數(shù)理統(tǒng)計自考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)2.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的自由度是（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n+1\)D.\(2n\)3.設(shè)\(X_1,X_2,X_3\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\mu}_1=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\)，\(\hat{\mu}_2=\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{4}X_3\)，則（）A.\(\hat{\mu}_1\)是無偏估計量，\(\hat{\mu}_2\)不是B.\(\hat{\mu}_2\)是無偏估計量，\(\hat{\mu}_1\)不是C.\(\hat{\mu}_1\)和\(\hat{\mu}_2\)都是無偏估計量D.\(\hat{\mu}_1\)和\(\hat{\mu}_2\)都不是無偏估計量4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)，備擇假設(shè)\(H_1\)，則稱為犯第二類錯誤的是（）A.\(H_0\)為真，接受\(H_1\)B.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)C.\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒絕\(H_0\)5.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)的統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)6.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，\(\theta\)的極大似然估計量是（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^2\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)7.設(shè)總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)與\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)分別是來自\(X\)和\(Y\)的樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，\(S_1^2,S_2^2\)分別為樣本方差，則檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)，\(H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\)的統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}\)C.\(\chi^2=\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)8.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量\(\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)和\(\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，對于給定的\(\alpha(0\lt\alpha\lt1)\)，滿足\(P\{\underline{\theta}\lt\theta\lt\overline{\theta}\}=1-\alpha\)，則稱隨機(jī)區(qū)間\((\underline{\theta},\overline{\theta})\)是\(\theta\)的（）A.置信區(qū)間B.預(yù)測區(qū)間C.決策區(qū)間D.拒絕區(qū)間9.設(shè)總體\(X\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則\(\lambda\)的矩估計量是（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^2\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)10.在單因素方差分析中，設(shè)因素\(A\)有\(zhòng)(r\)個水平，每個水平下的樣本容量分別為\(n_1,n_2,\cdots,n_r\)，記\(n=\sum_{i=1}^{r}n_i\)，則總離差平方和\(S_T\)的自由度是（）A.\(n-1\)B.\(r-1\)C.\(n-r\)D.\(r\)答案：1.A2.B3.C4.B5.A6.A7.D8.A9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是數(shù)理統(tǒng)計中的常用分布（）A.正態(tài)分布B.\(\chi^2\)分布C.\(t\)分布D.\(F\)分布2.樣本統(tǒng)計量（）A.是樣本的函數(shù)B.不包含任何未知參數(shù)C.可以用于估計總體參數(shù)D.隨著樣本的不同而取值不同3.無偏估計量的性質(zhì)有（）A.估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)B.是總體參數(shù)的最佳估計量C.比有偏估計量更有效D.當(dāng)樣本容量增大時，估計量的值越來越接近總體參數(shù)4.假設(shè)檢驗(yàn)中可能犯的錯誤有（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.第三類錯誤D.第四類錯誤5.總體均值\(\mu\)的置信區(qū)間與（）有關(guān)A.樣本均值B.樣本容量C.置信水平D.總體方差（若已知）6.極大似然估計的步驟包括（）A.寫出似然函數(shù)B.對似然函數(shù)取對數(shù)C.求對數(shù)似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)D.令導(dǎo)數(shù)為0求解參數(shù)7.方差分析的基本假設(shè)包括（）A.各總體服從正態(tài)分布B.各總體方差相等C.各樣本相互獨(dú)立D.各總體均值相等8.以下關(guān)于\(t\)分布的說法正確的是（）A.關(guān)于\(y\)軸對稱B.自由度越大，\(t\)分布越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布C.比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰更尖D.有兩個參數(shù)9.非參數(shù)檢驗(yàn)方法有（）A.秩和檢驗(yàn)B.游程檢驗(yàn)C.\(\chi^2\)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)D.\(t\)檢驗(yàn)10.數(shù)據(jù)的預(yù)處理包括（）A.數(shù)據(jù)的審核B.數(shù)據(jù)的篩選C.數(shù)據(jù)的排序D.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化答案：1.ABCD2.ABCD3.AD4.AB5.ABCD6.ABCD7.ABC8.AB9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.樣本均值是總體均值的無偏估計量。（）2.自由度越大，\(\chi^2\)分布的概率密度函數(shù)圖形越趨近于正態(tài)分布。（）3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)樣本容量一定時，第一類錯誤和第二類錯誤不能同時減小。（）4.矩估計和極大似然估計得到的估計量一定相同。（）5.方差分析中，組間平方和反映了隨機(jī)誤差的大小。（）6.若總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知，對\(\mu\)進(jìn)行區(qū)間估計時用\(Z\)統(tǒng)計量。（）7.兩個相互獨(dú)立的正態(tài)總體樣本方差比服從\(F\)分布。（）8.非參數(shù)檢驗(yàn)不需要對總體分布做出假設(shè)。（）9.極大似然估計量一定是無偏估計量。（）10.樣本相關(guān)系數(shù)\(r\)的取值范圍是\([-1,1]\)。（）答案：1.√2.√3.√4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述無偏估計量的概念。答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是總體參數(shù)\(\theta\)的估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量，即估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)。2.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：①提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；②選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計量；③確定顯著性水平\(\alpha\)，并找出相應(yīng)的臨界值；④根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值；⑤將檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值與臨界值比較，做出拒絕或接受\(H_0\)的決策。3.簡述方差分析的基本思想。答案：方差分析通過比較不同水平下樣本數(shù)據(jù)的差異，將總離差平方和分解為組間平方和與組內(nèi)平方和。組間平方和反映因素不同水平的影響，組內(nèi)平方和反映隨機(jī)誤差。通過比較兩者大小，判斷因素不同水平對總體是否有顯著影響。4.簡述極大似然估計的基本原理。答案：極大似然估計認(rèn)為，在一次試驗(yàn)中，發(fā)生概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。對于給定樣本，選取使樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值作為參數(shù)的估計值，即通過構(gòu)造似然函數(shù)并求其最大值點(diǎn)來確定參數(shù)估計量。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際應(yīng)用中，如何選擇合適的估計方法（矩估計和極大似然估計）？答案：矩估計計算簡單，對總體分布要求不高，在總體分布形式未知或復(fù)雜時較適用。極大似然估計充分利用樣本信息，在總體分布已知時能得到更有效的估計量。選擇時需綜合考慮總體分布已知程度、計算難易、估計量性質(zhì)等因素。2.討論假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯誤的關(guān)系及控制方法。答案：兩類錯誤相互制約，樣本容量一定時，減小第一類錯誤概率，第二類錯誤概率往往增大，反之亦然?？刂品椒ǎ涸龃髽颖救萘?，可同時減小兩類錯誤概率；合理選擇顯著性水平