4.3.3余角和補角1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認識角的常用度量單位，并能進行簡單的換算，會計算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補角的概念，掌握余角和補角的性質，并能應用這些性質解決相關問題.知識點一銳角、直角和鈍角小于90°的角是銳角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是鈍角．知識點二余角和補角1．如果兩個角的和等于90°(直角)，我們就說這兩個角互為余角．也就是說，其中一個角是另一個角的余角．同角(或等角)的余角相等．2．如果兩個角的和等于180°(平角)，我們就說這兩個角互為補角．也就是說，其中一個角是另一個角的補角．同角(或等角)的補角相等．即學即練已知∠A＝50°17′，求∠A的余角和補角．解：∠A的余角：90°－50°17′＝39°43′∠A的補角：180°－50°17′＝129°43′.題型1求一個角的余角例1（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）已知一個角的度數(shù)是，則它的余角的度數(shù)是.【答案】【分析】此題考查了余角．根據(jù)兩個角的和為，這兩個角互為余角，即可求得答案．【詳解】解：，故答案：．舉一反三1（2024上·廣東湛江·七年級?？计谀┑挠嘟菫椋敬鸢浮?4.4【分析】本題考查了角互余的概念．主要記住互為余角的兩個角的和為．【詳解】解：的余角為，故答案為：54.4．舉一反三2（2024上·遼寧盤錦·七年級統(tǒng)考期末）已知的余角為，則．【答案】【分析】根據(jù)余角定義求解即可．【詳解】解：∵的余角為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查余角定義，熟知和為的兩個角互余是解答的關鍵．舉一反三2（2025下·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，若，則．【答案】/65度【分析】根據(jù)余角的性質求解即可．【詳解】解：∵與互余，∴，又，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了余角的性質，解題的關鍵是掌握余角的性質，兩角和為則兩角互余．題型2求一個角的補角例2（2024上·新疆阿克蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知，則的補角的度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了補角的定義和角度換算．根據(jù)兩個角之和為的兩個角互為補角，以及解題即可．【詳解】解：∵∴的補角的度數(shù)是．故答案為：．舉一反三1（2024上·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）的補角為．【答案】【分析】本題考查了角的補角和余角及度分秒的轉化，根據(jù)互為余角的和，互補的兩角和為，從而計算即可．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．舉一反三2（2024上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）已知，則的補角的度數(shù)是．【答案】【分析】依據(jù)補角的定義求解即可．即：兩個角之和等于，即可求解．【詳解】解：的補角的度數(shù)是．故答案為：．【點睛】本題考查的是補角的概念：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角．舉一反三3（2025下·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）已知與互補．若，則．【答案】130【分析】根據(jù)互補的兩角之和為，即可得出答案．【詳解】解：．故答案為：130．【點睛】本題主要考查兩個角互補的定義，理解互為補角的兩個角的和為是解題關鍵．題型3與余角、補角有關的計算例3（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）設一個銳角的補角為，這個銳角的余角為，則度．【答案】90【分析】本題主要考查余角和補角，直接根據(jù)余角和補角的定義進行計算即可．【詳解】解：銳角的補角為，則；這個銳角的余角為，則．∴，故答案為：90．舉一反三1（2025上·江蘇南京·七年級期末）一個角與它的補角的比為，則這個角為度．【答案】【分析】本題考查了補角的定義，熟記相關結論即可．【詳解】解：∵，∴這個角為故答案為：舉一反三2（2024上·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）互為補角的兩個角的度數(shù)比是，則較小角的余角等于．【答案】18【分析】根據(jù)補角的定義先求出較小角的度數(shù)，再根據(jù)余角的定義求出答案即可．【詳解】解：由題意得，較小的角的度數(shù)為，∴較小角的余角等于，故答案為；18．【點睛】本題主要考查了與補角和余角相關的計算，熟知如果角的度數(shù)之和為180度，那么這兩個角互補，如果兩個角的度數(shù)之和為90度，那么這兩個角互余是解題的關鍵．舉一反三3（2024下·上海楊浦·六年級?？计谀┮粋€銳角的補角與它的余角的度數(shù)差是度．【答案】【分析】先設這個銳角為度，根據(jù)余角和補角的定義列出式子計算即可．【詳解】解：設這個銳角為度，則其補角為度，余角為度，其補角與余角的度數(shù)差是度，故答案為：．【點睛】本題考查了有關余角和補角的定義，解題關鍵在于熟記這些定義．舉一反三4（2025下·山東淄博·六年級統(tǒng)考期末）一個角的余角的2倍比這個角的補角少，則這個角是度．【答案】【分析】設這個角為，根據(jù)一個角的余角的2倍比這個角的補角少，列出方程，解方程即可．【詳解】解：，設這個角為，根據(jù)題意得：，解得：，即這個角為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，余角和補角的計算，解題的關鍵是根據(jù)等量關系，列出方程．題型4同（等）角的余（補）角相等的應用例4（2025下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，分別交，于點P，F(xiàn)，過點P作，則圖中與互余的角有個．

【答案】3【分析】由，得到，，因此，由平行線的性質得到，因此，于是得到圖中與互余的角有3個．【詳解】解：，，，，，，，圖中與互余的角有3個．．故答案為：3【點睛】本題考查平行線的性質，余角，關鍵是掌握余角的定義，平行線的性質．舉一反三1（2025下·北京海淀·七年級?？计谀┤襞c分別是的余角，則．【答案】【分析】同角（或等角）的余角相等，據(jù)此進行求解即可．【詳解】解：因為與分別是的余角，所以，，所以，故答案：．【點睛】本題主要考查了余角的性質，理解性質是解題的關鍵．舉一反三2（2025上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一副三角尺按下列的位置擺放后，圖中∠與∠一定相等，其理由是．

【答案】同角的余角相等【分析】根據(jù)同角的余角相等即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)同角的余角相等即可判斷∠與∠，故答案為：同角的余角相等．【點睛】本題考查余角性質，熟記余角的性質是解題關鍵．舉一反三3（2025下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如果與互余，與互余，且，那么．【答案】/75度【分析】直接根據(jù)同角的余角相等求解即可．【詳解】∵與互余，與互余，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了同角的余角相等，熟練掌握知識點是解題的關鍵一、單選題1．（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了余角的性質．根據(jù)同角的余角相等，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選：C．2．（2025上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）若與互余，與互補，則與的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由與互余，與互補可得，，由得：，由此即可解答．掌握“互為余角的兩個角的和為，互為補角的兩個角的和為”是解題的關鍵．【詳解】解：與互余，與互補，∴，，由得：，．故選：D．3．（2024上·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如果和互補，且，給出下列四個式子：①；②；③；④.其中可以表示余角的式子有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了余角和補角的定義，以及角的運算：若兩個角之和為90°，這兩個角互余；若兩個角之和為，這兩個角互補，據(jù)此即可作答．【詳解】解：與互補，，，①由余角的定義知為的余角；②，與互余；③，與互余；④由③可知不是的余角，可以表示的余角的有3個，故選：B4．（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線AB上，，，若，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查同角或等角的余角相等，角度單位的換算，掌握余角的性質定理是解題的關鍵．【詳解】∵，，∴，，∴，故選A．5．（2025上·吉林白城·七年級校聯(lián)考期末）已知，則的補角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了求一個角的補角；用，即可求解．【詳解】解：∵，∴的補角的度數(shù)為，故選：D．6．（2024上·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末）一個角的補角比這個角的余角的3倍少，這個角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】互余的兩個角和為，互補的兩個角和為，再建立方程求解．【詳解】解：設這個角為度數(shù)，則，解得；故選：A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，補角的定義，余角的定義，根據(jù)題意建立方程是解題的關鍵．二、填空題7．（2024上·四川成都·七年級四川省蒲江縣蒲江中學校考期末）一個角的度數(shù)是，則這個角的余角為；【答案】68度59分46秒/【分析】本題考查了余角的知識，解答本題的關鍵是掌握互為余角的兩個角角度之和為．根據(jù)互為余角的兩個角角度之和為可得出這個角的余角．【詳解】解：余角．故答案為．8．（2025上·江蘇·七年級期末）已知，則的補角等于．【答案】158°42′【分析】本題考查補角定義，根據(jù)補角定義可求，正確進行角度的減法運算是求解本題的關鍵．【詳解】解：，的補角為：，故答案為：．9．（2024上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，若是直線上一點，，，則．【答案】/80度【分析】本題先由平角的定義得出，再由已和條件即可求出結果．【詳解】解：，，，，且，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平角的定義和角的計算，解答本題的關鍵是理解平角的概念．10．（2024上·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）已知，則它的補角為．【答案】【分析】根據(jù)補角的定義求解即可．【詳解】解：，故它的補角為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了補角的知識，掌握補角的定義是解題關鍵．11．（2024上·甘肅平?jīng)觥て吣昙壗y(tǒng)考期末）已知，則它的余角是．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義求即可．【詳解】解：∵，∴它的余角是，故答案為：．【點睛】本題考查了余角的定義，如果兩個角的和等于那么這兩個角互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角．三、解答題12．（2024上·四川眉山·七年級校考期末）如圖所示，直線、、交于點，平分，且，．(1)寫出一對互余的角．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)與互余(2)【分析】本題考查角平分線的定義，角互余的定義．（1）根據(jù)互余角的定義，在圖中找到一組即可；（2）先求，再由角平分線的定義求出，則有．【詳解】（1），，，與互余；（2），，，，，平分，，，，．13．（2024上·陜西西安·七年級?？计谀cO為直線上一點，將一直角三角板的直角頂點放在O處，射線平分．(1)如圖（1），若，則______；(2)將圖（1）中的直角三角板繞頂點順時針旋轉至圖（2）的位置，一邊在直線上方，另一邊在直線下方．①試探究的結果是否為定值？若為定值，求出這個值，若不是定值，請說明理由；②當時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①②【分析】（1）由補角的定義可求，再由角平分線定義可求，由即可求解；（2）①由余角的定義可求，再由補角的定義可求，即可求解；②設，由角平分線的定義可得，由補角的定義及余角的定義可求，即可求解．【詳解】（1）解：，，射線平分，，，，故答案：；（2）解：①是定值，，理由如下：，，，，；②設，射線平分，，，，，，，解得：，．【點睛】本題考查了角平分線相關角的數(shù)量關系，角平分線的定義，補角的定義，余角的定義，一元一次方程，理解定義，能用方程思想求角度是解題的關鍵．

4.3.3余角和補角1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認識角的常用度量單位，并能進行簡單的換算，會計算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補角的概念，掌握余角和補角的性質，并能應用這些性質解決相關問題.知識點一銳角、直角和鈍角小于90°的角是銳角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是鈍角．知識點二余角和補角1．如果兩個角的和等于90°(直角)，我們就說這兩個角互為余角．也就是說，其中一個角是另一個角的余角．同角(或等角)的余角相等．2．如果兩個角的和等于180°(平角)，我們就說這兩個角互為補角．也就是說，其中一個角是另一個角的補角．同角(或等角)的補角相等．即學即練已知∠A＝50°17′，求∠A的余角和補角．題型1求一個角的余角例1（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）已知一個角的度數(shù)是，則它的余角的度數(shù)是.舉一反三1（2024上·廣東湛江·七年級?？计谀┑挠嘟菫椋e一反三2（2024上·遼寧盤錦·七年級統(tǒng)考期末）已知的余角為，則．舉一反三2（2025下·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，若，則．題型2求一個角的補角例2（2024上·新疆阿克蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知，則的補角的度數(shù)是．舉一反三1（2024上·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）的補角為．舉一反三2（2024上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）已知，則的補角的度數(shù)是．舉一反三3（2025下·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）已知與互補．若，則．題型3與余角、補角有關的計算例3（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）設一個銳角的補角為，這個銳角的余角為，則度．舉一反三1（2025上·江蘇南京·七年級期末）一個角與它的補角的比為，則這個角為度．舉一反三2（2024上·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）互為補角的兩個角的度數(shù)比是，則較小角的余角等于．舉一反三3（2024下·上海楊浦·六年級校考期末）一個銳角的補角與它的余角的度數(shù)差是度．舉一反三4（2025下·山東淄博·六年級統(tǒng)考期末）一個角的余角的2倍比這個角的補角少，則這個角是度．題型4同（等）角的余（補）角相等的應用例4（2025下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，分別交，于點P，F(xiàn)，過點P作，則圖中與互余的角有個．

舉一反三1（2025下·北京海淀·七年級校考期末）若與分別是的余角，則．舉一反三2（2025上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一副三角尺按下列的位置擺放后，圖中∠與∠一定相等，其理由是．

舉一反三3（2025下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如果與互余，與互余，且，那么．一、單選題1．（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2025上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）若與互余，與互補，則與的關系是（

）A． B．C． D．3．（2024上·浙江臺州·