備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》專項綜合練習(xí)附答案一、二次函數(shù)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA＝1，tan∠BAO＝3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求以C、E、F為頂點(diǎn)三角形與△COD相似時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)△CEF與△COD相似時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△DOC≌△AOB，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠CEF＝90°時，△CEF∽△COD，此時點(diǎn)P在對稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)；②當(dāng)∠CFE＝90°時，△CFE∽△COD，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，得到△EFC∽△EMP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PM與ME的關(guān)系，解方程，可得t的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．【詳解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式為，解得：，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，∴對稱軸為l1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），如圖，分兩種情況討論：①當(dāng)∠CEF＝90°時，△CEF∽△COD，此時點(diǎn)P在對稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，P（﹣1，4）；②當(dāng)∠CFE＝90°時，△CFE∽△COD，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（與t＜0矛盾，舍去）．當(dāng)t＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．綜上所述：當(dāng)△CEF與△COD相似時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．解（1）的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC，OD的長，又利用了待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出MP＝3ME．2．某市實(shí)施產(chǎn)業(yè)精準(zhǔn)扶貧，幫助貧困戶承包荒山種植某品種蜜柚．已知該蜜柚的成本價為6元/千克，到了收獲季節(jié)投入市場銷售時，調(diào)查市場行情后，發(fā)現(xiàn)該蜜柚不會虧本，且每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）當(dāng)該品種蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）某村農(nóng)戶今年共采摘蜜柚12000千克，若該品種蜜柚的保質(zhì)期為50天，按照（2）的銷售方式，能否在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完這批蜜柚？若能，請說明理由；若不能，應(yīng)定銷售價為多少元時，既能銷售完又能獲得最大利潤？【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）當(dāng)x＝15.5時，w的最大值為1805元；（3）當(dāng)x＝13時，w＝1680，此時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)（15，200）、（10，300）代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b即可求解；（2）由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；（3）當(dāng)x＝15.5時，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的銷售方式，不能在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，當(dāng)x＝13時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【詳解】解：（1）將點(diǎn)（15，200）、（10，300）代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得：，解得：，即：函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）設(shè)：該品種蜜柚定價為x元時，每天銷售獲得的利潤w最大，則：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，當(dāng)x＝﹣＝＝15.5時，w的最大值為1805元；（3）當(dāng)x＝15.5時，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的銷售方式，不能在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完；設(shè)：應(yīng)定銷售價為x元時，既能銷售完又能獲得最大利潤w，由題意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），當(dāng)x＝13時，w＝1680，此時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）.3．一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m.(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖所示)，其表達(dá)式是的形式.請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a，c的值.(2)求支柱MN的長度.(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說說你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目可知A．B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．（2）設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，yN）可求出支柱MN的長度．（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．試題解析：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0).將B、C的坐標(biāo)代入，得解得.∴拋物線的表達(dá)式是.(2)可設(shè)N(5,)，于是.從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米.(3)設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是(7,0)(7=2÷2＋2×3).過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則.根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.4．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點(diǎn)D，連接DP、DQ.①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點(diǎn)D（）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）（I）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，進(jìn)而可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．

（2）（I）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，

∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）．

設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n，

將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達(dá)式為y=-x+．

如圖②，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，

∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．

∵-2＜0，

∴當(dāng)x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達(dá)式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴當(dāng)x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．

∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．5．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點(diǎn)B，且對稱軸是直線x＝3．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時，求M的坐標(biāo)；（3）P是x軸上的點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)t＝3時，S△AMN有最大值3，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）先利用拋物線的對稱性確定B（6，0），然后設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；（2）設(shè)M（t，0），先其求出直線OA的解析式為直線AB的解析式為y=2x-12，直線MN的解析式為y=2x-2t，再通過解方程組得N（），接著利用三角形面積公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）設(shè)Q，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時，△PQO∽△COA，則；當(dāng)時，△PQO∽△CAO，則，然后分別解關(guān)于m的絕對值方程可得到對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線過原點(diǎn)，對稱軸是直線x＝3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a?8?2＝4，解得a＝，∴拋物線解析式為y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；（2）設(shè)M（t，0），易得直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直線AB的解析式為y＝2x﹣12，∵M(jìn)N∥AB，∴設(shè)直線MN的解析式為y＝2x+n，把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，∴直線MN的解析式為y＝2x﹣2t，解方程組得，則，∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM，當(dāng)t＝3時，S△AMN有最大值3，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（3）設(shè)，∵∠OPQ＝∠ACO，∴當(dāng)時，△PQO∽△COA，即，∴PQ＝2PO，即，解方程得m1＝0（舍去），m2＝14，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，0）；解方程得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）；∴當(dāng)時，△PQO∽△CAO，即，∴PQ＝PO，即，解方程得m1＝0（舍去），m2＝8，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）；解方程得m1＝0（舍去），m2＝4，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似比表示線段之間的關(guān)系；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．6．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請直接寫出此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時，x＝﹣6，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF?AE+?DF?OE＝DF?OA＝×(﹣m2﹣m)×6＝﹣m2﹣m＝﹣(m+3)2+，∵a＝﹣＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)m＝﹣3時，S△ADC存在最大值，又∵當(dāng)m＝﹣3時，m2+m﹣3＝﹣，∴存在點(diǎn)D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；(3)①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，由，解得或，此時直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21)【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問題，屬于中考壓軸題．.7．如圖1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（點(diǎn)F和點(diǎn)A重合）的邊EF和矩形的邊AB在同一直線上．現(xiàn)將Rt△PEF從A以每秒1個單位的速度向射線AB方向勻速平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，解答下列問題：（1）如圖1，連接PD，填空：PE＝，∠PFD＝度，四邊形PEAD的面積是；（2）如圖2，當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時，求△PEF運(yùn)動時間t的值；（3）在運(yùn)動的過程中，設(shè)△PEF與△ABD重疊部分面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍．【答案】（1）300，；（2）；（3）見解析.【解析】分析：（1）根據(jù)銳角三角形函數(shù)可求出角的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理求出PE的長，再根據(jù)梯形的面積公式求解.（2）當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時，PE∥DA，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函數(shù)計算可得AF=t=；（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)0≤t＜時，②≤t＜3時，③3≤t≤6時，根據(jù)三角形、梯形的面積的求法，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可.詳解：（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin∠P=∴∠P=30°∵PE∥AD∴∠PAD=300，根據(jù)勾股定理可得PE=3，所以S四邊形PEAD=×（3+3）×3=；（2）當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt△ADF中，由AD=3，得AF=，所以t=；（3）分三種情況討論：①當(dāng)0≤t＜時，PF交AD于Q，∵AF=t，AQ=t，∴S=×t×t=；②當(dāng)≤t＜3時，PF交BD于K，作KH⊥AB于H，∵AF=t，∴BF=3-t，S△ABD=，∵∠FBK=∠FKB，∴FB=FK=3-t，KH=KF×sin600=,∴S=S△ABD﹣S△FBK=③當(dāng)3≤t≤3時，PE與BD交O，PF交BD于K，∵AF=t，∴AE=t-3，BF=3-t,BE=3-t+3，OE=BE×tan300=，∴S=．點(diǎn)睛：此題主要考查了幾何變換綜合題，用到的知識點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)值，三角形的面積，圖形的平移等，考查了分析推理能力，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，要熟練掌握，比較困難.8．二次函數(shù)y=x2-2mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點(diǎn)．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關(guān)系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m-；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定三角形的面積；（2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于x=m對稱得到a+n-m=m-a，從而確定a、m、n之間的關(guān)系；（3）根據(jù)a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可確定a的值．試題解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，當(dāng)y=0時，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根據(jù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴OC=3，△ABC的面積=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴對稱軸為直線x=m，∵二次函數(shù)y=x2-2mx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=m對稱，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化為頂點(diǎn)式為y=（x-m）2-m2+3（m＞）①當(dāng)a為整數(shù)，因?yàn)閚＞0且n為整數(shù)所以a+n是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②當(dāng)a不是整數(shù)，因?yàn)閚＞0且n為整數(shù)所以a+n不是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=?，綜上所述：a=1或a=?．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．9．當(dāng)今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若干本，每本進(jìn)價為20元．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤不低于10元且不高于18元．（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量（本）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈元給困難職工，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為1960元，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式即可；（2）設(shè)每天扣除捐贈后可獲得利潤為w元．根據(jù)題意得到w=（x-20-a）（-10x+500）=-10x2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得對稱軸為x＝35+a，且0＜a≤6，則30＜35+a≤38，則當(dāng)時，取得最大值，解方程得到a1=2，a2=58，于是得到a=2．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，；（2）設(shè)每天扣除捐贈后可獲得利潤為元．對稱軸為x＝35+a，且0＜a≤6，則30＜35+a≤38，則當(dāng)時，取得最大值，∴∴（不合題意舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，正確的理解題意，確定變量，建立函數(shù)模型．10．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．【解析】【分析】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根據(jù)平行得出△APN和△ABC相似，根據(jù)線段的比值得出y的值，然后得出邊長；(2)、根據(jù)第一題同樣的方法得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.【詳解】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得y=∴2y=∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm(2)、設(shè)PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面積為S，則AE=80-x（mm）．.由（1）知=∴=∴y=則S=xy===∵∴S有最大值∴當(dāng)x=40時，S最大=2400（mm2）此時，y==60．∴面積達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩邊PQ、PN長分別是40mm，60mm．考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點(diǎn)D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2)拋物線的表達(dá)式為：；(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線的表達(dá)式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線交于點(diǎn)N、M，由三角形的面積公式得到，，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達(dá)式為：，即，則點(diǎn)；（2）過點(diǎn)B作y軸的平行線BQ，過點(diǎn)D作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)P、交BQ于點(diǎn)Q，∵，，∴，設(shè)：，點(diǎn)，，∴，∴，其中：，，，，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達(dá)式為：；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時，連接OD交BC于點(diǎn)H，則，過點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線交于點(diǎn)N、M，設(shè)：，，，而，則，，∴，則，則，，則，則，則，解得：（舍去負(fù)值），，解得：（不合題意值已舍去），故：．當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時，同理可得：；故：或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．12．如圖1，拋物線經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)、、，拋物線與軸的另一交點(diǎn)為.經(jīng)過點(diǎn)的直線將平行四邊形分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn).點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)何值時，的面積最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在點(diǎn)使為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=時，△PEF的面積最大，其最大值為×，最大值的立方根為=；（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，t的值為1或【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由A、C坐標(biāo)可求得平行四邊形的中心的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當(dāng)∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：（1）由題意可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴線段AC的中點(diǎn)為（，），∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，∴直線l過平行四邊形的對稱中心，∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，∴拋物線對稱軸為x=1，∴E（3，0），設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，把E點(diǎn)和對稱中心坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線l的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如圖1，作PH⊥x軸，交l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴當(dāng)t=時，△PEF的面積最大，其最大值為×，∴最大值的立方根為=；（3）由圖可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①當(dāng)∠PAE=90°時，如圖2，作PG⊥y軸，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②當(dāng)∠APE=90°時，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，t的值為1或．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題13．如圖，已知二次函數(shù)過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線，直線y=m（m＞0）交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長度（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，、交于A、B兩點(diǎn)，如果直線y=m與、的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點(diǎn)（C在左側(cè)），直線y=﹣m與、的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點(diǎn)（E在左側(cè)），求證：四邊形CEFD是平行四邊形．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．（2）先求出拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN．（3）用類似（2）的方法，分別求出CD、EF即可解決問題．試題解析：（1）∵二次函數(shù)過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式．（2）∵=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，），∵將沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，），∴拋物線為，由，消去y整理得到，設(shè)，是它的兩個根，則MN===；（3）由，消去y整理得到，設(shè)兩個根為，，則CD===，由，消去y得到，設(shè)兩個根為，，則EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四邊形CEFD是平行四邊形．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．14．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；（2）如圖1，在（1）的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E，使S△ACE=S△ACD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)F（﹣1，﹣4），F(xiàn)G⊥y于G，在線段OG上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對稱軸是：直線x=﹣1；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（﹣4，5）（3）當(dāng)﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG.【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并配方求對稱軸；（2）如圖1，設(shè)E（m，m2+2m﹣3），先根據(jù)已知條件求S△ACE=10，根據(jù)不規(guī)則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得m的值，并根據(jù)在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)小于﹣1，對m的值進(jìn)行取舍，得到E的坐標(biāo)；（3）分兩種情況：①當(dāng)B在原點(diǎn)的左側(cè)時，構(gòu)建輔助圓，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，只要滿足∠BPF=90°就可以構(gòu)成∠OBP=∠FPG，如圖2，求出圓E與y軸有一個交點(diǎn)時的m值，則可得取值范圍；②當(dāng)B在原點(diǎn)的右側(cè)時，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形時滿足條件，直接計算即可．試題解析：（1）當(dāng)m=﹣3時，B（﹣3，0），把A（1，0），B（﹣3，0）代入到拋物線y=x2+bx+