2/2余角和補角（分層培優(yōu)提分練）1．（23-24九年級下·重慶渝中·自主招生）如圖是光的反射定律示意圖，PO,OQ,OM分別是入射光線，反射光線和法線．若∠POM=2∠POB，則∠AOQ的度數(shù)為（

）A．18° B．20° C．30° D．36°【答案】C【分析】本題考查角的計算、余角的性質(zhì)、光的反射定律等知識點，掌握光的反射定律是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)余角的性質(zhì)以及∠POM=2∠POB可求得∠POB，再根據(jù)光的反射定律以及余角的性質(zhì)可得∠AOQ=∠POB即可解答．【詳解】解：∵∠POM=2∠POB，∴3∠POB=90°，即∠POB=30°，根據(jù)光的反射定律可知，∠POM=∠MOQ，∵∠POB+∠POM=90°，∴∠AOQ=∠POB=30°．故答案為：C．2．（21-22七年級上·福建泉州·期末）如圖，將三個大小不同的正方形的一個頂點重合放置，則α，A．α+β+γ=90° B．α+β–γ=90°C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°【答案】C【分析】本題主要考查了余角的計算，正確理解β=90°-∠1-∠2這一關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)α+∠1=∠1+β+∠2=∠2+γ=90°，即可求得∠1=90°-α，∠2=90°-γ，代入β=90°-∠1-∠2，從而求解．【詳解】解：如圖：∵三個大小相同的正方形，∴α+∠1=∠1+β+∠2=∠2+γ=90°，∴∠1=90°-α，∠2=90°-γ，∴β=90°-∠1-∠2=90°-90°+α-90°+γ=α+γ-90°，即α-β+γ=90°，故選：C．3．（23-24七年級上·安徽合肥·單元測試）如圖，AB是直線，O是AB上一點，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，則圖中與∠EOD互補的角有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，補角的定義，先根據(jù)已知條件證明∠DOE=∠AOF，再由平角的定義推出∠DOE+∠BOF=180°，∠BOE=90°，據(jù)此證明∠EOF=∠BOD，進而利用角平分線的定義得到∠EOF=∠BOD=∠BOC，則可證明∠COE=∠BOF，得到∠COE+∠DOE=180°，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=90°=∠DOE+∠EOF，∴∠DOE=∠AOF，∵∠AOF+∠BOF=180°，∴∠DOE+∠BOF=180°；∵∠BOE=180°-∠AOE=90°，∴∠DOF=∠BOE=90°，同理可得∠EOF=∠BOD，∵OB平分∠COD，∴∠EOF=∠BOD=∠BOC，∴∠COE=∠BOC+∠BOE=90°+∠EOF∵∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+∠EOF，∴∠COE=∠BOF，∴∠COE+∠DOE=180°，∴圖中與∠DOE互補的角有∠COE，∠BOF，共2個，故選：C．4．（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）如圖所示，∠AOB，∠COD都是以O為頂點的直角，下列結(jié)論：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③∠AOD+∠BOC=180°；④若OC平分∠AOB，則OB平分∠COD；⑤∠AOD與∠COB的平分線是同一條射線．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤【答案】B【分析】此題主要考查學生對角的計算，角平分線的理解和掌握，根據(jù)余角的性質(zhì)，角平分線的定義，對五個結(jié)論逐一進行判斷即可．【詳解】①∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，故正確；⑤∵∠AOB=∠BOD=90°,∠AOC=∠AOB-∠BOC,∠BOD=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∴∠AOD的平分線與∠COB的平分線是同一條射線故正確；故選B.5．（23-24七年級下·河北邢臺·期末）如圖，在銳角三角形ABC中，P是邊AB上的動點，連接CP．①當P為AB的中點時，△APC與△PBC的面積相等；②線段CP可以把△ABC分成兩個鈍角三角形．關(guān)于①、②，下列判斷正確的是（）A．只有①正確 B．只有②正確C．①②都正確 D．①②都不正確【答案】A【分析】本題主要考查了三角形中線，銳角三角形和鈍角三角形．熟練掌握三角形中線的定義，面積公式，互為補角定義，銳角三角形和鈍角三角形的定義，是解決問題的關(guān)鍵．①過點C作CD⊥AB于點D．根據(jù)中點定義得到AP=BP，根據(jù)三角形面積公式得到S△APC=②根據(jù)銳角三角形定義得到，A<90°，∠B<90°，∠ACB<90°，得到∠ACP<90°，∠ACP<90°，根據(jù)∠APC+∠BPC=180°，得到∠APC與∠BPC不能同時大于90°，得到線段CP不可以把△ABC分成兩個鈍角三角形，②不正確．【詳解】①過點C作CD⊥AB于點D．∵P為AB的中點，∴AP=BP，∵S△APC=∴S△∴①正確．②∵△ABC是銳角三角形，∴A<90°，∠B<90°，∠ACB<90°，∴∠ACP<∠ACB<90°，∠BCP<∠ACB<90°，∵∠APC+∠BPC=180°，∴當∠APC>90°時，∠BPC<90°；當∠APC<90°時，∠BPC>90°，∴∠APC與∠BPC不能同時大于90°，∴線段CP不可以把△ABC分成兩個鈍角三角形，∴②不正確．綜上，只有①正確．故選：A．6．（23-24七年級下·山東聊城·期末）如果∠α和∠β互余，且∠α>∠β，則下列表示∠β的補角的式子中：①180°-∠β，②∠α+90°，③2(∠α+∠β)，④2∠α-∠β，⑤2∠α+∠β，正確的有（

）A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④【答案】C【分析】本題考查余角和補角的有關(guān)計算，根據(jù)互余的兩角之和為90°，再分別代入計算即可．【詳解】解：∵∠α和∠β互余，∴∠α+∠β=90°，∴表示∠β的補角的式子：①180°-∠β，故正確；②∠α+90°=90°-∠β+90°=180°-∠β，故正確；③2(∠α+∠β)=290°-∠β+∠β④2∠α-∠β=290°-∠β⑤2∠α+∠β=290°-∠β∴符合題意的有①②⑤，故選：C．7．（23-24七年級下·山東菏澤·期中）如圖，C為直線AB上一點，CD⊥CE,CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列結(jié)論：①∠ACD=2∠ACF；②∠HCG=45°；③∠FCD=∠HCE；④∠ACF與∠BCH互余，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的定義，互余互補的含義，熟練的利用角的和差關(guān)系進行計算是解本題的關(guān)鍵；由角平分線的定義可判斷①符合題意；由∠DCE=90°，結(jié)合∠BCH=12∠BCD，∠BCG=12∠BCE，可判斷②符合題意；由∠FCH=90°=∠FCD+∠DCH，∠DCE=90°=∠ECH+∠DCH，可判斷【詳解】解：∵CF平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ACF，故①符合題意；∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∵CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．∴∠BCH=12∠BCD∴∠HCG=∠BCH+∠BCG=12∠BCD+∠BCE∵∠ACD=2∠ACF，∠BCH=1∴∠FCH=1∵∠DCE=90°=∠ECH+∠DCH，∴∠FCD=∠HCE，故③符合題意；∵∠FCH=90°，∴∠ACF+∠BCH=180°-90°=90°，∴∠ACF與∠BCH互余，故④符合題意；故選D8．（13-14七年級上·貴州遵義·期末）已知一個角的補角比這個角的余角的3倍大10°，則這個角的度數(shù)為．【答案】50°/50度【分析】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補角，本題實際說明了一個相等關(guān)系，因而可以轉(zhuǎn)化為方程來解決．題目反映了相等關(guān)系問題，就可以利用方程來解決．【詳解】解：設這個角是x°，則余角是(90-x)度，補角是(180-x)度，根據(jù)題意得：180-x=3(90-x)+10解得x=50．故答案為：50°9．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，則圖中∠1，∠2，【答案】∠1+∠2+∠3=90°【分析】本題主要考查了余角．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握余角定義和同角的余角相等．余角定義：如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角叫做互為余角．由∠1+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，得到∠1=∠BOD，即得∠1+∠2+∠3=90°．【詳解】∵∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，∴∠1+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠1=∠BOD，∴∠1+∠2+∠3=∠BOD+∠2+∠3=90°．故答案為：∠1+∠2+∠3=90°．10．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）一位同學利用如圖所示的量角器、采用如圖1所示的方法測量銳角∠AOB的度數(shù)，其中量角器有兩條刻度線分別在射線OA、OB上、則∠AOB的度數(shù)為，另外一位同學用同樣的方法，測量∠AOB的余角∠COD的度數(shù)，如圖2所示，已知射線OC所指示的度數(shù)為50°，則射線OD所指示的度數(shù)為．【答案】50°/50度90°或10°【分析】本題考查了量角器中的角度計算，互余等知識．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖1可得，射線OA所對的數(shù)字為35°、OB所對的數(shù)字為85°，即可求出∠AOB的度數(shù)，從而得出∠AOB的余角∠COD的度數(shù)，再根據(jù)射線OC所指示的度數(shù)為50°，即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖1可得，射線OA所對的數(shù)字為35°、OB所對的數(shù)字為85°，∴∠AOB=85°-35°=50°，則∠AOB的余角∠COD的度數(shù)為90°-50°=40°，根據(jù)圖2可得，射線OC所指示的度數(shù)為50°，∴射線OD所指示的度數(shù)為50°+40°=90°，射線OD所指示的度數(shù)為50°-40°=10°，故答案為：90°或10°．11．（21-22七年級上·福建廈門·期末）如圖，點O是直線AB上一點，OC平分∠AOB，∠AOE=2∠BOD，OP平分∠COE，∠COQ與∠COD互余，則∠POQ=°．【答案】45【分析】本題主要考查余角與補角，角平分線的定義，由題意可得∠AOC=∠BOC=90°，從而可求得∠COQ=∠BOD，進而得到∠COQ=12∠AOE，再由角平分線定義得∠COP=【詳解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵∠COQ與∠COD互余，∴∠COQ+∠COD=90°，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=90°，∴∠COQ=∠BOD，∵∠AOE=2∠BOD，∴∠COQ=1∵OP平分∠COE，∴∠COP=1∴∠POQ=∠COQ+∠COP=1故答案為：45．12．（2024七年級上·全國·專題練習）將三角板COD的直角頂點O放置在直線AB上．(1)如圖，且∠AOC=40°，射線OE平分∠BOC，則∠BOE的大小為；(2)在（1）的條件下，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；(3)若將三角板COD繞點O旋轉(zhuǎn)，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD．請寫出∠COD與∠EOF度數(shù)的等量關(guān)系：．【答案】(1)70°(2)45°(3)∠EOF=12【分析】本題考查角平分線的定義以及角的計算，掌握角平分線的定義以及平角，周角的定義是正確解答的前提，注意分類討論，避免漏接；（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的定義進行計算即可；（2）由平角的定義，角平分線的定義以及角的和差關(guān)系即可得出答案；（3）分兩種情況討論，射線OA與線段CD不相交和射線OA與線段CD相交，再根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進行計算即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°-40°=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE=1故答案為：70°；（2）解：∵∠AOC=40°,∠COD=90°，∴∠BOD=180°-40°-90°=50°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=∠DOF=1∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=70°-25°=45°；（3）解：∠EOF=12∠COD當射線OA與線段CD不相交時，如圖：∵射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD，∴∠BOE=∠COE=1∴∠EOF=∠BOE-∠BOF===1當射線OA與線段CD相交時，如圖：∵射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD，∴∠BOE=1∴∠EOF=∠BOE+∠BOF====180°-1∴∠EOF+1故答案為：∠EOF=12∠COD13．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點O在直線AD上，∠EOC=90°，(1)圖中除∠EOC，(2)圖中有哪些相等的角？(3)指出圖中與∠DOC互余的角、與∠AOE互補的角．【答案】(1)∠AOB(2)∠EOC=∠DOB=∠AOB；∠EOD=∠COB(3)與∠DOC互余的角有：∠EOD，∠COB；與∠AOE【分析】本題考查了角的余角、補角的概念，仔細看圖找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角的定義即可求解；（2）根據(jù)直角都相等，等角的余角相等即可求解；（3）根據(jù)余角和補角的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵∠DOB=90°，∴∠AOB=180°-∠DOB=90°，∴圖中除∠EOC，∠DOB外，還有（2）解：∠EOC=∠DOB=∠AOB=90°；∠EOD=∠COB=90°-∠COD；（3）解：∵∠EOD=∠COB=90°-∠COD，∴與∠DOC互余的角有：∠EOD，∵∠AOE+∠DOE=180°，又∠EOD=∠COB，∴∠AOE+∠COB=180°，∴與∠AOE互補的角有：∠EOD，14．（23-24七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，已知∠MON=140°，∠AOC與∠BOC互余，OC平分∠MOB．(1)在圖1中，若∠AOC=40°，則∠BOC=_________，∠NOB=_________；(2)在圖2中，設∠AOC=α,∠BON=β，請?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)50°；40°(2)β=40°-2α【分析】本題考查了角的計算，余角和補角，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)余角的定義可得：∠AOC+∠BOC=90°，從而可得∠BOC=50°，然后利用角平分線的定義可得∠MOB=100°，從而利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答；（2）利用（1）的解題思路進行計算，即可解答．【詳解】（1）∵∠AOC與∠BOC互余，∴∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOC=40°，∴∠BOC=90°-∠AOC=50°，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=100°，∵∠MON=140°，∴∠NOB=∠MON-∠MOB=40°，故答案為：50°；40°；（2）β=40°-2α，理由：∵∠AOC與∠BOC互余，∴∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOC=α，∴∠BOC=90°-∠AOC=90°-α，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=180°-2α，∵∠MON=140°，∴∠NOB=∠MOB-∠MON=40°-2α．∵∠BON=β，∴β=40°-2α．15．（2024七年級上·全國·專題練習）已知O為直線AB上的一點，∠COE=90°,AB⊥MN．(1)如圖①，以O為觀察中心，射線OA表示正北方向，ON表示正東方向．①若∠AOE=20°，則射線OE的方向是_________；②∠AOE與∠CON的關(guān)系為_________；③∠AOC與∠EON的關(guān)系為_________．(2)若將射線OC、射線OE繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，另一條射線OF恰好平分∠COM．若∠AOF=24°，求∠EOF的度數(shù)；(3)若將射線OC、射線OE繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，射線OF仍然平分∠COM,∠CON與∠AOF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)①北偏東20°；②相等；③互補(2)24°(3)∠CON=2∠AOF，理由見解析【分析】本題主要考查了方向角的定義，以及角平分線的定義，余角與補角的性質(zhì)，對定義的熟練掌握是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)方向角的定義即可求解；②根據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論；③先根據(jù)同角的余角相等得出∠EON=∠BOC，再根據(jù)兩角互補的定義即可得出結(jié)果；（2）①根據(jù)同角的余角可知∠AOC=∠MOE，又根據(jù)角平分線的定義可得∠COF=∠MOF，兩式相減即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)角的和差，以及角平分線的定義即可求解．【詳解】（1）解：①∵∠AOE=20°，∴射線OE的方向是北偏東20°；②∵由題意知，∠AOE+∠EON=90°，∴∠AOE=∠CON；③由題意知，∠BOC+∠NOC=90°，∴∠BOC=∠EON，又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC+∠EON=180°．即∠AOC與∠EON的關(guān)系為互補．故答案為：①北偏東20°；②相等；③互補；（2）由題意知，∠AOC+∠AOE=90°,∠MOE+∠AOE=90°，∴∠AOC=∠MOE．∵OF恰好平分∠COM，∴∠COF=∠MOF，∴∠COF-∠AOC=∠MOF-∠MOE，∴∠EOF=∠AOF=24°．（3）∠CON=2∠AOF，理由如下：∵OF為∠COM的平分線，∴∠COF=∠MOF，∴∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF．∵∠AOF=90°-∠MOF，∴2∠AOF=180°-2∠MOF，∴∠CON=2∠AOF．16．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）【問題提出】已知∠BOC與∠AOC有共同的始邊OC，且滿足∠BOC=2∠AOC，若∠AOC=28°，求∠AOB的度數(shù)．【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運用分類討論的數(shù)學思想，解決問題．在圖①中，當射線OA在∠BOC的內(nèi)部時，由題意易得∠AOB=28°；在圖②中，當射線OA在∠BOC的外部時，由題意易得∠AOB=84°．

【問題應用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題(1)如圖③，已知點A，B，C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為-4，2，1，請在數(shù)軸上標出線段AC的中點D并寫出D所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點E，它到點C的距離恰好是線段AB的長，求線段DE的長．(2)如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1=120°,∠2=30°,∠1-∠2=90°，則∠1和∠2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于①若∠α=140°，求∠α的垂角；②如果一個角的垂角等于這個角的補角的23【答案】(1)812(2)①50°；②18°或126°【分析】本題考查了互為垂角和補角的定義及運用，數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值，解題關(guān)鍵是找準角之間關(guān)系．（1）根據(jù)中點的定義找到點D，由已知的A、B、C所表示的數(shù)求出AB的長度，就可以求出E點所在的位置，再求出DE的長度．（2）①根據(jù)互為垂角的定義求出即可．②根據(jù)已知條件，分類列出方程解之．【詳解】（1）解：∵點A，B，C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為-4，2，1，點D的線段AC的中點，∴D所表示的數(shù)為-4+12=-11如圖，點D即為所求；

∵點E到點C的距離恰好是線段AB的長，∴CE=AB=6，∴點C表示的數(shù)為7或-5，∴DE的長為：7--112（2）解：①設∠α的垂角為x°，根據(jù)題意得：140°-x°=90°∴140°-x°=90°或140°-x°=-90°，解得x=50或230（舍去），∴∠