第頁2．4圓的方程【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．知識點(diǎn)詮釋：（1）如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn)．（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)知識點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點(diǎn)詮釋：由方程得（1）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點(diǎn)五：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．【題型歸納目錄】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：圓的一般方程題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系題型五：圓過定點(diǎn)問題題型六：軌跡問題【典型例題】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．與直線切于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．例2．已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8例3．（多選）圓上的點(diǎn)（2，1）關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點(diǎn)仍在圓上，且圓的半徑為，則圓的方程可能是（

）A． B．C． D．例4．過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為_______．例5過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為__________．例6．圓關(guān)于直線的對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．例7．已知圓過點(diǎn)，．（1）求圓心所在直線的方程；（2）求周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（4）若圓心的縱坐標(biāo)為2，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【方法技巧與總結(jié)】確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例8．與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．例9．若圓的弦MN的中點(diǎn)為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．例10．已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓C的一般方程為__________．【方法技巧與總結(jié)】（1）若一個(gè)圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件，解題時(shí)，應(yīng)充分利用這一隱含條件．（2）一般地，當(dāng)給出了圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，特別是當(dāng)這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間均不相同時(shí)，選用圓的一般方程比選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡捷；而在其他情況下的首選應(yīng)該是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件．題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例11．若點(diǎn)（1，1）在圓的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例12．已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系例13．畫出方程表示的曲線．例14．已知方程表示一個(gè)圓．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求圓的周長的最大值．例15．（多選）方程（，不全為零），下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)為圓B．當(dāng)時(shí)不可能為直線C．當(dāng)方程為圓時(shí)，，滿足D．當(dāng)方程為直線時(shí)，直線方程例16．已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型五：圓過定點(diǎn)問題例17．點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）A．和 B．和 C．和 D．和例18．已知方程表示的曲線恒過第三象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)又在直線：上，則（）A．1 B．2 C．3 D．4例19．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求半徑最小時(shí)的圓的方程；（2）求證：動(dòng)圓恒過一個(gè)異于點(diǎn)的定點(diǎn)．例20．已知點(diǎn)和以為圓心的圓．（1）求證：圓心在過點(diǎn)的定直線上，（2）當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過原點(diǎn)．【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)，另參數(shù)的系數(shù)為零解方程即可．題型六：軌跡問題例21．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為___________．例22．當(dāng)點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接A與定點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為______．例23．圓內(nèi)有一點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為______．例25．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長；（3）若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．例26．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例27．已知點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求l的方程及的面積例28．在①過點(diǎn)，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知圓E經(jīng)過點(diǎn)，且______．（1）求圓E的一般方程；（2）設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程．例29．已知圓過三個(gè)點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡．例30．已知圓上的一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓內(nèi)一點(diǎn)，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．【方法技巧與總結(jié)】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）幾何點(diǎn)集：寫出滿足題設(shè)的點(diǎn)的集合；（3）翻譯列式：將幾何條件用坐標(biāo)、表示，寫出方程；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗(yàn)證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點(diǎn)檢查方程表示的曲線是否有多余的點(diǎn)，曲線上是否有遺漏的點(diǎn)．求軌跡時(shí)常用的方法：代入法對于“雙動(dòng)點(diǎn)”問題，即若已知一動(dòng)點(diǎn)在某條曲線上運(yùn)動(dòng)而求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，通常用這一方法．代入法是先設(shè)所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在已知曲線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，用，表示，，即，，并將它代入到已知曲線方程，即求出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．一般情況下，證明可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明，即扣除不合題意的解或補(bǔ)上失去的解．【同步練習(xí)】一．單選題1．若圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為A． B． C． D．2．過點(diǎn)且與直線相切的半徑最小的圓方程是A． B． C． D．3．已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍是A．， B．，， C．，， D．，，4．設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知圓方程的圓心為A． B． C． D．6．某圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心在直線上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．7．已知直線，，若圓的圓心在軸上，且圓與、都相切，則圓的半徑為A． B． C．或 D．或8．德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)、是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)．的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A．1 B． C． D．2二．多選題9．若方程表示以為圓心，4為半徑的圓，則下列結(jié)論正確的是A． B．圓關(guān)于直線對稱 C．圓與軸相切 D．的最大值為910．已知圓在曲線的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的值可以是A．0 B．1 C．2 D．311．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點(diǎn)，則該圓的方程為A． B． C． D．三．填空題12．設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．13．過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為．14．如圖，點(diǎn)，，那么在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得最大，這就是著名的米勒問題．那么當(dāng)取得最大時(shí)，外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．四．解答題15．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明表示什么曲線．16．1765年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德歐拉在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出著名的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直線上（這條直線稱之為三角形的歐拉線），而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知中，，，的歐拉線方程為．（1）求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)