g)$，$Q=\frac{c^2(NH_3)}{c(N_2)\cdotc^3(H_2)}$。-代入數(shù)據(jù)$c(N_2)=0.1mol/L$，$c(H_2)=0.3mol/L$，$c(NH_3)=0.2mol/L$，可得$Q=\frac{0.2^2}{0.1\times0.3^3}=\frac{0.04}{0.1\times0.027}\approx14.8$。-因?yàn)?Q=14.8\gtK=0.1$，所以反應(yīng)向逆反應(yīng)方向進(jìn)行。2.某原電池的電池反應(yīng)為$Zn+Cu^{2+}=Zn^{2+}+Cu$，已知$E^{\theta}(Zn^{2+}/Zn)=-0.76V$，$E^{\theta}(Cu^{2+}/Cu)=0.34V$，求該原電池的標(biāo)準(zhǔn)電動(dòng)勢$E^{\theta}$。-原電池的標(biāo)準(zhǔn)電動(dòng)勢$E^{\theta}=E^{\theta}_{(+)}-E^{\theta}_{(-)}$，在反應(yīng)$Zn+Cu^{2+}=Zn^{2+}+Cu$中，$Cu^{2+}/Cu$為正極，$Zn^{2+}/Zn$為負(fù)極。-則$E^{\theta}=E^{\theta}(Cu^{2+}/Cu)-E^{\theta}(Zn^{2+}/Zn)=0.34-(-0.76)=1.1V$。3.已知某一元弱酸$HA$的濃度為$0.1mol/L$，其解離度$\alpha=0.1\%$，求該弱酸的解離常數(shù)$K_a$。-對(duì)于一元弱酸$HA\rightleftharpoonsH^{+}+A^{-}$，解離度$\alpha=\frac{c(H^{+})}{c_0}$（$c_0$為初始濃度）。-已知$c_0=0.1mol/L$，$\alpha=0.1\%=0.001$，則$c(H^{+})=c_0\alpha=0.1\times0.001=1\times10^{-4}mol/L$。-由于$c(H^{+})=c(A^{-})$，$c(HA)=c_0-c(H^{+})\approxc_0$（因?yàn)?\alpha$很?。?。-根據(jù)解離常數(shù)公式$K_a=\frac{c(H^{+})\cdotc(A^{-})}{c(HA)}$，可得$K_a=\frac{(1\times10^{-4})\times(1\times10^{-4})}{0.1}=1\times10^{-7}$。四、理論力學(xué)1.如圖所示，物塊重$P=100N$，放在傾角為$\theta=30^{\circ}$的斜面上，物塊與斜面間的靜摩擦系數(shù)$f_s=0.5$，求使物塊靜止在斜面上的水平力$F$的取值范圍。-先分析物塊有下滑趨勢時(shí)的情況：-對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，物塊受重力$P$、水平力$F$、斜面的支持力$N$和靜摩擦力$f$（方向沿斜面向上）。-建立沿斜面和垂直斜面的直角坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件$\sumF_x=0$，$\sumF_y=0$。-$\sumF_x=F\cos\theta-P\sin\theta+f=0$，$\sumF_y=N-(P\cos\theta+F\sin\theta)=0$，且$f\leqf_sN$。-由$\sumF_y$得$N=P\cos\theta+F\sin\theta$，代入$f\leqf_sN$到$\sumF_x$中，$F\cos\theta-P\sin\theta+f_s(P\cos\theta+F\sin\theta)\geq0$。-已知$P=100N$，$\theta=30^{\circ}$，$f_s=0.5$，代入可得$F\cos30^{\circ}-100\sin30^{\circ}+0.5\times(100\cos30^{\circ}+F\sin30^{\circ})\geq0$。-即$\frac{\sqrt{3}}{2}F-50+0.5\times(50\sqrt{3}+\frac{1}{2}F)\geq0$，$\frac{\sqrt{3}}{2}F-50+25\sqrt{3}+\frac{1}{4}F\geq0$，$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4})F\geq50-25\sqrt{3}$，$F\geq\frac{50-25\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}}\approx26.8N$。-再分析物塊有上滑趨勢時(shí)的情況：-此時(shí)靜摩擦力$f$方向沿斜面向下，$\sumF_x=F\cos\theta-P\sin\theta-f=0$，$\sumF_y=N-(P\cos\theta+F\sin\theta)=0$，且$f\leqf_sN$。-由$\sumF_y$得$N=P\cos\theta+F\sin\theta$，代入$f\leqf_sN$到$\sumF_x$中，$F\cos\theta-P\sin\theta-f_s(P\cos\theta+F\sin\theta)\leq0$。-代入數(shù)據(jù)可得$F\cos30^{\circ}-100\sin30^{\circ}-0.5\times(100\cos30^{\circ}+F\sin30^{\circ})\leq0$。-即$\frac{\sqrt{3}}{2}F-50-0.5\times(50\sqrt{3}+\frac{1}{2}F)\leq0$，$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4})F\leq50+25\sqrt{3}$，$F\leq\frac{50+25\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4}}\approx173.2N$。-所以水平力$F$，的取值范圍是$26.8N\leqF\leq173.2N$。2.已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為$\vec{r}=(3t^2-2t)\vec{i}+(t^3+4t)\vec{j}$（$SI$），求$t=2s$時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。-速度$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$，對(duì)$\vec{r}=(3t^2-2t)\vec{i}+(t^3+4t)\vec{j}$求導(dǎo)。-$\vec{v}=\fracnhlrrfp{dt}(3t^2-2t)\vec{i}+\fracnr5dzfl{dt}(t^3+4t)\vec{j}=(6t-2)\vec{i}+(3t^2+4)\vec{j}$。-當(dāng)$t=2s$時(shí)，$\vec{v}=(6\times2-2)\vec{i}+(3\times2^2+4)\vec{j}=10\vec{i}+16\vec{j}(m/s)$。-加速度$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$，對(duì)$\vec{v}=(6t-2)\vec{i}+(3t^2+4)\vec{j}$求導(dǎo)。-$\vec{a}=\fraclxl57dd{dt}(6t-2)\vec{i}+\fracfjtjj7b{dt}(3t^2+4)\vec{j}=6\vec{i}+6t\vec{j}$。-當(dāng)$t=2s$時(shí)，$\vec{a}=6\vec{i}+6\times2\vec{j}=6\vec{i}+12\vec{j}(m/s^2)$。3.如圖所示，均質(zhì)桿$AB$長為$l$，質(zhì)量為$m$，在鉛垂平面內(nèi)繞$A$軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿與水平方向成$\theta$角時(shí)，其角速度為$\omega$，角加速度為$\alpha$，求此時(shí)桿的慣性力系向$A$點(diǎn)簡化的主矢和主矩。-先求質(zhì)心$C$的加速度：-質(zhì)心$C$的切向加速度$a_{C\tau}=\frac{l}{2}\alpha$，法向加速度$a_{Cn}=\frac{l}{2}\omega^2$。-慣性力系的主矢：-主矢$\vec{F}_{IR}=m\vec{a}_C$，其大小$F_{IR}=\sqrt{(ma_{C\tau})^2+(ma_{Cn})^2}=m\sqrt{(\frac{l}{2}\alpha)^2+(\frac{l}{2}\omega^2)^2}=\frac{ml}{2}\sqrt{\alpha^2+\omega^4}$，方向與質(zhì)心加速度方向相反。-慣性力系的主矩：-根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化的主矩公式$M_{IR}=J_A\alpha$，對(duì)于均質(zhì)桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量$J_A=\frac{1}{3}ml^2$，所以$M_{IR}=\frac{1}{3}ml^2\alpha$，轉(zhuǎn)向與角加速度方向相反。五、材料力學(xué)1.如圖所示，階梯形圓軸$AB$，$AC$段直徑$d_1=40mm$，$CB$段直徑$d_2=60mm$，外力偶矩$M_1=1800N\cdotm$，$M_2=1200N\cdotm$，$M_3=600N\cdotm$，材料的剪切彈性模量$G=80GPa$，求：（1）軸內(nèi)的最大切應(yīng)力；（2）$A$、$B$兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。-（1）先求各段的扭矩：-$T_{AC}=M_1=1800N\cdotm$，$T_{CB}=M_3=600N\cdotm$。-根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式$\tau=\frac{T}{W_t}$，其中$W_t=\frac{\pid^3}{16}$。-對(duì)于$AC$段，$W_{t1}=\frac{\pid_1^3}{16}=\frac{\pi\times(40\times10^{-3})^3}{16}\approx1.26\times10^{-6}m^3$，$\tau_{AC}=\frac{T_{AC}}{W_{t1}}=\frac{1800}{1.26\times10^{-6}}\approx142.9MPa$。-對(duì)于$CB$段，$W_{t2}=\frac{\pid_2^3}{16}=\frac{\pi\times(60\times10^{-3})^3}{16}\approx4.24\times10^{-6}m^3$，$\tau_{CB}=\frac{T_{CB}}{W_{t2}}=\frac{600}{4.24\times10^{-6}}\approx141.5MPa$。-所以軸內(nèi)的最大切應(yīng)力$\tau_{max}=\tau_{AC}\approx142.9MPa$。-（2）再求$A$、$B$兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：-根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)角公式$\varphi=\frac{TL}{GI_p}$，其中$I_p=\frac{\pid^4}{32}$。-$I_{p1}=\frac{\pid_1^4}{32}=\frac{\pi\times(40\times10^{-3})^4}{32}\approx2.51\times10^{-8}m^4$，$I_{p2}=\frac{\pid_2^4}{32}=\frac{\pi\times(60\times10^{-3})^4}{32}\approx1.27\times10^{-7}m^4$。-$\varphi_{AB}=\varphi_{AC}+\varphi_{CB}=\frac{T_{AC}L_{AC}}{GI_{p1}}+\frac{T_{CB}L_{CB}}{GI_{p2}}$，設(shè)$L_{AC}=L_{CB}=1m$。-$\varphi_{AB}=\frac{1800\times1}{80\times10^9\times2.51\times10^{-8}}+\frac{600\times1}{80\times10^9\times1.27\times10^{-7}}\approx0.0112rad$。2.如圖所示，矩形截面簡支梁，承受均布荷載$q$作用，梁的跨度為$l$，截面尺寸為$b\timesh$，求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。-先求梁的最大彎矩和最大剪力：-對(duì)于簡支梁承受均布荷載$q$，最大彎矩$M_{max}=\frac{1}{8}ql^2$，最大剪力$Q_{max}=\frac{1}{2}ql$。-再求最大正應(yīng)力：-根據(jù)梁的正應(yīng)力公式$\sigma=\frac{My}{I_z}$，最大正應(yīng)力發(fā)生在梁的上下邊緣，$y=\frac{h}{2}$，$I_z=\frac{b