線性代數(shù)自考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為3階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=(\)\)A.-16B.-4C.4D.162.若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\((A^{})^{-1}=(\)\)A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^{}\)D.\(A\)3.向量組\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)線性相關(guān)的充分必要條件是()A.\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)中至少有一個(gè)零向量B.\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)中至少有兩個(gè)向量成比例C.存在不全為零的數(shù)\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}\)，使\(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}=0\)D.\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)中每個(gè)向量都能由其余向量線性表示4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(r(A)=n-1\)，\(\alpha_{1},\alpha_{2}\)是\(Ax=0\)的兩個(gè)不同解，則\(Ax=0\)的通解為()A.\(k\alpha_{1}\)B.\(k\alpha_{2}\)C.\(k(\alpha_{1}-\alpha_{2})\)D.\(k(\alpha_{1}+\alpha_{2})\)5.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}=(\)\)A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)6.已知\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^{2}=A\)，則\(A\)的特征值為()A.0或1B.-1或1C.0或-1D.2或17.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則()A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)8.設(shè)向量組\(\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(0,1,0)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(0,0,1)^{T}\)，則向量\(\beta=(2,3,4)^{T}\)由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\)線性表示為()A.\(2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+4\alpha_{3}\)B.\(4\alpha_{1}+3\alpha_{2}+2\alpha_{3}\)C.\(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\)D.\(2\alpha_{1}+2\alpha_{2}+2\alpha_{3}\)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert=(\)\)A.1B.-1C.\(\pm1\)D.010.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則()A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A=B\)D.\(r(A)\neqr(B)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的有()A.\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)B.\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)（當(dāng)\(A\)，\(B\)可逆時(shí)）E.\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)（\(k\neq0\)，\(A\)可逆）2.下列向量組中，線性相關(guān)的有()A.\(\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(0,1,0)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(0,0,1)^{T}\)B.\(\alpha_{1}=(1,2,3)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(2,4,6)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(3,6,9)^{T}\)C.\(\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(1,2,3)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(2,3,5)^{T}\)D.\(\alpha_{1}=(1,0,1)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(0,1,0)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(1,1,1)^{T}\)E.\(\alpha_{1}=(1,-1,0)^{T}\)，\(\alpha_{2}=(0,1,-1)^{T}\)，\(\alpha_{3}=(-1,0,1)^{T}\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則()A.\(\lambda\)是\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根B.存在非零向量\(\alpha\)，使得\(A\alpha=\lambda\alpha\)C.若\(\lambda=0\)，則\(A\)不可逆D.\(A\)的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)E.若\(\lambda_{1},\lambda_{2}\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，\(\alpha_{1},\alpha_{2}\)分別是對應(yīng)的特征向量，則\(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}\)（\(k_{1},k_{2}\)不全為零）也是\(A\)的特征向量4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)等價(jià)，則()A.\(r(A)=r(B)\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.存在可逆矩陣\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)D.\(A\)與\(B\)有相同的秩E.\(A\)與\(B\)有相同的特征值5.下列關(guān)于矩陣的說法正確的有()A.若\(A\)是對稱矩陣，則\(A^{T}=A\)B.若\(A\)是反對稱矩陣，則\(A^{T}=-A\)C.可逆矩陣一定是方陣D.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)E.若\(A\)，\(B\)是同階可逆矩陣，則\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)6.設(shè)向量組\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)的秩為\(r\)，則()A.向量組中任意\(r\)個(gè)向量線性無關(guān)B.向量組中任意\(r+1\)個(gè)向量線性相關(guān)C.向量組中存在\(r\)個(gè)線性無關(guān)的向量D.向量組中任意\(r\)個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組E.向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)為\(r\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(Ax=0\)是\(Ax=b\)對應(yīng)的齊次線性方程組，則()A.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)只有零解B.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解C.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解D.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解E.\(Ax=b\)的解與\(Ax=0\)的解沒有關(guān)系8.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階正交矩陣，則()A.\(A^{T}A=E\)B.\(\vertA\vert=\pm1\)C.\(AB\)也是正交矩陣D.\(A^{-1}=A^{T}\)E.\(A\)的列向量組是單位正交向量組9.若矩陣\(A\)可相似對角化，則()A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值B.\(A\)的特征向量線性無關(guān)C.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣D.\(A\)的屬于不同特征值的特征向量正交E.\(A\)的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda_{1},\lambda_{2}\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，\(\alpha_{1},\alpha_{2}\)分別是對應(yīng)的特征向量，則()A.\(\alpha_{1},\alpha_{2}\)線性無關(guān)B.\(\alpha_{1}+\alpha_{2}\)不是\(A\)的特征向量C.\(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}\)（\(k_{1},k_{2}\)不全為零）不是\(A\)的特征向量D.\(A(\alpha_{1}+\alpha_{2})=\lambda_{1}\alpha_{1}+\lambda_{2}\alpha_{2}\)E.若\(\lambda_{1}=0\)，則\(\alpha_{1}\)是\(Ax=0\)的非零解三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。()2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則\(A=O\)或\(B=O\)。()3.向量組\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)線性無關(guān)，則其任意部分組也線性無關(guān)。()4.若\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則\(A\)的特征值都不為零。()5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n\)，則\(Ax=0\)只有零解。()6.兩個(gè)\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。()7.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。()8.若向量組\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)的秩為\(r\)，則向量組中任意\(r\)個(gè)向量都可作為一個(gè)極大線性無關(guān)組。()9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^{2}=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。()10.若\(A\)，\(B\)為同階方陣，且\(A\)與\(B\)等價(jià)，則\(A\)與\(B\)相似。()四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)；或\(r(A)=n\)；或\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)等。2.如何求向量組的秩？答案：將向量組按列構(gòu)成矩陣\(A\)，對\(A\)進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是向量組的秩。3.簡述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維列向量\(\alpha\)，使得\(A\alpha=\lambda\alpha\)，則稱\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，\(\alpha\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的一個(gè)特征向量。4.說明正交矩陣的性質(zhì)。答案：正交矩陣\(A\)滿足\(A^{T}A=AA^{T}=E\)，\(\vertA\vert=\pm1\)，其列（行）向量組是單位正交向量組。正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，且兩個(gè)正交矩陣的乘積仍是正交矩陣。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的初等變換在求矩陣的逆、秩以及解線性方程組中的應(yīng)用。答案：求逆：對\((A\vertE)\)作初等行變換，當(dāng)\(A\)變?yōu)閈(E\)時(shí)，右邊\(E\)變?yōu)閈(A^{-1}\)。求秩：對矩陣作初等行變換化為行階梯形，非零行數(shù)即秩。解方程組：對方程組增廣矩陣作初等行變換化為行最簡形，可判斷解的情況并求解。2.分析向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的判定方法及它們之間的聯(lián)系。答案：判定方法有定義法、行列式法、秩法等。線性相關(guān)即存在不全為零數(shù)使線性組合為零向量；線性無關(guān)則只有全為零才成立。聯(lián)系：向量組線性相關(guān)的否定就是線性無關(guān)，且向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)必線性相關(guān)。3.探討相似矩陣的性質(zhì)以及相似對