2/2重難點(diǎn)培優(yōu)：數(shù)字類規(guī)律探究問題專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（24-25七年級(jí)上·湖南衡陽·階段練習(xí)）把有理數(shù)代入得到，稱為第一次操作；再將作為的值代入得到，稱為第二次操作；；若，經(jīng)過第次操作后得到的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查數(shù)字的規(guī)律和絕對(duì)值的計(jì)算，把代入中，進(jìn)行計(jì)算，把所得結(jié)果再代入中，經(jīng)過多次計(jì)算可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得出答案．根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：第次操作：，第次操作：，第次操作：，第次操作：；第次操作：，第次操作：，第次操作：，第次操作：，……∴經(jīng)過第次操作后得到的是．故選：A．2．（24-25七年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）兩人坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗．已知火車上的座位排列如下所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的是（

）窗口12過道345窗口6789101112131415A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85【答案】D【分析】本題主要考查了規(guī)律問題，根據(jù)圖示的規(guī)律可知每個(gè)車廂有15個(gè)座位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號(hào)靠窗，再逐項(xiàng)分析．【詳解】由題圖中座位得排序規(guī)律可知，每個(gè)車廂有15個(gè)座位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號(hào)靠窗．48，49沒有靠窗的，所以A不符合題意；62，63之間有過道，不連在一起，所以B不符合題意；75，76不在同一行，所以C不符合題意．由于兩個(gè)旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，可知只有D項(xiàng)符合條件．故選：D．3．（24-25七年級(jí)上·遼寧·單元測(cè)試）如圖，圓的周長為4個(gè)單位長度，在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上數(shù)字0、1、2、3，先讓圓周上表示數(shù)字0的點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按逆時(shí)針方向環(huán)繞在該圓周上，則數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與圓周上表示數(shù)字（

）的點(diǎn)重合A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根據(jù)題意確定4個(gè)數(shù)為1循環(huán)，讓2023除以4，得到505余3，根據(jù)規(guī)律找到對(duì)應(yīng)的數(shù)即可．本題考查數(shù)字的規(guī)律變化，找到數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，表示數(shù)軸上的數(shù)的點(diǎn)與圓的0重合，表示數(shù)軸上的數(shù)的點(diǎn)與圓的3重合，表示數(shù)軸上的數(shù)的點(diǎn)與圓的2重合，表示數(shù)軸上的數(shù)的點(diǎn)與圓的1重合，表示數(shù)軸上的數(shù)的點(diǎn)與圓的0重合，．這樣四個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，則，，∴數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的是圓上的1，故選：C．4．（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）是不為的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如：的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)以此類推，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】此題主要考查學(xué)生對(duì)倒數(shù)和數(shù)字變化類知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是依次計(jì)算出、、，找出數(shù)字變化的規(guī)律．根據(jù)規(guī)則計(jì)算出、、，即可發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，然后用2024除以3，即可得出答案．【詳解】解：由題意可得，，，，，，由上可得，每三個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，，∴．故選：C．5．（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）規(guī)定以下兩種變換：①，如；②，如．按照以上變換，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了新定義及數(shù)字的變化規(guī)律，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．直接利用新定義：①，②，進(jìn)而化簡得出答案．【詳解】解：①，②，．故選：A．6．（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式(如圖所示)，表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼由高位到低位從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、萬位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題是應(yīng)用類問題，主要考查了新定義，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)閭€(gè)位、百位、萬位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，所以56846表示為故選：A．7．（24-25七年級(jí)上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）正方形紙板在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1和0．若正方形紙板繞著頂點(diǎn)按順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2；翻轉(zhuǎn)2次后，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為3；翻轉(zhuǎn)3次后，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為4，…，則在數(shù)軸上與2025對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，由題意得，翻轉(zhuǎn)４次后，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3，4，可知四次一循環(huán)，由此可確定數(shù)軸上數(shù)2025所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．【詳解】解：當(dāng)正方形翻轉(zhuǎn)四次后，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3，4，當(dāng)正方形再翻轉(zhuǎn)四次后，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是5，6，7，8，??∴四次一循環(huán)，∵∴數(shù)軸上數(shù)2025所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，故選：A8．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）等邊在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和，若繞頂點(diǎn)沿順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)若干次后，數(shù)2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．不確定【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸以及變化類：數(shù)的變化，根據(jù)點(diǎn)的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨著翻轉(zhuǎn)點(diǎn)的變化，可找出點(diǎn)的變化周期為3，結(jié)合2024為3的整數(shù)倍余2，可得出數(shù)2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C．【詳解】解：∵翻轉(zhuǎn)1次后，數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，翻轉(zhuǎn)2次后，數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，翻轉(zhuǎn)3次后，數(shù)3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，翻轉(zhuǎn)4次后，數(shù)4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，…，∴點(diǎn)的變化周期為3．又∵，∴連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次后，則數(shù)2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C．故選：C．二、填空題9．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根據(jù)上面的規(guī)律，寫出第8組勾股數(shù)：．【答案】17，144，145【分析】觀察得出規(guī)律：第組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)為，即可解決問題．本題考查了勾股數(shù)的運(yùn)用以及數(shù)字規(guī)律．【詳解】解：①；；．②；；．③；；．④；；．則第組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為：，第二個(gè)數(shù)為：，第三個(gè)數(shù)為：，第8組勾股數(shù)為：17，144，145，故答案為：17，144，145．10．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）某校園學(xué)子餐廳把無線網(wǎng)密碼做成了數(shù)學(xué)題，如圖，該餐廳的無線網(wǎng)密碼是．【答案】143549【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題．根據(jù)題意可得；；；由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：；；；∴．故答案為：143549．11．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，萍萍同學(xué)將自然數(shù)按照一定的規(guī)律填寫在方格中（圖①），圖②是從圖①中截取的一部分．根據(jù)圖①中數(shù)的規(guī)律，我們可以計(jì)算出圖②中4個(gè)數(shù)的和是．【答案】2025【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，根據(jù)圖①的規(guī)律可知，，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)圖①的規(guī)律可知，，圖②中4個(gè)數(shù)的和是，故答案為：2025．12．（23-24七年級(jí)上·廣西桂林·期中）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則：若，則第2024次“F運(yùn)算”的結(jié)果是．【答案】19【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是經(jīng)過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其數(shù)字的變化規(guī)律．根據(jù)運(yùn)行的框圖依次計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計(jì)算求解即可．【詳解】解：本題提供的“運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行①運(yùn)算，即（偶數(shù)），需再進(jìn)行②運(yùn)算，即（奇數(shù)），再進(jìn)行①運(yùn)算，得到（偶數(shù)），再進(jìn)行②運(yùn)算，即（奇數(shù)），再進(jìn)行①運(yùn)算，得到（偶數(shù)），再進(jìn)行②運(yùn)算，即，再進(jìn)行①運(yùn)算，得到（偶數(shù)），，即第1次運(yùn)算結(jié)果為152，，第4次運(yùn)算結(jié)果為31，第5次運(yùn)算結(jié)果為98，，可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為49，第7次運(yùn)算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，，則第2024次“運(yùn)算”的結(jié)果是19．故答案為：19．13．（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）觀察一列數(shù)：，2，，4，，6，，…，將這列數(shù)排成如圖所示形式．記(記對(duì)應(yīng)的數(shù)為第i行(最上為第1行)第j列(最左為第1列)的數(shù)，如那么，對(duì)應(yīng)的數(shù)為．

2

4

6

8

10

12

14

16………【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，觀察每一行最后一個(gè)數(shù)可得規(guī)律第n行最后一個(gè)數(shù)為，據(jù)此求出第8行最后一個(gè)數(shù)為64，再根據(jù)第9行第9個(gè)數(shù)與第8行最后一個(gè)數(shù)相隔9，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，第一行最后一個(gè)數(shù)為，第二行最后一個(gè)數(shù)為，第三行最后一個(gè)數(shù)為，第四行最后一個(gè)數(shù)為，……，以此類推，可知第n行最后一個(gè)數(shù)為，∴第8行最后一個(gè)數(shù)為，∴對(duì)應(yīng)的數(shù)為，故答案為：．14．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知一列數(shù)：，，，，，，，，將這列數(shù)排成下列形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第行從右邊數(shù)第個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了規(guī)律型中得數(shù)字的變化類，設(shè)第行的第個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，根據(jù)數(shù)列排列方式找出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律“”，第行有個(gè)數(shù)，依此規(guī)律再結(jié)合數(shù)列中所有奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)即可得出結(jié)論，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第行的第個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，∴．∴，當(dāng)時(shí)，，∵第行有個(gè)數(shù)，∴第行從右邊數(shù)第個(gè)數(shù)即為第行從左邊數(shù)第個(gè)數(shù)，則其的絕對(duì)值為：，又∵該數(shù)列中奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)，∴第行從右邊數(shù)第個(gè)數(shù)為，故答案為：．三、解答題15．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）(1)第5個(gè)式子是_______；第個(gè)式子是_______．(2)從計(jì)算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算：_______；(3)計(jì)算：（由此拓展寫出具體過程）：【答案】(1)；(2)(3)【分析】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目給出的條件找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合題目給出的式子求解即可；（2）結(jié)合（1）把式子化簡，再求解即可；（3）結(jié)合（1），把化成，再求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，第5個(gè)式子為，第n個(gè)式子為．故答案為：；．（2）解：．故答案為：．（3）解：．16．（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）觀察以下等式：①，②，③，……探究：（1）觀察等式①②③的規(guī)律，并將等式補(bǔ)充完整；（2）請(qǐng)直接寫出第④個(gè)等式：；拓展：（3）計(jì)算：．【答案】（1）1；，2；，3；（2）；（3）【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索：（1）根據(jù)所給式子直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）所求寫出第④個(gè)等式即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可得，據(jù)此把所求式子按照進(jìn)行變形，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）①，②，③，故答案為：1；，2；，3；（2）由（1）可知，第④個(gè)等式為，故答案為：；（3）由（1）（2）可得規(guī)律（n為大于1的正整數(shù)），∴．17．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）觀察下列式子，，，，…(1)用正整數(shù)n表示第n個(gè)式子；(2)設(shè)，解決下列問題：①求出的值．②試判斷式子的結(jié)果與相等嗎？請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)①；②的結(jié)果與相等，理由見解析【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索：（1）由已知等式知連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差，據(jù)此可得答案；（2）①根據(jù)（1）所求把所求式子裂項(xiàng)求解即可；②利用化簡得到，則可知，即可求證．【詳解】（1）解：第1個(gè)式子為，第2個(gè)式子為，第3個(gè)式子為，……，以此類推可知，第n個(gè)式子為；（2）解：①；②的結(jié)果與相等，理由如下：∵，∴∴∴，∴∴的結(jié)果與相等。18．（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．1abc8…(1)填空：__________，__________，__________，第2022個(gè)格子中的數(shù)是____________．(2)前n個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2021？若能，求出n的值；若不能，請(qǐng)說明理由．(3)如果在前n個(gè)格子中任取兩個(gè)數(shù)并用大數(shù)減去小數(shù)得到差值，而后將所有這樣的差值累加起來稱為前n項(xiàng)的累差值，例如，前3項(xiàng)的累差值列式為，那么前10項(xiàng)的累差值為多少？【答案】(1)8，，1，(2)能，1516或1511(3)273【分析】本題考查數(shù)字的變化類、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到a、b、c的值，然后即可得到第2012個(gè)格子中的數(shù)；（2）先判斷是否存在，然后根據(jù)判斷進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意和（1）中的規(guī)律，可以計(jì)算出前10項(xiàng)的累差值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，∴，，∵表格中有數(shù)字，∴，由題意可知表格中的數(shù)字依次以1、8、循環(huán)出現(xiàn)，∵，∴第2022個(gè)格子中的數(shù)是，故答案為：8，，1，；（2）解：前n個(gè)格子中所填整數(shù)之和可能為2021，理由：∵，∴，∵最后5個(gè)數(shù)的和為，∴當(dāng)時(shí)，和也為2021，∴n的值為1516或1511；（3）解：由（1）可知，表格中的數(shù)字依次以1、8、循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，∴前10個(gè)數(shù)中，1出現(xiàn)4次，8出現(xiàn)3次，也出現(xiàn)3次，∴前10項(xiàng)的累差值為：．19．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）數(shù)、形都可以用來表示數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)解決下列問題：(1)如圖，用圖形________（填序號(hào)）可以直觀表示等式；(2)對(duì)于等式，請(qǐng)畫出可以直觀表示它的圖形；(3)計(jì)算：_______，請(qǐng)畫出相應(yīng)的直觀圖形，并結(jié)合圖形說明等式成立．【答案】(1)②(2)見解析(3)，見解