排列組合專題練習(xí)題及詳細解答排列組合作為組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的核心考點之一，也廣泛應(yīng)用于概率論、計算機算法設(shè)計、資源分配等領(lǐng)域。熟練掌握排列組合的解題思路與技巧，不僅能提升數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，更能為解決復(fù)雜實際問題提供有力工具。本文精選典型練習(xí)題，結(jié)合詳細解答與方法歸納，助力讀者深化對排列組合的理解與應(yīng)用。一、知識點回顧1.排列與排列數(shù)從\(n\)個不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個元素，按一定順序排成一列，稱為從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一個排列。排列數(shù)公式為：\[A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\]（其中\(zhòng)(n!=n\times(n-1)\times\dots\times1\)，規(guī)定\(0!=1\)）。2.組合與組合數(shù)從\(n\)個不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個元素組成一組（無順序），稱為從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一個組合。組合數(shù)公式為：\[C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]組合數(shù)性質(zhì)：\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)，\(C_{n}^m+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^m\)。3.核心區(qū)別與常用方法核心區(qū)別：排列關(guān)注“順序”，組合關(guān)注“分組（無順序）”。常用方法：捆綁法：處理“相鄰”問題，將相鄰元素視為一個整體，先內(nèi)部排列，再與其他元素排列。插空法：處理“不相鄰”問題，先排無要求元素，再將不相鄰元素插入空隙。隔板法：處理“相同元素分配”問題，公式為\(C_{n-1}^{k-1}\)（\(n\)個相同元素分給\(k\)個不同對象，每人至少1個）。間接法：正面情況復(fù)雜時，用總情況數(shù)減去不符合條件的情況數(shù)。二、典型練習(xí)題及詳細解答（一）基礎(chǔ)型：排列與組合的辨析例1：職務(wù)選拔問題從5名同學(xué)中選3人，分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、體育委員，有多少種不同的選法？解答：擔(dān)任不同職務(wù)需考慮順序（如甲當班長與甲當學(xué)習(xí)委員是不同安排），屬于排列問題。從5人中選3人排列，即：\[A_{5}^3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times4\times3\times2!}{2!}=5\times4\times3=60\]因此，共有60種選法。例2：志愿活動選拔問題從5名同學(xué)中選3人參加志愿活動，有多少種不同的選法？解答：選3人參加活動無順序要求（如甲、乙、丙三人參加與丙、乙、甲參加視為同一種選法），屬于組合問題。從5人中選3人組合，即：\[C_{5}^3=\frac{5!}{3!\times(5-3)!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=10\]因此，共有10種選法。（二）相鄰問題：捆綁法例3：兩人相鄰的排列問題6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？解答：將甲、乙視為一個“捆綁體”，內(nèi)部甲、乙的排列有\(zhòng)(A_{2}^2\)種；再將捆綁體與其余4人全排列（共5個元素），有\(zhòng)(A_{5}^5\)種。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總排法為：\[A_{2}^2\timesA_{5}^5=2\times5!=2\times120=240\]例4：多組相鄰的排列問題8本不同的書排成一排，其中數(shù)學(xué)書3本必須相鄰，語文書2本也必須相鄰，其余3本不同的書任意排，有多少種排法？解答：3本數(shù)學(xué)書捆綁，內(nèi)部排列：\(A_{3}^3\)；2本語文書捆綁，內(nèi)部排列：\(A_{2}^2\)；捆綁后的“數(shù)學(xué)組”“語文組”與其余3本書共5個元素，全排列：\(A_{5}^5\)?？偱欧椋篭[A_{3}^3\timesA_{2}^2\timesA_{5}^5=6\times2\times120=1440\]（三）不相鄰問題：插空法例5：兩人不相鄰的排列問題6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？解答：先排其余4人，有\(zhòng)(A_{4}^4\)種排法；4人排好后產(chǎn)生5個空隙（包括兩端），從5個空隙中選2個插入甲、乙，有\(zhòng)(A_{5}^2\)種方法。根據(jù)分步乘法，總排法為：\[A_{4}^4\timesA_{5}^2=24\times20=480\]例6：多組不相鄰的排列問題（容斥原理輔助）用1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求1和2不相鄰，3和4也不相鄰，這樣的五位數(shù)有多少個？解答：總五位數(shù)個數(shù)（無重復(fù)）：\(A_{5}^5=120\)；減去“1和2相鄰”的情況：將1、2捆綁（\(A_{2}^2\)），與3、4、5全排列（\(A_{4}^4\)），共\(A_{2}^2\timesA_{4}^4=48\)種；減去“3和4相鄰”的情況：同理，共\(A_{2}^2\timesA_{4}^4=48\)種；加上“1和2相鄰且3和4相鄰”的情況（容斥原理，避免重復(fù)減）：將1、2捆綁（\(A_{2}^2\)）、3、4捆綁（\(A_{2}^2\)），與5全排列（\(A_{3}^3\)），共\(A_{2}^2\timesA_{2}^2\timesA_{3}^3=24\)種。根據(jù)容斥原理，不符合條件的總數(shù)為\(48+48-24=72\)，因此符合條件的五位數(shù)為：\[120-72=48\]（四）分組分配問題例7：平均分組問題將6本不同的書分成3組，每組2本，有多少種分法？解答：先從6本中選2本（\(C_{6}^2\)），再從剩下的4本中選2本（\(C_{4}^2\)），最后剩下的2本為一組（\(C_{2}^2\)）；由于分組無順序（三組是“無序組”），需除以\(A_{3}^3\)（避免重復(fù)計數(shù)）?？偡纸M數(shù)為：\[\frac{C_{6}^2\timesC_{4}^2\timesC_{2}^2}{A_{3}^3}=\frac{15\times6\times1}{6}=15\]例8：分配問題（分組+分配）將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種分法？解答：分配問題需考慮“對象的順序”（甲、乙、丙是不同的人），因此無需除以\(A_{3}^3\)；從6本中選2本給甲（\(C_{6}^2\)），從剩下的4本中選2本給乙（\(C_{4}^2\)），剩下的2本給丙（\(C_{2}^2\)）?？偡峙鋽?shù)為：\[C_{6}^2\timesC_{4}^2\timesC_{2}^2=15\times6\times1=90\]（五）隔板法問題例9：相同元素分配（每人至少1個）將10個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放1個，有多少種放法？解答：\(n\)個相同元素分給\(k\)個不同對象（每人至少1個），方法數(shù)為\(C_{n-1}^{k-1}\)（隔板法）。這里\(n=10\)，\(k=3\)，因此：\[C_{9}^{2}=\frac{9!}{2!\times7!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\]例10：相同元素分配（允許空盒）將10個相同的小球放入3個不同的盒子，允許有的盒子為空，有多少種放法？解答：允許空盒時，可給每個盒子“虛擬添加1個小球”，轉(zhuǎn)化為“每個盒子至少放1個”的問題（虛擬球不影響最終結(jié)果，去掉虛擬球后空盒即對應(yīng)原問題的空盒）。此時小球總數(shù)為\(10+3=13\)，分給3個盒子（每人至少1個），方法數(shù)為：\[C_{13-1}^{3-1}=C_{12}^{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\]（六）間接法問題例11：至少1名女生的選法從4名男生和3名女生中選4人參加會議，要求至少有1名女生，有多少種選法？解答：正面法：分“1女3男”“2女2男”“3女1男”三類：1女3男：\(C_{3}^1\timesC_{4}^3=3\times4=12\)；2女2男：\(C_{3}^2\timesC_{4}^2=3\times6=18\)；3女1男：\(C_{3}^3\timesC_{4}^1=1\times4=4\)；總選法：\(12+18+4=34\)。間接法：總選法（從7人中選4人）減去“全是男生”的選法：總選法：\(C_{7}^4=35\)；全男生選法：\(C_{4}^4=1\)；因此至少1名女生的選法：\(35-1=34\)。例12：個位小于十位的六位數(shù)用0、1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個？解答：無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)總數(shù)：首位不能為0，故首位有\(zhòng)(A_{5}^1\)種選法，剩余5位全排列\(zhòng)(A_{5}^5\)，總數(shù)為\(A_{5}^1\timesA_{5}^5=5\times120=600\)。對于個位和十位，所有六位數(shù)中“個位<十位”與“個位>十位”的情況對稱（無重復(fù)數(shù)字，個位≠十位），因此符合條件的六位數(shù)為總數(shù)的一半：\[600\div2=30